[fmcmon]: https://fmc.imd.ufrn.br/
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# AulaBook 2022.1

Desenvolvido pelo projeto [Monitoría FMCn][fmcmon].
(Veja mais detalhes no site do projeto: fmc.imd.ufrn.br.)

## 2022-04-06

### Exercício 1

Demonstre que para quaisquer conjuntos $A,B,C$, se $A \not= \emptyset$ e $A \subseteq B \setminus C$, então $B \not\subseteq C$.

### Exercício 2

Demonstre que para quaisquer $a,b$ inteiros, se $a \mid b$, então para todo inteiro $x$, $a \mid bx$.

## 2022-04-12

### Exercício 1

Demonstre que para todo $n$ natural maior ou igual à $1$, $3^n - 2$ é ímpar.

## 2022-04-13

### Exercício 1

Demonstre que para quaisquer $a,b,c$ inteiros, se $a \mid b$ e $a \mid c$, então $a \mid b+c$

### Exercício 2

Demonstre que para quaisquer $a,b$ inteiros, se $a \mid b$, então para todo inteiro $x$, $a \mid bx$.

## 2022-04-20

### Exercício 1

Seja $f: A \to A$ e $x \in A$, demonstre que um $x$ é um fixpoint da $f$ sse para todo $n \in \mathbb{N}$, $x$ é um fixpoint da $f^n$.

## 2022-04-27

### Exercício 1

a) Denotamos a operação de concatenação de strings por $\mathbin{+\!\!\!+}$. Assim é possível definir a "exponenciação" de duas maneiras:

(L1) $s^0 = \epsilon$ 
(L2) $s^n = s^{n-1} \mathbin{+\!\!\!+} s$

(R1) $s_0 = \epsilon$
(R2) $s_n = s \mathbin{+\!\!\!+} s_{n-1}$

onde  $\epsilon$ representa o string vazio tal que $(\forall s)[\epsilon \mathbin{+\!\!\!+} s = s = s \mathbin{+\!\!\!+} \epsilon]$.

Considerando que a operação $\mathbin{+\!\!\!+}$ é associativa mas não comutativa, demonstre que para todo string $s$ e para todo $n$ natural, $s^n=s_n$.

## 2022-04-29

### Exercício 1

Seja $(A_n)_n$ uma sequência de conjuntos. Demonstre que se $(A_n)_n$ crescente, então para todo $j$ natural e para todo $m \geq j$ , $A_j \subseteq A_m$.

### Exercício 2

Demonstre que, para quaisquer $A,B,C$ conjuntos, se $A \subseteq B$ e $A \not\subseteq C$, então $B \not\subseteq C$.

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## 2022-05-02

### Exercício
A divisibilidade é transitiva.

### Exercício
A divisibilidade é reflexiva.

### Exercício
Se um número é múltiplo de $2$, seu quadrado é múltiplo de $4$.

### Exercício
~~Se $a$ não é divisor de $b$ nem de $c$, então também não é divisor de $bc$.~~
> [color=red]
>
> O enunciado tá errado; é para refutar. Tente construir um contraexemplo para o enunciado.

## 2022-05-03

### Exercício 1

Partindo dos 3 axiomas mutiplicativos (associatividade, comutatividade, identidade), 4 axiomas aditivos (associatividade, comutatividade, identidade, inversos) e do axioma da distributividade, demonstre que $(\forall a, b: Int)[ab=0 \implies a=0 \ ou \ b=0 ] \iff (\forall a, b, c: Int)[ca=cb \implies c=0 \ ou \ a=b]$

## 2022-05-04

### Exercício 1

Seja $\to$ uma relação no conjunto $\mathbb N$ definida pela:

- $a \to b \iff a + 1 = b$

Demonstre que $(\forall n \in \mathbb N)[a \to^n b \implies a + n = b]$.

**Definições**:
- $x(R \diamond S)y \iff (\exists w)[x \mathrel R w \mathbin\& w \mathrel S y]$
- Definimos a relação $R^n$ recursivamente pelas:
- $R^0 = (=)$
- $R^{n + 1} = R \diamond R^n$

### Exercício 2

Seja $R$ uma preordem num conjunto $A$. Demonstre que $R=R \diamond R$.

**Definições**:
- Preordem: Uma relação binária é chamada de preordem sse ela é reflexiva e transitiva.
- Reflexiva: $(\forall x)[xRx]$
- Transitiva: $(\forall x,y,z)[xRy \ \& \ yRz \implies xRz]$

## 2022-05-05

### Exercício 1

Seja $(A_n)_n$ uma sequência de conjuntos. Definimos os conjuntos
- $A_* = \bigcup_{i=0}^\infty\bigcap_{j=i}^\infty A_j$
- $A^* = \bigcap_{i=0}^\infty \bigcup_{j=i}^\infty A_j$

Demonstre que $A_* \subseteq A^*$.

### Exercício 2

Sejam $(A_n)_n$ e $(B_n)_n$ sequências de conjuntos tais que para todo $m$ par temos $A_m \subseteq B_{m/2}$. Prove que $\bigcap_{n=0}^\infty A_n \subseteq \bigcap_{n=0}^\infty B_n$.

## 2022-05-06
Demonstre as proposições a seguir. Use o esquema de dados/alvo no rascunho e depois escreva uma demonstração em prosa. Note em que demonstrações e passos foi necessário usar a lei do terceiro excluído.
- $\forall x P(x) \Leftrightarrow \neg \exists x \neg P(x)$
- $(A \vee B) \Leftrightarrow \neg (\neg A \wedge \neg B)$
- $(A \wedge B) \Leftrightarrow \neg (\neg A \vee \neg B)$

## 2022-05-09
Chamamos uma tripla $(G; \cdot, e)$ onde $G$ é um conjunto, $\cdot$ é uma operação binária em $G$, e $e$ um elemento de $G$ de *grupo* quando:
- Se $a$ e $b$ são elementos de $G$ então $a \cdot b \in G$.
- A operação é associativa: para quaisquer $a,b,c$ de $G$ temos $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$.
- O elemento $e$ é a identidade para $\cdot$. Isto é: para qualquer $a \in G$ temos $a \cdot e = e \cdot a = a$.
- Todo elemento $a$ de $G$ tem algum inverso $a^{-1}$ também de $G$ tal que $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$.
Demonstre as seguintes propriedades para um grupo $(G; \cdot, e), onde $a$, $b$, e $c$ são elementos arbitrários de $G$:
1. Unicidade da identidade.
2. Unicidade do inverso de um dado elemento de $G$.
3. Cancelamento pela esquerda: se $a \cdot b = a \cdot c$ então $b=c$.
4. Cancelamento pela direita: se $b \cdot a = c \cdot a$ então $b = c$.
5. Se $a \cdot b = e$ então $a = b^{-1}$ e também $b = a^{-1}$.
6. O inverso de $(a \cdot b)$ é $b^{-1} \cdot a^{-1}$.

## 2022-05-10

### Exercício 1

Fixe um $m$ inteiro. Demonstre que para todos $a,b,c$ inteiros, temos:

- (1) $a ≡ a$ (mod $m$) (reflexividade)
- (2) $a ≡ b$ (mod $m$) & $b ≡ c$ (mod $m$) $\implies a ≡ c$ (mod $m$) (transitividade)
- (3) $a ≡ b$ (mod $m$) $\implies b ≡ a$ (mod $m$) (simetria)

## 2022-05-11

### Exercício 1

Demonstre que $=_c$ é uma relação de equivalência.

Definição:

$A =_c B \iff (\exists f:A \to B)[f \ bijetora].$

## 2022-05-12

### Exercício 1

Dada a definição recursiva  de $\alpha$, demonstre que para todo $x \in \mathbb{N}$ temos que $\alpha(1,x)=x+2$.

Definição de $\alpha$:

- [A1] $\alpha(0,x) = x+1$
- [A2] $\alpha(n+1,0) = \alpha(n,1)$
- [A3] $\alpha(n+1, x+1) = \alpha(n, \alpha(n+1,x))$

### Exercício 2

Demonstre que para quaisquer $a,b,c$ inteiros, se $a \mid b$ e $a \mid c$, então $a \mid b+c$

## 2022-05-17

### Exercício 1

Sejam $G$ grupo e $H,K \leq G$. Demonstre que $H \cup K \leq G$, se e somente se, $H \subseteq K$ ou $K \subseteq H$

Definição:
- Seja $G$ grupo e $N$ um conjunto estruturado com a "mesma" operação do $G$.  $N \leq G$ sse $N \subseteq G$ e $N$ grupo.

## 2022-05-16

### Exercício 1
Fixe um conjunto $S$. Considere as seguintes definições de _diferença simétrica_, uma operação binária no conjunto potência de $S$:
- $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$
- $x \in A \blacktriangle B \Leftrightarrow (x \in A, x \notin B) \vee (x \notin A, x \in B)$
Demonstre:
- As operações definidas são equivalentes.
- A diferença simétrica tem elemento neutro.
- Todo subconjunto $A$ de $S$ tem inverso perante a diferença simétrica.

## 2022-05-18

### Exercício 1

Sejam $G$ grupos e $a,b \in G$. Demonstre que a função $h: G \to G$ definida pela $h(x)=a*x*b$ é uma bijecção e ache sua inversa.

## 2022-05-23

### Exercício 1

Use o princípio da indução para demonstrar as identidades e proposições:
- $\sum_{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$
- $\sum_{i=1}^{n} (2i -1) = n^2$
- $(\forall n \in \mathbb{N})[ 3 \mid (n^3 - n)]$
Use a seguinte definição para o somatório:
- $\sum_{i=n}^{m} t_i = 0$, se $m<n$
- $\sum_{i=n}^{n} t_i = t_n$
- $\sum_{i=n}^{m+1} t_i = \sum_{i=n}^{m} t_i + t_{m+1}$
- $\sum_{i=n + 1}^{m} t_i = t_{n+1} + \sum_{i=n}^{m} t_i$

## 2022-05-24

### Exercício 1

Demonstre que para todos $a,b,c$ Nats temos $(a+b)+c=a+(b+c)$.

- Para essa questão vamos considerar que os nosso Nats tem a seguinte forma: O,SO,SSO,SSSO... Onde O equivale a Zero, SO é o sucessor de Zero (nesse caso 1), SSO é o sucessor de 1 (nesse caso 2) e assim sucessivamente.
- A partir dos Nats que definimos, definimos também a seguinte operação de soma:
- (a1) n+O=n
- (a2) n+Sm=S(n+m) (Ou seja, n somado ao sucessor de m é igual ao sucessor de n+m)

## 2022-05-25

### Exercício

Demonstre usando indução que para todo $A ⊆ N$ , se $A \not= \emptyset$ então $A$ tem elemento mínimo .

- Dizemos que $m$ mínimo membro de $A$ sse $m \in A$ e $(\forall a ∈ A)[ m ≤ a ]$ .

## 2022-05-27

### Exercício

Demonstre que para todo natural $n$ temos $(F_{n+1},F_{n})=1$.
- Definições:
- $F_0 = 1$
- $F_1 = 1$
- $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_n$
- $d = (a, b) \iff d \mid a \ \And \ d \mid b \ \And \ d \in \mathbb N \ \And \ (\forall c)[c \mid a \And c \mid b \implies c \mid d]$

## 2022-05-30
### Exercício 1
Seja $(G, \cdot, e)$ um grupo. Defina para $n$ inteiro os _expoentes_ de um elemento $g$:
- $g^0 = e$
- $g^{n+1} = g \cdot g^n$
Demonstre para quaisquer $g \in G$ e $n,m \in \mathbb N$:
- $g^n \cdot g^m = g^{n+m}$
- $(g^n)^m = g^{nm}$

### Exercício 2
Seja $G$ um grupo. Demonstre que a seguinte relação é relação de equivalência em $G$:
- $a \sim b$ se existe $g$ tal que $a = gbg^{-1}$

## 2022-05-31

### Exercício

Demonstre que para todos $a,b$ inteiros, se ambos $ab$ e $a+b$ são pares, então $a$ par e $b$ par.

## 2022-06-01

### Exercício 1

Demonstre que para todos $a,x,y \in$ Nats temos $a^{x*y}=(a^x)^y$.

Definições:
- Para essa questão vamos considerar que os nosso Nats tem a seguinte forma: O,SO,SSO,SSSO... Onde O equivale a Zero, SO é o sucessor de Zero (nesse caso 1), SSO é o sucessor de 1 (nesse caso 2) e assim sucessivamente.
- A partir dos Nats que definimos, definimos também a seguintes operações:
- (a1) n+O=n
- (a2) n+Sm=S(n+m)
- (m1) n∗O=O
- (m2) n∗Sm=(n∗m)+n
- (p1) nO=SO
- (p2) nSm=(nm)∗n

### Exercício 2

Demostre que não existem $a,b$ inteiros tais que $18a+6b=1$.

## 2022-06-02
### Exercício
Defina recursivamente a multiplicação nos naturais:
- $n \cdot 0 = 0$
- $n \cdot Sm = n + (n \cdot m)$
onde $n$ e $m$ são naturais; $Sm$ é o sucessor de $m$; $+$ é a operação de adição com as propriedades que conhecemos. Demonstre:
- Os naturais não tem zero divisores. Isto é: se $n \cdot m = 0$ então $n=0$ ou $m=0$.
- A multiplicação distribui sobre a adição. Isto é: para quaisquer $a,b,c$ naturais temos $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$.
- Lei do cancelamento: se $a \cdot c = b \cdot c$ e $c \neq 0$ então $a=b$.

### Exercicio
Seja $G$ um grupo. Demonstre que as seguinte relações são relações de equivalência em $G$:
- $a \sim b$ se existe $n$ natural positivo tal que $a^n = b^n$
- $a \sim b$ se $ab^{-1}$ comuta com qualquer $g$

## 2022-06-06
### Exercicio
Demonstre a proposição a seguir usando indução forte. Dica: escolha bem seus casos base e hipótese indutiva.
Se $n$ é natural maior ou igual a $8$, então existem naturais $x$ e $y$ tais que $n = 3x + 5y$.

### Exercício
Refute as afirmações a seguir, onde $A$, $B$, $C$, e $D$ são conjuntos.
- $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$
- $(A \times B) \cup (C\times D) = (A \cup C) \times (B \cup D)$
- Se $A \times C = B \times C$ então $A=B$.
- Se $A = B \setminus C$ então $B = A \cup C$.
Refute as afirmações a seguir, onde $a$, $b$,$c$, e $m$ são inteiros.
- Se $ab \equiv 0 ~\text{mod m}$ então $a \equiv 0 ~\text{mod m}$ ou $b \equiv 0 ~\text{mod m}$.
- Se $a|bc$ então $a|b$ ou $a|c$.

## 2022-06-08

### Exercício 1

Seja $f: A \to B$ . A $f$ é sobrejetora sse ela é $\circ$-cancelável pela direita:
- $g \circ f = h \circ f \implies g = h$

para todas as $g, h$ tais que as composições acima são definidas (ou seja, com domínio $B$).

### Exercício 2

Seja $f: A \to B$ . A $f$ é injetora sse ela é $\circ$-cancelável pela esqueda:
- $f \circ g = f \circ h \implies g = h$

para todas as $g, h$ tais que as composições acima são definidas (ou seja, com codomínio $A$).
> [color=green]
>
> A volta do sse no exercício 2 ficou como homework.

## 2022-06-10

### Exercício 1

Definimos a relação de ordem $\leq$ nos naturais pela:
- $n \leq m \iff (\exists k ∈ N)[ n + k = m ]$

Demonstre que $(\forall n,m)[n \leq Sm \iff n\leq m$ ou $n=Sm ].$

### Exercício 2

Demonstre que $(\forall n,m)[n \leq m$ ou $m \leq n$ ].

> [color=green]
>
> Final do exercício 2 ficou como homework.

## 2022-06-13
### Exercício 1
Traduza as seguintes definições de prosa para fórmulas "informais" de lógica de primeira ordem. Isto é, preocupando-se apenas com uso adequado dos quantificadores e conectivos lógicos.
- Chamamos *primo* um natural maior que $1$ divisível apenas por ele mesmo e por $1$.
- Dois naturais são ditos *primos entre si* quando não têm nenhum divisor em comum além do 1.
- Dois naturais são chamados *primos gêmeos* quando ambos são primos e distam duas unidades um do outro.
- Um natural *altamente composto* é um número com mais divisores que qualquer número menor que ele.
- Um *número quadrado* é um natural que é o quadrado de outro natural.
- Um *fator primo* de um número é um primo que divide tal número.
- Um inteiro maior que $1$ é *perfeito* se a soma de seus divisores (exceto ele mesmo) é igual a ele.
- Um inteiro é *semiprimo* se é produto de exatamente dois primos.
- Um número é *irracional* se não pode ser expresso como uma fração de números inteiros.

## 2022-06-14

### Exercício 1

Seja $f: A \to B$ . A $f$ é injetora sse ela é $\circ$-cancelável pela esqueda:
- $f \circ g = f \circ h \implies g = h$

para todas as $g, h$ tais que as composições acima são definidas (ou seja, com codomínio $A$).

### Exercício 2

Defina uma funcção $f : N \to N$ q*ue conta as seqüências feitas por os números 2 e 3 com soma sua entrada. Quantas seqüências de 2 ’s e 3 ’s existem cujos termos somam em 17 ?

## 2022-06-15

### Exercício 1

De quantas maneiras podemos escrever um string de tamanho 3 usando o alfabeto de 26 letras. O que muda se proibirmos strings com letras repetidas?

### Exercício 2

De quantas maneiras podemos escrever strings de tamanho 2 usando o alfabeto $\{ A , B , C , D \}$ , tais que as letras aparecem em ordem que concorda com a do alfabeto?

### Exercício 3

10 amigos querem viajar com um carro de 5 vagas. De quantas maneiras diferentes 5 deles podem entrar no carro? Considere que o que diferencia mesmo a configuração são apenas a posição do motorista e do copiloto.

### Exerício 4

Defina uma funcção $f : N \to N$ que conta as seqüências feitas por os números 2 e 3 com soma sua entrada. Quantas seqüências de 2 ’s e 3 ’s existem cujos termos somam em 17?

## 2022-06-22

### Exercício 1

A partir dos tipos e comportamentos esperados, defina as:
- ifthenelse : Bool → α → α → α
- isZero : Nat → Bool
- allZero : ListNat → Bool
- anyZero : ListNat → Bool
- length : ListNat → Nat
- (++) : ListNat → ListNat → ListNat)

### Exercício 2

Demonstre que para quaisquer listas $xs$ e $ys$, length $xs$ ++ $ys$ = length $xs$ + length $ys$

## 2022-06-23

### Exercício
Tricotomia dos naturais: se $n$ e $m$ são naturais então uma única destas afirmativas é verdade: $n = m$; ou $n < m$; ou $n > m$.

### Exercício
Chamamos de _inteiro_ um par ordenado $(n, m)$ de naturais. Usamos a notação $(n--m)$ para dizer $(n, m)$.
Dizemos que dois inteiros $(n--m)$ e $(n'--m')$ são _equivalentes_ quando $n + m' = n'+m$. Usamos a notação $a \approx b$ para dizer que os inteiros $a$ e $b$ são equivalentes.
Definimos assim a _adição_ de inteiros:
- $(n--m) + (u--v) \overset{\text{def}}{=} (n+v--m+u)$

Demonstre que a adição é _compatível_ com a equivalência. Isto é, se $(n--m) \approx (n'--m')$ então $(n--m) + (u--v) \approx (n'--m') + (u--v)$.

Definimos assim a _negação_ de um inteiro $(n--m)$:
- $-(n--m) \overset{\text{def}}{=} (m--n)$

Demonstre que a negação é compatível com a equivalência.

Definimos assim a _subtração_ de inteiros:
- $(n--m) - (u--v) \overset{\text{def}}{=} (n--m) + (-(u--v))$

Demonstre que a subtração é compatível com a equivalência.

## 2022-06-27
### Exercício
Demonstre que na tabela de Cayley de um grupo cada linha e cada coluna tem uma, e apenas uma, ocorrência de cada elemento do grupo.

### Exercício
Seja $G$ um grupo e $g$ elemento deste grupo. Chamamos _ordem_ de $g$ (notação: $|g|$) o menor inteiro positivo $n$ tal que $g^n = e$. Se não há tal inteiro, dizemos que $g$ tem ordem infinita.
Demonstre que para qualquer $g \in G$ e $n \in \mathbb Z^*$ temos que se $g^n = e$ então $|g|$ divide $n$.

## 2022-06-29

### Exercício 1

Sejam $M,N$ monóides e $\varphi:M \to N$ uma função sobrejetora que respeita a operação. Demonstre que $\varphi$ é um homomorfismo de monóides.

### Exercício 2

Definimos a relação de ordem $\leq$ nos naturais pela:
- $n \leq m \iff (\exists k ∈ N)[ n + k = m ]$

Demostre que a $\leq$ é reflexiva.

### Exercício 3

Definimos a relação de ordem $\preceq$ nos naturais recursivamente pelas:
- (LE1) $0 \preceq m \iff True$
- (LE2) $Sn \preceq 0 \iff False$
- (LE3) $Sn \preceq Sm \iff n \preceq m$

Demonstre que a $\preceq$ é reflexiva.

## 2022-06-30
### Exercício
Se todos elementos de um grupo têm ordem $2$, então este é um grupo abeliano.

### Exercício
Seja $G$ grupo. Para quaisquer elementos $a$ e $g$ de $G$, e qualquer natural $n$ temos $(aga^{-1})^n = a g^n a^{-1}$

### Exercício
Seja $G$ um grupo. Então $aga^{-1}$ e $g$ têm mesma ordem.

## 2022-07-01

### Exercício 1

Defina a funcção $\color{red}{succ^n}$ numa maneira simples (sem recursão), de forma que a tua $\color{red}{succ^n}$ se comporte como as iterações da $succ$, a $\color{blue}{succ^n}$ (oficial). Demonstre que realmente as duas definições são equivalentes.

### Exercício 2

Demonstre que $\bigcap_{n=0}^\infty succ^n[\mathbb{N}]=\emptyset$.

## 2022-07-06

### Exercício 1
Seja $f: A \to A$ e seja $F$ o conjunto de todos os fixpoints da $f$. Demonstre que $f[F]=F$.

### Exercício 2
Seja $\{A_n\}_n$ sequência de conjuntos e $\{D_n\}_n$ definida pelas:

- $D_0 = \emptyset$
- $D_{n+1} = D_n \cup A_n$

Demonstre que para todo $n$ natural $D_n \subseteq \bigcup_{m=0}^{\infty}A_m$.

## 2022-07-11
Seja $F$ um corpo ordenado por uma ordem total estrita. Demonstre, para todos $x,y,a,b \in F$:
- $0x = 0$.
- $a \leq b$ e $x \leq y$ implicam em $x + a \leq y + b$.
Definimos assim o _valor numérico absoluto_ de um $x \in F$, denotado $|x|$:
- Se $x \geq 0$ então $|x| = x$;
- Se $x < 0$ então $|x| = (-x)$.
Demonstre para quaisquer $x$ e $y$ de $F$:
- $|x| \geq 0$.
- $|x| = 0$ se e somente se $x = 0$.
- $|x - y| = |y - x|$.

## 2022-07-08

### Exercício 1

Seja $f: A \to B$ e sejam duas famílias indexadas de conjuntos $(A_i)_{i \in I}$ feita por subconjuntos de $A$ e $(B_j)_{j \in J}$ feita por subconjuntos de $B$. Mostre que:
- $f[\bigcup_{i \in I}A_i] = \bigcup_{i \in I}f[A_i]$
- $f^{-1}[\bigcup_{j \in J}B_j] = \bigcup_{j \in J}f^{-1}[B_j]$

## 2022-07-12

### Exercício 1

Sejam $A$ conjunto e $<$ uma relação binária sobre $A$. Dizemos que $<$ não possui cadeias descendentes infinitas (c.d.i.) sse não existe seqüência $(a_n)_n$ de membros de $A$ tal que: $...< a_2 < a_1 < a_0.$

Dizemos que $<$ é bem-fundada se cada conjunto não vazio $X ⊆ A$ possui membro $m$ tal que nenhum $x ∈ X$ satisfaz $x < m$. (Tal $m$ é chamado <-minimal.).

Demonstre que:
- $<$ não possui c.d.i. $\iff$ $<$ é bem-fundada

## 2022-07-13

### Exercício 1

Utilizando apenas os 4 axiomas, demonstre que para todos $x,y$ reais, se $x^3<y^3$ então $x<y$. Enuncie todos os lemas necessários.

## 2022-07-15

### Exercício 1

Considere as relações seguintes no (Z → Z) :
- $f ∼ g \iff (∃u ∈ Z) (∀x ∈ Z)[ f (x) = g(x + u) ]$

- $f ≈ g \iff (∃u ∈ Z ≥0 ) (∀x ∈ Z)[ f (x) = g(x + u) ]$

- $f R g \iff (∃u ∈ Z) (∀x ∈ Z)[ f (x) = g(x) + u ]$

- $f R' g ⇐⇒ (∃u ∈ Z ≥0 ) (∀x ∈ Z)[ f (x) = g(x) + u ]$.

Para cada uma dessas relações, decida se é: (ir)reflexiva; transitiva; (a(nti)s)simétrica.

## 2022-07-18
Sejam $x$, $y$, e $z$ reais. Demonstre:
- Se $z<0$ e $x<y$ então $yz<xz$.
- $|x|$ sempre é maior ou igual a $0$.
- $|x| = 0$ se e somente se $x=0$.
- (_Desigualdade triangular_) $|x+y| \leq |x|+|y|$.
- $|x| \leq y$ se e somente se $-y \leq x \leq y$.
- $\text d (x,y) \geq 0$.
- $\text d(x,y) = \text d(y,x)$.
- (_Desigualdade triangular_) $\text d(x,z) \leq \text d(x,y) + \text d(y,z)$.

## 2022-07-19

### Exercício 1

Dado que para todo $m \in \mathbb{Z}$, $m\mathbb{Z} ≤ (\mathbb{Z}; +)$. Demonstre que esses são todos os subgrupos de $(\mathbb{Z}; +)$. Ou seja: para todo $H ≤ (\mathbb{Z}; +)$, existe $t \in \mathbb{Z}$ tal que $H = t\mathbb{Z}$.

## 2022-07-21
Seja $(a_n)_n$ sequencia de reais. Dizemos que $(a_n)_n$ converge para um real $L$ quando para qualquer $\varepsilon$ real positivo existe natural $N$ tal que para qualquer $n \geq N$ temos $\text d(a_n, L) \leq \varepsilon$.
Assim denotamos o fato de que uma sequencia $(a_n)_n$ converge para $L$: $(a_n)_n \rightarrow L$. E dizemos que $L$ é _limite_ das sequencia.
Demonstre:
- (Unicidade dos limites): Se uma sequencia converge para $L$ e também para $L'$, então $L=L'$.
- ($0.999\ldots = 1.000\ldots$): Mostre que as sequencias $(1 + 10^{-n})_n$ e $(1-10^{-n})_n$ convergem para $1$.
- (Soma dos limites é o limite das somas): Suponha $(a_n)_n \rightarrow x$ e $(b_n)_n \rightarrow y$. Então $(a_n + b_n)_n \rightarrow x+y$.
- Qualquer sequencia finita é _bounded_.
- Qualquer sequencia convergente é _bounded_.