學海無涯，思境無維；數乃六藝，理之始也。
或有一得足矣愚千慮

Euler’s Identity 的由來

e^{i π} + 1 = 0

Euler 恆等式究竟怎麼來的，有的人用泰勒展開式去證明，個人總覺得不太恰當，因為泰勒展開式 (除麥克羅琳外) 比歐拉恆等式要晚，可以這麼證明恆等式是對的，和它究竟是如何來的根本是兩個問題，不該混為一談。

Cotes 在 1714 年發現

\log (\cos x + i \sin x) = i x (仍 不 知 如 何 發 現)

但比較可能是 Euler 由來的啟發之一，當然另一個更重要的就是棣美弗定理本身才是。

棣美弗定理

(r (\cos θ + i \sin θ))^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)

⟹ 複 數 相 乘 ， 角 度 相 加 長 度 相 乘 n 次 方 即 相 乘 n 次 ， 故 角 度 相 加 n 次 = n θ 令 r = 1 (單 位 圓) ⟹ 1^{n} (\cos θ + i \sin θ)^{n} = 1^{n} (\cos n θ + i \sin n θ) = \cos n θ + i \sin n θ

此即棣美弗定理，其實就是原本複數相乘改成極座標的型式。

(\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos n θ + i \sin n θ

\begin{aligned} 當 x^{n} = 1, 令 x = \cos θ + i \sin θ ， \\ (\cos θ + i \sin θ)^{n} & = 1 \\ \cos n θ + i \sin n θ & = 1 \end{aligned} n θ = 2 π k, k \in Z ⟹ θ = \frac{2 π k}{n}

每一個解的 n 次方都會落在

2 π k

上，也就是

\cos 2 π k + i s i n (2 π k) = \cos 0 + i s i n 0 = 1

目前為止找到最合理的解釋是林琦焜教授在民國 92 年寫的這篇棣美弗定理與 Euler 公式，其中證明如下：

(\cos φ + i \sin φ)^{n} = \cos n φ + i \sin n φ 令 θ = n φ ⟹ (\cos \frac{θ}{n} + i \sin \frac{θ}{n})^{n} = \cos θ + i \sin θ ∵ 當 n \to \infty ⟹ \frac{θ}{n} \to 0 ∴ \cos \frac{θ}{n} \to 1, \sin \frac{θ}{n} \to \frac{θ}{n} ⟹ lim_{n \to \infty} (1 + \frac{i θ}{n})^{n} = \cos θ + i \sin θ

既然

e x p (x) := lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^{n}

那麼想到令

x = i θ

，

e x p (i θ) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{i θ}{n})^{n}

也就順其自然了，最後再把三者關係都整理一下，

e x p (i θ) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{i θ}{n})^{n} = \cos θ + i \sin θ e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

當

θ = π

e^{i π} + 1 = 0 ◼ 得 證