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# 生活中的數學 - A4紙的長寬比
>作者/啊綸
>[time=20200506]

### 前言
影印紙是日常生活當中或不可缺的物品之一，我在大學時更是隨時準備大量的A4紙來寫作業或筆記。因緣際會下，去年我曾好奇一張A4紙究竟多重，查資料後發現到，紙的尺寸有非常多種，國際標準的紙張尺寸就是以「A4」、「B5」這樣的記號表示，那它究竟是怎麼樣去定出來的呢？

### 簡單介紹A4紙
拿出一張A4紙，拿直的並且上下對折，沿著摺痕將紙裁開，你會得到兩張相同形狀和大小的紙，也就是A5大小的紙，其長寬比經過測量計算會發現和A4是很接近的，可以當作A4和A5的長寬比相同（測量總是會有些許誤差）。

而將紙裁一半會得到相同比例的紙張，這就是A系列紙的規則，而有這樣特性的矩形，其長寬比值正好為 $\sqrt{2}$ 。

### 背景
1786年，一位德國科學家**格奧爾格·克里斯托夫·利希滕貝格**發現，長寬比值為 $\sqrt{2}$ 的矩形有許多特性，在20世紀初期**Walter Porstmann**則將這樣的特性應用在紙張尺寸的定制上，並且在1922年被制定為德國標準適合用來制定紙張的標準尺寸，後來轉變成國際標準紙張尺寸（ISO 216）

### 神奇的$\sqrt{2}$
接著我們來實際計算看看，為何有上面特性的矩形他的長寬比值就會是 $\sqrt{2}$ 呢？

令一矩形的寬為$1$，長為$x$，其長寬比為 $x:1$，將長邊對切，得到兩個小的矩形，長寬比會變為 $1:\dfrac{x}{2}$

如圖：
<img src="https://i.imgur.com/561BSBA.jpg">

因為要求長寬比要一樣，所以可以得到以下等式：
\begin{equation}
x:1=1:\dfrac{x}{2}
\end{equation}

交叉相乘得到
\begin{equation}
\dfrac{x^2}{2} = 1 \Rightarrow x^2 = 2
\end{equation}

$\Rightarrow x = \sqrt{2}$ $(-\sqrt{2}$不合)

所以可以知道有這樣特性的矩形其長寬比值為 $\sqrt{2}$

### 紙張尺寸國際標準
國際標準紙張尺寸分為 A、B、C三種，以下將介紹各類型的規則和常見的尺寸類型。

#### 常見標準紙張尺寸
| 規格 | A | B | C |
|:----:|:----------:|:-----------:|:----------:|
| 0 | 841 x 1189 | 1000 x 1414 | 917 x 1297 |
| 1 | 594 x 841 | 707 x 1000 | 648 x 917 |
| 2 | 420 x 594 | 500 x 707 | 458 x 648 |
| 3 | 297 x 420 | 353 x 500 | 324 x 458 |
| 4 | 210 x 297 | 250 x 353 | 229 x 324 |
| 5 | 148 x 210 | 176 x 250 | 162 x 229 |
單位為 公釐(mm)

#### 註記
1. 三個類型都是從0開始記
2. 每個類型的紙張長寬比都是 $\sqrt{2}:1$
3. 定A0的面積為 $1$ 平方公尺
4. 定B0的寬為 $1$ 公尺
5. 定C0的長跟寬分別為A0和B0的長跟寬取幾何平均
舉例來說：$C0長 = \sqrt{A0長 \times B0長}$
6. 同系列裡，紙的面積是前一規格的一半，邊長是前一規格的 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 倍
7. (更冷知識)B系列的紙張為同規格的A系列和其前一規格取幾何平均
舉例來說：B1為A1和A0的幾何平均
8. B系列的面積為同規格的A系列面積的 $\sqrt{2}$ 倍

### 相關主題
- 比與比例式
- 特殊矩形
- 黃金比例
- 白銀比例
### 延伸閱讀
[信紙與根號2](/ffgAGxDbSKO0mChjfRV57Q)
### 參考資料
[紙張尺寸----維基百科](https://zh.wikipedia.org/wiki/紙張尺寸)
[幾何平均數----維基百科](https://zh.wikipedia.org/wiki/几何平均数#長寬比)

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