# $A{\bf x} = {\bf b}$ 的解集合

This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

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from lingeo import random_int_list, random_ref

## Main idea

Let $A$ be an $m\times n$ matrix and ${\bf b}$ a vector in $\mathbb{R}^n$.
Recall that $A{\bf x} = {\bf b}$ is equivalent to a system of linear equation.
When ${\bf b} = {\bf 0}$, the system is said to be homogeneous, and
$$\operatorname{ker}(A) = \{{\bf x}\in\mathbb{R}^n : A{\bf x} = {\bf 0}\}.
$$

Let $U = \{{\bf x}\in\mathbb{R}^n : A{\bf x} = {\bf b}\}$ be the set of all solutions.
Then $U$ is an affine subspace in $\mathbb{R}^n$.
In fact, $U$ can be written as ${\bf p} + \operatorname{ker}(A)$, where ${\bf p}$ can be any vector in $U$.

We call $U$ the set of **general solutions**.
When one element is chosen from $U$, it is called a **particular solution**.
And $\operatorname{ker}(A)$ is called the set of **homogeneous solutions**.

Equivalently, the solutions set of $A{\bf x} = {\bf b}$ is of the form:

general solutions = particular solution + homogeneous solutions
(a shifted space) (a vector) (a space)

## Side stories
- `A.nullspace()`

## Experiments

##### Exercise 1
執行下方程式碼。

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False
A = random_ref(3,5,2)
p = vector(random_int_list(5))
b = A * p

h = A.right_kernel().basis()[0]
p1 = p + h

print("A =")
show(A)
print("b =", b)
print("p =", p)
print("h =", h)
print("p1 =", p1)

##### Exercise 1(a)

利用題目給的 ${\bf h}$.
確認它在 $\operatorname{ker}(A)$ 中。
計算 ${\bf p} + {\bf h}$ 並驗證它符合 $A({\bf p} + {\bf h}) = {\bf b}$。

:::warning
- [x] **0** --> $\bzero$，要丟要數學式裡，後兩題都是
:::

答:
題目給的 $A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & 5 & -5\\
0 & 1 & -5 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0& 0\\
\end{bmatrix}$，
${\bf p} = (-3,3,4,-4,-3)$，
${\bf h} = (1,0,0,\frac{-1}{5},0)$，
${\bf b} = (4,-26,0)$。
因為 $A{\bf h} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & 5 & -5\\
0 & 1 & -5 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0& 0\\
\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}
1\\0\\0\\\frac{-1}{5}\\0\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0\\0\\0
\end{bmatrix} = \bzero$，
所以 ${\bf h}$ 在 $\operatorname{ker}(A)$ 中。

${\bf p} + {\bf h} = (-2,3,4,\frac{-21}{5},-3)$ ，
$A({\bf p} + {\bf h}) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & 5 & -5\\
0 & 1 & -5 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-2\\3\\4\\\frac{-21}{5}\\-3\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
4\\-26\\10\\
\end{bmatrix}
= \bb$。
驗證符合 $A({\bf p} + {\bf h}) = {\bf b}$。

##### Exercise 1(b)

如果已知 $A{\bf p} = {\bf b}$。
證明對任意 $\operatorname{ker}(A)$ 中的向量 ${\bf h}$﹐
都有 $A({\bf p} + {\bf h}) = {\bf b}$。

:::warning

- [x] 全型標點旁不用再空格
:::

答:
因為向量 ${\bf h}$ 在 $\operatorname{ker}(A)$ 中，
所以 $A{\bf h}$ = $\bzero$。
因此 $A({\bf p + \bf h})$ = $A{\bf p} + A{\bf h}$ = ${\bf b}$ + **0** = ${\bf b}$，
可證明對任意 $\operatorname{ker}(A)$ 中的向量 ${\bf h}$，都有 $A({\bf p} + {\bf h}) = {\bf b}$。

##### Exercise 1(c)

利用題目給的 ${\bf p}_1$﹐
確認它符合 $A{\bf p}_1 = {\bf b}$。
計算 ${\bf p}_1 - {\bf p}$ 並驗證它在 $\operatorname{ker}(A)$ 中。

答:
題目給 ${\bf p}_1 = (-2,3,4,\frac{-21}{5},-3)$。
$A{\bf p}_1 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & 5 & -5\\
0 & 1 & -5 & 0 & 3 & \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}-2\\3\\4\\\frac{-21}{5}\\-3\\\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
4\\-26\\10\\
\end{bmatrix}
= {\bf b}$。
${\bf p}_1 - {\bf p} = (1,0,0,\frac{-1}{5},0)$，

$A({\bf p}_1 - {\bf p}) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & 5 & -5\\
0 & 1 & -5 & 0 & 3 & \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\0\\0\\\frac{-1}{5}\\0\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0\\0\\0\\\end{bmatrix}$。
因為 $A({\bf p}_1 - {\bf p})$ = $\bzero$，
所以 ${\bf p}_1 - {\bf p}$ 在 $\operatorname{ker}(A)$ 中。

##### Exercise 1(d)

如果已知 $A{\bf p} = {\bf b}$。
證明對任意符合 $A{\bf p}_1 = {\bf b}$ 的向量 ${\bf p}_1$﹐
都有 ${\bf p}_1 - {\bf p}\in\operatorname{ker}(A)$。

:::warning

- [x] 怎麼突然從 答 變 Ans 了。兩者皆可，但是 $Ans:$ 不要放數學式，斜體可以用 *Ans:*
:::

答：
已知 $A{\bf p} = {\bf b}$，若存在 ${\bf p}_1$，使得 $A{\bf p}_1 = {\bf b}$ ，則
$A{\bf p}_1 - A{\bf p}$ = ${\bf b} - {\bf b}$，可得 $A({\bf p}_1 - {\bf p})$ = $0$。
由此可證 ${\bf p}_1 - {\bf p}\in\operatorname{ker}(A)$。

## Exercises

##### Exercise 2

給定矩陣 $A$ 和向量 ${\bf b}$。
假設 $\bb \in \Col(A)$。
令 $U = \{ {\bf x}: A{\bf x} = {\bf b} \}$。
證明 $V = \{ {\bf p}_1 - {\bf p}_2 : {\bf p}_1 , {\bf p}_2 \in U \}$ 是一個子空間。
（因此 $U$ 是一個仿射子空間。）

:::warning

- [x] 令 ${\bf x}\in\operatorname{ker}(A)$， --> 令 ${\bf x}\in\operatorname{ker}(A)$。因為 $\bb\in\Col(A)$，所以 $U\neq\emptyset$。
- [x] 兩邊同乘 $A$ ，可得 $A({\bf p}_1 - {\bf p}_2) = A{\bf x} = 0$。 <-- 這句不用
- [x] 由此可知 ${\bf p}_1 \in U$， --> 因為 $A\bp_1 = A(\bp_2 + \bx) = \bb + \bzero = \bb$，由此可知 ${\bf p}_1 \in U$，
:::

答：
若 ${\bf p}_1 , {\bf p}_2 \in U$ ，
則 : $A{\bf p}_1 = {\bf b}$ 且 $A{\bf p}_2 = {\bf b}$。
因此可得 $A{\bf p}_1 - A{\bf p}_2 = {\bf b} - {\bf b}$，
$A({\bf p}_1 - {\bf p}_2) = \bzero$。

令 ${\bf x}\in\operatorname{ker}(A)$。
因為 ${\bf b} \in\operatorname{Col}(A)$，所以 $U\neq\emptyset$。
取 ${\bf p}_2 \in U$，令 ${\bf p}_1 = {\bf p}_2 + {\bf x}$，則 ${\bf p}_1 - {\bf p}_2 = {\bf x}$，
因為 $A{\bf p}_1 = A({\bf p}_2 + {\bf x}) = {\bf b} + \bzero = {\bf b}$
由此可知 ${\bf p}_1 \in U$，
因此可得 $V = \{ {\bf p}_1 - {\bf p}_2 : {\bf p}_1 , {\bf p}_2 \in U \} = \{ {\bf x}:A{\bf x} = \bzero \}$ 是一個子空間。

##### Exercise 3

執行以下程式碼。

### code
set_random_seed(0)
A = random_ref(3,5,2)
b = vector(random_int_list(2) + [0])
b1 = b + vector([0,0,1])

print("A =")
show(A)
print("b =", b)
print("b1 =", b1)

##### Exercise 3(a)

湊出一個 $A{\bf x} = {\bf b}$ 的解﹐稱之作 ${\bf p}$。

答:
題目給 $A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & 5 & -5\\
0 & 1 & -5 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0& 0\\
\end{bmatrix}$，
${\bf b} = (-3,3,0)$。

設 ${\bf x} = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$，則 $A{\bf x} = {\bf b}$ 為:
$$\begin{cases}
1x_1 + 0x_2 + 3x_3 + 5x_4 - 5x_5 &= -3,\\
0x_1 + 1x_2 - 5x_3 + 0x_4 + 3x_5 &= 3,\\
0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 + 0x_5 &= 0.
\end{cases}
$$
令 $x_3=x_4=x_5=0$，則 $x_1=-3,x_2=3$，

所以 ${\bf p}={\bf x}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(-3,3,0,0,0)$。

##### Exercise 3(b)

利用參數式的方法找出 ${\bf h}_1$、${\bf h}_2$ 和 ${\bf h}_3$
使得 $\operatorname{ker}(A) = \operatorname{span}(\{{\bf h}_1, {\bf h}_2, {\bf h}_3\})$。

:::warning
- [x] 呃... 啊你為什麼不要解 $A\bx = \bzero$ 就好，這樣就不用一直 $-\bp$
:::

答:
當 ${\bf x}=(x_1,x_2,1,0,0)$ 時解 $A\bx = \bzero$，則 $x_1=-3，x_2=5$，
所以 ${\bf h}_1=(-3,5,1,0,0)$。
當 ${\bf x}=(x_1,x_2,0,1,0)$ 時解 $A\bx = \bzero$，則 $x_1=-5，x_2=0$，
所以 ${\bf h}_2=(-5,0,0,1,0)$。
當 ${\bf x}=(x_1,x_2,0,0,1)$ 時解 $A\bx = \bzero$，則 $x_1=5，x_2=-3$，
${\bf h}_3=(5,-3,0,0,1)$。
因此 $\operatorname{ker}(A) = \{s{\bf h}_1 + t{\bf h}_2 + u{\bf h}_3:s,t,u \in \mathbb{R}\} = \operatorname{span}(\{{\bf h}_1, {\bf h}_2,{\bf h}_3\})$。

##### Exercise 3(c)

求出 $A{\bf x} = {\bf b}$ 的所有解。

:::warning

- [x] 用 `aligned` 對齊
- [x] 加一下 $\bh_3$，上一題我題目打錯了
:::

答:
上述已求出 ${\bf p}$ 和 $\operatorname{ker}(A) = \operatorname{span}(\{{\bf h}_1, {\bf h}_2, \bh_3\})$，
因此 $\{A{\bf x} = {\bf b}\}$ 的所有解
$$\begin{aligned}
&= {\{\bf p} + s{\bf h}_1 + t{\bf h}_2 +
u{\bf h}_3:s,t,u \in \mathbb{R}\} \\
&= {\bf p} + \{s{\bf h}_1 + t{\bf h}_2 +
u{\bf h}_3:s,t,u \in \mathbb{R}\} \\
&= {\bf p} + \operatorname{span}(\{{\bf h}_1, {\bf h}_2,{\bf h}_3\}).
\end{aligned}
$$

##### Exercise 3(d)

說明 $A{\bf x} = {\bf b}_1$ 無解。
（儘管 $\operatorname{ker}(A)$ 中有很多向量。）

答:
題目給 ${\bf b}_1 = (-3,3,1)$。

令 ${\bf x} = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$。

假設 $A{\bf x} = {\bf b}_1$ 有解，
此時 $A{\bf x} = {\bf b}_1$ 可寫成方程組
$$\begin{cases}
1x_1 + 0x_2 + 3x_3 + 5x_4 - 5x_5 &= -3,\\
0x_1 + 1x_2 - 5x_3 + 0x_4 + 3x_5 &= 3,\\
0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 + 0x_5 &= 1,
\end{cases}
$$
其中 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \in \mathbb{R}$。

因為 $0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 + 0x_5 = 0 \neq 1$，
所以 $A{\bf x} = {\bf b}_1$ 有解的假設矛盾，
因此 $A{\bf x} = {\bf b}_1$ 無解。

##### Exercise 4

我們現階段對解集合的理解
已經可以告訴我們一些有趣的性質。

##### Exercise 4(a)

令 $V$ 為一子空間。
若 $V$ 中至少有兩個向量﹐
$V$ 中向量的個數是否有可能是有限個？

:::warning

- [x] Let $\vspan(V)=({\bf u}_1,{\bf u}_2 , \cdots ,{\bf u}_n)$ <-- 第一句我就看不懂，你是說 $V$ 只有 $n$ 個向量嗎？集合應該用 $\{...\}$。啊你沒事拿 $V$ 去 $\vspan$ 幹麻... 如果 $V$ 是子空間，那麼 $\vspan(V) = V$。
- [x] 句子不完整
- [x] 文法

大致上你要說的只有：

...
:::

答:

因為有兩個點，我們令 $\bu_1,\bu_2\in V$ 且 $\bu_1 \neq \bu_2$。
由於 $V$ 是一個子空間，$c_1\bu_1 + c_2\bu_2\in V$。
因為 $\bu_1 \neq \bu_2$，我們可以假設 $\bu_2\neq\bzero$。
同時，因為 $c_2$ 可以是任何實數，
所以 $c_1\bu_1 + c_2\bu_2\in V$ 有無窮多個可能性。
因此 $V$ 不可能只有有限個元素。

<!--
Let $\vspan(V)=({\bf u}_1,{\bf u}_2 , \cdots ,{\bf u}_n)$

for ${\bf u}_1,{\bf u}_2\in \mathbb{V}$ has ${\bf u}_1+{\bf u}_2\in \mathbb{V}$

and for every scalar ${\bf k }.{\bf m }.....{\bf g }，{\bf u}_1.{\bf u}_2.....{\bf u}_n\in \mathbb{V}$ has ${\bf k }{\bf u }_1.{\bf m }{\bf u }_2.....{\bf g}{\bf u }_n\in \mathbb{V}$

according to $\vspan(V)$ definition

we have ${\bf k }{\bf u }_1.{\bf m }{\bf u }_2.....{\bf g}{\bf u }_n\in \mathbb{V}$ ${\bf k }.{\bf m }....{\bf g}\in \mathbb{R}$

Obviously，we can have infinity vector by this liner combination，so the question is NO
-->

##### Exercise 4(b)

若 $A{\bf x} = {\bf b}$ 至少有兩個解﹐
全部解的個數是否有可能是有限個？

:::warning

- [x] 跟前面一樣：若 $\bx_1$ 和 $\bx_2$ 為兩相異解，則 ...。既然也不確定有幾個解，沒必要假設有 $n$ 個，就拿兩個出來就好。
- [x] 純量不用粗體
:::

答:

因為有兩個解，我們令 $\bu_1,\bu_2$ 滿足 $A\bu_1 = A\bu_2 = \bb$，$\bu_1 \neq \bu_2$。
則 $A(\bu_1 - \bu_2) = \bb - \bb = \bzero$。
我們可以發現，對於任何 $k\in\mathbb{R}$ 都有
$$
A(\bu_1 + k(\bu_1 - \bu_2)) = A\bu_1 + kA(\bu_1 - \bu_2)
= \bb + \bzero = \bb.
$$
因此 $\bu_1 + k(\bu_1 - \bu_2)$ 也是 $A\bx = \bb$ 的解。
由於 $k$ 有無窮多個可能性。
因此 $A\bx = \bb$ 不可能只有有限個解。
<!--
Let $A{\bf x} = {\bf b}$ has ${\bf x}_1$,${\bf x}_2$,${\bf x}_3$......${\bf x}_n$ solution，$n \in \mathbb{N}$。

Satisfy that $A{\bf x}_1 = {\bf b}$ ，$A{\bf x}_2 = {\bf b}$，……，$A{\bf x}_n= {\bf b}$

${\bf a}_1A{\bf x}_1 = {\bf b}$ ，${\bf a}_2A{\bf x}_2 = {\bf b}$ ，……，${\bf a}_nA{\bf x}_n = {\bf b}$

${\bf a}_1A{\bf x}_1+{\bf a}_2A{\bf x}_2+......{\bf a}_nA{\bf x}_n={\bf A}({\bf a}_1{\bf x}_1+{\bf a}_2{\bf x}_2+{\bf a}_n{\bf x}_n)=({\bf a}_1+{\bf a}_2+......{\bf a}_n){\bf b}$

Satisfy that ${\bf a}_1+{\bf a}_2+......{\bf a}_n=1$，${\bf a}_1{\bf x}_1，{\bf a}_2{\bf x}_2......{\bf a}_n{\bf x}_n$ can combine infinity answer，so the question is NO
-->

:::info
乾淨漂亮！
3(b) 有不必要的步驟
第 5 題不知道在寫什麼，有待改進。

目前分數 5.5/5
:::