# 流體力學 Week 12 - Dimension Analysis

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# 因次分析

"State-of-the-art" method.

# 因次

「因次」是量測物理量的一種「方法」，比如說長度、質量等等。在提到「因次」的時候，我們指的是一種抽象的概念，而當真的需要聲明值是多少時，我們會加上一個跟那個因次符合的「單位」。

講到因次就要講到物理的一課的「七大物理量」


這些物理量叫做「primary/fundamental/basic dimensions」。其他不在上面的那些物理量就叫做「non-primary/secondary dimensions」，而他們都可以用上面這些物理量來表示。

比如：

$$[加速度]=[長度/秒^2] = [Lt^{-2}]$$

$$[力]=[質量 \times 加速度] = [mLt^{-2}]$$

$$[表面張力] = [力/長度] = [mt^{-2}]$$

其他物理量也可以以此類推～

(等一下要考材力我都沒有念 QQ)

# 無因次化

>> 蔡：Nondimensionlize <- 這個字超長的。如果你在 word 打出來發現他被標成紅線，不要理他。
>>

首先，方程式中的每一項，「因次」都要相同。這個概念聽起來像廢話，不過他居然還有個名字，叫做「Law of Dimensional Homogeneity」

因為這個概念，所以可以把所有東西的單位用某種方法全部消掉，把所有項通通變成沒有因次的東西。好處是不會因為 scaling (比如說單位不一樣)的關係讓長相不一樣。

另外一個好處是 simularity, 可以用比較小的東西模擬大的東西。這個更後面會提到。

先舉個簡單的例子。比如說鉛直拋體：

$$\frac {d^2z}{dt^2} = -g$$

初始條件：

$$\begin{cases}
z(0) = z_{0} \\ \\
\frac {dz}{dt}(0) = w_{0}
\end{cases}$$

解為：

$$z = z_{0} + w_{0}t - \frac {1}{2}gt^2$$

這裡面每一項都有自己的 dimension 。裡面有變數(像$z$, $t$)、常數($g$)，還有跟系統配置有關係的初始條件等。他們有各自的稱呼。說明如下：
1. 裡面的 $z$, $t$ 這種有因次的變數都叫做「dimension variables」
2. 而像 $g$ 這種「有因次的常數」就叫做「dimensional constant」
3. $z_{0}$, $w_{0}$ 這種可以亂調的系統參數就叫做 「dimensional parameters」

然後開始無因次化了。

## 憑感覺的作法

這裡先直覺的介紹無因次化該怎麼做。這篇後面講到 [Buckinham Pi Theorem](https://hackmd.io/s/rJvSYqRy-#buckingham-pi-theorem) 時，會有更系統性的方法來無因次化。

### 鉛直拋體

無因次化最簡單的方法就是有什麼除什麼。比如說：

$$z$$

有「長度」的因次，那就把它除某一個長度：

$$\frac {z}{z_{0}}$$

他就不會有因次了～聽起來滿合理的（其實就有點 normalize 的 fu 嘛）。這個步驟講得文鄒鄒一點叫++決定 scaling parameters++。

這些除下去的長度通常不會亂取，而是會取某些「有代表性的長度」，這種長度通常叫做「特徵長度」。同樣也有「特徵時間」「特徵XX」這些東西。不過這是個有點模糊的概念，有時候會根本不懂這個天殺的「特徵XX」到底是怎麼找到的。看下去就知道。

我們目前還沒有選定「特徵時間」「特徵長度」是什麼。不過假定我們已經「決定」了某個「特徵長度」 $z_{c}$ 跟特徵時間 $t_{c}$，並令：

$$z^* = \frac {z}{z_{c}}, t^* = \frac {t}{t_{c}}$$

利用把原式同乘同除的來湊一下，方程式就變成了：

$$\frac {d^2z}{dt^2} = \frac {d^2z/z_{c}}{dt^2/t_{c}^2}(\frac {z_{c}}{t_{c}^2}) = \frac {d^2 z^{*^2}}{dt^{*^2}}(\frac {z_{c}}{t_{c}^2}) = -g \Rightarrow \frac {d^2z^*}{dt^{*^2}} = -\frac {gt_{c}^2}{z_{c}}$$

因此：

$$\frac {d^2z^*}{dt^{*^2}} = -\frac {gt_{c}^2}{z_{c}}$$

就是無因次化的微分方程。方程式的~~姐~~解也可以無因次化成：

$$z* = \frac {z}{z_{c}} + \frac {w_{0}t_{x}}{z_{c}}t^* - \frac {1}{2}(\frac {-gt_{c}^2}{z_{c}})t^{*^2}$$

如果覺得用「同乘同除」湊有點麻煩的話可以用下面這個小技巧：

>> 小技巧：
>>
>> 因為：
>> $$\begin{cases}z^* = \frac {z}{z_{c}}\\ t^* = \frac {t}{t_{c}} \end{cases}$$
>> 所以可以知道：
>> $$\begin{cases}z = z_{c}z^*\\ t = t_{c}t^*\end{cases}$$
>> 把所有的 $z$ 跟 $t$ 代掉就會得到無因次化的結果。比如
>> $$z = z_{0} + w_{0}t - \frac {1}{2}gt^2$$
>> $z = z_{c}z^*$, $t = t_{c}t^*$ 代入，得到：
>> $$(z_{c}z^*) = z_{0} + w_{0}(t_{c}t^*) - \frac {1}{2}g(t_{c}t^*)^2$$
>> 展開並移項，就會得到：
>> $$z^* = \frac {z_{0}}{z_{c}} + \frac {w_{0}t_{c}}{z_{c}}t^* - \frac {gt_{c}^2}{2z_{c}}t^{*^2}$$

邊界條件也可以無因次化，比如說：

$$z(0) = z_{c}z^*(0)\Rightarrow z^*(0) = \frac {z_{0}}{z_{c}}\\ \frac {dz}{dt} = \frac {z_{c}dz^*}{t_{c}dt^*} = w_{0}\Rightarrow \frac {dz^*}{dt^{*}}(0) = \frac {w_{0}t_{c}}{z_{c}}$$

<br>

好，無因次化的主要工作到此就告一段落了。稍微統整一下剛剛無因次化的結果：

$$\frac {d^2z^*}{dt^{*^2}} = -\frac {gt_{c}^2}{z_{c}}$$

邊界條件：

$$\begin{cases}
z^*(0) = \frac {z_{0}}{z_{c}} \\ \\
\frac {dz^*}{dt^{*}}(0) = \frac {w_{0}t_{c}}{z_{c}}
\end{cases}$$

解為：

$$z^* = \frac {z_{0}}{z_{c}} + \frac {w_{0}t_{c}}{z_{c}}t^* - \frac {gt_{c}^2}{2z_{c}}t^{*^2}$$

但是還是有一個小問題，就是這個「具有代表性的」 $z_{c}$ 跟 $t_{c}$ 到底該怎麼選？其實可以有很多種選法，基本上就是你開心就好。這裡舉出幾種：

1. 最簡單的方法就是把 $z_{0} = z_{c}$, $t_{c} = \frac {z_{0}}{w_{0}}$。看起來很正常的選擇嘛～

所以方程式就變成：

$$\frac {d^2 z}{dt^{*^2}} = -\frac {gz_{0}}{w_{0}^2}$$

(其實就是剛剛無因次化完的東西把 $t_{c}$ 跟 $z_{c}$ 代掉而已。)

解就變成：

$$1 + t^* - \frac {1}{2}(\frac {gz_{0}} {w_{0}})t^{*^2}$$

邊界條件：

$$\begin{cases}
z^*(0) = 1 \\ \\
\frac {dz^*}{dt^{*}}(0) = 1
\end{cases}$$

不過這樣有個 bug，如果初速度是 0 他就爆了。所以要想一下其他的方法。

2. 另外一種方法是 $z_{c} = z_{0}$, $t_{c} = \sqrt{\frac {z_{0}}{g}}$。然後你可能想 $\sqrt{\frac {z_{0}}{g}}$ 是怎麼來的？其實也沒什麼道理，就只是剛好他的因次是時間。

把上面的 $z_{c}$, $t_{c}$ 帶進去之後：

$$\frac {d^2z^*}{dt^{*^2}} = -1$$

$$z^* = 1 + \frac {w_{0}}{\sqrt{z_{0}g}}t^* - \frac {1}{2}t^{*^2} $$

然後發現這個系統的微分方程的長相，只跟一個 $t^*$ 的一次項的係數有關，也就是這個東西：

$$\frac {w_{0}}{\sqrt{z_{0}g}}$$

這個東西叫做 ~~fraud~~ Froude Number。他是個沒有因次的數(廢話)。通常我們會叫這種東西是個「無因次常數」。後面會再看到他。

3. 令 $z_{c} = \frac {w_{0}^2}{g}$, $t_{c} = \frac {w_{0}}{g}$。然後你可能想誰沒事會取 $z_{c} = \frac {w_{0}^2}{g}$ 這種鬼東東？答案其實也沒什麼道理，就他的因次剛好是時間。

所以把上面的 $z_{c}$, $t_{c}$ 帶進去之後：

$$\frac {d^2z^*}{dt^{*^2}} = -1$$

$$z^* = \frac {w_{0}^2}{z_{0}g} + t^* - \frac {1}{2}t^{*^2} $$

然後又發現 Froude Number 又出現了，可以注意到常數項就是 「Froude Number 的平方」。

除了第一種方法之外可能會爆掉之外，後面兩種方法應該都是 OK 的。那這樣為什麼還要寫兩種寫法呢？

答案是「 Froude Number 出現在不同項，會有不同的好處」：

1. 比如說如果他很小，第3. 方法可以省略常數項; 而2. 方法就沒有這個好處。

2. 類似的道理，如果 Froude Number 很大，那麼第 3. 的方法常數項很顯然不能省略，看起來就像是自找麻煩; 而 2. 的話，一下子就可以省略常數項的 1 。

因此，可以根據不同 Fraud Number ，就可以選擇適合計算的無因次策略。不過這時候有個小問題出現了：

「誰沒事會想到用 $\sqrt{\frac {z_{0}}{g}}$ 當特徵時間啊啊啊啊啊」
「那個 $z_{c} = \frac {w_{0}^2}{g}$, $t_{c} = \frac {w_{0}}{g}$ 到底是怎麼湊出來的 囧 ？」


你以為取這種東西就很怪了嗎？後面有更怪的。

### Navier Stokes Equation

先給原始版的 Naivier-Stokes Equation :

$$\rho(\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t} +
(\vec{u{}}\cdot \nabla)\vec{u{}}) =
\nabla (-P) +
\mu\nabla^2\vec{u{}}$$

然後這裡做個小實驗：自己猜一下裡面的東西要取哪些量來無因次化。給你 30 秒。

<br><br>

「...」

<br>

「...」

<br>

「...」

<br>
<br>

好我要公布解答了，答案是這樣：

$$\begin{cases}\vec{u{}}^* = \frac {\vec{u{}}}{V_{\infty}}\\ \\
\vec{x{}}^* = \frac {\vec{x{}}}{L}\Rightarrow \nabla ^* = L\nabla \\ \\
t^* = \frac {t}{L/V_{\infty}} = \frac {L}{t_{c}} \\ \\
p^* = \frac {p}{\rho V_{\infty}^2}
\end{cases}$$

$V_{\infty}$ 是無限遠的速度。$t_{c} = \frac {L}{V_{\infty}}$ 叫做 convective time unit。而壓力就是用動壓的兩倍來做無因次化。

然後可以發現有的東西實在取得有點奇怪：

「蛤？我怎麼知道 $t$ 要取那個鬼東西來無因次化啊？」

~~然後看了一眼壓力無因次化的方法是用動壓叫更崩潰~~

「除非被雷打到，誰沒事會知道要用這鬼東西無因次化啊?」


雖然目前這東西已經累積了兩張黑人問號.jpg, 不過這個問題後面就會回答了。這裡先繼續把東西帶進去。可以用剛剛那個技巧：

因為：

$$\begin{cases}\vec{u{}}^* = \frac {\vec{u{}}}{V_{\infty}}\\ \\
\vec{x{}}^* = \frac {\vec{x{}}}{L}\Rightarrow \nabla ^* = L\nabla \\ \\
t^* = \frac {t}{L/V_{\infty}} = \frac {t}{t_{c}} \\ \\
p^* = \frac {p}{\rho V_{0}^2}
\end{cases}$$
所以
$$\begin{cases} \vec{u{}} = {V_{\infty}}{\vec{u{}}^*}\\ \\
\vec{x{}} = {L}{\vec{x{}}^*}\Rightarrow \nabla = \frac {1}{L}\nabla ^* \\ \\
t = ({L/V_{\infty}}){t^*} \\ \\
p = {\rho V_{\infty}^2}{p^*}
\end{cases}$$

本來 Navier- Stokes Equation 長這樣：

$$\rho(\frac {\partial \vec{u{}}}{\partial t} +
(\vec{u{}}\cdot \nabla)\vec{u{}}) =
\nabla (-P) +
\mu\nabla^2\vec{u{}}$$

把該帶的東西通通帶進去之後，就會得到：

$$\rho(\frac {V_{\infty}}{L/V_{\infty}}\frac {\partial \vec{u{}^*}}{\partial t^*} +
\frac {V_{\infty}^2}{L}(\vec{u{}^*}\cdot \nabla^*)\vec{u{}^*}) =
\frac {\rho V_{\infty}^2}{L}\nabla^* (-P^*) +
\mu\frac {V_{\infty}}{L^2}\nabla^{*^2}\vec{u{}^*}$$

然後全部除下去：

$$\frac {\partial \vec{u_{}}^*}{\partial t^*} + (\vec{u{}}^*\nabla^*)\vec{u{}}^* = (-\nabla^*p^*) + \frac {\mu}{\rho V_{\infty}L}\nabla^{*^{2}}\vec{u{}}^*$$

注意整個微分方程只剩下一個黏滯項那裡有一個常數 $\frac {\mu}{\rho V_{\infty}L}$ 了，所以就給個定義 --「雷諾數」：

$$Re = \frac {\rho V_{\infty} L}{\mu}$$

注意這個雷諾數也是個無因次參數。因此就變成了：

$$\frac {\partial \vec{u_{}}^*}{\partial t^*} + (\vec{u{}}^*\nabla^*)\vec{u{}}^* = (-\nabla^*p^*) + \frac {1}{Re}\nabla^{*^{2}}\vec{u{}}^*$$

這就是無因次化的 Navier Stokes Equation 了。

這個雷諾數有什麼物理意義嗎？有的！他可以這樣看：

$$Re = \frac {\rho V_{\infty} L}{\mu} = \frac {慣性力}{黏滯力}$$

如果雷諾數很大，表示慣性力相對黏滯力很大，表示流體會有 Boundary Layer (邊界層); 如果雷諾數很小，表示流體很稠，所以就叫做 Creepy Flow (潛流)。

## Nature of Dimensional Analysis


首先考慮一個流過一顆球的流體。我們想要求出「阻力」大小跟其他變因的關係。首先來看看影響的可能因素有哪些：

1. 流體的速度 $V_{\infty}$
2. 幾何形狀：比如說直徑 $D$
3. 流體的性質：密度$\rho$, 黏滯係數 $\mu$

所以

$$F_{D} = f(\rho,\mu,V_{\infty}, D)$$

如果要做實驗的話，如果每個變數都試 10 種就好，那麼這樣就要試：

$$10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000 種$$

這樣聽起來超多的。不過實際上上面那個關係可以無因次化成：

$$C_{f} = \frac {F_{D}}{\rho V_{\infty}^2 D^2} = F(\frac {\rho V_{\infty}D}{\mu}) = F(Re)$$

這樣只要測 10 個雷諾數，再根據需求調整其它參數，就可以得到需要的曲線。

(圖)

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OK fine. 聽起來省了超超超多的力。不過這裡(老樣子)又有一個問題：

「到底誰沒事會想到取 $\frac {F_{D}}{\rho V_{\infty}^2 D^2}$ 跟 $\frac {\rho V_{\infty}D}{\mu}$ 這兩坨醜不拉機的東西啦!!」
「到底誰沒事會想到取 $\frac {F_{D}}{\rho V_{\infty}^2 D^2}$ 跟 $\frac {\rho V_{\infty}D}{\mu}$ 這兩坨醜不拉機的東西啦!!」
「到底誰沒事會想到取 $\frac {F_{D}}{\rho V_{\infty}^2 D^2}$ 跟 $\frac {\rho V_{\infty}D}{\mu}$ 這兩坨醜不拉機的東西啦!!」


撐了 3 張黑人問號.jpg ，這個問題終於下一行就會解決了。

## Buckingham Pi theorem

安安 這裡剛剛那 3 張黑人問號.jpg 的答案。

### 問題表述

主要問題是這樣：

1. 假定有：
1. $n$ 個物理量：$q_{i}$
2. $m$ 個 primary dimensions $d_{j}$

2. 我們的目標是「把一個物理量，用剩下的物理量表示」，像剛剛是用 $f(\rho, \mu, V_{\infty}, D)$ 去表示 $F_{D}$。寫的抽像一點就是希望找到：

$$q_{1} = f(q_{2}, q_{3} ... q_{n}) \Rightarrow g(q_{1}, q_{2}, ... q_{n}) = 0$$

其中：

$$[q_{i}] = [d_{1}^{M_{1}i}d_{2}^{M_{2i}}...d_{m}^{M_{mi}}]$$

我們想要把本來的：

$$q_{1} = f(q_{2}, q_{3} ... q_{n})$$

表示成這樣：

$$\Pi_{1} = F(\Pi_{2}, \Pi_{2}...\Pi_{n-r})$$

其中，每個 $\Pi_{i}$ 都是一個無因次參數。

Buckinham Pi Theorem 說這件事情是可以做到的，總共會生出 $n-r$ 個無因次參數。那這個 $r$ 表示什麼？這個 $r$ 是這樣：

把所有的 $q$ 跟 $d$ 寫成一個矩陣：

| |$$q_{1}$$|$$q_{2}$$|...|$$q_{n}$$|
|---|---|---|---|---|
|$$d_{1}$$|$$M_{11}$$|$$M_{12}$$|...|$$M_{1n}$$|
|$$d_{2}$$|$$M_{21}$$|$$M_{22}$$|...|$$M_{2n}$$|
|...|...|...|...|...|
|$$d_{m}$$|$$M_{m1}$$|$$M_{m2}$$|...|$$M_{mn}$$|

這個矩陣的 Rank 就是 $r$ 。不過一般來說這個 $r$ 常常跟 $m$ 是一樣的。

### 步驟

1. 列出 dimension matrix ： 把那 $n$ 個物理量寫出來，然後他們對應的 $m$ 個主要因次寫出來（其實就是把上面的矩陣寫下來）
2. 算出 Rank： 把那個矩陣的寫出來，算他的 Rank。通常 $r \leq m < n$
3. 選擇 $r$ 個變數：通常就是像上面那樣，選取跟幾何形狀、流體性質有關的變數。不過基本上只要你爽就好。這些 $r$ 會當作「repeated variables」。至於「repeated variables」是什麼？等一下就會看到。
4. 建立 Pi group ： 選完 $r$ 個之後，剩下還有 $n - r$ 個物理量。我們接下來就要用剛剛選的 $r$ 個物理量去無因次化剩下的 $n-r$ 個物理量。這個步驟叫叫建立$\Pi$ groups。每個無因次化過後的物理量都用 $\Pi$ 表示

假定$q_{1}, q_{2}...q_{r}$ 是剛剛選的那 $r$ 個「repeated variables」，剩下 $q_{r +1 }, q_{r +2 }...q_{r + k}...q_{n}$ 是準備無因次化的物理量。

假設現在是要無因次化 $q_{r + k}$，所以我們就猜 $q_{r + k}$ 乘上一串 $q_{1}^{a_{1}}q_{2}^{a_{2}}...q_{r}^{a_{r}}$ 之後，就可以剛好變成無因次化，也就是：

$$\Pi_{k} = q_{1}^{a_{1}}q_{2}^{a_{2}}...q_{r}^{a_{r}}q_{r + k}$$

以及因為希望 $\Pi_{k}$ 是無因次參數，所以：

$$[\Pi_{k}] = [d_{1}^{0}d_{2}^{0}...d_{m}^0]$$

但是因為 $\Pi_{k} = q_{1}^{a_{1}}q_{2}^{a_{2}}...q_{r}^{a_{r}}q_{r + k}$ ，所以：

$$[\Pi_{k}] = [q_{1}^{a_{1}}q_{2}^{a_{2}}...q_{r}^{a_{r}}q_{r + k}] = [d_{1}^{(\sum_{i = 1}^{r}M_{ij}a_{j}) + M_{1, r + k}}d_{2}^{(\sum_{i = 1}^{r}M_{ij}a_{j}) + M_{2, r + k}} ...]$$

因此解：

$$[d_{1}^{(\sum_{i = 1}^{r}M_{ij}a_{j}) + M_{1, r + k}}d_{2}^{(\sum_{i = 1}^{r}M_{ij}a_{j}) + M_{2, r + k}}... ] =[d_{1}^{0}d_{2}^{0}...d_{m}^0]$$

就可以把每個物理量無因次化的形式 $\Pi_{k}$ 找出來了。

聽起來有點抽象，不過看後面例子就會知道怎麼做了。

### 例子：垂直拋體

1. 物理量有：$z$, $t$, $z_{0}$, $w_{0}$, $g$，所以 n = 5。總共的 primary Dimension 有 $L, t$，所以 $m = 2$。
2. dimension matrix 長這樣：
| |$z$|$t$|$z_{0}$|$$w_{0}$$|$$g$$|
| --- |---|---|---|---|---|
|$$L$$|1|0|1|1|1|
|$$t$$|0|1|0|-1|-2|

Rank = 2，所以 $r = 2$。
3. 選 $r$ 個物理量。這裡選 $z_{0}, w_{0}$
4. 總共會有 $n - r = 5 - 2 = 3$ 個 $\Pi$ group。所以一個一個解。剩下的物理量有 $z, t, g$，把他們一一無因次化：

$$假定\ \Pi_{1} = z_{0}^{a}w_{0}^{b}z \Rightarrow [\Pi_{1}] = [L^{a + b + 1}t^{-b}] = [L^{0}t^{0}]\Rightarrow a = -1, b = 0$$

這個就會得到 $\Pi_{1} = \frac {z}{z_{0}}$

$$假定\ \Pi_{2} = z_{0}^{a}w_{0}^{b}t \Rightarrow [\Pi_{2}] = [L^{a + b + 1}t^{-b + 1}] = [L^{0}t^{0}]\Rightarrow a = -1, b = 1$$

這個會解到 $\Pi_{2} = \frac {w_{0}t}{z_{0}} = t^*$

$$假定\ \Pi_{3} = z_{0}^{a}w_{0}^{b}g \Rightarrow [\Pi_{3}] = [L^{a + b + 1}t^{-b - 2}] = [L^{0}t^{0}]\Rightarrow a = 1, b = -2$$

這個會解到：

$$\Pi_{3} = \frac {gz_{0}}{w_{0}^2} = \frac {1}{Fr^2}$$

這個就跟之前一樣。

另外，根據 Buckingham Pi 理論，可以知道：

$$\Pi_{1} = F(\Pi_{2}, \Pi_{3})\Rightarrow z^* = F(t^*, F_{r})$$

至於這個確切的關係是什麼？通常就是做實驗去找。

### 例子：球體的阻力

1. 變數總共有：$D,V_{\infty},\rho,\mu,F_{D}$ 5 個，主要因次有 $m, L, t$ 3 個。所以 $n = 5$, $m= 2$。
2. dimension matrix 是：
| |$D$|$V_{\infty}$|$\rho$|$$F_{D}$$|$$\mu$$|
| --- |---|---|---|---|---|
|$$m$$|0|0|1|1|1|
|$$L$$|1|1|-3|1|-1|
|$$t$$|0|-1|0|-2|-1|

Rank = 3。
3. 選 3 個 repeated variables，這裡選 $D, V_{\infty}, \rho$
4. 解剩下 2 個 equation：

首先是 $\Pi_{1}$：

$$\Pi_{1} = D^a V_{\infty}^b\rho^{c}F_{D} \Rightarrow
[\Pi_{1}] = [m^0L^0t^0] = [m^{c + 1}L^{a + b - 3c + 1}t^{-b - 2}] $$

解出 $a$, $b$, $c$ 得到：

$$
a = -2, b = -2, c = -1 $$

所以把 $a$, $b$, $c$ 代回，得到：

$$\Pi_{1} = D^{-2}V_{\infty}^{-2}\rho^{-1}F_{D} = \frac {F_{D}}{\rho V_{\infty}^2D^2}
$$

再來是 $\Pi_{2}$：

$$\Pi_{2} = D^a V_{\infty}^b\rho^{c}\mu \Rightarrow
[\Pi_{2}] = [m^0L^0t^0] = [m^{c + 1}L^{a + b - 3c - 1}t^{-b - 1}] $$

解出 $a$, $b$, $c$ 得到：

$$
a = -1, b = -1, c = -1 $$

所以把 $a$, $b$, $c$ 代回，得到：

$$ \Pi_{2} = D^{-1} V_{\infty}^{-1}\rho^{-1}\mu = \frac {\mu}{\rho V_{\infty}D} = \frac {1}{Re}
$$

所以：

$$\frac {F_{D}}{\rho V_{\infty}^2D^2} = F(\frac {1}{Re})$$

## 常用的無因次參數

自己去查課本。

## Simlarity：風洞、水洞測試

無因次化還有另外一個用處。想像一下今天研究一台飛機的流場，總不能造一個跟飛機一樣的超超超超大的風洞。

不過我們又知道無因次參數一樣，方程式就一樣，所以能不能造一個縮小版的東西，然後讓他們的無因次參數一樣，這樣是不是就能模擬出放大版的狀況了呢？這是有可能的，比如說做到：

1. 幾何成比例：geometric similarity
2. 速度成比例：kinematic similarity
3. 力量成比例：因為測量力比較難，所以這個通常就是要求 $\Pi$ groups 成比例。

有的時候只能做到部分 $\Pi$ group 相同，這種叫做 incomplete similarity。而全部 $\Pi$ group 都一樣就叫做 complete simularity。

比如說剛剛的阻力：

$$\frac {F_{D}}{\rho V_{\infty}^2D^2} = F(Re)$$

只要 $Re$ 一樣，剩下的東西都一樣，所以：

$$(\frac {\rho V_{\infty} L}{\mu})_{m} = (\frac {\rho V_{\infty} L}{\mu})_{p}$$

因此需要的風速：

$$\frac {V_{\infty, m}}{V_{\infty, p}} = \frac {\mu_{m}}{\mu_{p}} \frac {\rho_{p}}{\rho_{m}} \frac {L_{p}}{L_{m}}$$

然後就發現如果做 100 比 1 的模型，假定風速是 $100m/s$ ，就會發現風速需要吹到每秒 10000 公尺...這個根本做不到，所以要想其他方法。這時候就可以考慮把這東西放在水裡面，叫做水洞測試。這時候：

$$\frac {\nu_{\infty, m}}{\nu_{\infty,p}} = \frac {\nu_{water}}{\nu_{air}} = 0.057$$

所以：

$$\frac {V_{\infty, m}}{V_{\infty, p}} = \frac {\nu_{m}}{\nu_{p}} \frac {L_{p}}{L_{m}} = 100 \cdot 0.057 = 5.7$$

只要讓水的速度變成 $570 m/s$ 就可以了～