# 向量子空間

This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

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## Main idea

Let $(U, +, \cdot)$ be a vector space.
If $V\subseteq U$ along with the same $+$ and $\cdot$ is also a vector space, then naturally $V$ is a substructure under $U$.
Since most of the good properties are inherited from $U$, we only need to check the closedness and the existence of the additive identity.
(Notice that $V$ has to use the same operations.)

Let $U$ be a vector space and $V\subseteq U$.
Then $V$ is a **subspace** of $U$ under the same vector addition and scalar multiplication if:
1. $V \neq \emptyset$.
2. For any scalar $k$ and vector ${\bf v}\in V$, $k{\bf v}\in V$. (closed under scalr multiplication)
3. For any two vectors ${\bf u},{\bf v}\in V$, ${\bf u} + {\bf v}\in V$. (closed under vector addition)

A set $V$ is a subspace of the vector space $U$ if and only if $V = \operatorname{span}(S)$ for some $S\subseteq U$.

## Side stories
- symmetrix and skew-symmetric matrices
- even and odd functions
- subspace uses same operations

## Experiments

##### Exercise 1

若 $U$ 是一個向量空間
而 $V$ 是一個 $U$ 中的子空間。
證明 $V$ 也是一個向量空間。

:::warning

- [x] 中英數之間空格
:::

$Ans:$
由於 $U$ 是一個向量空間滿足八個公理且 $V$ 的運算與 $U$ 的運算相同,
因此可證明 $V$ 亦滿足向量空間的十個性質。
所以 $V$ 為向量空間。

## Exercises

##### Exercise 2

令 $U$ 為一個向量空間且 $S\subseteq U$。
回顧 $\mathbb{R}^n$ 中的各種性質。
試著寫出下列概念的定義。

##### Exercise 2(a)

寫出 $S$ 的線性組合以及 $\operatorname{span}(S)$ 的定義。

:::warning

- [x] 向 --> 向量
:::

$Ans:$
1. 對於 $S$ 中任意有限個向量 $\bv_1、\bv_2、...、\bv_k$
及任意有限個純量 $a_1、a_2、...a_k$，
稱 $\bv= a_1\bv_1+a_2\bv_2+...+a_k\bv_k$ 為 $S$ 的線性組合。
2. $\vspan(S)$ 為所有 $S$ 的線性組合所形成的集合。
##### Exercise 2(b)

寫出 $S$ 是線性獨立的定義。

$Ans:$
對$S$中任意有限個向量 $\bv_1,\bv_2,...,\bv_k \in \ S$，
若 $a_1\bv_1+a_2\bv_2+...+a_k\bv_k=0$，
則 $a_1=a_2=...=a_k=0$ 。

##### Exercise 2(c)

寫出 $S$ 是一個子空間 $V$ 的基底的定義、
並定義 $V$ 的維度。

$Ans:$
1. $S$ 生成 $V$（即 $\vspan(S)=V$）且 $S$ 線性獨立，則稱 $S$ 為 $V$ 的一組基底
2. $S$ 的元素個數為 $V$ 的維度。

##### Exercise 3

令 $U$ 為所有三次以下的多項式。
考慮 $S$ 為所有 $U$ 中可以寫成 $(x-1)p(x)$ 的多項式的集合。

##### Exercise 3(a)

判斷 $S$ 是否為一個子空間。

:::warning

- [ ] 對於所有純量 $a$，都可驗證 --> 對於所有純量 $a$ 及 $S$ 中的多項式 $(x-1)p(x)$，都可驗證 ??? （想一下問號要寫什麼）
:::

$Ans:$
1. 考慮兩個 $S$ 中的多項式 $(x-1)p_1(x)$ 和 $(x-1)p_2(x)$。
則
$$
(x-1)p_1(x) + (x-1)p_2(x) = (x-1)(p_1(x) + p_2(x))
$$
且兩個三次以下的多項式相加還是一個三次以下的多項式。
因此 $S$ 對向量加法封閉。
2. 對於所有純量 $a$ 及 $S$ 中的多項式 $(x-1)p_1(x)$，
都可驗證滿足純量積 $a(x-1)p_1(x)\in S$。
故 $S$ 為一個子空間。

##### Exercise 3(b)

找出 $S$ 的一組基底﹐並算出 $S$ 的維度。
（可以先找出一組生成集﹐再判斷其是否獨立。）

:::warning
令 $V=\{(x-1),x(x-1),x^2(x-1)\}$。
則任意 $S$ 中的多項式都可以寫成
$$
(x-1)(a + bx + cx^2) = ???,
$$
所以 $\vspan(V) = ?$。
同時可驗證 $?$ 為獨立集。
因此$V$ 是 $S$ 的一組基底。

如此也知道 $\dim ???$。
:::

$Ans:$
令 $V=\{(x-1),x(x-1),x^2(x-1)\}$ 。
則任意 $S$ 中的多項式都可寫成
$$
(x-1)(a + bx + cx^2) = a(x-1)+bx(x-1)+cx^2(x-1),
$$
也就是 $V$ 的線性組合。

且若
$$
(x-1)(a + bx + cx^2) =0
$$
則 $a=b=c=0$。
故 $V=\{(x-1),x(x-1),x^2(x-1)\}$ 線性獨立。
因此$V$ 是 $S$ 的一組基底。
如此也知道 $\dim(S)=3$。

##### Exercise 4

令 $U$ 為所有 $3\times 3$ 的矩陣。
考慮 $S$ 為所有 $U$ 中的上三角矩陣
（所有非零項都在對角線及其上方的部位內）。

##### Exercise 4(a)

判斷 $S$ 是否為一個子空間。

:::warning

- [x] 中英數空格
- [x] $a、b、c、d、e、f屬於F$ --> 其中 $a, b, c, d, e, f$ 屬於 $\mathbb{R}$。
- [x] 所有的 $A、B 屬於 S$ --> 令 $A$ 和 $B$ 為 $S$ 中的矩陣，而 $s,t$ 為任意純量。我們可以將 $A$ 和 $B$ 寫成
:::

$Ans:$
令$$ S = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
0 & d & e \\
0 & 0 & f
\end{bmatrix} $$
$a,b,c,d,e,f$ 屬於 $\mathbb{R}$。
令 $A、B$ 屬於 $S$ 中的矩陣,而 $s,t$ 為任意純量。
我們可以將 $A$ 和 $B$ 寫成
$$A = \begin{bmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
0 & d_1 & e_1 \\
0 & 0 & f_1
\end{bmatrix}
$$

$$B = \begin{bmatrix}
a_2 & b_2 & c_2 \\
0 & d_2 & e_2 \\
0 & 0 & f_2
\end{bmatrix}
$$

則
$$sA+tB = \begin{bmatrix}
sa_1+ta_2 & sb_1+tb_2 & sc_1+tc_2 \\
0 & sd_1+td_2 & se_1+te_2 \\
0 & 0 & sf_1+tf_2
\end{bmatrix}
$$
以及
$$sA = \begin{bmatrix}
sa & sb & sc \\
0 & sd & se \\
0 & 0 & sf
\end{bmatrix}
$$

也屬於 $S$，故 $S$ 是一個子空間。

##### Exercise 4(b)

找出 $S$ 的一組基底﹐並算出 $S$ 的維度。
（可以先找出一組生成集﹐再判斷其是否獨立。）

:::warning
差很多喔，這題...
跟列運算無關
$S$ 的基底要是一些矩陣
:::

$Ans:$

令
$$\beta = \left\{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},\right.
$$
$$\left.\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\right\}.
$$

則 $\vspan(\beta)=S$，且 $\beta$ 獨立，所以 $\beta$ 是 S 的一組基底。

因此 $\dim(S)=6$。

##### Exercise 5

下列敘述是否正確。

##### Exercise 5(a)

令 $\mathcal{P}_3$ 為所有三次以下多項式所形成的集合。
從中取出兩個多項式 $x^3$ 和 $x^3 + 1$﹐
由於 $x^3\cdot(x^3 + 1)$ 是六次式﹐
$\mathcal{P}_3$ 對乘法不封閉﹐
因此不是一個子空間。

$Ans:$
不正確，前面提到

$V$ is a **subspace** of $U$ under the same vector addition and scalar multiplication if:
2. For any scalar $k$ and vector ${\bf v}\in V$, $k{\bf v}\in V$.

定義中的乘法是純量乘向量，
但是 $x^3$ 或是 $x^3+1$ 都屬於向量,
所以論述不正確。

:::warning
定義中的乘法是純量乘向量，但是 $x^3$ 或是 $x^3+1$ 都屬於向量，所以 ...
:::

<!--
判斷子空間要滿足純量積和向量加法,
假設 $\alpha,\beta$ 都是 $\mathbb{R}$,
$\alpha x^3 , \alpha (x^3-1)$ 屬於 $\mathcal{P}_3$
且 $\alpha x^3 + \beta (x^3-1)$ = $(\alpha + \beta)x^3 - \beta$ 也屬於 $\mathcal{P}_3$
故 $\mathcal{P}_3$ 是子空間。
-->

##### Exercise 5(b)

令 $\operatorname{Sym}_2(\mathbb{R})$ 為所有 $2\times 2$ 的實對稱矩陣所形成的集合。
從中取出兩個矩陣
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ 和
$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$﹐
由於 $AB$ 不對稱，
$\operatorname{Sym}_2(\mathbb{R})$ 對乘法不封閉﹐
因此不是一個子空間。

:::warning
應該拿 $k\in R$ 乘上 $\operatorname{Sym}_2(\mathbb{R})$ 中的矩陣來評斷是否乘法封閉。

後面可以不用寫，你只判斷兩個矩陣的乘法封閉沒辦法證明它是子空間。
:::

$Ans:$
不正確。
應該拿 $k\in \mathbb{R}$ 乘上 $A$ 或 $B$ 來評斷是否乘法封閉。

<!--
令所有的 $a$ 、 $b$ 屬於$\mathbb{R}$，$A$、$B$ 屬於 $\operatorname{Sym}_2(\mathbb{R})$

\begin{equation}
\begin{cases}
A^\top = A\\
B^\top = B\\
\end{cases}
\end{equation}

令 $k\in R$ ，
$kA = \begin{bmatrix} k & k \\ k & k \end{bmatrix}$ 且 $kB = \begin{bmatrix} 0 & k \\ k & 2k \end{bmatrix}$
則 $kA\in\operatorname{Sym}_2(\mathbb{R})$，且$kB\in \operatorname{Sym}_2(\mathbb{R})$，所以$\operatorname{Sym}_2(\mathbb{R})$ 對乘法封閉﹐

所有的 $\alpha,\beta$ 屬於 $\mathbb{R}$ ,$A,B$ 屬於$\operatorname{Sym}_2(\mathbb{R})$。
-->

##### Exercise 6

證明以下的分解成立。

##### Exercise 6(a)

令 $U$ 為所有 $n\times n$ 的實數矩陣所形成的集合。
令 $V$ 為 $U$ 中的對稱矩陣的集合。
令 $W$ 為 $U$ 中的反對稱矩陣的集合。
（一個矩陣 $A$ 如果有 $A^\top = -A$﹐則被稱為反對稱。）
證明每一個 $U$ 中的元素 ${\bf b}$
都可以寫成 ${\bf b} = {\bf v} + {\bf w}$
使得 ${\bf v}\in V$ 且 ${\bf w}\in W$。

:::warning
- [x] 在句末加兩個空格換行
- [x] 標點
:::

$Ans:$
任意矩陣都可以寫成 ${\bf b} = \frac {\bf b+\bf b^\top}{2} + \frac {\bf b-\bf b^\top}{2}$。
其中 $(\frac {\bf b+\bf b^\top}{2})^\top = \frac {\bf b^\top+\bf b}{2} = \frac {\bf b+\bf b^\top}{2}$，
所以$\frac {\bf b+\bf b^\top}{2}\in V$為對稱矩陣。
而 $(\frac {\bf b-\bf b^\top}{2})^\top = \frac {\bf b^\top-\bf b}{2} = -\frac {\bf b-\bf b^\top}{2}$，
所以$\frac {\bf b-\bf b^\top}{2}\in W$為反對稱矩陣，
故每一個 $U$ 中的元素 ${\bf b}$，
都可以寫成 ${\bf b} = {\bf v} + {\bf w}$。

##### Exercise 6(b)

令 $U$ 為所有 $10$ 次以下的多項式所形成的集合。
令 $V$ 為 $U$ 中的偶函數的集合。
令 $W$ 為 $U$ 中的奇函數的集合。
（一個多項式如果只有在偶數次方有非零係數﹐則被稱為偶函數。
一個多項式如果只有在奇數次方有非零係數﹐則被稱為奇函數。）
證明每一個 $U$ 中的元素 ${\bf b}$
都可以寫成 ${\bf b} = {\bf v} + {\bf w}$
使得 ${\bf v}\in V$ 且 ${\bf w}\in W$。

:::warning

令 $\bb$ 為 $U$ 中的元素。
則 $\bb$ 可以寫為
$$
\bb = \sum_{k=0}^{10} ???.
$$
令 $\bv = ???$
以及 $\bw = ???$，
則 $\bb = \bv + \bw$，同時 $\bv\in V$ 且 $\bw\in W$。
:::

$Ans:$

令 $\bb$ 為 $U$ 中的元素。
則 $\bb$ 可以寫為
$$
\bb = \sum_{k=0}^{10}\alpha_kx^k.
$$
令
$$
\bv = \sum_{k=0}^{5}\alpha^{2k}x^{2k}
$$
以及
$$
\bw = \sum_{k=1}^{5}\alpha^{2k-1}x^{2k-1}
$$
則 $\bb = \bv + \bw$，同時 $\bv\in V$ 且 $\bw\in W$。

##### Exercise 6(c)

令 $U$ 為所有 $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 的函數所形成的集合。
令 $V$ 為 $U$ 中的偶函數的集合。
令 $W$ 為 $U$ 中的奇函數的集合。
（一個函數 $f$ 如果對所有 $x$ 都有 $f(-x) = f(x)$﹐則被稱為偶函數。
一個函數 $f$ 如果對所有 $x$ 都有 $f(-x) = -f(x)$﹐則被稱為奇函數。）
證明每一個 $U$ 中的元素 ${\bf b}$
都可以寫成 ${\bf b} = {\bf v} + {\bf w}$
使得 ${\bf v}\in V$ 且 ${\bf w}\in W$。

:::warning

- [x] 中英數空格
- [x] 適當換行、加標點
:::

$Ans:$
設 ${\bf b}$ 為 $f(x)$、${\bf v}$ 為 $g(x)$、${\bf w}$ 為 $h(x)$。
若 $f(x) = h(x) + g(x)$ 且滿足 $h(-x) = h(x)$ 而 $g(-x) = -g(x)$。
則

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
h(x) + g(x)= f(x),\\
h(-x) + g(-x)= f(-x).\\
\end{cases}
\end{equation}
$$
可寫成
\begin{equation}
\begin{cases}
h(x) + g(x)= f(x),\\
h(x) - g(x)= f(-x).\\
\end{cases}
\end{equation}

解聯立得到
$h(x) = \frac {f(x) + f(-x)}{2}\in V$ 以及
$g(x) = \frac {f(x) - f(-x)}{2}\in W$。
因此任何 $f(x)$ 都可以寫成
$f(x) = \frac {f(x) + f(-x)}{2} + \frac {f(x) - f(-x)}{2} = h(x) + g(x)$，
其中 $h(x)\in V$ 而 $g(x)\in W$。
故 ${\bf b} = {\bf v} + {\bf w}$。

:::info
目前分數 6
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