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title: "e 是什麼鬼東西？"
path: "e_是什麼鬼東西？"
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# e 是什麼鬼東西？

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## e 起源於對複利率極限的研究

$$
\require{extpfeil}\\
\def \ntoinfty {\lim\limits_{n\to\infty}}
e := \lim\limits_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n
$$

:::info
白話點來說 $e$ 是一個極限值，它的本身雖只是個數字，但其特殊的指/對數變化性質，被視為指/對數函數中的 1，如同**單位**般的存在。就像 $\pi$ 之於一個圓， 1 之於實數， $i$ 之於虛數一般，既然所有數學描述都是相對的，則必然需要找到那被相對的**單位**。
:::

$exp(x) := \lim\limits_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n = e^x$

exp(x) 則是 Euler 為改良 $\lim\limits_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n$ 而來。

# $\ntoinfty{(1+\frac{1}{n})^n}$

原本是因為要求利率倍數成長極限 $\lim\limits_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{n})^n}$ ，而後人為了簡化才將此極限值定名為 $e$。

利用 [二項式定理 (Binomial Theorem)](/@RintarouTW/二項式定理_Binomial_Theorem_研究) 求其值：

$$
\def \kton{\sum\limits_{k=0}^{n}}
\begin{aligned}
(1+\frac{1}{n})^n &= \kton \binom{n}{k}1^{n-k}(\frac{1}{n})^{k}\\
&= \kton \binom{n}{k} \frac{1}{n^{k}}\\
&= \kton \frac{n!}{k!(n-k)!}\times\frac{1}{n^k}\\
&= \kton \frac{1}{k!} \frac{\overbrace{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)}^{共\ k\ 項}}{n^k}\\
&= \kton \frac{1}{k!} (\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n})\\\\
\end{aligned}
$$

我們無法將 $k$ 求到 $\infty$，只能利用上式代入 $k$ (有限值) 來逼近真正的極限值；

當 $n\to\infty$，且 $k$ 為有限值時，連最小的 $\frac{n-k+1}{n}$ 都會趨近 1，

$$
\therefore (\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}) \to 1
$$

$$
\implies \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \approx \ntoinfty (1+\frac{1}{n})^n \tag{1}
$$

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$ 寫在左邊， $\frac{1}{k!}$ 代表我們人類包括電腦的計算能力，去逼近真正的極限值則放在右邊。

# $exp(x) := \ntoinfty{(1+\frac{x}{n})^n}$

$exp(x)$ 是 Euler 為改良 $\ntoinfty{(1+\frac{1}{n})^n}$ 所定義，

$$
exp(x) := \ntoinfty{(1+\frac{x}{n})^n}
$$

再求出其值

$$
\begin{aligned}
exp(x) &= \ntoinfty{(1+\frac{x}{n})^n}\\
&= (\ntoinfty{(1+\frac{1}{n})^n})^x
\end{aligned}
$$

但這麼表示太麻煩，就把原本 $\ntoinfty{(1+\frac{1}{n})^n}$ 的極限值定為 $e$

$$
e := \ntoinfty{(1+\frac{1}{n})^n}
$$

於是乎

$$
exp(x) = e^x
$$

### 證明:

$$
\begin{aligned}
exp(x) &:= \ntoinfty{(1+\frac{x}{n})^n}\\
&= \ntoinfty{ ( (1+\frac{x}{n} )^{\frac{n}{x}})^x}\\
\end{aligned}
$$

$$
令\ \frac{n}{x} = t \implies \frac{x}{n} = \frac{1}{t}\ 且\ n\to\infty, t\to\infty\\
\begin{aligned}
&= (\lim\limits_{t\to\infty}{(1+\frac{1}{t}})^{t})^x \ldots 此式即為\ e^x\ 之由來\\
\because \lim\limits_{t\to\infty}{(1+\frac{1}{t}})^{t} = e\\
&= e^x \quad\checkmark
\end{aligned}
$$

但多數人只知 $e^x$ 而不知 $exp(x)$，又倒果為因了一次，於是

$$
e^x := \ntoinfty{(1+\frac{x}{n})^n}
$$

不管如何，如同求 $e$ 時利用二項式定理，再導一次：

$$
\begin{aligned}
(1+\frac{x}{n})^n
&=\kton\binom{n}{k}1^{n-k}(\frac{x}{n})^k\\
&=\kton\frac{n!}{k!(n-k)!}\times\frac{x^k}{n^k}\\
&=\kton\frac{x^k}{k!}(\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n})\\
\end{aligned}
$$

當 $n\to\infty$

$$
\kton\frac{x^k}{k!}\approx (1+\frac{x}{n})^n
$$

$$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\approx\ntoinfty(1+\frac{x}{n})^n = e^x \tag{2}\label{eq:proofex}
$$

## 再整理一下

1. 先有 $\ntoinfty(1+\frac{1}{n})^n$ 求值問題的存在，其值可用 $\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{1}{k!}$ 來逼近。
2. 再有 Euler 改良 $令\ exp(x) := \ntoinfty(1+\frac{x}{n})^n$，求出其值為 $\ntoinfty(1+\frac{1}{n})^n$ 之值的 $x$ 次方，可用 $\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{x^k}{k!}$ 來逼近。
3. 為了把這麼複雜過程與表示簡化，於是把 $\ntoinfty(1+\frac{1}{n})^n$ 的極限值定名為 $e$，就有了

$$
\begin{cases}
e &:= \ntoinfty(1+\frac{1}{n})^n &\approx \sum\limits_{k=0}^{\infty}\ \frac{1}{k!}\\[2ex]
exp(x) &:= \ntoinfty(1+\frac{x}{n})^n = e^x &\approx \sum\limits_{k=0}^{\infty}\ \frac{x^k}{k!}
\end{cases}
$$

# $e^x\ 的一些特性$

$$
\left\{
\begin{aligned}
exp(x) \times exp(y) &= e^x \times e^y \\
&= e^{x+y}\\
&= exp(x+y)\\[2ex]
exp(x) \div exp(y) &= e^x / e^y \\
&= e^{x-y}\\
&= exp(x-y)\\[2ex]
exp(xy) &= e^{xy}\\
&= (e^x)^y = (e^y)^x\\
&= (exp(x))^y = (exp(y))^x\\[2ex]
exp(-x) &= e^{-x}\\
&= \frac{1}{e^x}
\end{aligned}
\right.
$$

由此我們可以玩一些有趣的置換，

$$
\begin{aligned}
b &= e^{\ln{b}}\\[2ex]
b^x &= (e^{\ln{b}})^x\\[2ex]
&= e^{x\ln{b}}\\[2ex]
&= (e^x)^{\ln{b}}
\end{aligned}
$$

在沒有電腦的時代，沒有人有辦法把所有 $b$ 的任意次方數都算出來，而 $e^x$ 則已經有人算過數百萬次製表，於是其它人只要能算出 $\ln{b}$ 再對著表一查，就能算出 $b^x$ 了，這也就是為什麼科學裡多以 $e$ 做底來表達數字的重要原因之一，當然除此之外 $e$ 還有其它特別的性質如 Euler's identity (歐拉恆等式) 等都是另外需要再完整研究的。

有興趣深入的人可看 [Euler's Identity 的由來](/@RintarouTW/Euler’s_Identity_的由來)。

###### tags: `math` `Euler` `exp`