聖晶石數如何影響開場收入
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# 模型 1
+ 只算股東花紅，假設花紅 = 0.8 x 股權 x 收入
+ 因此盈利極大化即股權(百分比)極大化
+ 假設每家公司至少有30人投資(新規定)
+ 在**極理想的情況下**其他29人投100下你的股權為$\frac{x}{2900+x}$, $x$為投資額
+ $100 \leq x \leq 4096$

因此模型為

$$\begin{matrix}
\max & \sum ^N \frac{ a_i}{2900+a_i}\\
s.t. & \left\{\begin{matrix}
\sum ^N a_i = 10000 \\
100 \leq a_i \leq 4096
\end{matrix}\right.
\end{matrix}$$

使用[拉格朗日乘數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B9%98%E6%95%B0)易得上面在$a_1 = ... = a_N$ 時極大化。此時總股權為

$$N(\frac{10000/N}{2900+ 10000/N}) \approx \frac{3.45N}{N + 3.45}$$

注意上式**的極限存在**，亦即**股權不會因石數增加而無限制增長**。數值參考：
+ $N=3$: 1.60427807487
+ $N=5$: 2.04081632653
+ $N=10$: 2.5641025641
+ $N=17$: 2.86677908938

把經理人花紅加進去又會如何呢？

# 模型 2

別忘記經理人必須投至少1024元，但相對來說他有5%經理人花紅，**相當於6.25%股權**。這時候非經理股權理論值為：

$$\frac{x}{3800+x}$$

經理股權理論值為：

$$\frac{x}{2900+x} + 0.0625$$

從模型1不難看出6.25%額外股權之效率遠超投資1024以上金額之效率，亦即**換超過10石時石頭不會帶來實質利益**。數值參考：

+ $N=3$時理論值為

$$eff = 3 \times (\frac{10000/3}{2900+10000/3} + 0.0625) \approx 1.80$$

+ $N =17$時理論值為(送他240塊)

$$eff < 10 \times (\frac{1024}{2900+1024} + 0.0625) \approx 3.23$$

注意：開季第一周並沒有打工制度。

# 實質利益

假設有人能實現上述股權理論值分佈，那透過換石17石玩家比3石玩家可以多賺多少錢呢？(實際最佳投資分佈與換石策略有關，但與上述計算不會差太遠)。

3石玩家：將3石安在3家自己公司上，不需要換石：

$$P = 0.8 \times 9000 \times (\frac{10000/3}{2900+10000/3} + 0.0625) \times (\log 2.5 +2\log 1.5) \approx 7427$$

17石玩家：將10石安在自己公司上，換7石：

$$P = 0.8 \times 9000 \times (\frac{1024}{2900+1024}+0.0625) \times (\log 2.5 + 7 \log 2 + 2 \log 1.5) \approx 15322$$

所以總差距理論極大值為$8000左右，**基本上為一周投資可以輕鬆回收的程度**；同時上述理論值基本上不可能達成：

+ 新開季投資必定以熱門~~老婆~~股票為主(收益遠勝換票/石 於情於理皆為合理選擇)，肯定不會只有30人投資更不可能有29人只投100塊。以本賽初熱門股64元上市為參考，上述股權值可能**會砍成十分之一甚至更低**。
+ 邊際效益問題。每顆石效益為$\log (N+1)-\log N = O(N^{-1})$，對於熱門老婆來說也不可能只有你一個人投石下去，此時每顆石的效益也可能變成原本的**三分之一**或更低。

本人無責任預測：兩者分別約在$500 ~ $1000之間，基本上就是一兩個614的程度。

上面隨便算的，有錯歡迎指正

$$(\int \hat{=\upsilon =})$$