\(\newcommand{\trans}{^\top} \newcommand{\adj}{^{\rm adj}} \newcommand{\cof}{^{\rm cof}} \newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle} \newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\bone}{\mathbf{1}} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\nul}{\operatorname{null}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} %\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}} \newcommand{\range}{\operatorname{range}} \newcommand{\Col}{\operatorname{Col}} \newcommand{\Row}{\operatorname{Row}} \newcommand{\spec}{\operatorname{spec}} \newcommand{\vspan}{\operatorname{span}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\idmap}{\operatorname{id}} \newcommand{\am}{\operatorname{am}} \newcommand{\gm}{\operatorname{gm}} \newcommand{\mult}{\operatorname{mult}} \newcommand{\iner}{\operatorname{iner}}\)

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    3. 修改題目（中英文皆可，依照原題目）
    4. 修改想法與解法（你的想法比解這個題目還重要，好好思考一下這個題目、敘述你嘗試過哪些不成功的方法、最後怎麼想到解法；解法的部份請當做你在正式考試，寫下一份完整的答案。）
    5. 刪除這整段藍色方框的說明（從 :::info 到 :::），並將你筆記網頁的網址寄到 jephianlin [at] gmail [dot] com

HackMD 使用 Markdown 語法，中間可以用 \(\LaTeX\) 嵌入數學符號，相關資訊如下：

題目

Let \(A\) and \(B\) be two \(m\times n\) matrices such that
\[\bx\trans A\by = \bx\trans B\by\] for any column vectors \(\bx\in\mathbb{R}^m\) and \(\by\in\mathbb{R}^n\).
Show that \(A = B\).

想法與解法

Jephian says

想法

因為 \(\bx\) 和 \(\by\) 有無窮多個，不如就挑幾個代入看看吧。
比如說當 \(\bx = (1,0,\ldots, 0)\trans\in\mathbb{R}^m\) 且 \(\by = (1,0,\ldots, 0)\trans\in\mathbb{R}^n\) 時，我們就得到
\[\bx\trans A\by = \bx\trans B\by\] 分別是 \(A\) 和 \(B\) 的第 \(1,1\)-項，而它們相等。
用同樣的手法就可以證明兩個矩陣矩逐項相等。

解法

令 \(A = \begin{bmatrix} a_{i,j} \end{bmatrix}\) 且 \(B = \begin{bmatrix} b_{i,j} \end{bmatrix}\)。
令 \(\bx_1,\ldots,\bx_m\) 分別為單位矩陣 \(I_m\) 的各行向量；
而 \(\by_1,\ldots,\by_n\) 分別為單位矩陣 \(I_n\) 的各行向量。
可以得到
\[a_{i,j} = \bx_i\trans A\by_j = \bx_i\trans B\by_j = b_{i,j}.\] 這表示 \(A\) 和 \(B\) 逐項相等。

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