--- title: "二項式定理 (Binomial Theorem) 研究" path: "二項式定理 Binomial Theorem 研究" --- {%hackmd @RintarouTW/About %} # 二項式定理 (Binomial Theorem) 研究 # 排列 （Permutation) $$ \begin{aligned}\hline (x+y)^1 &= x_1 + y_1 \ (共\ 2^1 = 2\ 項) \\ \hline (x+y)^2 &= (x_1+y_1)(x_2+y_2) \\ \hline &= x_1 x_2 + y_1 x_2 \\ &+ x_1 y_2 + y_1 y_2 \ (共\ 2^2 = 4\ 項) \\ \hline (x+y)^3 &= (x_1+y_1)(x_2+y_2)(x_3+y_3)\\ \hline &= x_1 x_2 x_3 + y_1 x_2 x_3 \\ &+ x_1 y_2 x_3 + y_1 y_2 x_3 \\ &+ x_1 x_2 y_3 + y_1 x_2 y_3 \\ &+ x_1 y_2 y_3 + y_1 y_2 y_3 \ (共\ 2^3 = 8\ 項)\\ \hline (x+y)^4 &= (x_1+y_1)(x_2+y_2)(x_3+y_3)(x_4+y_4)\\ \hline &= x_1 x_2 x_3 x_4 + y_1 x_2 x_3 x_4 \\ &+ x_1 y_2 x_3 x_4 + y_1 y_2 x_3 x_4 \\ &+ x_1 x_2 y_3 x_4 + y_1 x_2 y_3 x_4 \\ &+ x_1 y_2 y_3 x_4 + y_1 y_2 y_3 x_4 \\ &+ x_1 x_2 x_3 y_4 + y_1 x_2 x_3 y_4 \\ &+ x_1 y_2 x_3 y_4 + y_1 y_2 x_3 y_4 \\ &+ x_1 x_2 y_3 y_4 + y_1 x_2 y_3 y_4 \\ &+ x_1 y_2 y_3 y_4 + y_1 y_2 y_3 y_4 \ (共\ 2^4 = 16\ 項) \\ \hline (x+y)^5 &= (x_1+y_1)(x_2+y_2)(x_3+y_3)(x_4+y_4)(x_5+y_5)\\ \hline &= x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 + y_1 x_2 x_3 x_4 x_5 \\ &+ x_1 y_2 x_3 x_4 x_5 + y_1 y_2 x_3 x_4 x_5 \\ &+ x_1 x_2 y_3 x_4 x_5 + y_1 x_2 y_3 x_4 x_5 \\ &+ x_1 y_2 y_3 x_4 x_5 + y_1 y_2 y_3 x_4 x_5 \\ &+ x_1 x_2 x_3 y_4 x_5 + y_1 x_2 x_3 y_4 x_5 \\ &+ x_1 y_2 x_3 y_4 x_5 + y_1 y_2 x_3 y_4 x_5 \\ &+ x_1 x_2 y_3 y_4 x_5 + y_1 x_2 y_3 y_4 x_5 \\ &+ x_1 y_2 y_3 y_4 x_5 + y_1 y_2 y_3 y_4 x_5 \\ &+ x_1 x_2 x_3 x_4 y_5 + y_1 x_2 x_3 x_4 y_5 \\ &+ x_1 y_2 x_3 x_4 y_5 + y_1 y_2 x_3 x_4 y_5 \\ &+ x_1 x_2 y_3 x_4 y_5 + y_1 x_2 y_3 x_4 y_5 \\ &+ x_1 y_2 y_3 x_4 y_5 + y_1 y_2 y_3 x_4 y_5 \\ &+ x_1 x_2 x_3 y_4 y_5 + y_1 x_2 x_3 y_4 y_5 \\ &+ x_1 y_2 x_3 y_4 y_5 + y_1 y_2 x_3 y_4 y_5 \\ &+ x_1 x_2 y_3 y_4 y_5 + y_1 x_2 y_3 y_4 y_5 \\ &+ x_1 y_2 y_3 y_4 y_5 + y_1 y_2 y_3 y_4 y_5 \ (共\ 2^5 = 32\ 項) \\ \hline \end{aligned} $$ $(x+y)^n$ 共 $2^n$ 項，每項有 $n$ 位相乘，以 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 與 $y_1,y_2,\ldots,y_n$ 作記。 $n-1$ 次方與 $n$ 次方之間有何關係? $$ S_n := (x+1)^n\implies S_n = S_{n-1} \times x + S_{n-1} $$ ## 以 0, 1 方式表達 將 $x$ 以 1 代替， $y$ 以 0 代替，則 $(x+y)^5$ 如下 $$ \begin{aligned} (x+y)^1 &= 1 + 0 \ (共\ 2^1 = 2\ 項) \\ \hline (x+y)^2 &= 11 + 01 \\ &+ 10 + 00 \ (共\ 2^2 = 4\ 項) \\ \hline (x+y)^3 &= 111 + 011 \\ &+ 101 + 001 \\ &+ 110 + 010 \\ &+ 100 + 000 \ (共\ 2^3 = 8\ 項) \\ \hline (x+y)^4 &= 1111 + 0111 \\ &+ 1011 + 0011 \\ &+ 1101 + 0101 \\ &+ 1001 + 0001 \\ &+ 1110 + 0110 \\ &+ 1010 + 0010 \\ &+ 1100 + 0100 \\ &+ 1000 + 0000 \ (共\ 2^4 = 16\ 項) \\ \hline (x+y)^5 &= 11111 + 01111 \\ &+ 10111 + 00111 \\ &+ 11011 + 01011 \\ &+ 10011 + 00011 \\ &+ 11101 + 01101 \\ &+ 10101 + 00101 \\ &+ 11001 + 01001 \\ &+ 10001 + 00001 \\ &+ 11110 + 01110 \\ &+ 10110 + 00110 \\ &+ 11010 + 01010 \\ &+ 10010 + 00010 \\ &+ 11100 + 01100 \\ &+ 10100 + 00100 \\ &+ 11000 + 01000 \\ &+ 10000 + 00000 \ (共\ 2^5 = 32\ 項) \\ \hline &\\ \end{aligned} $$ 由此更容易理解取名為 **Binomial** 之意了。 ## 樹狀圖表達 $(a+b)^n$ 由此就可看出等價於 n 個位置的排列，每一個位置可以選 a 或 b，但**不可不選**，這也是乘法的分配律，以下寫成樹狀圖會明顯些。 ```graphviz digraph binomial { graph [bgcolor=transparent]; node[fontcolor="#888888";color="#888888"]; edge [color="#888800"]; rankdir=LR; splines=curved edge[arrowsize=0.6] "(a+b)^n" -> a; "(a+b)^n" -> b; a -> aa, ab; aa -> aaa, aab; aaa -> aaaa, aaab; aab -> aaba, aabb; aaba -> aabaa, aabab; aabb -> aabba, aabbb; aaab -> aaaba, aaabb; aaaa -> aaaaa, aaaab; ab -> aba, abb; aba -> abaa, abab; abb -> abba, abbb; abba -> abbaa, abbab; abbb -> abbba, abbbb; abab -> ababa, ababb; abaa -> abaaa, abaab; b -> ba, bb; ba -> baa, bab; baa -> baaa, baab; bab -> baba, babb; baba -> babaa, babab; babb -> babba, babbb; baab -> baaba, baabb; baaa -> baaaa, baaab; bb -> bba, bbb; bba -> bbaa, bbab; bbb -> bbba, bbbb; bbba -> bbbaa, bbbab; bbbb -> bbbba, bbbbb; bbab -> bbaba, bbabb; bbaa -> bbaaa, bbaab; } ``` # 組合 (Combination) 其實就英文 Combination 而言，更單純直接的翻譯為「合併」，個人反而覺得更達其意， Permutation 排列，再將有相同型式的項 Combination 合併在一起，很單純且直覺，沒有也不需要任何其它多餘的動作，比起「組合」二字更加貼切。 因為各項皆由 $x$, $y$ 相乘，每一項皆可組合成 $x^iy^j$ 型式， $$ x^iy^j \begin{cases} i+j = n\\[2ex] i=0, 1, 2, \ldots, n\\[2ex] j=n,\ldots,2,1, 0 \end{cases} $$ $$即 \Downarrow$$ $$ a_n x^n y^0 + a_{n-1} x^{n-1} y^1 + \cdots + a_1 x^1 y^{n-1} + a_0 x^0 y^n $$ ## 排列後未組合前共 $2^n$ 項，組合後為多少項? $i$ 從 $0, 1, 2, \ldots n$ 也就是組合後共 $n + 1$ 項。 ## 組合後係數有何規律? 組合後各項係數相加總數必然為 $2^n$。 組合只是將相同 $x$ 次方 $y$ 次方項項數加總為係數，自然係數加總後依然是 $2^n$。 ## 組合後各項 $a_k x^i y^j$ 次方有何規則? $$ \cases{ i+j = n\\ a_k = \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} } $$ ## 組合後為何係數對稱? $$ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\binom{n}{n-k} $$ # 深思 $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ 這就是最後組合完的結果，但其真正應該表達的是： --- $$ \begin{aligned} (x+1)^2 &\stackrel{排列}{=} (x \times x) + (x \times 1) + (1 \times x) + (1 \times 1) & \it{乘法分配律排列共 2^2 項}\\ & \Downarrow\\ &\stackrel{組合}{=} \color{red}{1}\times x^2 + \color{red}{2}\times (x^1\times\color{yellow}{1}^1) + \color{red}{1}\times \color{yellow}{1}^2 & \it{各項次方數相加依然為 2}\\&& \it{係數則是項數相加的結果} \end{aligned} $$ --- 係數中的 $\color{red}{1}$ 與項式內的 $\color{yellow}{1}$ 切不可輕易等同視之，否則就成了差不多先生了。 最終數量相同，不代表過程相同，更不代表意義相同。 > 見數同即同者，實見樹不見林，須慎之！ 有句話說：「聰明反被聰明誤」，二項式定理絕大多數人從小學就學過，但有多少人肯從排列開始？相信絕大多數人都跳過了這一步，直接從組合學起，道理雖同，但許多真正意涵卻在排列之中，組合是一種整理的結果罷了，但為了計算快速而忘其根本，更有不求甚解者倒果為因，比如： > 問何以二項式係數何為 $2^n$ ? 竟以 $(x+y)^n$ 為例把 xy 硬兜成 1 反證 $\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$ 完全無視先排列再組合之因果，實在是倒果為因，難道二項式係數合為 $2^n$ 只適用 $x=1$, $y=1$ 嗎？根本誤人子弟。 ## Reference * https://www.mathsisfun.com/algebra/binomial-theorem.html ###### tags: `Binomial` `math`