聖晶石數如何影響開場收入

模型 1

• 只算股東花紅，假設花紅 = 0.8 x 股權 x 收入
• 因此盈利極大化即股權(百分比)極大化
• 假設每家公司至少有30人投資(新規定)
• 在極理想的情況下其他29人投100下你的股權為\(\frac{x}{2900+x}\), \(x\)為投資額
• \(100 \leq x \leq 4096\)

因此模型為

\[\begin{matrix} \max & \sum ^N \frac{ a_i}{2900+a_i}\\ s.t. & \left\{\begin{matrix} \sum ^N a_i = 10000 \\ 100 \leq a_i \leq 4096 \end{matrix}\right. \end{matrix}\]

使用拉格朗日乘數易得上面在\(a_1 = ... = a_N\) 時極大化。此時總股權為

\[N(\frac{10000/N}{2900+ 10000/N}) \approx \frac{3.45N}{N + 3.45}\]

注意上式的極限存在，亦即股權不會因石數增加而無限制增長。數值參考：

• \(N=3\): 1.60427807487
• \(N=5\): 2.04081632653
• \(N=10\): 2.5641025641
• \(N=17\): 2.86677908938

把經理人花紅加進去又會如何呢？

模型 2

別忘記經理人必須投至少1024元，但相對來說他有5%經理人花紅，相當於6.25%股權。這時候非經理股權理論值為：

\[\frac{x}{3800+x}\]

經理股權理論值為：

\[\frac{x}{2900+x} + 0.0625\]

從模型1不難看出6.25%額外股權之效率遠超投資1024以上金額之效率，亦即換超過10石時石頭不會帶來實質利益。數值參考：

• \(N=3\)時理論值為

\[eff = 3 \times (\frac{10000/3}{2900+10000/3} + 0.0625) \approx 1.80\]

• \(N =17\)時理論值為(送他240塊)

\[eff < 10 \times (\frac{1024}{2900+1024} + 0.0625) \approx 3.23\]

注意：開季第一周並沒有打工制度。

實質利益

假設有人能實現上述股權理論值分佈，那透過換石17石玩家比3石玩家可以多賺多少錢呢？(實際最佳投資分佈與換石策略有關，但與上述計算不會差太遠)。

3石玩家：將3石安在3家自己公司上，不需要換石：

\[P = 0.8 \times 9000 \times (\frac{10000/3}{2900+10000/3} + 0.0625) \times (\log 2.5 +2\log 1.5) \approx 7427\]

17石玩家：將10石安在自己公司上，換7石：

\[P = 0.8 \times 9000 \times (\frac{1024}{2900+1024}+0.0625) \times (\log 2.5 + 7 \log 2 + 2 \log 1.5) \approx 15322\]

所以總差距理論極大值為$8000左右，基本上為一周投資可以輕鬆回收的程度；同時上述理論值基本上不可能達成：

• 新開季投資必定以熱門老婆股票為主(收益遠勝換票/石 於情於理皆為合理選擇)，肯定不會只有30人投資更不可能有29人只投100塊。以本賽初熱門股64元上市為參考，上述股權值可能會砍成十分之一甚至更低。
• 邊際效益問題。每顆石效益為\(\log (N+1)-\log N = O(N^{-1})\)，對於熱門老婆來說也不可能只有你一個人投石下去，此時每顆石的效益也可能變成原本的三分之一或更低。

本人無責任預測：兩者分別約在$500 ~ $1000之間，基本上就是一兩個614的程度。

上面隨便算的，有錯歡迎指正

\[(\int \hat{=\upsilon =})\]