# 解開波的玄機──黃鍔 2012 . 04 作者／李名揚

只要運用「希爾伯特–黃變換法」，就能解決非線性、非穩態波的困難問題，從 茫茫數據中提取出有意義的訊息。這種神奇數學工具的發明者黃鍔，是一位活 到老、學到老，更研究到老的科學家！

一般人會說波的頻率是週期的倒數，但是研究波浪20幾年的中央研究院院士黃鍔卻在58歲那年宣佈「這種定義不精確！」他發明的「希爾伯特–黃變換法」（Hilbert-Huang transform, HHT）現在已經成為研究 非線性波最有力的數學工具，被譽為美國航空暨太空總署（NASA）史上最重要的應用數學發明之一， 他也因此獲得NASA年度發明家、美國服務貢獻獎（Service to America Medal）等多項榮譽。

不論要研究自然界的物理現象，例如水波、聲波、電磁波，或是各種統計圖表上的波形曲線，過去最重 要的數學工具是法國數學家傅立葉（Jean Baptiste Joseph Fourier）在1807年提出的「傅立葉變換法」， 這種方法可把所有的波都拆解為正弦波的組合；但傅立葉變換純粹是數學上的拆解，而「希爾伯特–黃 變換法」則可把波形曲線拆解為具有物理意義的波，找出是哪些因素造成了這個波。

黃鍔表示，科學事實都隱藏在茫茫數據之海中，世界上有許多「數據處理中心」，但數據只是「資 訊」，不是「知識」，光「處理」是不夠的，還必須掌握有效的分析方法，才能徹底了解造成數據的過 程，並賦予數據意義，做有效的應用。他在2006年應邀返台擔任中央大學數據分析方法研究中心主任， 就是希望將「數據分析」發展成一門學科。


58歲的驚世之作
黃鍔於1967年獲得美國約翰霍普金斯大學流體力學博士學位，做了兩年博士後研究後，到北卡羅來納州 立大學海洋學系任教，1975年進入NASA哥達德太空飛行中心繼續從事波浪方面的研究。

在研究過程中，有一個問題開始困擾著黃鍔：風吹水面會起波浪，一開始是小波浪，但波浪越走會越長大，不僅振幅加大，波長也會變長。他覺得很奇怪，因為當一個波浪的波長變長，後面波浪的波長也會變長，於是後面的波浪必須要移遠一點，才有空間讓這兩個波浪的波長變長；但事實上波浪不可能這樣移動，那麼，波浪的波長究竟是如何變長的呢？

另一個問題是分析海浪必須使用到統計，當時都是用最簡單的常態分佈來做計算，但真正的海浪並不是常態分佈。於是黃鍔在1980年代末期開始投入很少人研究的「非常態分佈波浪」，找出其中的非線性關係。做了幾年後覺得相當有趣，心想既然可以研究非常態分佈波浪，似乎可以回頭研究波浪波長變長的 問題，這時他想到可以使用德國數學家希爾伯特（David Hilbert）在100多年前提出的「希爾伯特變換法」。希爾伯特變換法是一種處理波形訊號的數學方法，黃鍔以此法來處理實驗室中用機器造出來的水波，發現波浪前進時，會發生「兩個波結合成一個」的情形，重複這個過程，遠處的波長就逐漸變長了。1995年他應邀到加州理工學院演講這個題目，坐在台下聽講的加州理工學院教授、中央研究院院士吳耀祖當 時正在主編期刊《應用力學的發展》（Advances in Applied Mechanics），便向他邀稿，黃鍔也一口答應。

沒想到論文交出去之後，黃鍔在和同事討論時，卻有人突然發現一個很嚴重的問題：在希爾伯特變換法 的計算過程中，波浪的頻率有時會成為負數，這在物理上是不可能發生的。黃鍔希望將論文撤回，吳耀祖卻不同意，因為吳耀祖認為黃鍔使用希爾伯特變換法，確實解決了波浪波長變長的問題，計算結果非常完美，只是過程並不嚴謹，而可能造成問題，因此要求他用兩個月時間修正計算過程中所遇到「頻率有時會變成負數」的問題，而且不論成功與否，屆時「一定準時刊登！」再讓其他研究者一起來解決這個問題。

這下子黃鍔被逼上了梁山，只好想辦法修改。經過多方嘗試，最後他針對波形畫包絡線，再以包絡線的中間值做為0線，把原來的波形變形（見106頁〈找出波中的意義〉），解決了頻率的物理意義的問題，於是論文順利發表，HHT也因此誕生。

這時他反而開始懷疑自己的這套變換方法，真的沒有問題嗎？可以像傅立葉變換那樣成為普世適用的數 學工具嗎？苦惱不已的黃鍔求助於吳耀祖和自己的老師菲力普斯（Owen Phillips），沒想到得到的回答大同小異：「你寫過很多論文，別人不見得會記得；但這項研究是百年一見，有機會讓別人永遠記住你！」於是他決定運用HHT計算各種非線性波，經過一年，發現所有的非線性波都可用HHT拆解為數個 有物理意義的波的組合，可以對應並解釋該研究數據中的某些現象。這時他終於相信自己真的發明了一套很好的數學工具。

菲力普斯是英國皇家學會的會員，推薦黃鍔將這一年的工作寫成論文，投稿到英國皇家學會的《哲學會刊》（Philosophical Transactions）。《哲學會刊》不限制論文長度，黃鍔一寫就寫了180頁；然而此時英國皇家學會突然改變編輯政策，《哲學會刊》不再接受投稿，這篇論文得改登在《英國皇家學會會刊》（Proceedings of the Royal Society, PRS），而長度不能超過25頁。黃鍔花了一年時間，只把論文縮短到93頁，雖然超過篇幅限制，但最後仍全文刊出，成為近年來PRS最長的一篇論文，可見其重要性。這篇論文至今在SCI期刊上被引用了2000多次。


黃鍔指出，全球暖化的趨勢雖不如IPCC的報告劇烈，但由於各國無法落實減碳，暖化勢不可擋，災難也 將無法避免。對此，他主張「人類必須維持穩定可持續的經濟發展，才有能力抵禦暖化可能造成的災 難。」 (圖源:林建榮)

以HHT挑戰IPCC
此後黃鍔把HHT應用在不同領域，經過幾年研究，他逐漸了解自己發掘的其實是一個非常根本的問題： 頻率是什麼？他說若以f＝1/T（f是頻率，T是週期）來定義頻率其實很有問題，因為這是一個波的平均頻率，而真正的頻率應該是隨著時間改變，可以計算出每一瞬間的頻率。

黃鍔指出，若要讓一個波每一瞬間的頻率具有物理意義，則振幅的平均必須是0，即在0的上下振動；但非線性波不只在0的上下振動，因此他用包絡線的平均值做為0線，再一步步逼近，得到上下對稱、平均值為0的波，然後以希爾伯特變換法找出這個波每一瞬間的頻率，如此得到的頻率才有物理意義。這種 方法徹底顛覆了過去的頻率觀念，「我的方法也許不是唯一的，但卻是現在唯一可以正確解釋頻率的方法。」

其實HHT使用的數學並不難，黃鍔表示，真正做物理不一定要用到很難的數學，重點是把物理觀念釐 清。就如同牛頓問「什麼是重力？」最後得出F＝ma，愛因斯坦問「什麼是時間？」最後得出E＝mc2， 都是很簡單的方程式，用處卻極廣，因為他們問了別人不會問的問題。「我問『什麼是頻率？』這當然 比牛頓和愛因斯坦的問題簡單得多，但也需要從觀念上改變。」

至於當初怎麼會想到要問頻率的問題？黃鍔表示，一開始他只是想解決波浪波長變長、頻率降低的問 題，這個問題在研究波浪時一定會遇到，可是沒人研究過其中的緣由，「我運氣好，摔一跤摔到這個題 目裡面，結果發展出HHT！」等到研究HHT有一些成果之後，他才慢慢感覺到自己是在追尋「頻率」這 個最根本的問題，這時距離他第一篇論文發表在《應用力學的發展》已經過了11年。

除了把HHT應用在工程、生醫等許多領域，黃鍔甚至還分析了百年來的氣溫，發現聯合國跨政府氣候變 遷研究小組（IPCC）誇大了氣溫上升的趨勢。

IPCC於2007年發表的第四次報告中指出，工業革命以來全球平均溫度不斷上升，有越演越烈的趨勢，過 去150年全球平均每10年上升0.04℃，若將計算時間縮短為過去100、50、25年，則平均上升溫度提高為 每10年0.07、0.13、0.18℃（左圖上）。

然而黃鍔分析數據後卻發現，近百年來的氣溫並非持續上升，而是以65~70年為週期上下起伏，並在起伏中緩慢上升（左圖下）。事實上，由於1950~2000年溫度是在上升的區域，若只計算這一段時間，溫度的確上升得越來越快；但因溫度是有升有降的「循環」，而非一直朝單一方向發展的「趨勢」，若另 選一段時間計算25年的變化，會得出不一樣的結論。根據黃鍔的計算，過去150年來溫度確實逐漸加速上升，但上升的幅度遠小於IPCC所言，若同樣計算過去150、100、50、25年的時間區間，則平均上升溫 度應為每10年0.05、0.07、0.08、0.08℃。這項挑戰IPCC的研究，因為違反了「暖化越來越嚴重」的主流思想，論文投稿後遭到諸多質疑；然而因 其論述在科學上無法反駁，終於在兩年半之後，在2011年7月的《氣候動力學》（Climate Dynamics）上刊出。


上圖為1850年以來的全球年均溫變化情形，IPCC把近150、100、50、25年的平均上升溫度，以紅、紫、 橘、黃線分別表示如上圖，顯示溫度上升的情況越來越嚴重。黃鍔採用同樣的數據，但計算過去150年 來每一個不同的25年區間的溫度變化情形，以下圖中的紅色曲線呈現，紅、紫、橘、黃色虛線分別對應 於IPCC所指的升溫變化，由於後三條虛線正好位在紅色曲線的上升處，才讓人以為溫度上升趨勢非常嚴 重。他以HHT分析得出溫度上升趨勢應如下圖中藍線，顯示全球平均溫度其實是在緩慢上升。 (圖源:資 料提供 黃鍔/電腦繪圖 姚裕評)

一波三折求學路
研究波浪卻不隨波逐流，能質疑並思考眾人視為理所當然之事，建立屬於自己的思考方式及行事風格，黃鍔在求學及工作過程中慢慢累積了豐富的人生經驗。

黃鍔是東北人，1937年南京大屠殺那一天出生於湖北。父親在國民政府工作，因為對日抗戰，全家遷居 到重慶附近的鄉下，師範學校畢業的母親會幫鄰居孩子們上課，五歲的他也跟著聽，所以上小學後功課 很好。抗戰勝利後全家回到東北老家，有錢又有田，他認為不念書也沒關係，到處去玩，功課一落千 丈。兩年後東北情勢緊張，全家輾轉遷來台中，家徒四壁，黃鍔自覺不念書不行，又開始用功。初中的 第一次考試他考第一名，覺得課程太容易，又打混摸魚，直到初三快考高中了才認真念書，並遠赴台北 考上建國中學。

念了半年之後，黃鍔的大哥過世，父親為了避免觸景傷情，舉家搬到新竹，並希望他也轉學回新竹，於是請託在新竹中學任教的一位東北老鄉袁老師幫忙準備相關資料。黃鍔卻不願意，故意拖到轉學考報名的最後一刻，才什麼證件都沒帶地去找袁老師，說自己不考。袁老師痛罵他不孝，把陪他一起去的二哥 留下來當「人質」，要他立刻回家拿證件來報名。後來他順利通過轉學考，放榜那天卻心不甘情不願地 大哭一場；不過後來他覺得在新竹念書比在台北更快樂。

黃鍔在小學五年級讀到孫中山講過的一句話「中國要想富強，最快的辦法就是修鐵路，讓貨暢其流。」 從此一心想當工程師，要為中國修建鐵路，因此進入台灣大學土木系就讀，畢業後到美國約翰霍普金斯 大學深造。他本來打算繼續念土木，沒想到搭船前往美國的途中，船的引擎壞了，花了49天才到美國。 此時學校已經開學，唯一還沒有收滿學生的是研究流體力學的菲力普斯，不得已之下，他只好轉換領域。

這讓他心裡感受到非常大的挫折，因為他大學時非常用功，以第一名畢業，可是學的都是靜力學，而流體力學卻是動力學，以往學過的知識都用不著，還得補很多數學課，一開始念得非常辛苦。

他也曾考慮要轉回土木領域，可是仔細想想，蘇聯在1957年發射了第一顆人造衛星史波尼克號之後，引 起全美緊張，各大學紛紛改革課程，務求追上蘇聯，其中之一就是設立力學系；自己既然已經進了當紅 的力學領域，不如定下心來慢慢念。就這樣，黃鍔在波浪領域獲得肯定，更發明了HHT，在科學史上留 名。

從自己的經驗，黃鍔對於現在許多年輕人常說所學、所做不是自己有興趣的事，相當不以為然。他認為 「喜歡你做的事比做你喜歡的事更重要！」他指出，在沒有認真做一件事之前，其實很多人根本不知道 自己的興趣在哪裡，只是因為對這件事不了解，就直覺自己沒興趣，「這樣子判斷其實很不客觀、不實 際。」他說大部份的事情只要投入心力去做，進入情況，都會很有趣。

58歲，是許多人準備退休的年齡，黃鍔卻能不受年齡局限，在58歲這一年問出極其重要的問題——頻率 是什麼，創造學術事業的高峰。現在他已經75歲，為了想將HHT應用到財經領域，不但買了多本相關書 籍認真研讀，而且一講到這方面的構想，更像個躍躍欲試的青年學者，語氣中充滿了興奮與期待。活到 老、學到老、研究到老，黃鍔應是最好的典範！


重點提要
■1937年出生於中國湖北省。
■1967年取得美國約翰霍普金斯大學流體力學博士學位。
■1969年任教於北卡羅來納州立大學。
■1975年進入美國航空暨太空總署工作。
■1995年發明「希爾伯特–黃變換法」。
■2000年獲選為美國國家工程院院士。
■2003年獲頒美國航空暨太空總署年度發明家。
■2004年獲選為中央研究院院士。
■2006年返台任教於中央大學，同年獲得美國服務貢獻獎。

找出波中的意義
希爾伯特–黃變換法（Hilbert-Huang transform, HHT）主要是用來分析非線性波形曲線（如圖a），做法是 對曲線所有的極大值波峰畫出一條包絡線、對極小值波谷畫出另一條包絡線（圖b中綠線），再取上、下兩條包絡線的平均值（圖b中紅線），以原始數據的曲線減去這條平均值曲線，就得到第二條曲線 （圖c中藍線）。

原始曲線的波峰理論上應大於上、下包絡線的平均值，而波谷會小於平均值，因此第二條曲線的波峰應 為正值，而波谷為負。可是因為原始曲線中可能包含無極值的折線（如圖b中圈起處），會造成第二條 曲線的波峰出現負值或波谷出現正值（如圖c中圈起處），因此要針對第二條曲線再畫一次包絡線（圖d 中綠線）並取上、下包絡線的平均值（圖d中紅線）。接著一直重複同一步驟，使上、下包絡線的平均 值越來越接近直線，而原始曲線的每一個起伏都被中分，變成上下對稱。黃鍔把這種過程稱為「提取」。

以地球的太陽日長度統計為例，由於受到許多因素影響，地球每天的太陽日長度不會剛好都是24小時，而會稍有不同。統計過去40年的太陽日長度，可連成一條非線性曲線（見圖e），這條曲線中含有較大範圍的波動起伏，而這些起伏的訊息就隱藏在上、下包絡線的平均值之中。因此接下來要以圖b中的紅線 （上、下包絡線的平均值）當做原始曲線，再做一次「提取」，如此可以得到另一個波長至少為兩倍、 同樣上下對稱的波。 然後再用同樣的方法，以第二次提取的上、下包絡線平均值為原始曲線，做第三次提取。反覆這樣的過 程，一直到提取的結果不到一個波為止，這樣子得到的所有波疊加起來，可以組合成原始曲線，就像傅立葉變換所得到的所有正弦波加起來即為原始曲線。

最後黃鍔得到12條曲線（見圖f），而每一條都有其物理意義可以探討，例如c8曲線以一年為週期，必然 與地球公轉軌道有關，黃鍔推斷是太陽與地球的距離影響了地球潮汐的大小，造成太陽日長度呈週期性 變化。又如c3曲線的包絡線以19年為週期，則可能是月球、太陽、地球的相對位置變化每19年會重複一 次。不過也有一些曲線目前尚不清楚是什麼物理機制所造成。

至於HHT如何應用，黃鍔以橋樑為例指出，要檢測橋樑是否損壞，必須根據橋樑受力與振動之間的關係 來判斷。正常橋樑在車輛經過時，受力與振動呈線性關係，若結構損壞則為非線性關係，藉由HHT可測 定「非線性的程度」。以同樣的原理，黃鍔把HHT應用於檢測飛機機翼及太空梭隔熱磚是否損壞，甚至 打算提供台灣高鐵進行鐵軌檢測。

HHT也可用於聲波辨識，美國海軍就用來監聽目標國的潛水艇，以判斷不同潛水艇的移動情形；聯邦調 查局則用來分析監聽錄音帶，希望能分辨出恐怖份子首腦的聲音。

在生醫檢測上，哈佛大學和黃鍔合作，以HHT來測量心跳速度的變化。正常人的心跳速度與呼吸有線性 關係，若呈現非線性，表示健康亮起了紅燈。在公共衛生領域，則有美國約翰霍普金斯大學以HHT分析 泰國過去30年的登革熱病例，希望找出其傳播模式及防疫機制。

未來黃鍔希望用HHT來研究財經問題。這方面的影響因素複雜得多，若能從財經數據中分析出市場趨勢 和變化的規律，就能建立模式來描述財經市場，例如股市波動的成因。