$\mathbb{R}^n$ 中的仿射子空間

# $\mathbb{R}^n$ 中的仿射子空間 ![Creative Commons License](https://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88x31.png) This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). {%hackmd 5xqeIJ7VRCGBfLtfMi0_IQ %} ```python from lingeo import random_int_list, draw_span ``` ## Main idea An **affine subspace** in $\mathbb{R}^n$ is a subset of $\mathbb{R}^n$ of the form $${\bf p} + V = \{{\bf p} + {\bf v}: {\bf v} \in V\}, $$ where ${\bf p}$ is a vector and $V$ is a subspace in $\mathbb{R}^n$. An affine subspace is a subspace if and only if it contains the origin ${\bf 0}$. Let $U$ be an affine subspace in $\mathbb{R}^n$. Then $U = {\bf p} + V$ for some vector ${\bf p}$ and some subspace if and only if ${\bf p}$ is a vector in $U$ and $V = \{{\bf p}_1 - {\bf p}_2: {\bf p}_1,{\bf p}_2\in U\}$. ## Side stories - element + set - choice of the representative ## Experiments ##### Exercise 1 執行下方程式碼。原點為橘色點、${\bf p}$ 為橘色向量、從 ${\bf p}$ 的終點延伸出去的紅色向量和淡藍色向量分別為 ${\bf u}_1$ 和 ${\bf u}_2$。黑色向量為 ${\bf b}$。問 ${\bf b}$ 是否是落在 ${\bf p} + \operatorname{span}(\{{\bf u}_1, {\bf u}_2\})$？若是﹐求 $c_1,c_2$ 使得 ${\bf b} = {\bf p} + c_1{\bf u}_1 + c_2{\bf u}_2$。 ```python ### code set_random_seed(0) print_ans = True while True: l = random_int_list(9) A = matrix(3, l) if A.det() != 0: break u1 = vector(A[0]) u2 = vector(A[1]) u3 = vector(A[2]) p = vector(random_int_list(3)) inside = choice([0,1,1]) coefs = random_int_list(2, 2) if inside: b = p + coefs[0]*u1 + coefs[1]*u2 else: b = p + coefs[0]*u1 + coefs[1]*u2 + 3*u3 print("p =", p) print("u1 =", u1) print("u2 =", u2) print("b =", b) pic = draw_span([u1,u2], p) pic += arrow((0,0,0), b, width=5, color="black") show(pic) if print_ans: if inside: print("b is on Col(A) since b = %s u1 + %s u2."%(coefs[0], coefs[1])) else: print("b is not on Col(A).") ``` :::warning - [ ] 第一題要選一個 seed 把題目給的數字貼上來，然後寫如何得到答案 ::: 答: **[由練朗順同學提供]** 以下為題目給的數字： ```python= p = (4, -4, -3) u1 = (-4, 3, 5) u2 = (-5, -5, 0) b = (6, 12, 7) ``` 當 ${\bf b}-{\bf p}=c_1{\bf u}_1+c_2{\bf u}_2$ 有解的時候，即 ${\bf b}$ 落在 ${\bf p} + \operatorname{span}(\{{\bf u}_1, {\bf u}_2\})$ 中。我們可以計算 $${\bf b} - {\bf p}=\begin{bmatrix}6\\12\\7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4\\-4\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\16\\10\end{bmatrix} $$ 並觀察 $$2{\bf u}_1 - 2{\bf u}_2=2\begin{bmatrix}-4\\3\\5\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}-5\\-5\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\16\\10\end{bmatrix} $$ 得到 ${\bf b}={\bf p}+2{\bf u}_1-2{\bf u}_2$。因此 ${\bf b}$ 落在 ${\bf p} + \operatorname{span}(\{{\bf u}_1, {\bf u}_2\})$。 **[由張朔祐同學提供]** 把 ${\bf b} = {\bf p}+c_1{\bf u}_1 + c_2{\bf u}_2$ 寫成 $$ \begin{bmatrix}6\\12\\7\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}4\\-4\\-3\end{bmatrix}+ c_1\begin{bmatrix}-4\\3\\5\end{bmatrix}+ c_2\begin{bmatrix}-5\\-5\\0\end{bmatrix}, $$ 可推得 $$ \left\{\begin{aligned} 4-4c_1-5c_2 &= 6, \\ -4+3c_1-5c_2 &= 12, \\ -3+5c_1+0c_2 &= 7. \end{aligned}\right. $$ 因此 $c_1 = 2$, $c_2 = -2$。帶回原式 ${\bf b} = {\bf p}+c_1{\bf u}_1 + c_2{\bf u}_2$，可推得 ${\bf b} = {\bf p}+2{\bf u}_1 +( -2){\bf u}_2$，故 ${\bf b}$ 是 ${\bf p}$+$\{{\bf u}_1, {\bf u}_2\}$ 的線性組合。 ## Exercises ##### Exercise 2 若 $S$ 為一實數的集合、$p$ 為一實數。我們定義 $p + S = \{p + s: s\in S\}$。 ##### Exercise 2(a) 執行以下程式碼。算出 $p + S$。 ```python ### code set_random_seed(0) print_ans = False nums = list(range(-20,21)) p = choice(nums) while True: S = [choice(nums) for _ in range(5)] if len(set(S)) == len(S): break print("p =", p) print("S =", S) if print_ans: print("p + S =", [p + s for s in S]) ``` :::warning - [x] 記錄題目並說明和答案，並說明為什麼 ::: 答: 以下為題目給的數字： ```python= p = -13 S = [12, -18, -19, 1, 13] ``` 因此 $p + S = \{-13+s:s\in S\} = \{-1, -31, -32, -12, 0\}$。 ##### Exercise 2(b) 令 $3\mathbb{Z} = \{3k: k \in \mathbb{Z}\}$。寫出 $1 + 3\mathbb{Z}$ 和 $-2 + 3\mathbb{Z}$﹐ 並觀察它兩者是否一樣。 :::warning - [x] 整數的封閉性是指：若 $a,b\in\mathbb{Z}$，則 $a+b\in\mathbb{Z}$。這樣並沒有說明為什麼 $\{-2+3s:s\in\mathbb{Z}\}=\{1+3(s-1):s\in\mathbb{Z}\}$ - [x] 用以下的方式證明 $A = B$。令 $x\in A$ ... 則 $x\in B$，所以 $A\subseteq B$。另一方面，令 $x\in B$ ... 則 $x\in A$，所以 $B\subseteq A$。 - [x] 標點 [B01](https://sagelabtw.github.io/LA-Tea/style.html)。 ::: 答：可以觀察到 $1+3\mathbb{Z}=\{1+3t:t\in\mathbb{Z}\}$ 及 $-2+3\mathbb{Z}=\{-2+3s:s\in\mathbb{Z}\}$。若 $1 + 3t \in 1 + 3\mathbb{Z}$，其中 $t$ 是整數，則 $1 + 3t = -2 + (3 + 3t)$。因為 $1+t\in\mathbb{Z}$，所以 $1 + t = -2 + 3(1+t)\in -2 + 3\mathbb{Z}$，因此 $1 + 3\mathbb{Z} \subseteq -2 + 3\mathbb{Z}$。若$-2 + 3s \in -2 + 3\mathbb{Z}$，其中 $s$ 是整數，則 $-2 + 3s = 1 + (-3 + 3s)$。因為 $-1+s\in\mathbb{Z}$，所以 $-1+s = 1 + 3(-1+s)\in 1 + 3\mathbb{Z}$，因此 $-2 + 3\mathbb{Z} \subseteq 1 + 3\mathbb{Z}$。最後得到兩個集合相等。 ##### Exercise 2(c) 若 $U = 1 + 3\mathbb{Z}$。說明 $\{p_1 - p_2: p_1, p_2 \in U\} = 3\mathbb{Z}$。 :::warning - [x] $\mathbb{U}$ --> $U$ - [x] 目前只證明了 $\subseteq$，還要證明另一邊：若 $z\in\mathbb{Z}$，則可以令 $p_1 = ?$ 及 $p_2 = ?$ 使得 $z = p_1 - p_2$，因此 $z \in \{p_1 - p_2: p_1,p_2\in U\}$。所以 $\{p_1 - p_2: p_1,p_2\in U\} \supseteq \mathbb{Z}$。 - [x] 正式寫作不要用邏輯符號 [B03](https://sagelabtw.github.io/LA-Tea/style.html) ::: 答：令 $1+3s,1+3t\in 1 + 3\mathbb{Z}$，其中 $s,t\in\mathbb{Z}$。由於整數的封閉性，可以得到 $s-t\in \mathbb{Z}$，則 $(1+3s) - (1+3t) = 3(s-t) \in 3\mathbb{Z}$。因此 $\{p_1 - p_2: p_1, p_2\in U\} \subseteq \mathbb{Z}$。令 $3k\in 3\mathbb{Z}$，其中 $k\in\mathbb{Z}$。取 $p_1 = 1+3k$ 及 $p_2 = 1$，則 $p_1,p_2\in U$。則 $3k = p_1 - p_2 \in \{p_1 - p_2: p_1, p_2\in U\}$。因此 $\{p_1 - p_2: p_1, p_2\in U\} \supseteq \mathbb{Z}$。最後得到兩集合相等。  ##### Exercise 3 令 $U = \left\{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} : x + y + z = 3\right\}$。 ##### Exercise 3(a) 找一群 $\mathbb{R}^3$ 中的向量 ${\bf p}$、${\bf u}_1$、${\bf u}_2$﹐ 使得 $U = {\bf p} + \operatorname{span}(\{{\bf u}_1, {\bf u}_2\})$。 :::warning - [ ] 要說明為什麼，或是怎麼找到的 ::: 答：先任意找一個符合 $x+y+z=3$ 的 ${\bf p}$，如 ${\bf p}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ 就是一個簡單的例子。接著在 $x+y+z=0$ 平面上找兩個不互相平行的向量，例如 $\bu_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}$ 和 $\bu_2 = \begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$。就可以得到答案 $$ \bp = \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}, \bu_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}, {\bf u}_2=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}. $$ ##### Exercise 3(b) 驗證 $V = \{{\bf p}_1 - {\bf p}_2 : {\bf p}_1,{\bf p}_2 \in U\}$ 是一個子空間（它非空、對純量乘法和向量加法有封閉性）。因此 $U$ 可以寫成 $U = {\bf p} + V$。 :::warning - [x] 要驗證它非空、對純量乘法和向量加法有封閉性，參考 102-3；而且 $V \neq \vspan(\{\bp_1,\bp_2\})$ - [x] $\because {\bf p}_1,{\bf p}_2\in U$ --> 令 $\bp_1,\bp_2 \in U$。 - [x] 正式寫作不要用邏輯符號 [B03](https://sagelabtw.github.io/LA-Tea/style.html) - [x] 標點 ::: 答：對任意 ${\bf p}_1,{\bf p}_2\in U$，都可以寫成 ${\bf p}_1 = {\bf p}+a_1{\bf u}_1+a_2{\bf u}_2$ 和 ${\bf p}_2 = {\bf p}+b_1{\bf u}_1+b_2{\bf u}_2$，其中 $a_1, a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}$。因此， $$\begin{aligned} V &= \{{\bf p}_1 - {\bf p}_2 : {\bf p}_1,{\bf p}_2 \in U\} \\ &= \{(a_1-b_1){\bf u}_1+(a_2-b_2){\bf u}_2:a_1, a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}\} \\ &=\{c_1{\bf u}_1+c_2{\bf u}_2:c_1, c_2\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}(\{{\bf u}_1,{\bf u}_2\}). \end{aligned} $$ 因此 $V$ 為一子空間，且 $U = {\bf p} + V$。  ##### Exercise 3(c) 證明任一個超平面 $$\{ {\bf v}\in\mathbb{R}^n : \langle{\bf r},{\bf v}\rangle = b \} $$ （其中 ${\bf r}\in\mathbb{R}^n$、$b\in\mathbb{R}$）都是一個仿射子空間。而且 ${\bf r}$ 和 $V = \{{\bf p}_1 - {\bf p}_2 : {\bf p}_1,{\bf p}_2 \in U\}$ 中的所有向量垂直﹐ 因此它是 $U$ 的法向量。 :::warning - [x] 標點 - [x] 不要用邏輯符號 ::: 答：令 ${\bf w}$ 為 $\langle{\bf r},{\bf v}\rangle = b$ 的一組解。另外考慮集合 $V=\{ {\bf p}\in\mathbb{R}^n : \langle{\bf r},{\bf p}\rangle = 0 \}$。由下列向量內積的性質 $$\langle{\bf a}+{\bf b}, {\bf c}\rangle=\langle{\bf a},{\bf c}\rangle+\langle{\bf b},{\bf c}\rangle, $$ $$\langle r{\bf a},{\bf b}\rangle=r\langle{\bf a},{\bf b}\rangle $$ 可知 $V$ 有向量加法和純量乘法封閉性，且明顯地 ${\bf 0}\in V$，因此 $V$ 為非空集合綜合以上三點可知 $V$ 為子空間。考慮 ${\bf w}+V=\{{\bf w}+{\bf p}:\langle{\bf r},{\bf p}\rangle = 0\}$ 為一仿射子空間，因為 $\langle{\bf r},{\bf w}\rangle = b$，所以 ${\bf w}+V=\{{\bf w}+{\bf p}:\langle{\bf r},{\bf p}\rangle = 0\}=\{{\bf w}+{\bf p}:\langle{\bf r},{\bf w}+{\bf p}\rangle = b\}=\{{\bf v}:\langle{\bf r},{\bf v}\rangle = b\}$。因此 $\{{\bf v}\in\mathbb{R}^n:\langle{\bf r},{\bf v}\rangle = b\}$ 為一仿射子空間。 ##### Exercise 4 令 $U = \left\{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix} : \begin{array}{ccccc} x & +y & & +w & = 3 \\ & & z & +w & = 2 \\ \end{array}\right\}$。找一群 $\mathbb{R}^4$ 中的向量 ${\bf p}$、${\bf u}_1$、${\bf u}_2$﹐ 使得 $U = {\bf p} + \operatorname{span}(\{{\bf u}_1, {\bf u}_2\})$。（因此這組方程式的解形成一個仿射子空間。） :::warning - [x] 第二個大數學式最後加半型句點 - [x] 矩陣 --> 向量 - [x] 再由 ... --> 因此所有解都可以寫成 $$U = \{\bp + c_1\bu_1 + c_2\bu_2: c_1,c_2\in\mathbb{R}\} = \bp + \vspan(\{\bu_1,\bu_2\}), $$ 其中 ... ::: 答：依題中方程式可得知 $z = 2 - w$ 與 $x = 3 - y - w$。因此可得下列向量 $$\begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 - y - w\\y\\2 - w\\w\end{bmatrix}， $$ 而向量又可分解為 $$\begin{bmatrix}3 - y -w\\y\\2 - w\\w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\0\\2\\0\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix}- 1\\1\\0\\0\end{bmatrix} + w \begin{bmatrix}- 1\\0\\- 1\\1\end{bmatrix}. $$ 因此所有解都可以寫成 $$U = \{\bp + c_1\bu_1 + c_2\bu_2: c_1,c_2\in\mathbb{R}\} = \bp + \vspan(\{\bu_1,\bu_2\}), $$ 其中向量 ${\bf p} = (3,0,2,0)$、向量 ${\bf u}_1 = (- 1,1,0,0)$、向量 ${\bf u}_2 = (- 1,0,- 1,1)$。 ##### Exercise 5 令 $U$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的仿射子空間。 ##### Exercise 5(a) 若 $V$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的一子空間、 ${\bf p}_1$ 和 ${\bf p}_2$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的向量。證明以下敘述等價： 1. ${\bf p}_1 + V = {\bf p}_2 + V$. 2. ${\bf p}_1 - {\bf p}_2 \in V$. :::warning - [x] 用 1 --> 2, 2 --> 1 完整寫出來：假設 $\bp_1 + V = \bp_2 + V$。因為 $V$ 是一個子空間且 $\bzero\in V$，所以 $\bp_1 = \bp_1 + \bzero \in \bp_1 + V = \bp_2 + V$。如此一來，存在某一個 $\bv\in V$ 使得 $\bp_1 = \bp_2 + \bv$，所以 ... - [x] ${\bf p}_1+V={\bf p}_2+V\Leftrightarrow$ 每一組 $(x_1,...,x_k)$ 都有一一對應的一組 $(y_1,...,y_k)$ <-- 敘述很模糊，比如說如果有一一對應，就一定會有 $\bp_1 + V = \bp_2 + V$ 嗎？它的對應是怎樣？ - [x] 不要用邏輯符號 ::: 答： "$1\implies 2$" 假設 $\bp_1 + V = \bp_2 + V$。因為 $V$ 是一個子空間且 $\bzero\in V$，所以 $\bp_1 = \bp_1 + \bzero \in \bp_1 + V = \bp_2 + V$。如此一來，存在某一個 $\bv\in V$ 使得 $\bp_1 = \bp_2 + \bv$，所以 $\bp_1 - \bp_2 = \bv$，${\bf p}_1 - {\bf p}_2 \in V$。 "$2\implies 1$" 假設 ${\bf p}_1 - {\bf p}_2 \in V$，則 ${\bf p}_1 - {\bf p}_2$ 等於某一個 $\bv\in V$。因此 $\bp_1 - \bp_2 = \bv$，也就是$\bp_1 = \bp_2 + \bv$。任取 $\bp_1 + \bu \in\bp_1+V$，得到 $\bp_1 + \bu =\bp_2 + \bu + \bv$。因為 $\bv,\bu\in V$ 且 $V$ 是一個子空間，所以 $\bv + \bu\in V$，而 $\bp_1 + \bu = \bp_2 + \bv + \bu \in \bp_2 + V$。因此我們知道 $\bp_1 + V \subseteq \bp_2 + V$。同理，從 $\bp_1 - \bp_2 = \bv$ 可得 $\bp_2 = \bp_1 - \bv$。任取 $\bp_2 + \bu \in\bp_2+V$，得到 $\bp_2 + \bu =\bp_1 - \bv + \bu$。因為 $\bv,\bu\in V$ 且 $V$ 是一個子空間，所以 $-\bv + \bu\in V$，而 $\bp_2 + \bu =\bp_1 - \bv + \bu\in \bp_1 + V$。因此我們知道 $\bp_2 + V \subseteq \bp_1 + V$。最後我們得到 $\bp_1 + V = \bp_2 + V$。  ##### Exercise 5(b) 若 $U$ 可以寫為 ${\bf p} + V$，其中 ${\bf p}\in\mathbb{R}^n$ 且 $V$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的一子空間。證明 $V = \{{\bf p}_1 - {\bf p}_2 : {\bf p}_1,{\bf p}_2 \in U\}$ 且 ${\bf p}$ 可以選為 $U$ 中的任一元素。 $Ans$: **[由廖緯程同學提供]** 令 $S = \{{\bf p}_1 - {\bf p}_2 : {\bf p}_1,{\bf p}_2 \in U\}$。 **1. 先證明** $V \subseteq S$: 因為 $V$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的一個子空間，所以 ${\bf 0} \in V$，再任意取 $\bv_1 \in V$，我們可以有以下推論， $$ \bv_1 = \bv_1 - {\bf 0} = (\bp + \bv_1) - (\bp + {\bf 0}) \in S， $$ 所以 $V \subseteq S$。 **2. 再證明** $S \subseteq V$: 任取 $S$ 中的元素，$\bp_3 - \bp_4 \in S$，其中 $\bp_3,\bp_4 \in U = \bp + V$。則我們可以找到 $\bv_3,\bv_4 \in V$ 使得 $\bp_3 = \bp + \bv_3$ 而 $\bp_4 = \bp + \bv_4$。如此一來， $$ \bp_3 - \bp_4 = (\bp + \bv_3) - (\bp + \bv_4) = \bv_3 - \bv_4 \in V， $$ 所以 $S \subseteq V$。因為 **1,2** 所以 $V = S$。最後，對任意 $\bp_3 = \bp + \bv_3 \in U$，因為 $\bp_3 + V = \bp + (\bv_3 + V) = \bp + V$，所以 $\bp$ 可以選為 $U$ 中的任一元素。 :::info 前一天沒有寄信除了 3(c) 和 4 以外，其它邏輯上都有不清楚的地方 5(b) 半對幾乎改完了~ 目前分數：4.5/5 :::

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