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生活中的數學 - A4紙的長寬比

作者/啊綸
20200506

前言

影印紙是日常生活當中或不可缺的物品之一，我在大學時更是隨時準備大量的A4紙來寫作業或筆記。因緣際會下，去年我曾好奇一張A4紙究竟多重，查資料後發現到，紙的尺寸有非常多種，國際標準的紙張尺寸就是以「A4」、「B5」這樣的記號表示，那它究竟是怎麼樣去定出來的呢？

簡單介紹A4紙

拿出一張A4紙，拿直的並且上下對折，沿著摺痕將紙裁開，你會得到兩張相同形狀和大小的紙，也就是A5大小的紙，其長寬比經過測量計算會發現和A4是很接近的，可以當作A4和A5的長寬比相同（測量總是會有些許誤差）。

而將紙裁一半會得到相同比例的紙張，這就是A系列紙的規則，而有這樣特性的矩形，其長寬比值正好為

$\sqrt{2}$ 。

背景

1786年，一位德國科學家格奧爾格·克里斯托夫·利希滕貝格發現，長寬比值為

$\sqrt{2}$ 的矩形有許多特性，在20世紀初期Walter Porstmann則將這樣的特性應用在紙張尺寸的定制上，並且在1922年被制定為德國標準適合用來制定紙張的標準尺寸，後來轉變成國際標準紙張尺寸（ISO 216）

神奇的

$\sqrt{2}$

接著我們來實際計算看看，為何有上面特性的矩形他的長寬比值就會是

$\sqrt{2}$ 呢？

令一矩形的寬為

$1$，長為

$x$，其長寬比為

$x:1$，將長邊對切，得到兩個小的矩形，長寬比會變為

$1:{\displaystyle \frac{x}{2}}$

如圖：

因為要求長寬比要一樣，所以可以得到以下等式：

$$x:1=1:{\displaystyle \frac{x}{2}}$$

交叉相乘得到

$${\displaystyle \frac{x^2}{2}}=1\Rightarrow x^2=2$$

$\Rightarrow x=\sqrt{2}$

$(-\sqrt{2}$不合)

所以可以知道有這樣特性的矩形其長寬比值為

$\sqrt{2}$

紙張尺寸國際標準

國際標準紙張尺寸分為 A、B、C三種，以下將介紹各類型的規則和常見的尺寸類型。

常見標準紙張尺寸

規格	A	B	C
0	841 x 1189	1000 x 1414	917 x 1297
1	594 x 841	707 x 1000	648 x 917
2	420 x 594	500 x 707	458 x 648
3	297 x 420	353 x 500	324 x 458
4	210 x 297	250 x 353	229 x 324
5	148 x 210	176 x 250	162 x 229
單位為 公釐(mm)

註記

1. 三個類型都是從0開始記
2. 每個類型的紙張長寬比都是
   $\sqrt{2}:1$
3. 定A0的面積為
   $1$ 平方公尺
4. 定B0的寬為
   $1$ 公尺
5. 定C0的長跟寬分別為A0和B0的長跟寬取幾何平均
   舉例來說：
   $C0\mathrm{長}=\sqrt{A0\mathrm{長}\times B0\mathrm{長}}$
6. 同系列裡，紙的面積是前一規格的一半，邊長是前一規格的
   ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ 倍
7. (更冷知識)B系列的紙張為同規格的A系列和其前一規格取幾何平均
   舉例來說：B1為A1和A0的幾何平均
8. B系列的面積為同規格的A系列面積的
   $\sqrt{2}$ 倍

相關主題

• 比與比例式
• 特殊矩形
• 黃金比例
• 白銀比例

延伸閱讀

信紙與根號2

參考資料

紙張尺寸––維基百科
幾何平均數––維基百科

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