"State-of-the-art" method.
「因次」是量測物理量的一種「方法」,比如說長度、質量等等。在提到「因次」的時候,我們指的是一種抽象的概念,而當真的需要聲明值是多少時,我們會加上一個跟那個因次符合的「單位」。
講到因次就要講到物理的一課的「七大物理量」
這些物理量叫做「primary/fundamental/basic dimensions」。其他不在上面的那些物理量就叫做「non-primary/secondary dimensions」,而他們都可以用上面這些物理量來表示。
比如:
其他物理量也可以以此類推~
(等一下要考材力我都沒有念 QQ)
蔡:Nondimensionlize <- 這個字超長的。如果你在 word 打出來發現他被標成紅線,不要理他。
首先,方程式中的每一項,「因次」都要相同。這個概念聽起來像廢話,不過他居然還有個名字,叫做「Law of Dimensional Homogeneity」
因為這個概念,所以可以把所有東西的單位用某種方法全部消掉,把所有項通通變成沒有因次的東西。好處是不會因為 scaling (比如說單位不一樣)的關係讓長相不一樣。
另外一個好處是 simularity, 可以用比較小的東西模擬大的東西。這個更後面會提到。
先舉個簡單的例子。比如說鉛直拋體:
初始條件:
解為:
這裡面每一項都有自己的 dimension 。裡面有變數(像
然後開始無因次化了。
這裡先直覺的介紹無因次化該怎麼做。這篇後面講到 Buckinham Pi Theorem 時,會有更系統性的方法來無因次化。
無因次化最簡單的方法就是有什麼除什麼。比如說:
有「長度」的因次,那就把它除某一個長度:
他就不會有因次了~聽起來滿合理的(其實就有點 normalize 的 fu 嘛)。這個步驟講得文鄒鄒一點叫決定 scaling parameters。
這些除下去的長度通常不會亂取,而是會取某些「有代表性的長度」,這種長度通常叫做「特徵長度」。同樣也有「特徵時間」「特徵XX」這些東西。不過這是個有點模糊的概念,有時候會根本不懂這個天殺的「特徵XX」到底是怎麼找到的。看下去就知道。
我們目前還沒有選定「特徵時間」「特徵長度」是什麼。不過假定我們已經「決定」了某個「特徵長度」
利用把原式同乘同除的來湊一下,方程式就變成了:
因此:
就是無因次化的微分方程。方程式的姐解也可以無因次化成:
如果覺得用「同乘同除」湊有點麻煩的話可以用下面這個小技巧:
小技巧:
因為:
所以可以知道:
把所有的跟 代掉就會得到無因次化的結果。比如
, 代入,得到:
展開並移項,就會得到:
邊界條件也可以無因次化,比如說:
好,無因次化的主要工作到此就告一段落了。稍微統整一下剛剛無因次化的結果:
邊界條件:
解為:
但是還是有一個小問題,就是這個「具有代表性的」
最簡單的方法就是把
所以方程式就變成:
(其實就是剛剛無因次化完的東西把
解就變成:
邊界條件:
不過這樣有個 bug,如果初速度是 0 他就爆了。所以要想一下其他的方法。
另外一種方法是
把上面的
然後發現這個系統的微分方程的長相,只跟一個
這個東西叫做 fraud Froude Number。他是個沒有因次的數(廢話)。通常我們會叫這種東西是個「無因次常數」。後面會再看到他。
令
所以把上面的
然後又發現 Froude Number 又出現了,可以注意到常數項就是 「Froude Number 的平方」。
除了第一種方法之外可能會爆掉之外,後面兩種方法應該都是 OK 的。那這樣為什麼還要寫兩種寫法呢?
答案是「 Froude Number 出現在不同項,會有不同的好處」:
比如說如果他很小,第3. 方法可以省略常數項; 而2. 方法就沒有這個好處。
類似的道理,如果 Froude Number 很大,那麼第 3. 的方法常數項很顯然不能省略,看起來就像是自找麻煩; 而 2. 的話,一下子就可以省略常數項的 1 。
因此,可以根據不同 Fraud Number ,就可以選擇適合計算的無因次策略。不過這時候有個小問題出現了:
「誰沒事會想到用
「那個
你以為取這種東西就很怪了嗎?後面有更怪的。
先給原始版的 Naivier-Stokes Equation :
然後這裡做個小實驗:自己猜一下裡面的東西要取哪些量來無因次化。給你 30 秒。
「…」
「…」
「…」
好我要公布解答了,答案是這樣:
然後可以發現有的東西實在取得有點奇怪:
「蛤?我怎麼知道
然後看了一眼壓力無因次化的方法是用動壓叫更崩潰
「除非被雷打到,誰沒事會知道要用這鬼東西無因次化啊?」
雖然目前這東西已經累積了兩張黑人問號.jpg, 不過這個問題後面就會回答了。這裡先繼續把東西帶進去。可以用剛剛那個技巧:
因為:
所以
本來 Navier- Stokes Equation 長這樣:
把該帶的東西通通帶進去之後,就會得到:
然後全部除下去:
注意整個微分方程只剩下一個黏滯項那裡有一個常數
注意這個雷諾數也是個無因次參數。因此就變成了:
這就是無因次化的 Navier Stokes Equation 了。
這個雷諾數有什麼物理意義嗎?有的!他可以這樣看:
如果雷諾數很大,表示慣性力相對黏滯力很大,表示流體會有 Boundary Layer (邊界層); 如果雷諾數很小,表示流體很稠,所以就叫做 Creepy Flow (潛流)。
首先考慮一個流過一顆球的流體。我們想要求出「阻力」大小跟其他變因的關係。首先來看看影響的可能因素有哪些:
所以
如果要做實驗的話,如果每個變數都試 10 種就好,那麼這樣就要試:
這樣聽起來超多的。不過實際上上面那個關係可以無因次化成:
這樣只要測 10 個雷諾數,再根據需求調整其它參數,就可以得到需要的曲線。
(圖)
OK fine. 聽起來省了超超超多的力。不過這裡(老樣子)又有一個問題:
「到底誰沒事會想到取
「到底誰沒事會想到取
「到底誰沒事會想到取
撐了 3 張黑人問號.jpg ,這個問題終於下一行就會解決了。
安安 這裡剛剛那 3 張黑人問號.jpg 的答案。
主要問題是這樣:
假定有:
我們的目標是「把一個物理量,用剩下的物理量表示」,像剛剛是用
其中:
我們想要把本來的:
表示成這樣:
其中,每個
Buckinham Pi Theorem 說這件事情是可以做到的,總共會生出
把所有的
… | ||||
---|---|---|---|---|
… | ||||
… | ||||
… | … | … | … | … |
… |
這個矩陣的 Rank 就是
列出 dimension matrix : 把那
算出 Rank: 把那個矩陣的寫出來,算他的 Rank。通常
選擇
建立 Pi group : 選完
假定
假設現在是要無因次化
以及因為希望
但是因為
因此解:
就可以把每個物理量無因次化的形式
聽起來有點抽象,不過看後面例子就會知道怎麼做了。
物理量有:
dimension matrix 長這樣:
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
0 | 1 | 0 | -1 | -2 |
Rank = 2,所以
選
總共會有
這個就會得到
這個會解到
這個會解到:
這個就跟之前一樣。
另外,根據 Buckingham Pi 理論,可以知道:
至於這個確切的關係是什麼?通常就是做實驗去找。
變數總共有:
dimension matrix 是:
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
1 | 1 | -3 | 1 | -1 | |
0 | -1 | 0 | -2 | -1 |
Rank = 3。
選 3 個 repeated variables,這裡選
解剩下 2 個 equation:
首先是
解出
所以把
再來是
解出
所以把
所以:
自己去查課本。
無因次化還有另外一個用處。想像一下今天研究一台飛機的流場,總不能造一個跟飛機一樣的超超超超大的風洞。
不過我們又知道無因次參數一樣,方程式就一樣,所以能不能造一個縮小版的東西,然後讓他們的無因次參數一樣,這樣是不是就能模擬出放大版的狀況了呢?這是有可能的,比如說做到:
有的時候只能做到部分
比如說剛剛的阻力:
只要
因此需要的風速:
然後就發現如果做 100 比 1 的模型,假定風速是
所以:
只要讓水的速度變成