# $\mathbb{R}^n$ 中的向量表示法

This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

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from lingeo import random_int_list, random_good_matrix

## Main idea

Recall that $\mathcal{E}_n = \{ {\bf e}_1, \ldots, {\bf e}_n \}$ is the standard basis of $\mathbb{R}^n$.
For any vector ${\bf v} = (c_1, \ldots, c_n)\in\mathbb{R}^n$, it can be written as
$${\bf v} = c_1{\bf e}_1 + \cdots + c_n{\bf e}_n.
$$

Similarly, let $\beta = \{ {\bf u}_1, \ldots, {\bf u}_n \}$ be a basis of $\mathbb{R}^n$.
Every vector ${\bf v}\in\mathbb{R}^n$ has a unique way to be written as a linear combination
$${\bf v} = c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_n{\bf u}_n.
$$
We call the vector $(c_1,\ldots, c_n)\in\mathbb{R}^n$ the **vector representation** of ${\bf v}$ with respect to the basis $\beta$, denoted as $[{\bf v}]_\beta$.
Since every vector in $\mathbb{R}^n$ can be written as a linear combinatoin of $\beta$ and the way of writing it is unique, it is a one-to-one correspondence between ${\bf v}$ and $[{\bf v}]_\beta$.

Let let $\beta = \{ {\bf u}_1, \ldots, {\bf u}_n \}$ be a basis of $\mathbb{R}^n$ and
$A$ the $n\times n$ matrix whose columns are vectors in $\beta$.
Since $\beta$ is a basis, $A$ is invertible.
By definition,
$$A[{\bf v}]_\beta = {\bf v} \text{ and } A^{-1}{\bf v} = [{\bf v}]_\beta.
$$

When $\beta$ is the standard basis of $\mathbb{R}^n$, $A = I_n$ nad $[{\bf v}]_\beta = {\bf v}$.
Therefore, our usual way of writting a vector is the vector representation with respect to the standard basis.

In the case when $\beta$ is an orthonormal basis, $A$ is an orthogonal matrix and $A^{-1} = A^\top$.
Therefore,
$$A[{\bf v}]_\beta = {\bf v} \text{ and } A^{-1}{\bf v} = [{\bf v}]_\beta.
$$

## Side stories
- vector representation algebra
- define new inner product

## Experiments

##### Exercise 1

執行以下程式碼。
令 $\beta = \{ {\bf u}_1, \ldots, {\bf u}_3 \}$ 為 $A$ 的行向量且
已知其為 $\mathbb{R}^3$ 的基底。

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False
m,n,r = 3,3,3
A = random_good_matrix(m,n,r, bound=3)
x1 = vector(random_int_list(n, 3))
x2 = vector(random_int_list(n, 3))
v1,v2 = A*x1, A*x2
k = choice([3,4,5])

print("A =")
show(A)
print("v1 =", v1)
print("v2 =", v2)
print("k =", k)

if print_ans:
    Ainv = A.inverse()
    print("[v1]_beta =", Ainv * v1)
    print("[v2]_beta =", Ainv * v2)
    print("[v1 + v2]_beta =", Ainv * (v1 + v2))
    print("[v1]_beta + [v2]_beta =", Ainv * v1 + Ainv * v2)
    print("[k * v1]_beta =", Ainv * (k*v1))
    print("k * [v1]_beta =", k * Ainv * v1)
    print("< [v1]_beta, [v2]_beta > =", (Ainv * v1).inner_product(Ainv * v2))
    print("< v1, v2 > =", (v1).inner_product(v2))

:::success
Good job
:::

執行程式碼得
$$A = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 \\
-3 & -8 & -1 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
$$
及 ${\bf v}_1 = (4,-15,1)$、${\bf v}_2 = (8,-20,-3)$、$k=3$

##### Exercise 1(a)

求出 $[{\bf v}_1]_\beta$ 及 $[{\bf v}_2]_\beta$。

答:
假設一個矩陣 $$ \left[\begin{array}{c|c} A & I \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
-3 & -8 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$
經過列運算得$$ \left[\begin{array}{c|c} R & B \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 7 & 2 & 5 \\
0 & 1 & 0 & -3 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 1
\end{array}\right]
$$
因為 ${A}$ 的各行向量為 $\mathbb{R}^3$ 的基底，所以 ${A}$ 可逆，可以得
$$B = \begin{bmatrix}
7 & 2 & 5 \\
-3 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
為 ${A}$ 的反矩陣使得 ${AB=I_3}$ ，${B=A^{-1}}$。
因此 $$[{\bf v}_1]_\beta=A^{-1}{\bf v}_1=\begin{bmatrix}
7 & 2 & 5 \\
-3 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 \\
-15 \\
1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
3 \\
1 \\
-2
\end{bmatrix},
$$
$$[{\bf v}_2]_\beta=A^{-1}{\bf v}_2=\begin{bmatrix}
7 & 2 & 5 \\
-3 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
8 \\
-20 \\
-3\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
1
\end{bmatrix}.
$$

##### Exercise 1(b)

判斷是否 $[{\bf v}_1 + {\bf v}_2]_\beta = [{\bf v}_1]_\beta + [{\bf v}_2]_\beta$。

答:
計算 ${\bf v}_1 + {\bf v}_2 = (12,-35,-2)$ ，
$$[{\bf v}_1+{\bf v}_2]_\beta=A^{-1}({\bf v}_1+{\bf v}_2)=\begin{bmatrix}
7 & 2 & 5 \\
-3 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
12 \\
-35 \\
-2\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
4 \\
3 \\
-1
\end{bmatrix}$$
$$[{\bf v}_1]_\beta + [{\bf v}_2]_\beta=
\begin{bmatrix}
3 \\
1 \\
-2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 \\
3 \\
-1
\end{bmatrix}
$$
得 $[{\bf v}_1 + {\bf v}_2]_\beta = [{\bf v}_1]_\beta + [{\bf v}_2]_\beta$。

##### Exercise 1(c)

判斷是否 $[k{\bf v}_1]_\beta = k[{\bf v}_1]_\beta$。

答:
計算 $k{\bf v}_1 = 3(4,-15,1) = (12,-45,3)$ ，
$$[k{\bf v}_1]_\beta=A^{-1}(k{\bf v}_1)=\begin{bmatrix}
7 & 2 & 5 \\
-3 & -1 & -2 \\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
12 \\
-45 \\
3\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
9 \\
3 \\
-6
\end{bmatrix}$$
$$k[{\bf v}_1]_\beta =
3\begin{bmatrix}
3 \\
1 \\
-2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
9 \\
3 \\
-6
\end{bmatrix}
$$
得 $[k{\bf v}_1]_\beta = k[{\bf v}_1]_\beta$。

##### Exercise 1(d)

判斷是否 $\langle {\bf v}_1, {\bf v}_2 \rangle = \langle [{\bf v}_1]_\beta, [{\bf v}_2]_\beta \rangle$。

答:
計算
$$\langle {\bf v}_1, {\bf v}_2 \rangle =
(4,-15,1)(8,-20,-3)=
32+300-3=329$$
$$\langle [{\bf v}_1]_\beta, [{\bf v}_2]_\beta \rangle=
(3,1,-2)(1,2,1)=
3+2-2=3
$$
得 $\langle {\bf v}_1, {\bf v}_2 \rangle \neq \langle [{\bf v}_1]_\beta, [{\bf v}_2]_\beta \rangle$。

## Exercises

##### Exercise 2

已知
$$A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & -4 \\
5 & -2 & 12
\end{bmatrix}
$$
的反矩陣為
$$A^{-1} = \begin{bmatrix}
4 & -2 & -1 \\
-8 & 7 & 3 \\
-3 & 2 & 1
\end{bmatrix}.
$$
令 $\beta$ 為 $A$ 的行向量集合。
令 ${\bf v}_1 = (1,1,1)$、
${\bf v}_2 = (1,2,3)$。
求 $[{\bf v}_1]_\beta$ 和 $[{\bf v}_2]_\beta$。

答：

$$[{\bf v}_1]_\beta =A^{-1}{\bf v}_1= \begin{bmatrix}
4 & -2 & -1 \\
-8 & 7 & 3 \\
-3 & 2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\1\\1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1\\2\\0\end{bmatrix},
$$
$$[{\bf v}_2]_\beta =A^{-1}{\bf v}_2= \begin{bmatrix}
4 & -2 & -1 \\
-8 & 7 & 3 \\
-3 & 2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\2\\3\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-3\\15\\4\end{bmatrix}.
$$

##### Exercise 3

已知
$$A = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}}
\end{bmatrix}
$$
為一垂直矩陣。
令 $\beta$ 為 $A$ 的行向量集合。
令 ${\bf v}_1 = (1,1,1)$、
${\bf v}_2 = (1,2,3)$。
求 $[{\bf v}_1]_\beta$ 和 $[{\bf v}_2]_\beta$。

答：

因為 $A$ 為一垂直矩陣，所以 $A$ 可逆且 $$A^{-1} = A^\top = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}}
\end{bmatrix}.
$$
則
$$[{\bf v}_1]_\beta=A^{-1}{\bf v}_1=\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\sqrt{3}} \\
0 \\
0\end{bmatrix},
$$
$$[{\bf v}_2]_\beta=A^{-1}{\bf v}_2= \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2{\sqrt{3}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{3}{\sqrt{6}}\end{bmatrix}.
$$

##### Exercise 3

令 $\beta$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的一組基底。
定義
$$\begin{aligned}
f : \mathbb{R}^n &\rightarrow \mathbb{R}^n \\
{\bf v} &\mapsto [{\bf v}]_\beta \\
\end{aligned}
$$
為一函數。

##### Exercise 3(a)

驗證 $f$ 為一線性函數。

:::warning
這裡 "假設" $A$ 存在，要是不存在呢？
這題還不用用到矩陣表示法的概念。

請依照以下結構用定義說明：
令 $\beta = \{\bu_1,\ldots,\bu_n\}$。
因為 $\beta$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的基底，
所以任何 $\bv_1,\bv_2\in\mathbb{R}^n$ 都可以寫成
$$
\begin{aligned}
\bv_1 &= ???, \\
\bv_2 &= ???,
\end{aligned}
$$
因此對任意實數 $k$ 都有
$$
\begin{aligned}
\bv_1 + \bv_2 &= ???, \\
k\bv_1 &= ???.
\end{aligned}
$$
如此一來，
$$
\begin{aligned}
[\bv_1]_\beta &= ???, \\
[\bv_2]_\beta &= ???,
\end{aligned}
$$
因此
$$
\begin{aligned}[]
[\bv_1 + \bv_2]_\beta &= ???, \\
[k\bv_1]_\beta &= ???.
\end{aligned}
$$
因為
$$f({\bf v}_1+{\bf v}_2)=...=f({\bf v}_1)+f({\bf v}_2),
$$
$$kf({\bf v})=...=f(k{\bf v}),
$$
所以綜上所述，$f$ 為一線性函數得證。
:::

答:
令 $\beta = \{\bu_1,\ldots,\bu_n\}$。
因為 $\beta$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的基底，
所以任何 $\bv_1,\bv_2\in\mathbb{R}^n$ 都可以寫成
$$
\begin{aligned}
\bv_1 &= c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_n{\bf u}_n , c_i \in \mathbb{R} , i=\{1,\cdots,n\}, \\
\bv_2 &= d_1{\bf u}_1 + \cdots + d_n{\bf u}_n , d_i \in \mathbb{R} , i=\{1,\cdots,n\},
\end{aligned}
$$
因此對任意實數 $k$ 都有
$$
\begin{aligned}
\bv_1 + \bv_2 &= (c_1 + d_1){\bf u}_1 + \cdots +(c_n + d_n){\bf u}_n, \\
k\bv_1 &= kc_1{\bf u}_1 + \cdots + kc_n{\bf u}_n,\\
k\bv_2 &= kd_1{\bf u}_1 + \cdots + kd_n{\bf u}_n.
\end{aligned}
$$
如此一來，
$$
\begin{aligned}\\
[\bv_1]_\beta &= (c_1 , \cdots , c_n ) , \\
[\bv_2]_\beta &= (d_1 , \cdots , d_n ) ,
\end{aligned}
$$
因此
$$
\begin{aligned} \\
[\bv_1 + \bv_2]_\beta &= ((c_1+d_1) , \cdots , (c_n+d_n)), \\
[k\bv_1]_\beta &= (kc_1 , \cdots , kc_n),\\
[k\bv_2]_\beta &= (kd_1 , \cdots , kd_n).
\end{aligned}
$$
因為
$$f({\bf v}_1+{\bf v}_2)=[\bv_1 + \bv_2]_\beta=[\bv_1]_\beta+[\bv_2]_\beta=f({\bf v}_1)+f({\bf v}_2),
$$
$$kf({\bf v})=k[\bv]_\beta=[k\bv]_\beta=f(k{\bf v}),
$$
所以綜上所述，$f$ 為一線性函數得證。

##### Exercise 3(b)

判斷 $f$ 是否是嵌射。

:::warning

直接用定義證明。
:::

答:

嵌射的定義：對任意定義域中的 $\bv_1,\bv_2$ 都有「若 $f(\bv_1) = f(\bv_2)$，則 $\bv_1 = \bv_2$」的性質。

令 $\bv_1,\bv_2\in\mathbb{R}^n$。
若
$f({\bf v}_1) = f({\bf v}_2)= (c_1,\dots,c_n)$，則 $\bv_1 = c_1\bu_1 + \dots + c_n\bu_n = \bv_2$。

符合嵌射的定義，因此得證 $f$ 是嵌射。

##### Exercise 3(c)

判斷 $f$ 是否是映射。

:::warning

直接用定義證明。
:::

答:
令 $\beta= \{ {\bf u}_1, \ldots, {\bf u}_n \}$，
則任何 $[{\bf v}]_\beta=(c_1, \cdots ,c_n)$ 都有 ${\bf v}=c_1{\bf u}_1+ \cdots +c_n{\bf u}_n$，
使得 $f({\bf v})=[{\bf v}]_\beta$.
根據定義,
得證 $f$ 是映射。

##### Exercise 3(d)

求出 $f$ 的矩陣表示法 $[f]$。

答:

<!-- 令 $\beta= \{ {\bf u}_1, \ldots, {\bf u}_n \},$ -->
依照 $[f]$ 的定義可知
$$
[f] = \begin{bmatrix}
| & ~ & | \\
[\be_1]_\beta & \cdots & [\be_n]_\beta \\
| & ~ & | \\
\end{bmatrix}.
$$
實際上，若 $A$ 為由 $\beta$ 中向量當作行向量的矩陣，
則 $A[\bv]_\beta = \bv$ 且 $A^{-1}\bv = [\bv]_\beta$。
因此，我們也有 $[f] = A^{-1}$。

<!-- 則
$$A = \begin{bmatrix}
| & & | \\
f({\bf u}_1) & \ldots & f({\bf u}_n) \\
| & & | \\
\end{bmatrix}
$$
滿足 $f({\bf u}) = A{\bf u}$ ，對所有 ${\bf u}\in\mathbb{R}^n$。
此時 $[f]=A$ 為 $f$ 的矩陣表示法。 -->

##### Exercise 4

回顧一個 _內積_ $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 必須符合以下的條件：
1. $\langle{\bf x}_1 + {\bf x}_2,{\bf y}\rangle = \langle{\bf x}_1,{\bf y}\rangle + \langle{\bf x}_2,{\bf y}\rangle$.
2. $\langle k{\bf x},{\bf y}\rangle = k\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$.
3. $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle = \langle {\bf y},{\bf x}\rangle$.
4. $\langle {\bf x}, {\bf x} \rangle \geq 0$, and the equality holds if and only if ${\bf x} = {\bf 0}$.

##### Exercise 4(a)

令 $\beta$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的一組基底。
定義一個新的雙變數函數 $\langle {\bf x}, {\bf y} \rangle_\beta = \langle [{\bf x}]_\beta, [{\bf y}]_\beta \rangle$﹐
其中 $\langle [{\bf x}]_\beta, [{\bf y}]_\beta \rangle$ 指的是 $\mathbb{R}^n$ 中的標準內積。
驗證 $\langle \cdot, \cdot \rangle_\beta$ 也是 $\mathbb{R}^n$ 上的另一種內積。

:::warning

- [x] $\beta \in \mathbb{R}^n$ --> $\beta \subset \mathbb{R}^n$
- [x] 標點
- [x] 中英數間空格
- [x] 這題要分別驗證上述的四個條件
:::

答:

1. 可驗證
$$\begin{aligned}
\inp{\bx_1 + \bx_2}{\by}_\beta &= \inp{[\bx_1 + \bx_2]_\beta}{[\by]_\beta} \\
&= \inp{[\bx_1]_\beta + [\bx_2]_\beta}{[\by]_\beta} \\
&= \inp{[\bx_1]_\beta}{[\by]_\beta}+\inp{[\bx_2]_\beta}{[\by]_\beta} \\
&= \inp{\bx_1}{\by}_\beta + \inp{\bx_2}{\by}_\beta.
\end{aligned}
$$
2. 可驗證
$$\begin{aligned}
\inp{k\bx}{\by}_\beta &= \inp{[k\bx]_\beta}{[\by]_\beta} \\
&= \inp{k[\bx]_\beta}{[\by]_\beta} \\
&= k\inp{[\bx]_\beta}{[\by]_\beta} \\
&= k\inp{\bx}{\by}_\beta.
\end{aligned}
$$
3. 可驗證
$$\begin{aligned}
\inp{\bx}{\by}_\beta &= \inp{[\bx]_\beta}{[\by]_\beta}\\
&= \inp{[\by]_\beta}{[\bx]_\beta} \\
&= \inp{\by}{\bx}_\beta.
\end{aligned}
$$
4. 若 $\beta = \{\bu_1,\ldots,\bu_n\}$ 且 $\bx = c_1\bu_1 + \cdots + c_n\bu_n$。
則 $[\bx]_\beta = (c_1,\ldots,c_n)$。
則 $\inp{\bx}{\bx}_\beta = \inp{[\bx]_\beta}{[\bx]_\beta} = c_1^2 + \cdots + c_n^2 \geq 0$，
且等式成立時只有在 $c_1=\cdots=c_n=0$ 時。
此時 $\bx = 0\bu_1 + \cdots +0\bu_n = \bzero$。

<!--
已知 $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$ 可以內積，且 $\beta \subset \mathbb{R}^n$ 為一組 $n$ 維空間的基底
設 ${\bf x},{\bf y}\in \mathbb{R}^n$ 且以 $\beta$ 基底為各行向量形成 $A$ 矩陣。

1.因為 $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$ 可以內積，所以 $\langle k{\bf x},{\bf y}\rangle$=$k\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$，那麼 $\langle [{\bf x}]_\beta, [{\bf y}]_\beta \rangle=\langle A^{-1}{\bf x},A^{-1}{\bf y}\rangle=(A^{-1})^2\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$.

2.因為 $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$ 可以內積，所以 $(A^{-1})^2\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$ 可以內積，即 $\langle [{\bf x}]_\beta, [{\bf y}]_\beta \rangle$ 也可以內積。

3.因為 $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$=$\langle {\bf y},{\bf x}\rangle$，所以 $(A^{-1})^2\langle {\bf x},{\bf y}\rangle=(A^{-1})^2\langle {\bf y},{\bf x}\rangle$ ，所以$\langle [{\bf x}]_\beta, [{\bf y}]_\beta \rangle=\langle [{\bf y}]_\beta, [{\bf x}]_\beta \rangle$

4.$\langle [{\bf x}]_\beta, [{\bf x}]_\beta \rangle=(A^{-1})^2\langle {\bf x},{\bf x}\rangle$ ，由於 $\langle {\bf x},{\bf x}\rangle \geq 0$ 且只有在 $x=0$ 時等號成立，所以以 $(A^{-1})^2\langle {\bf x},{\bf x}\rangle$ 取代 $\langle {\bf x},{\bf x}\rangle$ 同樣也會成立。即$\langle [{\bf x}]_\beta, [{\bf x}]_\beta \rangle \geq 0$ 且只有在 $x=0$ 時等號成立。

綜上所述， $\langle \cdot, \cdot \rangle_\beta\in \mathbb{R}^n$ 為一個可以在 $n$ 維空間中內積的兩個變數。
-->

##### Exercise 4(b)

證明當 $\beta$ 是單位長垂直基底時﹐任意向量都有 $\langle {\bf x}, {\bf y} \rangle_\beta = \langle {\bf x}, {\bf y} \rangle$。

:::warning

- [x] 標點
- [x] 矩陣形式（可以將上述 ... 各係數。）那段好像沒有用到？
- [x] 用 `\begin{cases}...\end{cases}` 時裡面要加 `&`
:::

答:
已知 $\langle {\bf x}, {\bf y} \rangle_\beta = \langle [{\bf x}]_\beta, [{\bf y}]_\beta \rangle$。
令 ${\bf x}=c_1{\bf u}_1+ \cdots + c_n{\bf u}_n$、
${\bf y}=d_1{\bf u}_1+ \cdots + d_n{\bf u}_n$，
其中 $\beta={\{\bf u}_1,\cdots,{\bf u}_n\}$ 為在 $\mathbb{R}^n$ 中的一組基底，$[{\bf x}]_\beta = ({c}_1,\cdots,{c}_n)$、$[{\bf y}]_\beta = ({d}_1,\cdots,{d}_n)$。
因為 $\beta$ 是單位長垂直基底，所以
$$\langle {\bf u}_m, {\bf u}_n \rangle=\begin{cases}
1 & , m = n,\\
0 & , m \neq n.
\end{cases}
$$
因此可得
$$\begin{aligned}
\langle {\bf x}, {\bf y}\rangle
&=(c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_n{\bf u}_n) \cdot (d_1{\bf u}_1 + \cdots + d_n{\bf u}_n) \\
&= c_1d_1||{\bf u}_1^2|| + \cdots + c_nd_n||{\bf u}_n^2|| \\
&= c_1d_1 + \cdots + c_nd_n \\
&=({c}_1,\cdots,{c}_n) \cdot ({d}_1,\cdots,{d}_n)\\
&=\langle [{\bf x}]_\beta, [{\bf y}]_\beta \rangle \\
&=\langle {\bf x}, {\bf y} \rangle_\beta
\end{aligned}
$$
故得證 $\langle {\bf x}, {\bf y} \rangle_\beta = \langle {\bf x}, {\bf y} \rangle$。

:::info
目前分數 6
:::