矩陣的行空間

This work by Jephian Lin is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

from lingeo import random_int_list, draw_span

Main idea

Matrix-vector multiplication (by column)

Let
\[A = \begin{bmatrix} | & ~ & | \\ {\bf u}_1 & \cdots & {\bf u}_n \\ | & ~ & | \\ \end{bmatrix}\] be an \(m\times n\) matrix and
\[{\bf v} = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}\] a vector in \(\mathbb{R}^n\).
Then
\[A{\bf v} = c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_n{\bf u}_n. \]

Thus,
\[\{A{\bf v}: {\bf v}\in\mathbb{R}^n\} = \operatorname{span}(\{{\bf u}_1, \ldots, {\bf u}_n\}), \] which is called the column space \(\operatorname{Col}(A)\) of \(A\).

Therefore,
the equation \(A{\bf v} = {\bf b}\) has a solution if and only if \({\bf b}\in\operatorname{Col}(A)\).

Side stories

• redundant vectors for span
• A \ b

Experiments

Exercise 1

執行下方程式碼。
令 \({\bf u}_1\) 及 \({\bf u}_2\) 為 \(A\) 的行向量。
原點為橘色點、 從原點延伸出去的紅色向量和淡藍色向量分別為 \({\bf u}_1\) 和 \({\bf u}_2\)。
黑色向量為 \({\bf b}\)。
問 \(A{\bf v} = {\bf b}\) 的 \({\bf v}\) 是否有解？
若有解﹐求 \({\bf v}\)。

答:
題目給的是
seed=0、 \(A=\begin{bmatrix} -4&3\\ -5&-5\\ 3&-3 \end{bmatrix}\)、 \({\bf b}=\begin{bmatrix} -14\\ 0\\ 12 \end{bmatrix}\)。
\(A\bv = \bb\) 的 \(\bv\) 有解，因爲黑色線的的確確落在 \(\bu_1,\bu_2\) 所張開成的平面上。 \[ \left\{ \begin{aligned} -4x+3y &= -14, \\ -5x-5y &= 0, \\ 3x-3y &= 12, \end{aligned} \right. \] 其中 \(x,y \in \mathbb{R}\) 。
由於第一項加第三項為 \(-x=-2\) ，所以 \(x=2\) 。
代入第一項 \(-8+3y=-14\) ，所以 \(y=-2\) 。
故 \[\bv = \left\{ \begin{aligned} x &=2,\\ y &=-2. \end{aligned} \right. \]

### code
set_random_seed(0)
print_ans = True
while True:
    l = random_int_list(9)
    Ae = matrix(3, l)
    if Ae.det() != 0:
        break
u1 = vector(Ae[:,0])
u2 = vector(Ae[:,1])
u3 = vector(Ae[:,2])
A = Ae[:,:2]

inside = choice([0,1,1])
coefs = random_int_list(2, 2)
if inside:
    b = coefs[0]*u1 + coefs[1]*u2
else:
    b = coefs[0]*u1 + coefs[1]*u2 + 3*u3
    
print("A =")
print(A)
print("b =", b)

pic = draw_span([u1,u2])
pic += arrow((0,0,0), b, width=5, color="black")
show(pic)

if print_ans:
    if inside:
        print("It has a solution v = %s."%coefs[:2])
    else:
        print("It has no solution.")

Exercises

Exercise 2(a)

令 \[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\text{ and } {\bf b} = \begin{bmatrix}3\\9\\15\end{bmatrix}. \]
判斷 \({\bf b}\) 是否在 \(\operatorname{Col}(A)\) 中、
並給出說明。

答:
令 \({\bf v}=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\)。

\(A{\bf v}={\bf b}\) 可看成方程式 \[ \left\{ \begin{aligned} x+2y+3z &= 3, \\ 4x+5y+6z &= 9,\\ 7x+8y+9z &= 15, \end{aligned} \right. \] 其中 \(x,y,z \in \mathbb{R}\) 。
此方程組有解 \[ \left\{ \begin{aligned} x&=1+t, \\ y&=1-2t, \\ z&=t, \\ \end{aligned} \right. \] 其中 \(t \in\mathbb{R}\)。
故 \({\bf b}\) 屬於 \(\Col(A)\) 中。

Exercise 2(b)

令
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\text{ and } {\bf b} = \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}. \]
判斷 \({\bf b}\) 是否在 \(\operatorname{Col}(A)\) 中、
並給出說明。

答:
令 \({\bf v}=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\) \(A{\bf v=b}\) 可看成方程式 \[ \left\{ \begin{aligned} x+2y+3z&=1, \\ 4x+5y+6z&=1, \\ 7x+8y+9z&=1, \end{aligned} \right. \] 其中 \(x,y,z \in \mathbb{R}\) 。
此方程組有解 \[\left\{ \begin{aligned} x &= t, \\ y &= -1-2t, \\ z &= 1+t, \end{aligned} \right. \] 其中 \(t \in \mathbb{R}\)。
故 \(\bb\) 屬於 \(\Col(A)\) 中。

Exercise 2©

令
\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\text{ and } {\bf b} = \begin{bmatrix}2\\2\\2\\2\end{bmatrix}. \]
判斷 \({\bf b}\) 是否在 \(\operatorname{Col}(A)\) 中、
並給出說明。

答:
令 \(\bv = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ r \end{bmatrix}\) 。

\(A{\bf v=b}\) 可改寫成方程式 \[\left\{ \begin{aligned} y+r &= 2, \\ x+z &= 2, \\ y+r &= 2, \\ x+z &= 2, \end{aligned} \right.\] 其中 \(x,y,z,r \in \mathbb{R}\) 。
此方程組有解 \[\left\{ \begin{aligned} x &= 1+t, \\ y &= 1+k, \\ z &= 1-t, \\ r &= 1-k, \end{aligned} \right.\] 其中 \(t,k \in \mathbb{R}\) 。
故 \({\bf b}\) 屬於 \(\Col(A)\) 中。

Exercise 3(a)

令
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\text{ and } {\bf b} = \begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}. \]
給出一些直覺的敘述﹐說明 \({\bf b}\notin\operatorname{Col}(A)\)。

答:
可改寫成方程式 \[\left\{ \begin{aligned} x+2y & =3 \\ x+2y & =4 \end{aligned} \right.\] 其中 \(x,y \in \mathbb{R}\) 。
此方程組無解，故 \({\bf b}\) 不屬於 \(\Col(A)\) 中 。

Exercise 3(b)

令
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ -1 & -1 \\ \end{bmatrix}\text{ and } {\bf b} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\\2\end{bmatrix}. \]
給出一些直覺的敘述﹐說明 \({\bf b}\notin\operatorname{Col}(A)\)。

答:
可改寫成方程式 \[ \left\{\begin{aligned} x+y &= 0, \\ x+y &= 0, \\ -x-y &= 1, \\ -x-y &= 2, \end{aligned}\right. \] 其中 \(x,y\in\mathbb{R}\)。
此方程組無解，故 \({\bf b}\) 不屬於 \(\Col(A)\) 中

令 \(\bu_1,\bu_2,\bu_3,\bu_4\) 為 \(A\) 的四個行。
我們會發現 \(\bu_1 = \bu_2=-\bu_3=-\bu_4\)，而且任何 \({\bu_1,\bu_2\,\bu_3,\bu_4}\) 的線性組合
\[\begin{bmatrix} k \\ k \\-k\\-k \end{bmatrix}\] 的形式。
因此我們可以判定 \(\bb\) 不是 \(\bu_1,\bu_2\,\bu_3,\bu_4\) 的線性組合，
也就是說 \(\bb\notin\Col(A)\) 。

Exercise 3©

令
\[A = \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\text{ and } {\bf b} = \begin{bmatrix}-4\\1\\1\\1\end{bmatrix}. \]
給出一些直覺的敘述﹐說明 \({\bf b}\notin\operatorname{Col}(A)\)。

答:
可改寫成方程式 \[\left\{ \begin{aligned} -x-y-z&=(-4) \\ x &=1 \\ y &=1 \\ z &=1 \end{aligned} \right.\] 其中 \(x,y \in \mathbb{R}\)。
此方程組無解，故 \(\bb\) 不屬於 \(\Col(A)\) 中。

Exercise 4

以下的小題探討哪些向量刪除以後不會影響生成出來的子空間。
令
\[A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \] 且 \(S = \{{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_4\}\) 為 \(A\) 的所有行向量。

Exercise 4(a)

對 \(S\) 中的每一個 \({\bf u}_i\) 逐個檢查﹐
哪一個 \({\bf u}_i \in \operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}_i\})\)。

根據上一節的練習，
如果扣掉一個這樣的 \({\bf u}_i\) 並不會影響生成出來的子空間。

答:
令 \(\bu_1 = (1,1,1), \bu_2 = (-1,1,0),\bu_3(1,0,-1), \bu_4 = (0,-1,1)\) 。

我們可以解 \(\bu_1 = c_2\bu_2 + c_3\bu_3 + c_4\bu_4\)， 由於 \(c_2,c_3,c_4\) 無解，所以 \(\bu_1\) 不在 \(\vspan(S\setminus\{{\bf u}_1\})\) 中。

由於 \(\bu_2+\bu_4=\bu_3\)， 可得 \[ \begin{aligned} \bu_2 &= 0\bu_1 +\bu_3-\bu_4, \\ \bu_3 &= 0\bu_1 +\bu_2+\bu_4, \\ \bu_4 &= 0\bu_1-\bu_2+\bu_3, \end{aligned} \] 因此對於 \(i = 2,3,4\)，都有 \(\bu_i\in\vspan(S\setminus\{{\bf u}_i\})\) 。

Exercise 4(b)

經過計算
\[A \begin{bmatrix}0\\1\\-1\\1\end{bmatrix} = {\bf 0}. \] 也就是 \(1{\bf u}_2 + 1{\bf u}_4 = 1{\bf u}_3\)。
用這個等式來說明
\({\bf u}_2, {\bf u}_3, {\bf u}_4\) 中刪掉任何一個都不會影響生成出來的子空間。

答:
[由朱帝林同學提供]
對 \(A\) 中的 \({\bf u}_2\) 做檢查，
希望可以把 \(\bu_2\) 寫成 \(c_1\bu_1 + c_2\bu_3 + c_3\bu_4\) 的形式，
由題目條件 \(1{\bf u}_2 + 1{\bf u}_4 = 1{\bf u}_3\) 得知，
當 \(c_1 = 0,c_2 = 1,c_3 = -1\) 時，
\(\bu_2 = 0\bu_1 + 1\bu_3 - 1\bu_4\) 等式恆成立，
所以 \(\bu_2\) 在 \(\vspan(S\setminus\{{\bf u}_2\})\) 中。

對 \(A\) 中的 \({\bf u}_3\) 做檢查，
希望可以把 \(\bu_3\) 寫成 \(d_1\bu_1 + d_2\bu_2 + d_3\bu_4\) 的形式，
由題目條件 \(1{\bf u}_2 + 1{\bf u}_4 = 1{\bf u}_3\) 得知，
當 \(d_1 = 0,d_2 = 1,d_3 = 1\) 時，
\(\bu_3 = 0\bu_1 + 1\bu_2 + 1\bu_4\) 等式恆成立，
所以 \(\bu_3\) 在 \(\vspan(S\setminus\{{\bf u}_3\})\) 中。

對 \(A\) 中的 \({\bf u}_4\) 做檢查，
希望可以把 \(\bu_4\) 寫成 \(e_1\bu_1 + e_2\bu_2 + e_3\bu_3\) 的形式，
由題目條件 \(1{\bf u}_2 + 1{\bf u}_4 = 1{\bf u}_3\) 得知，
當 \(e_1 = 0,e_2 = -1,e_3 = 1\) 時，
\(\bu_4 = 0\bu_1 - 1e_2\bu_2 + 1\bu_3\) 所以 \(\bu_4\) 在 \(\vspan(S\setminus\{{\bf u}_4\})\) 中。

由上述得知 \({\bf u}_2, {\bf u}_3, {\bf u}_4\) 中刪掉任何一個都不會影響生成出來的子空間。

Exercise 4©

令 \(A'\) 為 \(A\) 的前三行組成的矩陣。
我們己知 \(\operatorname{Col}(A') = \operatorname{Col}(A)\)。
經過解方程式的計算可以發現 \(\operatorname{ker}(A') = \{{\bf 0}\}\)。
利用這個性質說明 \(A'\) 的行之中
沒辦法再拿掉任何一行
但同時保持行空間。

[由林柏仰同學提供]
若將 \(A'\) 的前三行表示成 \(\bu_1,\bu_2,\bu_3\) 三個向量，則 \(A'{\bf x} = {\bf 0}\) 可表示成 \[ \begin{bmatrix} | & | & | \\ \bu_1 & \bu_2 & \bu_3 \\ | & | & | \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \bzero. \] 透過此矩陣乘法我們可知 \(x_1\bu_1 + x_2\bu_2 + x_3\bu_3 = {\bf 0}\)
而 \(\ker(A')\) 為所有可以使此等式成立的 \(x_1,x_2,x_3\) 所組成的向量 \({\bf x_1,x_2,x_3}\)。
若 \(\bu_1\in\vspan(\{\bu_2,\bu_3\})\)，我們可以找到 \(c_2,c_3\in\mathbb{R}\) 使得 \(\bu_1 = c_2\bu_2 + c_3\bu_3\)。
這表示 \(1\bu_1 - c_2\bu_2 - c_3\bu_3 = \bzero\) 且 \((1, -c_2, -c_3)\in\ker(A)\)。
由於題目假設 \(\ker(A') = \{\bzero\}\)，所以 \(\bu_1\notin\vspan(\{\bu_2,\bu_3\})\)。
類似的論證可以得到 \(\bu_2\notin\vspan(\{\bu_1,\bu_3\})\) 且 \(\bu_3\notin\vspan(\{\bu_1,\bu_2\})\)。 由此可知，去掉 \(\bu_1,\bu_2,\bu_3\) 其中任何一個，行空間皆會改變。

另解（對一般的矩陣 \(A'\)，若 \(\ker(A') = \{\bzero\}\)，則對任何 \(\bu_i\in S\) 都有 \(\vspan(S \setminus \{ {\bf u}_i \} ) \neq \vspan(S)\)。）
[由廖緯程同學提供]
分析:
沒辦法從 \(A'\) 的行中拿掉任何一行，但同時保持行空間。
用定義解釋就是，對於所有 \({\bf u}_i \in S，\operatorname{span}(S \setminus \{ {\bf u}_i \} ) \neq \operatorname{span}(S)。\)
所以題目相當於證明，當

\[ \operatorname{ker}(A') = \{ {\bf 0} \}， \]

則對任何 \(\bu_i\in S\) 都有

\[ \operatorname{span}(S \setminus \{ {\bf u}_i \} ) \neq \operatorname{span}(S)。 \]

證明:
假設 \({\bf u}_i \in \operatorname{span}(S \setminus \{ {\bf u}_i \})\)，則存在一些 \(c_1,\ldots,c_{i-1},c_{i+1},\ldots,c_n \in \mathbb{R}\) 使得

\[ {\bf u}_i = c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_{i - 1}{\bf u}_{i - 1} + c_{i + 1}{\bf u}_{i + 1} + \cdots + c_n{\bf u}_n. \]

這個等式可以看成

\[ A'\begin{bmatrix} c_1\\ \vdots\\ c_{i-1}\\ -1\\ c_{i+1}\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix} ={\bf 0}. \]

根據 \(\operatorname{ker}(A')\) 的定義

\[ \begin{bmatrix} c_1\\ \vdots\\ c_{i-1}\\ -1\\ c_{i+1}\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix} \in \operatorname{ker}(A') \]

但這與 \(\operatorname{ker}(A') = \{ {\bf 0} \}\) 矛盾。
所以 \({\bf u}_i \not\in \operatorname{span}(S \setminus \{ {\bf u}_i \})，\) 但 \({\bf u}_i \in \operatorname{span}(S)\)

得證，當

\[ \operatorname{ker}(A') = \{ {\bf 0} \}， \]

則對任何 \(\bu_i\in S\) 都有

\[ \operatorname{span}(S \setminus \{ {\bf u}_i \} ) \neq \operatorname{span}(S)。 \]

Exercise 4(d)

令 \(A\) 為任一矩陣且
\(S = \{{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n\}\) 為其所有行向量。
證明以下敘述等價：

1. \(\operatorname{ker}(A) = \{{\bf 0}\}\).
2. \(\operatorname{span}(S\setminus{\bf u}_i) \subsetneq \operatorname{span}(S)\) for all \(i=1, \ldots, n\).

[由黃立帆同學提供]
1 \(\Rightarrow\) 2
Claim: \(\bu_n\) \(\notin\) \(\vspan(S \setminus\) \(\bu_n\)). Assume \(\bu_n\in\vspan(S \setminus\bu_n)\). Then there are \(c_1, \dots , c_{n-1} \in F\) such that \(\bu_n = c_1\bu_1+\dots+c_{n-1}\bu_{n-1}.\) In other words, \(c_1\bu_1+\dots+c_{n-1}\bu_{n-1}-\bu_n= \bzero\). That means \[\left[\begin{matrix} \bu_1 &\cdots& \bu_n \\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} c_1\\ \vdots \\ c_{n-1} \\ -1\\ \end{matrix}\right]= \bzero. \] So, we get \(\left[\begin{matrix} c_1\\ \vdots \\ c_{n-1} \\ -1\\ \end{matrix}\right] \in \ker(A)\). This is a contradition with \(\ker(A) = \lbrace \bzero\rbrace\). Finally, we have \(\bu_n \notin \vspan(S \setminus \bu_n)\).

Through similar arguments, we know \(\vspan(S \setminus\bu_i)\subseteq\vspan(S)\) for all \(i=1, \ldots ,n\).

2 \(\Rightarrow\) 1 Claim : \(\ker(A) \neq \lbrace \bzero\rbrace\) implies \(\vspan(S\setminus\bu_i)=\vspan(S)\) for some \(i\)=1, \(\dots\) n. Because \(\ker(A) \neq \lbrace \bzero\rbrace\), we can find at least an \(\bx\) = \(\left[\begin{matrix} c_1\\ \vdots \\ c_n\\ \end{matrix}\right]\) \(\in\) \(\ker(A)\), \(\bx\) \(\neq\bzero\). In other words, \(c_1\bu_1+\dots+c_{n}\bu_{n}=\bzero.\) Let \(c_i \neq 0\), for some \(i\). Then \[\bu_i = \frac{c_1\bu_1+\dots+c_{i-1}\bu_{i-1}+c_{i+1}\bu_{i+1}+\dots+c_n\bu_n}{c_i} \in \vspan(S\setminus \bu_i). \]

We can get \(\vspan(S\setminus\bu_i)=\vspan(S)\). Then we can conclude \(\vspan(S\setminus \bu_i) = \vspan(S)\), for some \(i\). That means \(\vspan(S\setminus \bu_i) \subsetneq \vspan(S)\) implies \(\ker(A) = \lbrace \bzero\rbrace\). \(\blacksquare\)

另解
[由廖緯程同學提供]
分析:
自然地，\(\operatorname{span}(S\setminus{\bf u}_i) \subset \operatorname{span}(S)\)
所以 \(1 \implies 2\) 相當於 Exercise 4©，我們只要證明 \(2 \implies 1，\) 即證明
當

\[ \operatorname{span}(S\setminus{\bf u}_i) \subsetneq \operatorname{span}(S)，i=1, \ldots, n \]

有

\[ \operatorname{ker}(A) = \{{\bf 0}\}. \]

而它的否逆命題是，當

\[ \ker(A) \neq \{ {\bf 0} \} \]

有

\[ \vspan(S \setminus \bu_i) = \vspan(S) \]

證明:
因為 \(\ker(A) \neq \{ {\bf 0} \}\)，所以存在無限多組 \(\bc = (c_1, \ldots , c_n) \in \mathbb{R},\bc \neq \bzero\)，使得

\[ c_1\bu_1 + \cdots + c_n\bu_n = {\bf 0} \]

移項得到

\[ -\frac{c_1}{c_i}\bu_1 - \cdots - \frac{c_{i-1}}{c_i}\bu_{i-1} - \frac{c_{i+1}}{c_i}\bu_{i+1} - \cdots - \frac{c_n}{c_i}\bu_n = \bu_i \]

可以看出 \(\bu_i\) 是 \(S \setminus \bu_i\) 的線性組合，所以 \(\bu_i \in \vspan(S \setminus \bu_i)，\vspan(S \setminus \bu_i)=\vspan(S)\)。
否逆命題為真，所以 \(\vspan(S\setminus{\bf u}_i) \subsetneq \vspan(S)\) 等價於 \(\ker(A) = \{{\bf 0}\}\)。

Exercise 5(a)

令 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}\)。
定義 \(\det(A) = ad - bc\)。
說明若 \(\det(A) \neq 0\)﹐則 \(\operatorname{Col}(A) = \mathbb{R}^2\) 。

答:
令 \(\bv =\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix},\bb =\begin{bmatrix} b_1\\ b_2 \end{bmatrix}\)， 並考慮方程 \(A\bv=\bb\)。

此方程式可看成 \[\left\{ \begin{aligned} ax+by=b_1\\ cx+dy=b_2 \end{aligned} \right.\] 其中 \(x,y \in \mathbb{R}\) 。
題目可知 \(\det(A)≠0\)，由克拉瑪公式知，此方程組必有解，其中解為 \(\bv\)。由於 \(\bb\) 可以是 \(\mathbb{R}^2\) 中的任何向量，因此得知 \(A\bv = \bb\) 對於任何 \(\bb\in\mathbb{R}^2\) 都有解，也就是任何 \(\bb\in\mathbb{R}^2\) 都在 \(\Col(A)\) 中。因此 \(\Col(A) = \mathbb{R}^2\)。

Exercise 5(b)

令 \(A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ i & j & k \\ \end{bmatrix}\)。
定義 \(\det(A) = aek + bfi + cdj - cei - dbk - afj\)。
說明若 \(\det(A) \neq 0\)﹐則 \(\operatorname{Col}(A) = \mathbb{R}^3\) 。

答:
令 \(\bv =\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix},\bb =\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix}\),並考慮方程 \(A\bv=\bb\)

此方程式可看成 \[\left\{ \begin{aligned} ax+by+cz&=b_1\\ dx+ey+fz&=b_2 \\ ix+jy+kz&=b_3 \end{aligned} \right.\] 其中 \(x,y,z \in \mathbb{R}\)。
題目可知 \(\det(A)≠0\)，由克拉瑪公式知，此方程組必有解，其中解為 \(\bv\)。由於 \(\bb\) 可以是 \(\mathbb{R}^3\) 中的任何向量，因此得知 \(A\bv = \bb\) 對於任何 \(\bb\in\mathbb{R}^3\) 都有解，也就是任何 \(\bb\in\mathbb{R}^3\) 都在 \(\Col(A)\) 中。因此 \(\Col(A) = \mathbb{R}^3\)。