# $\mathbb{R}^n$ 中的矩陣表示法

This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

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from lingeo import random_int_list, random_good_matrix

## Main idea

Recall that if $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ is a linear function and $\{ {\bf e}_1,\ldots, {\bf e}_n\}$ is the standard basis of $\mathbb{R}^n$.
Then the matrix
$$[f] = \begin{bmatrix}
| & ~ & | \\
f({\bf e}_1) & \cdots & f({\bf e}_n) \\
| & ~ & | \\
\end{bmatrix}
$$
has the property that $f({\bf b}) = [f]{\bf b}$ for all ${\bf b}\in\mathbb{R}^n$.

Sometimes $f({\bf e}_i)$ cannot be easily found, while the function $f$ is described by the bases of $\mathbb{R}^n$ and $\mathbb{R}^m$ instead.
Let $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ be a linear function,
$\alpha = \{ {\bf v}_1, \ldots, {\bf v}_n \}$ be a basis of $\mathbb{R}^n$, and
$\beta$ a basis of $\mathbb{R}^m$.
Then the matrix
$$[f]_\alpha^\beta = \begin{bmatrix}
| & ~ & | \\
[f({\bf v}_1)]_\beta & \cdots & [f({\bf v}_n)]_\beta \\
| & ~ & | \\
\end{bmatrix}
$$
has the property that $[f({\bf b})]_\beta = [f]_\alpha^\beta [{\bf b}]_\alpha$.
Therefore, we call $[f]_\alpha^\beta$ the **matrix representation** of $f$ with respect to $\alpha$ and $\beta$.

The equality can be visualized by the following diagram.
$$\begin{array}{ccc}
{\bf b} & \xrightarrow{f} & f({\bf b}) \\
\downarrow & ~ & \downarrow \\
[{\bf b}]_\alpha & \xrightarrow{[f]_\alpha^\beta\cdot\square} & [f({\bf b})]_\beta \\
\end{array}
$$

Let $\mathcal{E}_n$ and $\mathcal{E}_m$ be the standard basis of $\mathbb{R}^n$ and $\mathbb{R}^m$, respectively. Since we know
- $[f]{\bf b} =f({\bf b})$,
- $[\operatorname{id}]_{\mathcal{E}_n}^\alpha {\bf b} = [{\bf b}]_\alpha$,
- $[\operatorname{id}]_{\mathcal{E}_m}^\beta f({\bf b}) = [f({\bf b})]_\beta$.

We know $[f] = ([\operatorname{id}]_{\mathcal{E}_m}^\beta)^{-1}
[f]_\alpha^\beta
[\operatorname{id}]_{\mathcal{E}_n}^\alpha
= [\operatorname{id}]_\beta^{\mathcal{E}_m}
[f]_\alpha^\beta
([\operatorname{id}]_\alpha^{\mathcal{E}_n})^{-1}$.

## Side stories
- projection

## Experiments

##### Exercise 1

執行以下程式碼。
已知 $f$ 為 $\mathbb{R}^3$ 到 $\mathbb{R}^2$ 的線性函數﹐
而 $\alpha$ 和 $\beta$ 分別為 $\mathbb{R}^3$ 和 $\mathbb{R}^2$ 的一組基底。

**[程式碼有更新]**

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False
m,n = 2,3
alpha = random_good_matrix(n,n,n, bound=3)
beta = random_good_matrix(m,m,m, bound=3)
A = matrix(m, random_int_list(m*n))
v = vector(random_int_list(n, 3))
b = alpha * v

print("alpha contains %s vectors:"%n)
for j in range(n):
    print("v%s ="%(j+1), alpha.column(j))

print("beta contains %s vectors:"%m)
for i in range(m):
    print("u%s ="%(i+1), beta.column(i))

for j in range(n):
    print( "f(v%s) = "%(j+1) + " + ".join("%s u%s"%(A[i,j],i+1) for i in range(m)) )
    
print("b =", b)

if print_ans:
    print("[b]_alpha =", v)
    print("[f(b)]_beta =", A*v)
    print("f(b) =", beta * A * v)
    print("[f]_alpha^beta =")
    show(A)
    print("[f] =")
    show(beta * A * alpha.inverse())

藉由```seed=0```,得到

$\alpha$ 含有三個向量:
${\bf v}_1 = (1, -3, 0)$、
${\bf v}_2 = (3, -8, -1)$、
${\bf v}_3 = (1, -1, -1)$。
$\beta$ 含有兩個向量:
${\bf u}_1 = (1, 2)$、
${\bf u}_2 = (1, 3)$。

$f({\bf v}_1) = 4 {\bf u}_1 + 2 {\bf u}_2$、
$f({\bf v}_2) = -4 {\bf u}_1 + 4 {\bf u}_2$、
$f({\bf v}_3) = -3 {\bf u}_1 + -4 {\bf u}_2$、
${\bf b} = (6, -19, -1)$。
##### Exercise 1(a)

求 $[{\bf b}]_\alpha$、$[f({\bf b})]_\beta$ 、及 $f({\bf b})$。

:::warning

- [x] 標點
- [x] 用 `\begin{aligned} ... \end{aligned}` 把一些等號對齊（參考 [風格指引](https://sagelabtw.github.io/LA-Tea/style.html)）
:::

答:

令 $U$ 和 $V$ 為兩向量空間，
對任意向量 ${\bf u}, {\bf u}_1, {\bf u}_2\in U$ 及純量 $k\in\mathbb{R}$.
如果
$$\begin{aligned}
f({\bf u}_1 + {\bf u}_2) &= f({\bf u}_1) + f({\bf u}_2) \\
f(k{\bf u}) &= kf({\bf u}) \\
\end{aligned}
$$
函數 $f: U\rightarrow V$ 是線性。

設
${\bf e}_1=（1,0,0）$、
${\bf e}_2=（0,1,0）$、
${\bf e}_3=（0,0,1）$。

令
$$\left[\begin{array}{ccc|cccc}
{\bf v}_1& {\bf v}_2 & {\bf v}_3 &
{\bf b} & {\bf e}_1 & {\bf e}_2 & {\bf e}_3
\end{array}\right]$$
得
$$\left[\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 3 & 1 & 6 & 1 & 0 & 0\\
-3 & -8 & -1 & -19 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]$$
化簡
$$\left[\begin{array}{ccc|cccc}
1 & 0 & 0 & -1 & 7 & 2 & 5\\
0 & 1 & 0 & 3 & -3 & -1 & -2\\
0 & 0 & 1 & -2 & 3 & 1 & 1
\end{array}\right]
$$

1. $[{\bf b}]_\alpha=\begin{bmatrix}
-1 \\
3 \\
-2
\end{bmatrix}.$

2.
$$\begin{aligned}[]
[f({\bf b})]_\beta &=[f(-1{\bf v}_1+3{\bf v}_2-2{\bf v}_3)]_\beta \\
&=-[f({\bf v}_1)]_\beta+3[f({\bf v}_2)]_\beta-2[f({\bf v}_3)]_\beta \\
&=-\begin{bmatrix}4 \\2\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}-4 \\4\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}-3 \\-4\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}-10 \\18\end{bmatrix}.
\end{aligned}
$$

3.
$$\begin{aligned}f({\bf b}) &=-10{\bf u}_1+18{\bf u}_2 \\
&=-10\begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix}
+18\begin{bmatrix}1 \\3\end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix}8 \\34\end{bmatrix}.
\end{aligned}
$$

##### Exercise 1(b)

求 $[f]_\alpha^\beta$ 及 $[f]$。

:::warning

- [x] 在 $f(\be_1)$ 那行之前加：由前一題的最簡階梯形可以將 $\be_1,\be_2,\be_3$ 分別寫成 $\{\bv_1,\bv_2,\bv_3\}$ 的線性組合。
- [x] 標點
:::

答:

1. 因為
$$\begin{aligned}[]
[f({\bf v}_1)]_\beta &= [f]_\alpha^\beta
\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}4 \\ 2\end{bmatrix}, \\
[f({\bf v}_2)]_\beta &= [f]_\alpha^\beta
\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}-4 \\ 4\end{bmatrix}, \\
[f({\bf v}_3)]_\beta &= [f]_\alpha^\beta
\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}-3 \\ -4\end{bmatrix},
\end{aligned}
$$
所以
$$[f]_\alpha^\beta
=\begin{bmatrix}
| & | & | \\
[f({\bf v}_1)]_\beta & [f({\bf v}_2)]_\beta & [f({\bf v}_3)]_\beta \\
| & | & | \\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}4 & -4 & -3 \\
2 & 4 & -4 \end{bmatrix}.
$$

2. 由前一題的最簡階梯形可以將 $\be_1,\be_2,\be_3$ 分別寫成 $\{\bv_1,\bv_2,\bv_3\}$ 的線性組合。

$f({\bf e}_1)=f(7{\bf v}_1-3{\bf v}_2+3{\bf v}_3)
=7f({\bf v}_1)-3f({\bf v}_2)+3f({\bf v}_3)
=\begin{bmatrix}21 \\ 32\end{bmatrix}$、

$f({\bf e}_2)=f(2{\bf v}_1-{\bf v}_2+{\bf v}_3)
=2f({\bf v}_1)-f({\bf v}_2)+f({\bf v}_3)
=\begin{bmatrix}5 \\ 6\end{bmatrix}$、

$f({\bf e}_3)=f(5{\bf v}_1-2{\bf v}_2+{\bf v}_3)
=5f({\bf v}_1)-2f({\bf v}_2)+f({\bf v}_3)
=\begin{bmatrix}23 \\ 44\end{bmatrix}$。

$[f]=
\begin{bmatrix}
| & | & | \\
f({\bf e}_1) & f({\bf e}_2) & f({\bf e}_3)\\
| & | & | \\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}21 & 5 & 23 \\
32 & 6 & 44\end{bmatrix}.$

## Exercises
##### Exercise 2

令 $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 為一線性函數、
$\alpha = \{{\bf v}_1, \ldots, {\bf v}_n\}$ 為 $\mathbb{R}^n$ 的一組基底、
$\beta = \{{\bf u}_1, \ldots, {\bf u}_m\}$ 為 $\mathbb{R}^m$ 的一組基底。

##### Exercise 2(a)

令 $m = n = 3$ 且
$\alpha = \beta$ 為
$$A = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\end{bmatrix}
$$
的各行向量。
已知
$f({\bf v}_1) = {\bf u}_1$、
$f({\bf v}_2) = {\bf u}_2$、
$f({\bf v}_3) = {\bf 0}$。
求 $[f]_\alpha^\beta$ 及 $[f]$ 並說明 $f$ 的作用。

:::warning
- [x] 有一個 $\be_3$ 打錯
- [x] 基底不會是矩陣，可以把那兩個單位矩陣刪掉；後面幾題一樣
- [x] 最後一式用 `aligned` 將等號對齊；後面幾題一樣
- [x] $f$ 作用為投影 --> $f$ 的作用為將向量投影到 $\vspan\{\bu_1,\bu_2\}$ 這個平面。
:::

答:
因為 $[f({\bf v}_1)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}$、
$[f({\bf v}_2)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}$、
$[f({\bf v}_3)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}$，

所以
$[f]_\alpha^\beta = \begin{bmatrix}
| & | & | \\
[f({\bf v}_1)]_\beta & [f({\bf v}_2)]_\beta & [f({\bf v}_3)]_\beta \\
| & | & | \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$。

令 ${\mathcal{E}_n} = \{{\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf e}_3\}$ 為 $\mathbb{R}^n$ 的標準基底，
${\mathcal{E}_m} = \{{\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf e}_3\}$ 為 $\mathbb{R}^m$ 的標準基底，

$\begin{aligned}
\\ [f] &= [\operatorname{id}]_\beta^{\mathcal{E}_m}
[f]_\alpha^\beta
([\operatorname{id}]_\alpha^{\mathcal{E}_n})^{-1} \\
&= \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\end{bmatrix}^{-1} \\
&= \begin{bmatrix}
\frac{5}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\
-\frac{1}{6} & \frac{5}{6} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{bmatrix}
\end{aligned}$

觀察
$f({\bf v}_1) = {\bf u}_1$、
$f({\bf v}_2) = {\bf u}_2$、
$f({\bf v}_3) = {\bf 0}$。
$f$ 的作用為將向量投影到 $\vspan\{\bu_1,\bu_2\}$ 這個平面。

##### Exercise 2(b)

令 $m = n = 3$ 且
$\alpha = \beta$ 為
$$A = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\end{bmatrix}
$$
的各行向量。
已知
$f({\bf v}_1) = {\bf u}_1$、
$f({\bf v}_2) = {\bf u}_2$、
$f({\bf v}_3) = -{\bf u}_3$。
求 $[f]_\alpha^\beta$ 及 $[f]$ 並說明 $f$ 的作用。

:::warning

- [x] 在這題中，f會使${\bf u}_3$變號但${\bf u}_1$,${\bf u}_2$不變，故為鏡射。--> 在這題中，$f$ 會使 ${\bf u}_3$ 變號但 ${\bf u}_1$, ${\bf u}_2$ 不變，故為 $f$ 的作用為對平面 $\vspan\{\bu_1,\bu_2\}$ 鏡射。
:::

答:
從題目中可以知道 $[f({\bf v}_1)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0\\
\end{bmatrix}$、
$[f({\bf v}_2)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0\\
\end{bmatrix}$、
$[f({\bf v}_3)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
-1\\
\end{bmatrix}$，

因此能得出 $[f]_\alpha^\beta = \begin{bmatrix}
| & | & | \\
[f({\bf v}_1)]_\beta & [f({\bf v}_2)]_\beta & [f({\bf v}_3)]_\beta \\
| & | & | \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}$。

令 ${\mathcal{E}_n}=\{{\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf e}_3\}$ 的行向量為 $\mathbb{R}^n$ 的標準基底，

由此能計算出
$\begin{aligned}
\\ [f] &= [\operatorname{id}]_\beta^{\mathcal{E}_m}
[f]_\alpha^\beta([\operatorname{id}]_\alpha^{\mathcal{E}_n})^{-1} \\
&= \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\end{bmatrix}^{-1} \\
&= \begin{bmatrix}
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\
-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}
\end{bmatrix}
\end{aligned}$

在這題中，$f$ 會使 ${\bf u}_3$ 變號但 ${\bf u}_1$, ${\bf u}_2$ 不變，故為 $f$ 的作用為對平面 $\vspan\{\bu_1,\bu_2\}$ 鏡射。

##### Exercise 2(c)

令 $m = n = 3$ 且
$\alpha = \beta$ 為
$$A = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\end{bmatrix}
$$
的各行向量。
已知
$f({\bf v}_1) = {\bf u}_2$、
$f({\bf v}_2) = -{\bf u}_1$、
$f({\bf v}_3) = {\bf u}_3$。
求 $[f]_\alpha^\beta$ 及 $[f]$ 並說明 $f$ 的作用。

:::warning

- [x] 在這題中，能從$[f]_\alpha^\beta$得知f為旋轉矩陣。 --> 在這題中，能從$[f]_\alpha^\beta$得知 $f$ 的作用為將向量以 $\bu_3$ 為軸，由 $\bu_1$ 方向往 $\bu_2$ 方向旋轉 $90$ 度。
:::

答:
從題目中可以知道 $[f({\bf v}_1)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0\\
\end{bmatrix}$、
$[f({\bf v}_2)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
0\\
\end{bmatrix}$、
$[f({\bf v}_3)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1\\
\end{bmatrix}$，

因此能得出$[f]_\alpha^\beta = \begin{bmatrix}
| & | & | \\
[f({\bf v}_1)]_\beta & [f({\bf v}_2)]_\beta & [f({\bf v}_3)]_\beta \\
| & | & | \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$。

令 ${\mathcal{E}_n}=\{{\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf e}_3\}$ 的行向量為 $\mathbb{R}^n$ 的標準基底，

由此能計算出
$\begin{aligned}
\\ [f] &= [\operatorname{id}]_\beta^{\mathcal{E}_m}
[f]_\alpha^\beta
([\operatorname{id}]_\alpha^{\mathcal{E}_n})^{-1} \\
&= \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\end{bmatrix}^{-1} \\
&= \begin{bmatrix}
-\frac{1}{6} & -\frac{2}{\sqrt{6}}+\frac{1}{6} & -\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{3} \\
\frac{2}{\sqrt{6}}+\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{3} \\
\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{3} & -\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{bmatrix}
\end{aligned}$

在這題中，能從$[f]_\alpha^\beta$得知 $f$ 的作用為將向量以 $\bu_3$ 為軸，由 $\bu_1$ 方向往 $\bu_2$ 方向旋轉 $90$ 度。

##### Exercise 2(d)

令 $m = 2$、$n = 3$ 且
$\alpha$ 為
$$A = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\end{bmatrix}
$$
的各行向量、
$\beta$ 為
$$B = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$
的各行向量。
已知
$f({\bf v}_1) = 3{\bf u}_1$、
$f({\bf v}_2) = 4{\bf u}_2$、
$f({\bf v}_3) = {\bf 0}$。
求 $[f]_\alpha^\beta$ 及 $[f]$。

:::warning

- [x] 不要中英雜夾
- [x] $[f]$ 的部份要用 $[f] = ([\operatorname{id}]_{\mathcal{E}_m}^\beta)^{-1}
[f]_\alpha^\beta)
[\operatorname{id}]_{\mathcal{E}_n}^\alpha = [\operatorname{id}]^{\mathcal{E}_m}_\beta[f]_\alpha^\beta
([\operatorname{id}]^{\mathcal{E}_n}_\alpha)^{-1}$ 計算
- [x] $\be^{'}$ --> $\be'$
:::

答:
$\alpha$ 含有三個向量:
${\bf v}_1 = (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$、
${\bf v}_2 = (\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0)$、
${\bf v}_3 = (\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}})$。
$\beta$ 含有兩個向量:
${\bf u}_1 = (1,0)$、
${\bf u}_2 = (1,1)$。
經計算後得出
$f({\bf v}_1) = 3{\bf u}_1 = 3{\bf u}_1 + 0{\bf u}_2$、
$f({\bf v}_2) = 4{\bf u}_2 = 0{\bf u}_1 + 4{\bf u}_2$、
$f({\bf v}_3) = {\bf 0} = 0{\bf u}_1 + 0{\bf u}_2$。
由此可知 $[f({\bf v}_1)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
3 \\
0 \\
\end{bmatrix}$、
$[f({\bf v}_2)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
0 \\
4 \\
\end{bmatrix}$、
$[f({\bf v}_3)]_\beta$ 為 $\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}$，故得
$$[f]_\alpha^\beta = \begin{bmatrix}
| & | & | \\
[f({\bf v}_1)]_\beta & [f({\bf v}_2)]_\beta & [f({\bf v}_3)]_\beta \\
| & | & | \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$。
令 ${\mathcal{E}_m}=\{{\bf e}_1, {\bf e}_2\}$ 為 $\mathbb{R}^m$ 的標準基底，${\mathcal{E}_n}=\{{\bf e}_1', {\bf e}_2', {\bf e}_3'\}$ 為 $\mathbb{R}^n$ 的標準基底，得

$\begin{aligned}
\\ [f] &= [\operatorname{id}]^{\mathcal{E}_n}_\beta[f]_\alpha^\beta
([\operatorname{id}]^{\mathcal{E}_m}_\alpha)^{-1} \\
&= \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\end{bmatrix}^{-1} \\
&= \begin{bmatrix}
\sqrt{3}+2\sqrt{2} & \sqrt{3}-2\sqrt{2} & \sqrt{3} \\
2\sqrt{2} & -2\sqrt{2} & 0 \\
\end{bmatrix}.
\end{aligned}$

##### Exercise 3

若 $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 為一線性函數。
而 $\mathcal{E}_n$ 和 $\mathcal{E}_m$ 分別為 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 的一組基底。
說明 $[f]$ 就是 $[f]_{\mathcal{E}_n}^{\mathcal{E}_m}$。

:::warning
這題完全不知道你在寫什麼喔...

- [x] 設 $\mathcal{E}_n$ 和 $\mathcal{E}_m$ 分別為 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 的一組基底，
-->
設 $\mathcal{E}_n$ 和 $\mathcal{E}_m$ 分別為 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 的一組基底，
且令 $\mathcal{E}_n = \{\be_1,\ldots, \be_n\}$。
- [x] 設 $\alpha$ ... 那句拿掉
- [x] $\mathcal{E}_i$ --> $\be_i$
- [x] $[f]_{\mathcal{E}_n}^{\mathcal{E}^m}$ 的公式有錯，修正完應該答案就要差不多了；公式後面的東西我都不知道在幹麻
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答:
設 $\mathcal{E}_n$ 和 $\mathcal{E}_m$ 分別為 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 的一組基底，
且令 $\mathcal{E}_n = \{\be_1,\ldots, \be_n\}$。

已知
$$[f] = \begin{bmatrix}
| & ~ & | \\
f({\bf e}_1) & \cdots & f({\bf e}_n) \\
| & ~ & | \\
\end{bmatrix}，
$$
且
$$[f]_{\mathcal{E}_n}^{\mathcal{E}_m} = \begin{bmatrix}
| & ~ & | \\
[f({\bf e}_1)]_{\mathcal{E}_m} & \cdots & [f({\bf e}_n)]_{\mathcal{E}_m} \\
| & ~ & | \\
\end{bmatrix}，
$$

因為 $\mathcal{E}_m$ 為標準基底，所以任何向量都有 $[\bv]_{\mathcal{E}_m} = \bv$。
由此可知，$[f]$ 就是 $[f]_{\mathcal{E}_n}^{\mathcal{E}_m}$。

:::success
目前分數 6.5
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