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title: "Euler’s Identity 的由來"
path: "Euler’s Identity 的由來"
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{%hackmd @RintarouTW/About %}

# Euler’s Identity 的由來

$$
e^{i\pi} + 1 = 0
$$

Euler 恆等式究竟怎麼來的，有的人用泰勒展開式去證明，個人總覺得不太恰當，因為泰勒展開式 (除麥克羅琳外) 比歐拉恆等式要晚，可以這麼證明恆等式是對的，和它究竟是如何來的根本是兩個問題，不該混為一談。

[Cotes](https://books.google.com.tw/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false) 在 1714 年發現

$$
\log({\cos{x} + i\sin{x}}) = ix\\(仍不知如何發現)
$$

但比較可能是 Euler 由來的啟發之一，當然另一個更重要的就是棣美弗定理本身才是。

## 棣美弗定理

$$
(r\ (\cos\theta+i\sin\theta))^n = r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta})
$$

:::info
$\implies複數相乘，角度相加長度相乘\\
n\ 次方即相乘\ n\ 次，故角度相加\ n\ 次=n\theta\\[3ex]
令\ r = 1\ (單位圓)\\
\implies1^n(\cos\theta+i\sin\theta)^n = 1^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}) = \cos{n\theta}+i\sin{n\theta}$
:::

此即**棣美弗定理**，其實就是原本複數相乘改成極座標的型式。

$$
(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n = \cos{n\theta}+i\sin{n\theta}
$$

### 1 的 n 次方根則有 n 個不同複數解 (含實數)

$$
\begin{aligned}
當\ x^n = 1, 令\ x = \cos{\theta} + i\sin{\theta}，\\[2ex]
(\cos{\theta} + i\sin{\theta})^n &= 1\\[2ex]
\cos{n\theta}+i\sin{n\theta} &= 1\\
\end{aligned}\\
n\theta = 2\pi k\ ,\ k \in Z
\implies \theta = \frac{2\pi k}{n}
$$

每一個解的 n 次方都會落在 $2\pi k$ 上，也就是

$$
\cos{2\pi k} + isin(2\pi k) = \cos{0} + isin{0} = 1
$$

## 個人所知最合理的解釋

目前為止找到最合理的解釋是林琦焜教授在民國 92 年寫的這篇[棣美弗定理與 Euler 公式](https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d274/27401.pdf)，其中證明如下：

$$
(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi})^n = \cos{n\varphi}+i\sin{n\varphi}\\
令\ \theta=n\varphi \\
\implies
(\cos{\frac{\theta}{n}}+i\sin{\frac{\theta}{n}})^n = \cos{\theta}+i\sin{\theta}\\
\because 當\ n\to\infty \implies \frac{\theta}{n}\to 0\\
\therefore \cos{\frac{\theta}{n}} \to 1,\ \sin{\frac{\theta}{n}}\to\frac{\theta}{n}\\
\implies \lim\limits_{n\to\infty} (1+\frac{i\theta}{n})^n = \cos{\theta}+i\sin{\theta}
$$

既然

$$
exp(x) := \lim\limits_{n\to\infty} (1+\frac{x}{n})^n
$$

那麼想到令 $x=i\theta$，

$$
exp(i\theta) = \lim\limits_{n\to\infty} (1+\frac{i\theta}{n})^n
$$

也就順其自然了，最後再把三者關係都整理一下，

$$
exp(i\theta) = \lim\limits_{n\to\infty} (1+\frac{i\theta}{n})^n=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\\
e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}
$$

當 $\theta = \pi$

:::success
$$
e^{i\pi} + 1 = 0 \quad\blacksquare 得證
$$
:::

###### tags: `math` `Euler` `exp`