# 矩陣的行空間

This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

{%hackmd 5xqeIJ7VRCGBfLtfMi0_IQ %}

from lingeo import random_int_list, draw_span

## Main idea

##### Matrix-vector multiplication (by column)
Let
$$A = \begin{bmatrix}
| & ~ & | \\
{\bf u}_1 & \cdots & {\bf u}_n \\
| & ~ & | \\
\end{bmatrix}$$
be an $m\times n$ matrix and
$${\bf v} = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$$
a vector in $\mathbb{R}^n$.
Then
$$A{\bf v} = c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_n{\bf u}_n.
$$

Thus,
$$\{A{\bf v}: {\bf v}\in\mathbb{R}^n\} = \operatorname{span}(\{{\bf u}_1, \ldots, {\bf u}_n\}),
$$
which is called the **column space** $\operatorname{Col}(A)$ of $A$.

Therefore,
the equation $A{\bf v} = {\bf b}$ has a solution if and only if ${\bf b}\in\operatorname{Col}(A)$.

## Side stories
- redundant vectors for span
- `A \ b`

## Experiments

##### Exercise 1
執行下方程式碼。
令 ${\bf u}_1$ 及 ${\bf u}_2$ 為 $A$ 的行向量。
原點為橘色點、
從原點延伸出去的紅色向量和淡藍色向量分別為 ${\bf u}_1$ 和 ${\bf u}_2$。
黑色向量為 ${\bf b}$。
問 $A{\bf v} = {\bf b}$ 的 ${\bf v}$ 是否有解？
若有解﹐求 ${\bf v}$。

:::warning
- [x] 補一下你們用的 seed 和題給的數字
- [x] $v$ --> $\bv$, $u_1$ --> $\bu_1$, $u_2$ --> $\bu_2$ 向量盡量用粗體
- [x] [B01](https://sagelabtw.github.io/LA-Tea/style.html) 有句子沒句點
- [x] 方程式的部份改用以下打法將等號對齊，同樣更改 $\bv = ...$ 的部份
$$
\left\{
\begin{aligned}
-4x+3y &= -14, \\
-5x-5y &= 0, \\
3x-3y &= 12,
\end{aligned}
\right.
$$
其中 $x,y \in\mathbb{R}$。
- [x] "第一項+第三項:" --> "由於第一項加第三項為"
- [x] 除非要換新段落，否則用兩個空格來換行
- [x] 幫忙在每個回答前加個 **答：**，記得後面要加兩個空格換行
:::

答:
題目給的是
`seed=0`、
$A=\begin{bmatrix}
-4&3\\
-5&-5\\
3&-3
\end{bmatrix}$、
${\bf b}=\begin{bmatrix}
-14\\
0\\
12
\end{bmatrix}$。
$A\bv = \bb$ 的 $\bv$ 有解，因爲黑色線的的確確落在 $\bu_1,\bu_2$ 所張開成的平面上。
$$
\left\{
\begin{aligned}
-4x+3y &= -14, \\
-5x-5y &= 0, \\
3x-3y &= 12,
\end{aligned}
\right.
$$
其中 $x,y \in \mathbb{R}$ 。
由於第一項加第三項為
$-x=-2$ ，所以 $x=2$ 。
代入第一項 $-8+3y=-14$ ，所以 $y=-2$ 。
故
$$\bv =
\left\{
\begin{aligned}
x &=2,\\
y &=-2.
\end{aligned}
\right.
$$

### code
set_random_seed(0)
print_ans = True
while True:
    l = random_int_list(9)
    Ae = matrix(3, l)
    if Ae.det() != 0:
        break
u1 = vector(Ae[:,0])
u2 = vector(Ae[:,1])
u3 = vector(Ae[:,2])
A = Ae[:,:2]

inside = choice([0,1,1])
coefs = random_int_list(2, 2)
if inside:
    b = coefs[0]*u1 + coefs[1]*u2
else:
    b = coefs[0]*u1 + coefs[1]*u2 + 3*u3
    
print("A =")
print(A)
print("b =", b)

pic = draw_span([u1,u2])
pic += arrow((0,0,0), b, width=5, color="black")
show(pic)

if print_ans:
    if inside:
        print("It has a solution v = %s."%coefs[:2])
    else:
        print("It has no solution.")

## Exercises

##### Exercise 2(a)
令
$$A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}\text{ and }
{\bf b} = \begin{bmatrix}3\\9\\15\end{bmatrix}.
$$
判斷 ${\bf b}$ 是否在 $\operatorname{Col}(A)$ 中、
並給出說明。

:::warning
- [x] 向量粗體
- [x] 有句子沒句點
- [x] "$Av=b$ 可看成坐標系中的" --> "方程式 $Av=b$ 可看成坐標系中的" （沒必要換行）
- [x] `cases` --> `aligned`
- [x] $Col$ --> $\Col$
- [ ] 第 2 題的其它小題一樣
- [x] 坐標系中的 --> 方程式；
:::

答:
令 ${\bf v}=\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$。

$A{\bf v}={\bf b}$
可看成方程式 $$
\left\{
\begin{aligned}
x+2y+3z &= 3, \\
4x+5y+6z &= 9,\\
7x+8y+9z &= 15,
\end{aligned}
\right.
$$
其中 $x,y,z \in \mathbb{R}$ 。
此方程組有解
$$
\left\{
\begin{aligned}
x&=1+t, \\
y&=1-2t, \\
z&=t, \\
\end{aligned}
\right.
$$
其中 $t \in\mathbb{R}$。
故 ${\bf b}$ 屬於 $\Col(A)$ 中。

##### Exercise 2(b)
令
$$A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}\text{ and }
{\bf b} = \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}.
$$
判斷 ${\bf b}$ 是否在 $\operatorname{Col}(A)$ 中、
並給出說明。

答:
令 ${\bf v}=\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}$
$A{\bf v=b}$
可看成方程式
$$
\left\{
\begin{aligned}
x+2y+3z&=1, \\
4x+5y+6z&=1, \\
7x+8y+9z&=1,
\end{aligned}
\right.
$$
其中 $x,y,z \in \mathbb{R}$ 。
此方程組有解
$$\left\{
\begin{aligned}
x &= t, \\
y &= -1-2t, \\
z &= 1+t,
\end{aligned}
\right.
$$
其中 $t \in \mathbb{R}$。
故 $\bb$ 屬於 $\Col(A)$ 中。

##### Exercise 2(c)
令
$$A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}\text{ and }
{\bf b} = \begin{bmatrix}2\\2\\2\\2\end{bmatrix}.
$$
判斷 ${\bf b}$ 是否在 $\operatorname{Col}(A)$ 中、
並給出說明。

答:
令 $\bv = \begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
r
\end{bmatrix}$ 。

$A{\bf v=b}$
可改寫成方程式 $$\left\{
\begin{aligned}
y+r &= 2, \\
x+z &= 2, \\
y+r &= 2, \\
x+z &= 2,
\end{aligned}
\right.$$
其中 $x,y,z,r \in \mathbb{R}$ 。
此方程組有解
$$\left\{
\begin{aligned}
x &= 1+t, \\
y &= 1+k, \\
z &= 1-t, \\
r &= 1-k,
\end{aligned}
\right.$$
其中 $t,k \in \mathbb{R}$ 。
故 ${\bf b}$ 屬於 $\Col(A)$ 中。

##### Exercise 3(a)
令
$$A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}\text{ and }
{\bf b} = \begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}.
$$
給出一些直覺的敘述﹐說明 ${\bf b}\notin\operatorname{Col}(A)$。

:::warning
直不直覺是主觀的概念，所以沒有要改的（除了格式以外）。
原本題目期待的是類似以下的回答：
令 $\bu_1$ 和 $\bu_2$ 為 $A$ 的兩個行。
我們會發現 $\bu_2 = 2\bu_1$，而且**任何** $\{\bu_1,\bu_2\}$ 的線性組合都是
$$\begin{bmatrix} k \\ k \end{bmatrix}$$
的形式。
因此我們可以判定 $\bb$ 不是 $\{\bu_1,\bu_2\}$ 的線性組合，
也就是說 $\bb\notin\Col(A)$。
:::

答:
可改寫成方程式
$$\left\{
\begin{aligned}
x+2y & =3 \\
x+2y & =4
\end{aligned}
\right.$$
其中 $x,y \in \mathbb{R}$ 。
此方程組無解，故 ${\bf b}$ 不屬於 $\Col(A)$ 中 。

##### Exercise 3(b)
令
$$A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \\
-1 & -1 \\
-1 & -1 \\
\end{bmatrix}\text{ and }
{\bf b} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\\2\end{bmatrix}.
$$
給出一些直覺的敘述﹐說明 ${\bf b}\notin\operatorname{Col}(A)$。
:::warning
試一下用 3(a) 的說法。
:::

答:
可改寫成方程式
$$
\left\{\begin{aligned}
x+y &= 0, \\
x+y &= 0, \\
-x-y &= 1, \\
-x-y &= 2,
\end{aligned}\right.
$$
其中 $x,y\in\mathbb{R}$。
此方程組無解，故 ${\bf b}$ 不屬於 $\Col(A)$ 中

令 $\bu_1,\bu_2,\bu_3,\bu_4$ 為 $A$ 的四個行。
我們會發現 $\bu_1 = \bu_2=-\bu_3=-\bu_4$，而且**任何** ${\bu_1,\bu_2\,\bu_3,\bu_4}$ 的線性組合
$$\begin{bmatrix} k \\ k \\-k\\-k \end{bmatrix}$$
的形式。
因此我們可以判定 $\bb$ 不是 $\bu_1,\bu_2\,\bu_3,\bu_4$ 的線性組合，
也就是說 $\bb\notin\Col(A)$ 。

##### Exercise 3(c)
令
$$A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}\text{ and }
{\bf b} = \begin{bmatrix}-4\\1\\1\\1\end{bmatrix}.
$$
給出一些直覺的敘述﹐說明 ${\bf b}\notin\operatorname{Col}(A)$。

:::warning
試一下用 3(a) 的說法。
:::

答:
可改寫成方程式
$$\left\{
\begin{aligned}
-x-y-z&=(-4) \\
x &=1 \\
y &=1 \\
z &=1
\end{aligned}
\right.$$
其中 $x,y \in \mathbb{R}$。
此方程組無解，故 $\bb$ 不屬於 $\Col(A)$ 中。

##### Exercise 4

以下的小題探討哪些向量刪除以後不會影響生成出來的子空間。
令
$$A = \begin{bmatrix}
1 & -1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
且 $S = \{{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_4\}$ 為 $A$ 的所有行向量。

##### Exercise 4(a)
對 $S$ 中的每一個 ${\bf u}_i$ 逐個檢查﹐
哪一個 ${\bf u}_i \in \operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}_i\})$。

根據上一節的練習，
如果扣掉一個這樣的 ${\bf u}_i$ 並不會影響生成出來的子空間。

:::warning
- [x] 向量粗體
- [x] 有句子沒句點
- [x] $span$ --> $\vspan$
- [x] 由題目知 $u_i$ 屬於 ${span}(S\setminus\{{\bf u}_i\})$ ，且刪除此向量並不會影響生成出來的子空間 <-- 這句話不知道在講什麼。是不是少了 如果 ... 則 ...？
- [x] 說明為什麼 $\bu_2 + \bu_4 = \bu_3$ 可以知道 $\bu_2\in\vspan(\{\bu_3,\bu_4\})$, $\bu_3\in\vspan(\{\bu_2,\bu_4\})$, 以及 $\bu_4\in\vspan(\{\bu_2,\bu_3\})$
:::

答:
令 $\bu_1 = (1,1,1), \bu_2 = (-1,1,0),\bu_3(1,0,-1), \bu_4 = (0,-1,1)$ 。

我們可以解 $\bu_1 = c_2\bu_2 + c_3\bu_3 + c_4\bu_4$，
由於 $c_2,c_3,c_4$ 無解，所以 $\bu_1$ 不在 $\vspan(S\setminus\{{\bf u}_1\})$ 中。

<!--
由題目知 ${\bf u}_i \in {\vspan}(S\setminus\{{\bf u}_i\})$ ，且刪除此向量並不會影響生成出來的子空間，則 ${\bf u}_i$ 可由其他三組向量組合而成，
${\bf u}_i$ 可能為 $\bu_2,\bu_3,\bu_4$ 。
-->

由於 $\bu_2+\bu_4=\bu_3$，
可得
$$
\begin{aligned}
\bu_2 &= 0\bu_1 +\bu_3-\bu_4, \\
\bu_3 &= 0\bu_1 +\bu_2+\bu_4, \\
\bu_4 &= 0\bu_1-\bu_2+\bu_3,
\end{aligned}
$$
因此對於 $i = 2,3,4$，都有 $\bu_i\in\vspan(S\setminus\{{\bf u}_i\})$ 。

##### Exercise 4(b)

經過計算
$$A \begin{bmatrix}0\\1\\-1\\1\end{bmatrix} = {\bf 0}.
$$
也就是 $1{\bf u}_2 + 1{\bf u}_4 = 1{\bf u}_3$。
用這個等式來說明
${\bf u}_2, {\bf u}_3, {\bf u}_4$ 中刪掉任何一個都不會影響生成出來的子空間。

答:
**[由朱帝林同學提供]**
對 $A$ 中的 ${\bf u}_2$ 做檢查，
希望可以把 $\bu_2$ 寫成 $c_1\bu_1 + c_2\bu_3 + c_3\bu_4$ 的形式，
由題目條件 $1{\bf u}_2 + 1{\bf u}_4 = 1{\bf u}_3$ 得知，
當 $c_1 = 0,c_2 = 1,c_3 = -1$ 時，
$\bu_2 = 0\bu_1 + 1\bu_3 - 1\bu_4$ 等式恆成立，
所以 $\bu_2$ 在 $\vspan(S\setminus\{{\bf u}_2\})$ 中。

對 $A$ 中的 ${\bf u}_3$ 做檢查，
希望可以把 $\bu_3$ 寫成 $d_1\bu_1 + d_2\bu_2 + d_3\bu_4$ 的形式，
由題目條件 $1{\bf u}_2 + 1{\bf u}_4 = 1{\bf u}_3$ 得知，
當 $d_1 = 0,d_2 = 1,d_3 = 1$ 時，
$\bu_3 = 0\bu_1 + 1\bu_2 + 1\bu_4$ 等式恆成立，
所以 $\bu_3$ 在 $\vspan(S\setminus\{{\bf u}_3\})$ 中。

對 $A$ 中的 ${\bf u}_4$ 做檢查，
希望可以把 $\bu_4$ 寫成 $e_1\bu_1 + e_2\bu_2 + e_3\bu_3$ 的形式，
由題目條件 $1{\bf u}_2 + 1{\bf u}_4 = 1{\bf u}_3$ 得知，
當 $e_1 = 0,e_2 = -1,e_3 = 1$ 時，
$\bu_4 = 0\bu_1 - 1e_2\bu_2 + 1\bu_3$
所以 $\bu_4$ 在 $\vspan(S\setminus\{{\bf u}_4\})$ 中。

由上述得知 ${\bf u}_2, {\bf u}_3, {\bf u}_4$ 中刪掉任何一個都不會影響生成出來的子空間。

##### Exercise 4(c)
令 $A'$ 為 $A$ 的前三行組成的矩陣。
我們己知 $\operatorname{Col}(A') = \operatorname{Col}(A)$。
經過解方程式的計算可以發現 $\operatorname{ker}(A') = \{{\bf 0}\}$。
利用這個性質說明 $A'$ 的行之中
沒辦法再拿掉任何一行
但同時保持行空間。

**[由林柏仰同學提供]**
若將 $A'$ 的前三行表示成 $\bu_1,\bu_2,\bu_3$ 三個向量，則 $A'{\bf x} = {\bf 0}$ 可表示成
$$
\begin{bmatrix}
| & | & | \\
\bu_1 & \bu_2 & \bu_3 \\
| & | & | \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
= \bzero.
$$
透過此矩陣乘法我們可知 $x_1\bu_1 + x_2\bu_2 + x_3\bu_3 = {\bf 0}$
而 $\ker(A')$ 為所有可以使此等式成立的 $x_1,x_2,x_3$ 所組成的向量 ${\bf x_1,x_2,x_3}$。
若 $\bu_1\in\vspan(\{\bu_2,\bu_3\})$，我們可以找到 $c_2,c_3\in\mathbb{R}$ 使得 $\bu_1 = c_2\bu_2 + c_3\bu_3$。
這表示 $1\bu_1 - c_2\bu_2 - c_3\bu_3 = \bzero$ 且 $(1, -c_2, -c_3)\in\ker(A)$。
由於題目假設 $\ker(A') = \{\bzero\}$，所以 $\bu_1\notin\vspan(\{\bu_2,\bu_3\})$。
類似的論證可以得到 $\bu_2\notin\vspan(\{\bu_1,\bu_3\})$ 且 $\bu_3\notin\vspan(\{\bu_1,\bu_2\})$。
由此可知，去掉 $\bu_1,\bu_2,\bu_3$ 其中任何一個，行空間皆會改變。

另解（對一般的矩陣 $A'$，若 $\ker(A') = \{\bzero\}$，則對任何 $\bu_i\in S$ 都有 $\vspan(S \setminus \{ {\bf u}_i \} ) \neq \vspan(S)$。）
**[由廖緯程同學提供]**
**分析**:
沒辦法從 $A'$ 的行中拿掉任何一行，但同時保持行空間。
用定義解釋就是，對於所有 ${\bf u}_i \in S，\operatorname{span}(S \setminus \{ {\bf u}_i \} ) \neq \operatorname{span}(S)。$
所以題目相當於證明，當

$$
\operatorname{ker}(A') = \{ {\bf 0} \}，
$$

則對任何 $\bu_i\in S$ 都有

$$
\operatorname{span}(S \setminus \{ {\bf u}_i \} ) \neq \operatorname{span}(S)。
$$

**證明**:
假設 ${\bf u}_i \in \operatorname{span}(S \setminus \{ {\bf u}_i \})$，則存在一些 $c_1,\ldots,c_{i-1},c_{i+1},\ldots,c_n \in \mathbb{R}$ 使得

$$
{\bf u}_i = c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_{i - 1}{\bf u}_{i - 1} + c_{i + 1}{\bf u}_{i + 1} + \cdots + c_n{\bf u}_n.
$$

這個等式可以看成

$$
A'\begin{bmatrix}
c_1\\
\vdots\\
c_{i-1}\\
-1\\
c_{i+1}\\
\vdots\\
c_n
\end{bmatrix}
={\bf 0}.
$$

根據 $\operatorname{ker}(A')$ 的定義

$$
\begin{bmatrix}
c_1\\
\vdots\\
c_{i-1}\\
-1\\
c_{i+1}\\
\vdots\\
c_n
\end{bmatrix}
\in \operatorname{ker}(A')
$$

但這與 $\operatorname{ker}(A') = \{ {\bf 0} \}$ 矛盾。
所以 ${\bf u}_i \not\in \operatorname{span}(S \setminus \{ {\bf u}_i \})，$ 但 ${\bf u}_i \in \operatorname{span}(S)$

得證，當

$$
\operatorname{ker}(A') = \{ {\bf 0} \}，
$$

則對任何 $\bu_i\in S$ 都有

$$
\operatorname{span}(S \setminus \{ {\bf u}_i \} ) \neq \operatorname{span}(S)。
$$

##### Exercise 4(d)
令 $A$ 為任一矩陣且
$S = \{{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n\}$ 為其所有行向量。
證明以下敘述等價：
1. $\operatorname{ker}(A) = \{{\bf 0}\}$.
2. $\operatorname{span}(S\setminus{\bf u}_i) \subsetneq \operatorname{span}(S)$ for all $i=1, \ldots, n$.

**[由黃立帆同學提供]**
**1 $\Rightarrow$ 2**
Claim: $\bu_n$ $\notin$ $\vspan(S \setminus$ $\bu_n$).
Assume $\bu_n\in\vspan(S \setminus\bu_n)$. Then there are $c_1, \dots , c_{n-1} \in F$ such that $\bu_n = c_1\bu_1+\dots+c_{n-1}\bu_{n-1}.$
In other words, $c_1\bu_1+\dots+c_{n-1}\bu_{n-1}-\bu_n= \bzero$.
That means
$$\left[\begin{matrix}
\bu_1 &\cdots& \bu_n \\
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
c_1\\ \vdots \\ c_{n-1} \\ -1\\
\end{matrix}\right]= \bzero.
$$
So, we get $\left[\begin{matrix}
c_1\\ \vdots \\ c_{n-1} \\ -1\\
\end{matrix}\right] \in \ker(A)$.
This is a contradition with $\ker(A) = \lbrace \bzero\rbrace$.
Finally, we have $\bu_n \notin \vspan(S \setminus \bu_n)$.

Through similar arguments, we know $\vspan(S \setminus\bu_i)\subseteq\vspan(S)$ for all $i=1, \ldots ,n$.

**2 $\Rightarrow$ 1**
Claim : $\ker(A) \neq \lbrace \bzero\rbrace$ implies $\vspan(S\setminus\bu_i)=\vspan(S)$ for some $i$=1, $\dots$ n.
Because $\ker(A) \neq \lbrace \bzero\rbrace$, we can find at least an $\bx$ = $\left[\begin{matrix}
c_1\\ \vdots \\ c_n\\
\end{matrix}\right]$ $\in$ $\ker(A)$,
$\bx$ $\neq\bzero$.
In other words, $c_1\bu_1+\dots+c_{n}\bu_{n}=\bzero.$
Let $c_i \neq 0$, for some $i$. Then
$$\bu_i = \frac{c_1\bu_1+\dots+c_{i-1}\bu_{i-1}+c_{i+1}\bu_{i+1}+\dots+c_n\bu_n}{c_i} \in \vspan(S\setminus \bu_i).
$$

We can get $\vspan(S\setminus\bu_i)=\vspan(S)$.
Then we can conclude $\vspan(S\setminus \bu_i) = \vspan(S)$, for some $i$.
That means $\vspan(S\setminus \bu_i) \subsetneq \vspan(S)$ implies $\ker(A) = \lbrace \bzero\rbrace$. $\blacksquare$

另解
**[由廖緯程同學提供]**
**分析**:
自然地，$\operatorname{span}(S\setminus{\bf u}_i) \subset \operatorname{span}(S)$
所以 $1 \implies 2$ 相當於 Exercise 4(c)，我們只要證明 $2 \implies 1，$ 即證明
當

$$
\operatorname{span}(S\setminus{\bf u}_i) \subsetneq \operatorname{span}(S)，i=1, \ldots, n
$$

有

$$
\operatorname{ker}(A) = \{{\bf 0}\}.
$$

而它的否逆命題是，當

$$
\ker(A) \neq \{ {\bf 0} \}
$$

有

$$
\vspan(S \setminus \bu_i) = \vspan(S)
$$

**證明**:
因為 $\ker(A) \neq \{ {\bf 0} \}$，所以存在無限多組 $\bc = (c_1, \ldots , c_n) \in \mathbb{R},\bc \neq \bzero$，使得

$$
c_1\bu_1 + \cdots + c_n\bu_n = {\bf 0}
$$

移項得到

$$
-\frac{c_1}{c_i}\bu_1 - \cdots - \frac{c_{i-1}}{c_i}\bu_{i-1} - \frac{c_{i+1}}{c_i}\bu_{i+1} - \cdots - \frac{c_n}{c_i}\bu_n = \bu_i
$$

可以看出 $\bu_i$ 是 $S \setminus \bu_i$ 的線性組合，所以 $\bu_i \in \vspan(S \setminus \bu_i)，\vspan(S \setminus \bu_i)=\vspan(S)$。
否逆命題為真，所以 $\vspan(S\setminus{\bf u}_i) \subsetneq \vspan(S)$ 等價於 $\ker(A) = \{{\bf 0}\}$。

##### Exercise 5(a)
令 $A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}$。
定義 $\det(A) = ad - bc$。
說明若 $\det(A) \neq 0$﹐則 $\operatorname{Col}(A) = \mathbb{R}^2$ 。

:::warning
- [x] $v_2$ --> $\bv$, $b^2$ --> $\bb$；好像沒必要給上下標
- [x] $Av_2=b^2$ --> 並考慮方程式 $Av_2=b^2$。
- [x] 可看成 --> 此方程式可看成
- [x] `cases` --> `aligned`
- [x] $det$ --> $\det$
- [x] 其中解為 $b^2$ --> 其中解為 $\bv$
- [x] $Col$ --> $\Col$
- [x] ，故 $Col(A)$ 屬於實數的2乘1的矩陣 --> 。由於 $\bb$ 可以是 $\mathbb{R}^2$ 中的任何向量，因此得知 $A\bv = \bb$ 對於任何 $\bb\in\mathbb{R}^2$ 都有解，也就是任何 $\bb\in\mathbb{R}^2$ 都在 $\Col(A)$ 中。因此 $\Col(A) = \mathbb{R}^2$。
- [x] 下一題一樣改法

另外可以想一下如果不用克拉瑪公式要怎麼辦？
:::

答:
令 $\bv
=\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix},\bb
=\begin{bmatrix}
b_1\\
b_2
\end{bmatrix}$，
並考慮方程 $A\bv=\bb$。

此方程式可看成
$$\left\{
\begin{aligned}
ax+by=b_1\\
cx+dy=b_2
\end{aligned}
\right.$$
其中 $x,y \in \mathbb{R}$ 。
題目可知 $\det(A)≠0$，由克拉瑪公式知，此方程組必有解，其中解為 $\bv$。由於 $\bb$ 可以是 $\mathbb{R}^2$ 中的任何向量，因此得知 $A\bv = \bb$ 對於任何 $\bb\in\mathbb{R}^2$ 都有解，也就是任何 $\bb\in\mathbb{R}^2$ 都在 $\Col(A)$ 中。因此 $\Col(A) = \mathbb{R}^2$。

##### Exercise 5(b)
令 $A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
i & j & k \\
\end{bmatrix}$。
定義 $\det(A) = aek + bfi + cdj - cei - dbk - afj$。
說明若 $\det(A) \neq 0$﹐則 $\operatorname{Col}(A) = \mathbb{R}^3$ 。

答:
令
$\bv
=\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix},\bb
=\begin{bmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3
\end{bmatrix}$,並考慮方程 $A\bv=\bb$

此方程式可看成
$$\left\{
\begin{aligned}
ax+by+cz&=b_1\\
dx+ey+fz&=b_2 \\
ix+jy+kz&=b_3
\end{aligned}
\right.$$
其中 $x,y,z \in \mathbb{R}$。
題目可知 $\det(A)≠0$，由克拉瑪公式知，此方程組必有解，其中解為 $\bv$。由於 $\bb$ 可以是 $\mathbb{R}^3$ 中的任何向量，因此得知 $A\bv = \bb$ 對於任何 $\bb\in\mathbb{R}^3$ 都有解，也就是任何 $\bb\in\mathbb{R}^3$ 都在 $\Col(A)$ 中。因此 $\Col(A) = \mathbb{R}^3$。

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