學海無涯，思境無維；數乃六藝，理之始也。
或有一得足矣 愚千慮

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e 是什麼鬼東西？

e 起源於對複利率極限的研究

$$e:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$$

白話點來說

$e$ 是一個極限值，它的本身雖只是個數字，但其特殊的指/對數變化性質，被視為指/對數函數中的 1，如同單位般的存在。就像

$\pi$ 之於一個圓， 1 之於實數，

$i$ 之於虛數一般，既然所有數學描述都是相對的，則必然需要找到那被相對的單位。

$exp(x):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x$

exp(x) 則是 Euler 為改良

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 而來。

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$

原本是因為要求利率倍數成長極限

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ ，而後人為了簡化才將此極限值定名為

$e$。

利用 二項式定理 (Binomial Theorem) 求其值：

$$\begin{array}{rl}(1+\frac{1}{n}{)}^n& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})1^{n-k}(\frac{1}{n}{)}^k\\ & =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{n^k}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\times \frac{1}{n^k}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{\stackrel{\mathrm{共}k\mathrm{項}}{\overbrace{n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}}}{n^k}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}(\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots \frac{n-k+1}{n})\\ \end{array}$$

我們無法將

$k$ 求到

$\mathrm{\infty }$，只能利用上式代入

$k$ (有限值) 來逼近真正的極限值；

當

$n\to \mathrm{\infty }$，且

$k$ 為有限值時，連最小的

$\frac{n-k+1}{n}$ 都會趨近 1，

$$\therefore (\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots \frac{n-k+1}{n})\to 1$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& ⟹\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\approx \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n\end{array}$$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$ 寫在左邊，

$\frac{1}{k!}$ 代表我們人類包括電腦的計算能力，去逼近真正的極限值則放在右邊。

$exp(x):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n$

$exp(x)$ 是 Euler 為改良

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 所定義，

$$exp(x):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n$$

再求出其值

$$\begin{array}{rl}exp(x)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n\\ & =(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n{)}^x\end{array}$$

但這麼表示太麻煩，就把原本

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 的極限值定為

$e$

$$e:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$$

於是乎

$$exp(x)=e^x$$

證明:

$$\begin{array}{rl}exp(x)& :=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}((1+\frac{x}{n}{)}^{\frac{n}{x}}{)}^x\end{array}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{令}\frac{n}{x}=t⟹\frac{x}{n}=\frac{1}{t}\mathrm{且}n\to \mathrm{\infty },t\to \mathrm{\infty } \\ \begin{array}{rl}& =(\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{t}{)}^t{)}^x\dots \mathrm{此}\mathrm{式}\mathrm{即}\mathrm{為}{e}^x\mathrm{之}\mathrm{由}\mathrm{來}\\ \because \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{t}{)}^t=e\\ & =e^x✓\end{array} \end{gathered}$$

但多數人只知

$e^x$ 而不知

$exp(x)$，又倒果為因了一次，於是

$$e^x:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n$$

不管如何，如同求

$e$ 時利用二項式定理，再導一次：

$$\begin{array}{rl}(1+\frac{x}{n}{)}^n& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})1^{n-k}(\frac{x}{n}{)}^k\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\times \frac{x^k}{n^k}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}(\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots \frac{n-k+1}{n})\end{array}$$

當

$n\to \mathrm{\infty }$

$$\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\approx (1+\frac{x}{n}{)}^n$$

$$\text{Label 'eq:proofex' multiply defined}$$

再整理一下

1. 先有
   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 求值問題的存在，其值可用
   $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$ 來逼近。
2. 再有 Euler 改良
   $\mathrm{令}exp(x):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n$，求出其值為
   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 之值的
   $x$ 次方，可用
   $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$ 來逼近。
3. 為了把這麼複雜過程與表示簡化，於是把
   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 的極限值定名為
   $e$，就有了

$$\{\begin{array}{lll}e& :=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n& \approx \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\\ exp(x)& :=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x& \approx \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}\end{array}$$

$e^x\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{些}\mathrm{特}\mathrm{性}$

$$\{\begin{array}{rl}exp(x)\times exp(y)& =e^x\times e^y\\ & =e^{x+y}\\ & =exp(x+y)\\ exp(x)÷exp(y)& =e^x/e^y\\ & =e^{x-y}\\ & =exp(x-y)\\ exp(xy)& =e^{xy}\\ & =(e^x{)}^y=(e^y{)}^x\\ & =(exp(x){)}^y=(exp(y){)}^x\\ exp(-x)& =e^{-x}\\ & =\frac{1}{e^x}\end{array}$$

由此我們可以玩一些有趣的置換，

$$\begin{array}{rl}b& =e^{\ln b}\\ b^x& =(e^{\ln b}{)}^x\\ & =e^{x\ln b}\\ & =(e^x{)}^{\ln b}\end{array}$$

在沒有電腦的時代，沒有人有辦法把所有

$b$ 的任意次方數都算出來，而

$e^x$ 則已經有人算過數百萬次製表，於是其它人只要能算出

$\ln b$ 再對著表一查，就能算出

$b^x$ 了，這也就是為什麼科學裡多以

$e$ 做底來表達數字的重要原因之一，當然除此之外

$e$ 還有其它特別的性質如 Euler's identity (歐拉恆等式) 等都是另外需要再完整研究的。

有興趣深入的人可看 Euler's Identity 的由來。

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