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數學超展開 - 用根與係數找房間號碼

作者/啊綸
20200118

這段劇情是要得知某間飯店房間號碼，需要解開這道數學題目，而影片中我們知道這題很快就被放棄了XD

不過我們還是可以來試著解解看！

解法

圖為《炮仔聲》某段截圖

這題的(a)小題是滿棒的根與係數關係題型
實係數一元三次方程式

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ 的三根為

$x_1,x_2,x_3$
其根與係數關係為

$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2+x_3& =-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1& ={\displaystyle \frac{c}{a}}\\ x_1{x}_2{x}_3& =-{\displaystyle \frac{d}{a}}\end{array}$$

小心這裡的

$a$ 和原題目的

$a$ 不一樣

所以根據根與係數關係可以列出以下等式：

$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2+x_3& =a\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1& =a+1\\ x_1{x}_2{x}_3& =-11\end{array}$$

而(a)小題則是將三根換成

$x_1{x}_2,x_2{x}_3,x_3{x}_1$
假設該方程式為

$x^3+b{x}^2+cx+d=0,b,c,d\in \mathbb{R}$

喔對那個像倒三和中空的R的符號念作「屬於R」，意思是 b,c,d 這三個數都是實數

根據根與係數關係

$$\{\begin{array}{ll}{x}_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1& =-b\\ x_1{x}_2{x}_2{x}_3+x_2{x}_3{x}_3{x}_1+x_3{x}_1{x}_1{x}_2& =c\\ x_1{x}_2{x}_2{x}_3{x}_3{x}_1& =-d\end{array}$$

從上面兩個根與係數關係我們可以知道

$a+1=x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=-b$

$x_1{x}_2{x}_2{x}_3{x}_3{x}_1=(x_1{x}_2{x}_3{)}^2=121$

剩下

$x_1{x}_2{x}_2{x}_3+x_2{x}_3{x}_3{x}_1+x_3{x}_1{x}_1{x}_2=x_1{x}_3{x}_2^2+x_2{x}_1{x}_3^2+x_3{x}_2{x}_1^2$ 要計算了

觀察：

$(x_1+x_2+x_3)(x_1{x}_2{x}_3)=x_1^2{x}_2{x}_3+x_2^2{x}_1{x}_3+x_3^2{x}_1{x}_2$

$\Rightarrow x_1{x}_3{x}_2^2+x_2{x}_1{x}_3^2+x_3{x}_2{x}_1^2=-11a$

因此

$$\{\begin{array}{ll}b& =-a-1\\ c& =-11a\\ d& =-121\end{array}$$

我們得到方程式為

$x^3+(-a-1)x^2+(-11a)x-121=0$

這個就算解出來好像也不知道房間到底幾號阿XD
(b)小題這篇先不提XD

接下來介紹根與係數關係是怎麼來的

根與係數關係

在國高中生的數學課堂上，根與係數關係一定會出現，也因為題型多樣化，我認為應該是不少學生感到懼怕的一個主題。

讓我們先對根有個認識，根就是方程式的解，或者你可以說，滿足這條方程式的所有的

$x$ 的值。

舉例來說，若方程式為

$$\begin{array}{r}5x+3=0\end{array}$$
當

$x=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ 時，代入這條方程式會讓等號成立
那麼

$-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ 就是這條方程式的根。

有許多方法可以找方程式的根，像剛剛的一元一次方程式，利用移項將

$x$ 留在等號的左邊，數字留在另一邊，便可以求出方程式的根。國中時會學到一元二次方程式，也會學到提出公因式、十字交乘來幫助我們將一元二次方程式變成兩組一元一次方程式相乘，根就可以各自從一元一次方程式解出來，或是用配方法以及公式解來求根，在高中會學到更高次的多項式方程式。

對於解方程式的介紹，我們這次先不會提到太多，而是專注在根和方程式係數之間的關係。

一元二次方程式

先看一元二次方程式

$$\begin{array}{r}{x}^2-3x+2=0\end{array}$$

我們知道它可以拆解成

$$\begin{array}{r}(x-1)(x-2)=0\end{array}$$

因此

$x=1$ 或

$x=2$ 便是它的兩根，我們觀察兩件事：

$1+2=3$ 和

$1\times 2=2$

是在哈囉？？？
不是在裝孝維，有沒有發現這兩個數字好像有點熟悉？
數字

$3$ 和數字

$2$ 恰巧出現在方程式的一次項和常數項係數，只是

$3$ 的正負號正好相反。是巧合嗎？其實是有關聯的。

將

$(x-1)(x-2)$ 展開得到

$x^2-x-2x+(-1)(-2)$

$\Rightarrow x^2-(1+2)x+(-1)(-2)=0$
我們發現兩根相加正好是一次項係數加上負號，兩根之積正好就是常數項

推廣到一般情形，若一元二次方程式為

$$\begin{array}{r}{x}^2+bx+c=0,b,c\in \mathbb{R}\end{array}$$

其兩根為

$\alpha ,\beta$ ，我們可以另外寫出也是以這兩個值為根的一元二次方程式，也就是

$$\begin{array}{r}(x-\alpha )(x-\beta )=0\end{array}$$

仿照前面的例子，展開新方程式並且和原方程式比較係數，可以得到以下關係：

$$\{\begin{array}{ll}\alpha +\beta & =-b\\ \alpha \beta & =c\end{array}$$

更一般的情形：
考慮

$$\begin{array}{r}a{x}^2+bx+c=0,a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0\end{array}$$

其兩根為

$\alpha ,\beta$
我們將等號兩邊同除以

$a$
得到

$$\begin{array}{r}{x}^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}=0\end{array}$$

而

$\alpha ,\beta$ 仍然會是這個新方程式的兩根
所以我們有這樣的根與係數關係

$$\{\begin{array}{ll}\alpha +\beta & =-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ \alpha \beta & ={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}$$

一元三次方程式

接著我們要討論一元三次方程式的根與係數關係
我們假設一般的情形：

若方程式

$$\begin{array}{r}a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0,a,b,c,d\in \mathbb{R}\text{ and }a\ne 0\end{array}$$

的三根分別為

$x_1,x_2,x_3$

我們知道以這三個為根的一元三次方程式可以寫成

$$\begin{array}{r}(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0\end{array}$$

同乘

$a\Rightarrow$

$$\begin{array}{r}a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0\end{array}$$

展開

$\Rightarrow$

$$\begin{array}{r}a{x}^3+a(-x_1-x_2-x_3)x^2+a(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)x+a(-x_1{x}_2{x}_3)=0\end{array}$$

比較係數：

$$\{\begin{array}{ll}a(-x_1-x_2-x_3)& =b\\ a(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)& =c\\ a(-x_1{x}_2{x}_3)& =d\end{array}$$

$\Rightarrow$

$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2+x_3& =-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1& ={\displaystyle \frac{c}{a}}\\ x_1{x}_2{x}_3& =-{\displaystyle \frac{d}{a}}\end{array}$$

這就是一元三次方程式的根與係數關係

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