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19^th^ | 19th | ||
H~2~O | H2O | ||
++Inserted text++ | Inserted text | ||
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Syncing
xxxxxxxxxx
向量空間中的向量表示法
This work by Jephian Lin is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
\(\newcommand{\trans}{^\top} \newcommand{\adj}{^{\rm adj}} \newcommand{\cof}{^{\rm cof}} \newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle} \newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\bone}{\mathbf{1}} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\nul}{\operatorname{null}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} %\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}} \newcommand{\range}{\operatorname{range}} \newcommand{\Col}{\operatorname{Col}} \newcommand{\Row}{\operatorname{Row}} \newcommand{\spec}{\operatorname{spec}} \newcommand{\vspan}{\operatorname{span}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\idmap}{\operatorname{id}} \newcommand{\am}{\operatorname{am}} \newcommand{\gm}{\operatorname{gm}} \newcommand{\mult}{\operatorname{mult}} \newcommand{\iner}{\operatorname{iner}}\)
Main idea
Let \(V\) be a vector space.
Let \(\beta = \{ {\bf u}_1, \ldots, {\bf u}_n \}\) be a basis of \(V\).
Every vector \({\bf v}\in V\) has a unique way to be written as a linear combination
\[{\bf v} = c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_n{\bf u}_n. \]
We call the vector \((c_1,\ldots, c_n)\in\mathbb{R}^n\) the vector representation of \({\bf v}\) with respect to the basis \(\beta\), denoted as \([{\bf v}]_\beta\).
Let \(\mathcal{P}_d\) be the vector space of all polynomials of degree at most \(d\).
Let \(\beta = \{1, x, \ldots, x^d\}\) be the standard basis of \(\mathcal{P}_d\).
Then \([p]_\beta = \operatorname{ptov}(p)\) is simply writing down the coefficients of \(p\) into a vector in \(\mathbb{R}^{d+1}\).
Let \(\mathcal{M}_{m.n}\) be the vector space of all \(m\times n\) matrices.
Let \(\beta = \{E_{11}, \ldots, E_{1n}, \ldots, E_{m1}, \ldots, E_{mn}\}\) be the standard basis of \(\mathcal{M}_{m,n}\).
Then \([A]_\beta = \operatorname{mtov}(A)\) is simply writing down the entries of \(A\) into a vector in \(\mathbb{R}^{mn}\) in the row-major order.
Side stories
Experiments
Exercise 1
執行以下程式碼。
令 \(\mathcal{P}_2\) 為所有次數小於等於 \(2\) 的多項式所形成的向量空間。
令 \(\alpha = \{1, x, x^2\}\) 為 \(\mathcal{P}_2\) 的標準基底。
令 \(\beta = \{1, (1+x), (1+x)^2\}\) 為 \(\mathcal{P}_2\) 的另一組基底。
令
seed
\(=69\),得 \(p = 2 + 3x + 2x^2\)。Exercise 1(a)
求出 \([p]_\alpha\)。
\(Ans:\)
根據觀察,\(p = 2 \cdot 1 + 3 \cdot x + 2 \cdot x^2\),所以 \([p]_\alpha = \begin{bmatrix} 2\\3\\2 \end{bmatrix}\)。
Exercise 1(b)
求出 \([p]_\beta\)。
\(Ans:\)
令 \(p = c_1 + c_2(1+x) + c_3(1+x)^2\),其中 \(c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}\)。
則
\[ \begin{aligned} p &= c_1 + c_2(1+x) + c_3(1+x)^2\\ &= (c_1 + c_2 + c_3) + (c_2 + 2c_3)x + c_3x^2\\ &= 2 + 3x + 2x^2 \end{aligned} \] 觀察 \(x^2\) 項得 \(c_3 = 2\),再看 \(x\) 項得 \(c_2 + 4 = 3\),\(c_2 = -1\),最後常數項 \(c_1 + 1 = 2\),\(c_1 = 1\)。
所以 \(p = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (1+x) + 2 \cdot x^2\),
\([p]_\beta = \begin{bmatrix} 1\\-1\\2 \end{bmatrix}\)。
Exercise 1©
令 \(p_1, \ldots, p_3\) 為 \(\beta\) 中的各多項式。
寫出 \(3\times 3\) 矩陣 \(A\)
其各行向量為 \([p_1]_\alpha, \ldots, [p_3]_\alpha\)。
\(Ans:\)
根據題目 \(p_1 = 1\),\(p_2 = 1 + x\),\(p_3 = 1 + 2x + x^2\)
稍微改寫一下,可以得
\[ p_1 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2\\ p_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot x + 0 \cdot x^2\\ p_3 = 1 \cdot 1 + 2 \cdot x + 1 \cdot x^2\\ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
Exercise 1(d)
驗證並說明為什麼 \(A[p]_\beta = [p]_\alpha\)。
以下證明所有的 \(p \in \mathcal{P}_2\) 等式都成立。
假設 \([p]_\beta = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}\),則 \(p = c_1p_1 + c_2p_2 + c_3p_3\)。
\(Ans:\)
先驗證例子
\[ \begin{aligned} A[p]_\beta &= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 2\\ \end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2\\ 0 \cdot 1 + 1\cdot (-1) + 2 \cdot 2\\ 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 2 \end{bmatrix}\\ &= [p]_\alpha \end{aligned} \]
以下證明所有的 \(p \in \mathcal{P}_2\) 等式都成立。
假設 \([p]_\beta = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}\),則 \(p = c_1p_1 + c_2p_2 + c_3p_3\)。 \[ \begin{aligned} A[p]_\beta &= A\begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{bmatrix}\\ &=A\begin{bmatrix}c_1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + A\begin{bmatrix}0 \\ c_2 \\ 0\end{bmatrix} + A\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ c_3\end{bmatrix}\\ &= c_1[p_1]_\alpha + c_2[p_2]_\alpha + c_3[p_3]_\alpha\\ &= [p]_\alpha \end{aligned} \]
Exercises
Exercise 2
令 \(\mathcal{P}_2\) 為所有次數小於等於 \(2\) 的多項式所形成的向量空間。
令 \(p = 2 + 3x + 4x^2\)。
Exercise 2(a)
令 \(\beta = \{1,x,x^2\}\) 為 \(\mathcal{P}_2\) 的一組基底。
求 \([p]_\beta\)。
\(Ans:\)
根據觀察 \(p = 2 \cdot 1 + 3 \cdot x + 4 \cdot x^2\),所以 \([p]_\beta = \begin{bmatrix} 2\\3\\4 \end{bmatrix}\)。
Exercise 2(b)
令 \(\beta = \{1,(1-x),(1-x)^2\}\) 為 \(\mathcal{P}_2\) 的一組基底。
求 \([p]_\beta\)。
\(Ans:\)
應用1(d),取 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\),\(A[p]_\beta = [p]_\alpha\)。
先求出 \(A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\),所以
\[ [p]_\beta = A^{-1}[p]_\alpha = \begin{bmatrix} 9\\-11\\4 \end{bmatrix}. \]
Exercise 2©
令 \(\beta = \{1,x,x(x-1)\}\) 為 \(\mathcal{P}_2\) 的一組基底。
求 \([p]_\beta\)。
\(Ans:\)
令 \([p]_\beta = \begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end{bmatrix}\) ,
滿足
\[ C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot x + C_3 \cdot x(x-1) = 2 + 3x + 4x^2, \]
解得 \(C_1 = 2,C_2 = 7,C_3 = 4\) ,
故 \([p]_\beta = \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \\ 4 \end{bmatrix}\)。
Exercise 2(d)
令
\[\begin{aligned} p_1(x) &= \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}, \\ p_2(x) &= \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}, \\ p_3(x) &= \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}. \\ \end{aligned} \] 令 \(\beta = \{p_1, p_2, p_3\}\) 為 \(\mathcal{P}_2\) 的一組基底。
求 \([p]_\beta\)。
\(Ans:\)
令 \([p]_\beta = \begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end{bmatrix}\) ,
滿足
\[ C_1 \cdot \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} + C_2 \cdot \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} + C_3 \cdot \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} = 2 + 3x + 4x^2, \]
將 \(x=1,x=2,x=3\) 分別帶入解得 \(C_1 = 9,C_2 = 24,C_3 = 47\),
故 \([p]_\beta = \begin{bmatrix} 9 \\ 24 \\ 47 \end{bmatrix}\)。
good
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Learn More →另解:
可以觀察到,\(\{ p_1, p_2, p_3 \}\) 是一組 Lagrange basis 對應到 \(1, 2, 3\),所以 \(p\) 可以寫成
\[ \begin{aligned} p &= 2 + 3x + 4x^2\\ &= p(1)p_1 + p(2)p_2 + p(3)p_3 \end{aligned} \] 所以
\[ \begin{aligned}{[p]}_\beta &= \begin{bmatrix} p(1)\\p(2)\\p(3) \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}9\\24\\47\end{bmatrix}.\end{aligned} \]
Exercise 3
令 \(\mathcal{M}_{2,3}\) 為所有 \(2\times 3\) 矩陣所形成的向量空間。
令
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}. \]
Exercise 3(a)
令 \(\beta = \{E_{11}, E_{12}, E_{13}, E_{21}, E_{22}, E_{23}\}\) 為 \(\mathcal{M}_{2,3}\) 的標準基底。
求 \([A]_\beta\)。
\(Ans:\)
明顯地,\(A=E_{11}+2E_{12}+3E_{13}+4E_{21}+5E_{22}+6E_{23}\)。
因此,\([A]_\beta=\begin{bmatrix} 1\\2\\3\\4\\5\\6 \end{bmatrix}\)。
Exercise 3(b)
令 \[ M_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}, M_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}, M_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}, \] \[ M_4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}, M_5 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}, M_6 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}, \]
求 \([A]_\beta\)。
\(Ans:\)
令 \([A]_\beta=\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\e\\f \end{bmatrix}\) ,則 \(A=aM_1+bM_2+cM_3+dM_4+eM_5+fM_6\)。
因此 \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & a+b & a+b+c\\ a+b+c+d & a+b+c+d+e & a+b+c+d+e+f & \end{bmatrix}\)。
可簡單解得 \(a=b=c=d=e=f=1\),因此, \([A]_\beta=\begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1\\1\\1 \end{bmatrix}\)。
Exercise 4
以下例子說明一些向量空間的內積
其實就是某個表示法下的 \(\mathbb{R}^n\) 標準內積。
(實際上所有有限維度空間中的內積
都可以寫成某個表示法下的 \(\mathbb{R}^n\) 標準內積。
但證明須要用到一些對角化的工具。)
Exercise 4(a)
令 \(\mathcal{M}_{m,n}\) 為所有 \(m\times n\) 矩陣所形成的向量空間。
我們曾經驗證過 \(\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(B^\top A)\) 是一種合法的內積。
說明其實 \(\operatorname{tr}(B^\top A) = \langle [A]_\beta, [B]_\beta \rangle\)﹐
其中 \(\beta\) 是 \(\mathcal{M}_{m,n}\) 的標準基底。
\(Ans:\)
令 \(A = \begin{bmatrix} | && |\\ \ba_1 & \cdots & \ba_n\\ | && | \end{bmatrix},B \trans = \begin{bmatrix}- & \bb_1 & -\\ & \vdots &\\- & \bb_n & - \end{bmatrix},B \trans A\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行元素寫作 \((B\trans A)_{ij}\),
\(A\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行元素寫作 \(a_{ij}\),\(B \trans\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行元素寫作 \(b_{ij}\)。
可以看出 \((B \trans A)_{ij} = \langle \bb_i,\ba_j \rangle\),所以
\[ \begin{aligned} \operatorname{tr}(B \trans A) &= \langle \bb_1,\ba_1 \rangle + \cdots + \langle \bb_n,\ba_n \rangle\\ &= \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}b_{ij}a_{ij}. \end{aligned} \] 因為 \([A]_\beta = (a_{11},\cdots,a_{mn}),[B]_\beta = (b_{11},\cdots,b_{mn})\),
\(\langle [A]_\beta, [B]_\beta \rangle = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}b_{ij}a_{ij}\)
所以 \(\operatorname{tr}(B^{\trans}A) = \langle [A]_\beta, [B]_\beta \rangle\)。
Exercise 4(b)
令 \(\mathcal{P}_3\) 為所有次數小於等於 \(3\) 的多項式所形成的向量空間。
我們曾經驗證過 \(\langle p_1, p_2 \rangle = a_0b_0 + a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) 是一種合法的內積﹐其中
\[\begin{aligned} p_1 &= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3, \\ p_2 &= b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3. \\ \end{aligned} \]
說明其實 \(\langle p_1, p_2 \rangle = \langle [p_1]_\beta, [p_2]_\beta \rangle\)﹐
其中 \(\beta\) 是 \(\mathcal{P}_3\) 的標準基底。
\(Ans:\)
因為 \([p_1]_\beta = (a_0,a_1,a_2,a_3),[p_2]_\beta = (b_0,b_1,b_2,b_3)\),
所以
\[ \begin{aligned} \langle [p_1]_\beta, [p_2]_\beta \rangle &= a_0b_0 + a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\\ &= \langle p_1, p_2 \rangle. \end{aligned} \]
Exercise 4©
令 \(\mathcal{P}_3\) 為所有次數小於等於 \(3\) 的多項式所形成的向量空間。
我們曾經驗證過 \(\langle p_1, p_2 \rangle = p_1(1)p_2(1) + p_1(2)p_2(2) + p_1(3)p_2(3) + p_1(4)p_2(4)\) 是一種合法的內積。
令
\[\begin{aligned} f_1(x) &= \frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)}, \\ f_2(x) &= \frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)}, \\ f_3(x) &= \frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)}, \\ f_4(x) &= \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)}. \\ \end{aligned} \] 說明其實 \(\langle p_1, p_2 \rangle = \langle [p_1]_\beta, [p_2]_\beta \rangle\)﹐
其中 \(\beta = \{f_1, f_2, f_3, f_4\}\) 是 \(\mathcal{P}_3\) 的一組基底。
\(Ans:\)
觀察可以知道 \(\beta\) 是一組 Lagrange basis 對應到 \(1,2,3,4\),因此
\[ [p]_\beta = (p(1),p(2),p(3),p(4)) \] 代入 \(\langle [p_1]_\beta, [p_2]_\beta \rangle\),得
\[ \begin{aligned} \langle [p_1]_\beta, [p_2]_\beta \rangle &= p_1(1)p_2(1) + p_1(2)p_2(2) + p_1(3)p_2(3) + p_1(4)p_2(4)\\ &= \langle p_1, p_2 \rangle. \end{aligned} \]
目前分數 6.5