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向量子空間

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This work by Jephian Lin is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

\(\newcommand{\trans}{^\top} \newcommand{\adj}{^{\rm adj}} \newcommand{\cof}{^{\rm cof}} \newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle} \newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\bone}{\mathbf{1}} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\nul}{\operatorname{null}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} %\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}} \newcommand{\range}{\operatorname{range}} \newcommand{\Col}{\operatorname{Col}} \newcommand{\Row}{\operatorname{Row}} \newcommand{\spec}{\operatorname{spec}} \newcommand{\vspan}{\operatorname{span}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\idmap}{\operatorname{id}} \newcommand{\am}{\operatorname{am}} \newcommand{\gm}{\operatorname{gm}} \newcommand{\mult}{\operatorname{mult}} \newcommand{\iner}{\operatorname{iner}}\)

Main idea

Let \((U, +, \cdot)\) be a vector space.
If \(V\subseteq U\) along with the same \(+\) and \(\cdot\) is also a vector space, then naturally \(V\) is a substructure under \(U\).
Since most of the good properties are inherited from \(U\), we only need to check the closedness and the existence of the additive identity.
(Notice that \(V\) has to use the same operations.)

Let \(U\) be a vector space and \(V\subseteq U\).
Then \(V\) is a subspace of \(U\) under the same vector addition and scalar multiplication if:

  1. \(V \neq \emptyset\).
  2. For any scalar \(k\) and vector \({\bf v}\in V\), \(k{\bf v}\in V\). (closed under scalr multiplication)
  3. For any two vectors \({\bf u},{\bf v}\in V\), \({\bf u} + {\bf v}\in V\). (closed under vector addition)

A set \(V\) is a subspace of the vector space \(U\) if and only if \(V = \operatorname{span}(S)\) for some \(S\subseteq U\).

Side stories

  • symmetrix and skew-symmetric matrices
  • even and odd functions
  • subspace uses same operations

Experiments

Exercise 1

\(U\) 是一個向量空間
\(V\) 是一個 \(U\) 中的子空間。
證明 \(V\) 也是一個向量空間。

  • 中英數之間空格

\(Ans:\)
由於 \(U\) 是一個向量空間滿足八個公理且 \(V\) 的運算與 \(U\) 的運算相同,
因此可證明 \(V\) 亦滿足向量空間的十個性質。
所以 \(V\) 為向量空間。

Exercises

Exercise 2

\(U\) 為一個向量空間且 \(S\subseteq U\)
回顧 \(\mathbb{R}^n\) 中的各種性質。
試著寫出下列概念的定義。

Exercise 2(a)

寫出 \(S\) 的線性組合以及 \(\operatorname{span}(S)\) 的定義。

  • > 向量

\(Ans:\)

  1. 對於 \(S\) 中任意有限個向量 \(\bv_1、\bv_2、...、\bv_k\)
    及任意有限個純量 \(a_1、a_2、...a_k\)
    \(\bv= a_1\bv_1+a_2\bv_2+...+a_k\bv_k\)\(S\) 的線性組合。
  2. \(\vspan(S)\) 為所有 \(S\) 的線性組合所形成的集合。
Exercise 2(b)

寫出 \(S\) 是線性獨立的定義。

\(Ans:\)
\(S\)中任意有限個向量 \(\bv_1,\bv_2,...,\bv_k \in \ S\)
\(a_1\bv_1+a_2\bv_2+...+a_k\bv_k=0\)
\(a_1=a_2=...=a_k=0\)

Exercise 2©

寫出 \(S\) 是一個子空間 \(V\) 的基底的定義、
並定義 \(V\) 的維度。

\(Ans:\)

  1. \(S\) 生成 \(V\)(即 \(\vspan(S)=V\))且 \(S\) 線性獨立,則稱 \(S\)\(V\) 的一組基底
  2. \(S\) 的元素個數為 \(V\) 的維度。
Exercise 3

\(U\) 為所有三次以下的多項式。
考慮 \(S\) 為所有 \(U\) 中可以寫成 \((x-1)p(x)\) 的多項式的集合。

Exercise 3(a)

判斷 \(S\) 是否為一個子空間。

  • 對於所有純量 \(a\),都可驗證 > 對於所有純量 \(a\)\(S\) 中的多項式 \((x-1)p(x)\),都可驗證 ??? (想一下問號要寫什麼)

\(Ans:\)

  1. 考慮兩個 \(S\) 中的多項式 \((x-1)p_1(x)\)\((x-1)p_2(x)\)
    \[ (x-1)p_1(x) + (x-1)p_2(x) = (x-1)(p_1(x) + p_2(x)) \] 且兩個三次以下的多項式相加還是一個三次以下的多項式。
    因此 \(S\) 對向量加法封閉。
  2. 對於所有純量 \(a\)\(S\) 中的多項式 \((x-1)p_1(x)\)
    都可驗證滿足純量積 \(a(x-1)p_1(x)\in S\)
    \(S\) 為一個子空間。
Exercise 3(b)

找出 \(S\) 的一組基底﹐並算出 \(S\) 的維度。
(可以先找出一組生成集﹐再判斷其是否獨立。)

\(V=\{(x-1),x(x-1),x^2(x-1)\}\)
則任意 \(S\) 中的多項式都可以寫成
\[ (x-1)(a + bx + cx^2) = ???, \] 所以 \(\vspan(V) = ?\)
同時可驗證 \(?\) 為獨立集。
因此\(V\)\(S\) 的一組基底。

如此也知道 \(\dim ???\)

\(Ans:\)
\(V=\{(x-1),x(x-1),x^2(x-1)\}\)
則任意 \(S\) 中的多項式都可寫成 \[ (x-1)(a + bx + cx^2) = a(x-1)+bx(x-1)+cx^2(x-1), \] 也就是 \(V\) 的線性組合。

且若 \[ (x-1)(a + bx + cx^2) =0 \] \(a=b=c=0\)
\(V=\{(x-1),x(x-1),x^2(x-1)\}\) 線性獨立。
因此\(V\)\(S\) 的一組基底。
如此也知道 \(\dim(S)=3\)

Exercise 4

\(U\) 為所有 \(3\times 3\) 的矩陣。
考慮 \(S\) 為所有 \(U\) 中的上三角矩陣
(所有非零項都在對角線及其上方的部位內)。

Exercise 4(a)

判斷 \(S\) 是否為一個子空間。

  • 中英數空格
  • \(a、b、c、d、e、f屬於F\) > 其中 \(a, b, c, d, e, f\) 屬於 \(\mathbb{R}\)
  • 所有的 \(A、B 屬於 S\) > 令 \(A\)\(B\)\(S\) 中的矩陣,而 \(s,t\) 為任意純量。我們可以將 \(A\)\(B\) 寫成

\(Ans:\) \[ S = \begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{bmatrix} \] \(a,b,c,d,e,f\) 屬於 \(\mathbb{R}\)
\(A、B\) 屬於 \(S\) 中的矩陣,而 \(s,t\) 為任意純量。
我們可以將 \(A\)\(B\) 寫成 \[A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ 0 & d_1 & e_1 \\ 0 & 0 & f_1 \end{bmatrix} \]

\[B = \begin{bmatrix} a_2 & b_2 & c_2 \\ 0 & d_2 & e_2 \\ 0 & 0 & f_2 \end{bmatrix} \]

\[sA+tB = \begin{bmatrix} sa_1+ta_2 & sb_1+tb_2 & sc_1+tc_2 \\ 0 & sd_1+td_2 & se_1+te_2 \\ 0 & 0 & sf_1+tf_2 \end{bmatrix} \] 以及
\[sA = \begin{bmatrix} sa & sb & sc \\ 0 & sd & se \\ 0 & 0 & sf \end{bmatrix} \]

也屬於 \(S\),故 \(S\) 是一個子空間。

Exercise 4(b)

找出 \(S\) 的一組基底﹐並算出 \(S\) 的維度。
(可以先找出一組生成集﹐再判斷其是否獨立。)

差很多喔,這題
跟列運算無關
\(S\) 的基底要是一些矩陣

\(Ans:\)

\[\beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\right. \] \[\left.\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}. \]

\(\vspan(\beta)=S\),且 \(\beta\) 獨立,所以 \(\beta\) 是 S 的一組基底。

因此 \(\dim(S)=6\)

Exercise 5

下列敘述是否正確。

Exercise 5(a)

\(\mathcal{P}_3\) 為所有三次以下多項式所形成的集合。
從中取出兩個多項式 \(x^3\)\(x^3 + 1\)
由於 \(x^3\cdot(x^3 + 1)\) 是六次式﹐
\(\mathcal{P}_3\) 對乘法不封閉﹐
因此不是一個子空間。

\(Ans:\)
不正確,前面提到

\(V\) is a subspace of \(U\) under the same vector addition and scalar multiplication if:
2. For any scalar \(k\) and vector \({\bf v}\in V\), \(k{\bf v}\in V\).

定義中的乘法是純量乘向量,
但是 \(x^3\) 或是 \(x^3+1\) 都屬於向量,
所以論述不正確。

定義中的乘法是純量乘向量,但是 \(x^3\) 或是 \(x^3+1\) 都屬於向量,所以

Exercise 5(b)

\(\operatorname{Sym}_2(\mathbb{R})\) 為所有 \(2\times 2\) 的實對稱矩陣所形成的集合。
從中取出兩個矩陣 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) \(B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)
由於 \(AB\) 不對稱,
\(\operatorname{Sym}_2(\mathbb{R})\) 對乘法不封閉﹐
因此不是一個子空間。

應該拿 \(k\in R\) 乘上 \(\operatorname{Sym}_2(\mathbb{R})\) 中的矩陣來評斷是否乘法封閉。

後面可以不用寫,你只判斷兩個矩陣的乘法封閉沒辦法證明它是子空間。

\(Ans:\)
不正確。
應該拿 \(k\in \mathbb{R}\) 乘上 \(A\)\(B\) 來評斷是否乘法封閉。

Exercise 6

證明以下的分解成立。

Exercise 6(a)

\(U\) 為所有 \(n\times n\) 的實數矩陣所形成的集合。
\(V\)\(U\) 中的對稱矩陣的集合。
\(W\)\(U\) 中的反對稱矩陣的集合。
(一個矩陣 \(A\) 如果有 \(A^\top = -A\)﹐則被稱為反對稱。)
證明每一個 \(U\) 中的元素 \({\bf b}\)
都可以寫成 \({\bf b} = {\bf v} + {\bf w}\)
使得 \({\bf v}\in V\)\({\bf w}\in W\)

  • 在句末加兩個空格換行
  • 標點

\(Ans:\)
任意矩陣都可以寫成 \({\bf b} = \frac {\bf b+\bf b^\top}{2} + \frac {\bf b-\bf b^\top}{2}\)
其中 \((\frac {\bf b+\bf b^\top}{2})^\top = \frac {\bf b^\top+\bf b}{2} = \frac {\bf b+\bf b^\top}{2}\)
所以\(\frac {\bf b+\bf b^\top}{2}\in V\)為對稱矩陣。
\((\frac {\bf b-\bf b^\top}{2})^\top = \frac {\bf b^\top-\bf b}{2} = -\frac {\bf b-\bf b^\top}{2}\)
所以\(\frac {\bf b-\bf b^\top}{2}\in W\)為反對稱矩陣,
故每一個 \(U\) 中的元素 \({\bf b}\)
都可以寫成 \({\bf b} = {\bf v} + {\bf w}\)

Exercise 6(b)

\(U\) 為所有 \(10\) 次以下的多項式所形成的集合。
\(V\)\(U\) 中的偶函數的集合。
\(W\)\(U\) 中的奇函數的集合。
(一個多項式如果只有在偶數次方有非零係數﹐則被稱為偶函數。
一個多項式如果只有在奇數次方有非零係數﹐則被稱為奇函數。)
證明每一個 \(U\) 中的元素 \({\bf b}\)
都可以寫成 \({\bf b} = {\bf v} + {\bf w}\)
使得 \({\bf v}\in V\)\({\bf w}\in W\)

\(\bb\)\(U\) 中的元素。
\(\bb\) 可以寫為 \[ \bb = \sum_{k=0}^{10} ???. \] \(\bv = ???\)
以及 \(\bw = ???\)
\(\bb = \bv + \bw\),同時 \(\bv\in V\)\(\bw\in W\)

\(Ans:\)

\(\bb\)\(U\) 中的元素。
\(\bb\) 可以寫為
\[ \bb = \sum_{k=0}^{10}\alpha_kx^k. \]
\[ \bv = \sum_{k=0}^{5}\alpha^{2k}x^{2k} \]
以及
\[ \bw = \sum_{k=1}^{5}\alpha^{2k-1}x^{2k-1} \]
\(\bb = \bv + \bw\),同時 \(\bv\in V\)\(\bw\in W\)

Exercise 6©

\(U\) 為所有 \(\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) 的函數所形成的集合。
\(V\)\(U\) 中的偶函數的集合。
\(W\)\(U\) 中的奇函數的集合。
(一個函數 \(f\) 如果對所有 \(x\) 都有 \(f(-x) = f(x)\)﹐則被稱為偶函數。
一個函數 \(f\) 如果對所有 \(x\) 都有 \(f(-x) = -f(x)\)﹐則被稱為奇函數。)
證明每一個 \(U\) 中的元素 \({\bf b}\)
都可以寫成 \({\bf b} = {\bf v} + {\bf w}\)
使得 \({\bf v}\in V\)\({\bf w}\in W\)

  • 中英數空格
  • 適當換行、加標點

\(Ans:\)
\({\bf b}\)\(f(x)\)\({\bf v}\)\(g(x)\)\({\bf w}\)\(h(x)\)
\(f(x) = h(x) + g(x)\) 且滿足 \(h(-x) = h(x)\)\(g(-x) = -g(x)\)

\[ \begin{equation} \begin{cases} h(x) + g(x)= f(x),\\ h(-x) + g(-x)= f(-x).\\ \end{cases} \end{equation} \] 可寫成
\begin{equation} \begin{cases} h(x) + g(x)= f(x),\\ h(x) - g(x)= f(-x).\\ \end{cases} \end{equation}

解聯立得到
\(h(x) = \frac {f(x) + f(-x)}{2}\in V\) 以及
\(g(x) = \frac {f(x) - f(-x)}{2}\in W\)
因此任何 \(f(x)\) 都可以寫成
\(f(x) = \frac {f(x) + f(-x)}{2} + \frac {f(x) - f(-x)}{2} = h(x) + g(x)\)
其中 \(h(x)\in V\)\(g(x)\in W\)
\({\bf b} = {\bf v} + {\bf w}\)

目前分數 6

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