行列式值的定義

# 行列式值的定義 ![Creative Commons License](https://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88x31.png) This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). $\newcommand{\trans}{^\top} \newcommand{\adj}{^{\rm adj}} \newcommand{\cof}{^{\rm cof}} \newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle} \newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\bone}{\mathbf{1}} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\nul}{\operatorname{null}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} %\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}} \newcommand{\range}{\operatorname{range}} \newcommand{\Col}{\operatorname{Col}} \newcommand{\Row}{\operatorname{Row}} \newcommand{\spec}{\operatorname{spec}} \newcommand{\vspan}{\operatorname{span}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}$ ```python from lingeo import random_int_list ``` ## Main idea For $n\times n$ matrices $A$, the **determinant** $\det(A)$ is defined through the following rules. - $\det(I_n) = 1$. - If $E$ is the elementary matrix of $\rho_i\leftrightarrow\rho_j$, then $\det(EA) = -\det(A)$ and we define $\det(E) = -1$. - If $E$ is the elementary matrix of $\rho_i:\times k$, then $E$ **rescales** the $i$-th row of $A$. Thus, $\det(EA) = k\det(A)$ and we define $\Vol_R(E) = k$. (Note that this statement still holds even when $k = 0$.) - If $E$ is the elementary matrix of $\rho_i:+k\rho_j$, then $E$ **slants** the $i$-th row of $A$ to the direction of $j$-th row. Thus, $\det(EA) = \det(A)$ and we define $\det(E) = 1$. Note that the determinants for $2\times 2$ and $3\times 3$ matrices agree with this definition. As a consequence, if a matrix $A$ is invertible and can be written as the product a sequence of elementary matrices $F_1\cdots F_k$, then $\det(A) = \det(F_1)\cdots\det(F_k)\det(I_n) = \det(F_1)\cdots\det(F_k)$. In contrast, if $A$ is not invertible, then $\det(A) = 0$. In particular, this happens when - $A$ has a zero row, or - $A$ has repeated rows. By definitions, $\det(A) = \Vol_C(A) = \Vol_R(A)$ for any matrix $A$. ##### Remark Thanks to row operations, the definition of $\det(A)$ assigns at least a value to $\det(A)$. However, _maybe_ the rules assigns more than one values to it. That is, the function might not be _well-defined_. A matrix $A$ can be written as the product of different sequences of elementary matrices. For example, one may write $$ A = F_1 \cdots F_k = E_1 \cdots E_h $$ for elementary matrices $F_1,\ldots, F_k$ and $E_1,\ldots, E_h$. However, it is not yet clear by the definition that $\det(F_1) \cdots \det(F_k) = \det(E_1) \cdots \det(E_h)$. We will deal with this issue at the end of this chapter. ## Side stories - well-defined - permutation matrices ## Experiments ##### Exercise 1 執行以下程式碼。 ```python ### code set_random_seed(0) print_ans = False n = 4 while True: A = matrix(n, random_int_list(n^2, 3)) if A.det() != 0: break print("A =") pretty_print(A) if print_ans: print("determinant of A =", A.det()) ``` ##### Exercise 1(a) 將 $A$ 消成最簡階梯形式、並記錄下每一步的列運算。 :::warning - [x] $\longleftrightarrow$ --> $\leftrightarrow$ - [x] $A \xrightarrow{ \substack{\rho_2 : -1\rho_1 \\ \rho_3 : +3\rho_1 \\ \rho_4 : +3\rho_1} }B$ 學一下原始碼把它疊起來 - [x] $-13A$ 的意思是 $-13$ 乘 $A$，把那些數字拿掉。 ::: $Ans:$ $$ A = \begin{bmatrix} -3 & 3 & 1 & 2 \\ -3 & -3 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & -2 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_3 \leftrightarrow \rho_1} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 \\ -3 & -3 & -1 & 3 \\ -3 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & -2 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_2 \leftrightarrow \rho_4} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & -2 & 0 \\ -3 & 3 & 1 & 2 \\ -3 & -3 & -1 & 3 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_2 : -1\rho_1 \\ \rho_3 : +3\rho_1 \\ \rho_4 : +3\rho_1} } $$ $$ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -2 \\ 0 & -3 & 4 & 8 \\ 0 & -9 & 2 & 9 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_1 : -2\rho_2 \\ \rho_3 : -3\rho_2 \\ \rho_4 : +3\rho_2} } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 7 & 6 \\ 0 & -1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 13 & 14 \\ 0 & 0 & 29 & 27 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_2 : \times(-1)\rho_2 \\ \rho_3 : \times\frac{1}{13} \rho_3} } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{14}{13} \\ 0 & 0 & 29 & 27 \\ \end{bmatrix} $$ $$\xrightarrow{ \substack{\rho_1 : +(-7)\rho_3 \\ \rho_2 : +(-3)\rho_3 \\ \rho_4 : +(-29)\rho_3} } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{-20}{13} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{-16}{13} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{14}{13} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-55}{13} \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_4 : \times\frac{13}{-55}\rho_4} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{-20}{13} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{-16}{13} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{14}{13} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{ \substack{\rho_1 : +\frac{20}{13}\rho_4 \\ \rho_2 : +\frac{16}{13}\rho_4 \\ \rho_3 : +\frac{-14}{13}\rho_4} } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}. $$ ##### Exercise 1(b) 求出 $\det(A)$。 :::warning - [x] $A$ 不會等於 $55I$，把 $55 I$ 拿掉。這題用敘述的就可以了：依照上一題的列運算，$A$ 可以由 $I$ 經過列運算得來，中間的列運算會讓行列式值分別乘上 ... ，所以 ... 。 - [x] 中英數間空格 ::: $Ans:$ 依照上一題的列運算，$A$ 可以由 $I$ 經過列運算得來，中間的列運算會讓行列式值分別乘上 $(-1)、(-1)、(-1)、13、(\frac{-55}{13})$ 所以 $\det(A) = (-1) \times (-1) \times (-1)\times 13\times (\frac{-55}{13}) = 55.$ ## Exercises ##### Exercise 2 對以下矩陣 $A$，求出 $\det(A)$。 ##### Exercise 2(a) $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}. $$ :::warning - [x] $\longleftrightarrow$ --> $\leftrightarrow$ - [x] 標點 ::: $Ans:$ 將 $A$ 做列運算 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_3 \leftrightarrow \rho_4} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_2 \leftrightarrow \rho_3} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_1 \leftrightarrow \rho_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}.$ 由此可知，行列式值為 $(-1)\times(-1)\times(-1)=-1$。 ##### Exercise 2(b) $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}. $$ :::warning - [x] 同上一題 ::: $Ans:$ 將 $A$ 做列運算 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_2 \leftrightarrow \rho_3}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_1 \leftrightarrow \rho_2}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_4 \leftrightarrow \rho_3}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $\xrightarrow{\rho_2 \leftrightarrow \rho_3}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}.$ 由此可知，行列式值為 $(-1)\times(-1)\times(-1)\times(-1)=1$ 。 ##### Exercise 2(c) $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}. $$ :::warning - [x] 同上一題 ::: $Ans:$ 將 $A$ 做列運算 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_3 \leftrightarrow \rho_4}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_2 \leftrightarrow \rho_3}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_1 \leftrightarrow \rho_2}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ $\xrightarrow{\rho_3 \leftrightarrow \rho_4}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_2 \leftrightarrow \rho_3}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_3 \leftrightarrow \rho_4}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}.$ 由此可知，行列式值為 $(-1)\times(-1)\times(-1)\times(-1)\times(-1)\times(-1)=1$ 。 ##### Exercise 2(d) $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}. $$ :::warning - [x] 同上一題 ::: $Ans:$ 將 $A$ 做列運算 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_3 \leftrightarrow \rho_4}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_2 \leftrightarrow \rho_3}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_1 \leftrightarrow \rho_2}\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ $\xrightarrow{\rho_3 \leftrightarrow \rho_4}\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_2 \leftrightarrow \rho_3}\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_3 \leftrightarrow \rho_4}\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_1 : \times\frac{1}{4}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $\xrightarrow{\rho_2 : \times\frac{1}{3}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_3 : \times\frac{1}{2}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}.$ 由此可知，行列式值為 $2\times3\times4\times(-1)\times(-1)\times(-1)\times(-1)\times(-1)\times(-1)=24$ 。 ##### Exercise 2(e) $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}. $$ :::warning - [x] 同上一題 ::: $Ans:$ 將 $A$ 做列運算 $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_2 \leftrightarrow \rho_3}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_1 \leftrightarrow \rho_2} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_3 \leftrightarrow \rho_4}\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$ $\xrightarrow{\rho_2 \leftrightarrow \rho_3}\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_1 : \times\frac{1}{3}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_2 : \times\frac{1}{4}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_4 : \times\frac{1}{2}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}.$ 由此可知，行列式值為 $2\times4\times3\times(-1)\times(-1)\times(-1)\times(-1)=24$ 。 ##### Exercise 3 對以下矩陣 $A$，求出 $\det(A)$。 ##### Exercise 3(a) $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}. $$ :::warning - [x] 有數學沒進數學模式 - [x] 雖然沒錯，但這題實在沒必要用到降階。如果覺得打列運算很麻煩，可以參考 1(a) 的打法，一次做多個列運算。 ::: $Ans:$ $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_2 : \times(-1)\rho_1 \\ \rho_3 : \times(-1)\rho_1 \\ \rho_4 : \times(-1)\rho_1} } \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_1 : \times(-1)\rho_2 \\ \rho_3 : \times(-1)\rho_2 \\ \rho_4 : \times(-1) \rho_2} } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_2 : \times(-1)\rho_3 \\ \rho_4 : \times(-1)\rho_3\\} } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_4 : \times(-1)\rho_3 \\} } \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}. $$ 因此 $\det(A) =1$。 ##### Exercise 3(b) $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{bmatrix}. $$ $Ans:$ 由 3(a) 可知，對 $A$ 做列運算可將 $A$ 化簡為 $$ A ＝ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}. $$ 因此 $\det(A) =1$。 ##### Exercise 4 對以下矩陣 $A$，求出 $\det(A)$。 ##### Exercise 4(a) $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{bmatrix}. $$ :::warning - [x] 參考 1(a) 的排版 - [x] 最後一句在數學模式外全型句點 - [x] 中英數空格 ::: $Ans:$ 將 $A$ 做列運算，運算至上三角矩陣 $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_2 : -1\rho_1 \\ \rho_3 : -1\rho_1 \\ \rho_4 : -1\rho_1}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & 2 & 8 & 26 \\ 0 & 3 & 15 & 63 \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_3: -2\rho_2 \\ \rho_4: -3\rho_2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 2 & 12 \\ 0 & 0 & 6 & 42 \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_4: -3\rho_3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 2 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}. $$ 則 $\det(A)= 1 \times 1 \times 2 \times 6 =12$。 ##### Exercise 4(b) $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & 81 \\ 1 & 4 & 16 & 64 & 256 \\ 1 & 5 & 25 & 125 & 625 \end{bmatrix}. $$ :::warning - [x] 參考 1(a) 的排版 - [x] 最後一句在數學模式外全型句點 - [x] 中英數空格 ::: $Ans:$ 將 $A$ 做列運算，運算至上三角矩陣 $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & 81 \\ 1 & 4 & 16 & 64 &256 \\ 1 & 5 & 25 & 125 & 625 \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_2: -1\rho_1 \\ \rho_3: -1\rho_1 \\ \rho_4: -1\rho_1 \\ \rho_5: -1\rho_1}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 7 & 15 \\ 0 & 2 & 8 & 26 & 80 \\ 0 & 3 & 15 & 63 &255 \\ 0 & 4 & 24 & 124 & 624 \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_3: -2\rho_2 \\ \rho_4: -3\rho_2 \\ \rho_5: -4\rho_2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & 2 & 12 & 50 \\ 0 & 0 & 6 & 42 & 210 \\ 0 & 0 & 12 & 96 & 564 \end{bmatrix} $$ $$ \xrightarrow{ \substack{\rho_4: -3\rho_3 \\ \rho_5: -6\rho_3}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & 2 & 12 & 50 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 60 \\ 0 & 0 & 0 & 24 & 264 \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_5: -4\rho_4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & 2 & 12 & 50 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 60 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 24 \end{bmatrix}. $$ 則 $\det(A)= 1 \times 1 \times 2 \times 6 \times 24 =288$。 ##### Exercise 5 對以下矩陣 $A$，求出 $\det(A)$。提示：把所有列加到第一列。 ##### Exercise 5(a) $$ A = \begin{bmatrix} 4 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 4 \end{bmatrix}. $$ :::warning - [x] 參考 1(a) 的排版 - [x] 標點 - [x] 中英數空格 ::: $Ans:$ 將 $A$ 做列運算，運算至上三角矩陣 $$ \begin{bmatrix} 4 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 4 \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_1: +1\rho_2 +1\rho_3+ 1\rho_4 } \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 4 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 4 \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_2: +1\rho_1 \\ \rho_3: +1\rho_1 \\ \rho_4: +1\rho_1}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}. $$ 則$\det(A)= 1 \times 5 \times 5 \times 5 =125$。 ##### Exercise 5(b) 令 $A$ 為一 $n\times n$ 矩陣 $$ \begin{bmatrix} n & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & n & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ -1 & \cdots & -1 & n \end{bmatrix}. $$ :::warning - [x] 參考 1(a) 的排版 - [x] 標點 - [x] 中英數空格 ::: $Ans:$ 將 $A$ 做列運算，運算至上三角矩陣 $$ \begin{bmatrix} n & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & n & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ -1 & \cdots & -1 & n \end{bmatrix}\xrightarrow{\rho_1: +1\rho_2 +1\rho_3 +\cdots+1\rho_n } \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ -1 & n & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ -1 & \cdots & -1 & n \end{bmatrix}\xrightarrow{ \substack{\rho_2: +1\rho_1 \\ \rho_3: +1\rho_1 \\ \vdots \\ \rho_n: +1\rho_1}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & n+1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & n+1 \end{bmatrix}. $$ 則 $\det(A)= 1 \times (n+1) \times (n+1) \times \cdots \times (n+1) =(n+1)^{(n-1)}$。 ##### Exercise 6 利用 $\det$ 定義中的四條準則，說明以下性質。 ##### Exercise 6(a) 若 $A$ 中有一列為零向量，說明 $\det(A) = 0$。 :::warning - [x] 中英數之間空格 - [x] 用文字敘述清楚：若 $E$ 為列運算 $\rho_i:\times k$ 所對應的基本矩陣 ... - [x] $det$ --> $\det$ - [x] 這題不用消到上三角，參考 403 或 404 相對應的題目。 ::: $Ans:$ 因為 $A$ 中有一列零向量，我們可以使用列運算 $\rho_i:\times k$ 讓這一個零列每項的值乘 $k$ 倍，並令這一個新矩陣為 $B$。然而由於 $0$ 乘上任何數字還是 $0$，故 $A = B$。另外，從 $\det$ 的定義中得知 $$\det(B) = k\det(A). $$ 然而我們也知道 $A=B$，故 $\det(B) = \det(A)$。因此我們得到 $$ \det(B) = \det(A) = k\det(A), $$ 所以 $\det(A) = 0$。 ##### Exercise 6(b) 若 $A$ 中有兩列向量相等，說明 $\det(A) = 0$。 :::warning - [x] 中英數之間空格 - [x] 用文字敘述清楚：若 $E$ 為列運算 $\rho_i:???$ 所對應的基本矩陣 ... - [x] $det$ --> $\det$ - [x] 這題不用消到上三角，參考 403 或 404 相對應的題目。 - [x] 標點 ::: $Ans:$ 因為 $A$ 中有兩列相等，我們可以使用列運算 $\rho_i\leftrightarrow\rho_j$ 讓這兩列交換，並令這一個新矩陣為 $B$。然而由於兩列相等，交換後並不會有所差別，故 $A = B$。另外，從 $\det$ 的定義中得知 $$\det(B) = -\det(A). $$ 然而我們也知道 $A=B$，故 $\det(B) = \det(A)$。因此我們得到 $$ \det(B) = \det(A) = -\det(A), $$ 所以 $\det(A) = 0$。 ##### Exercise 6(c) 若 $A$ 中的列向量集合線性相依，說明 $\det(A) = 0$。 :::warning - [x] 中英數之間空格 - [x] 用文字敘述清楚：若 $E$ 為列運算 $\rho_i:???$ 所對應的基本矩陣 ... - [x] $det$ --> $\det$ - [x] 線性相依不見得是 $\rho_1 + \rho_2 = \rho_3$，參考 403 或 404 相對應的題目。 - [x] 標點 ::: $Ans:$ 假設 $A$ 為 $n \times n$ 矩陣，其列向量為 ${\{\ba_1,\ba_2,\cdots,\ba_n}\}$。則其中一個向量可以寫成其它向量的線性組合，不失一般性，我們假設 $\ba_i$ 可以寫成 $$ \ba_i = c_1\ba_1 + c_2\ba_2 + \cdots + c_n\ba_n，c_1,c_2,\ldots,c_n \in \mathbb R. $$ 那麼我們可以利用列運算 $\rho_i:+(-c_1)\rho_1$、$\rho_i:+(-c_2)\rho_2$ $\cdots$ 等等運算使得第 $i$ 列成為零列，從而得到與上面相同的結論。所以 $\det(A) = 0$。 :::info 目前分數 = 6.5 :::

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