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19^th^ | 19th | ||
H~2~O | H2O | ||
++Inserted text++ | Inserted text | ||
==Marked text== | Marked text | ||
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Syncing
xxxxxxxxxx
特解
This work by Jephian Lin is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
\(\newcommand{\trans}{^\top} \newcommand{\adj}{^{\rm adj}} \newcommand{\cof}{^{\rm cof}} \newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle} \newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\bone}{\mathbf{1}} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\nul}{\operatorname{null}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} %\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}} \newcommand{\range}{\operatorname{range}} \newcommand{\Col}{\operatorname{Col}} \newcommand{\Row}{\operatorname{Row}} \newcommand{\spec}{\operatorname{spec}} \newcommand{\vspan}{\operatorname{span}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\idmap}{\operatorname{id}} \newcommand{\am}{\operatorname{am}} \newcommand{\gm}{\operatorname{gm}} \newcommand{\mult}{\operatorname{mult}} \newcommand{\iner}{\operatorname{iner}}\)
Main idea
Let \(A\) be an \(m\times n\) matrix and \({\bf b}\) a vector in \(\mathbb{R}^n\).
Recall that the augmented matrix of \(A{\bf x} = {\bf b}\) is the \(m\times (n+1)\) matrix \(\left[\begin{array}{c|c}A&{\bf b}\end{array}\right]\).
We may perform row operations on \(\left[\begin{array}{c|c}A&{\bf b}\end{array}\right]\) to get its reduced echelon form \(\left[\begin{array}{c|c}R&{\bf r}\end{array}\right]\).
The equation \(R{\bf x} = {\bf r}\) has a solution if and only if the \(i\)-th entry of \({\bf r}\) is zero whenever the \(i\)-th row of \(R\) is zero.
Let \({\bf x} = (x_1, \ldots, x_n)\).
The variables \(x_i\) correponding to a pivot \(i\) of \(R\) are called leading variables.
The other variables are called free variables.
Suppose the \(i\)-th entry of \({\bf r}\) is zero whenever the \(i\)-th row of \(R\) is zero.
One may set each free variable as an arbitrary number (e.g., all zeros).
Then there is a solution \({\bf x}\) satisfying the setting.
Therefore, the following are equivalent:
On the other hand, if \(R\) has no zero row, then \(R{\bf x} = {\bf r}\) has a solution regardless the choice of \({\bf r}\).
Therefore, the following are equivalent:
Side stories
Experiments
Exercise 1
執行下方程式碼。
矩陣 \(\left[\begin{array}{c|c}R&{\bf r}\end{array}\right]\) 是 \(\left[\begin{array}{c|c}A&{\bf b}\end{array}\right]\) 的最簡階梯形式矩陣。
考慮方程組 \(A{\bf x} = {\bf b}\) 且 \({\bf x} = (x_1,\ldots,x_5)\)。
Exercise 1(a)
在 \(x_1,\ldots,x_5\) 中﹐
哪些是領導變數、
哪些是自由變數?
set_random_seed(0)
\(Ans:\) 令
set_random_seed(0)
, 則 \[ \left[\begin{array}{c|c} A & \bb \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 4 & 23 & -4 & 7 & -5\\ 2 & 9 & 51 & -11 & 23 & -16\\ -4 & -20 & -112 & 29 & -67 & 47 \end{array}\right]\] 經矩陣列運算後,\[ \left[\begin{array}{c|c} R & \br \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 3 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 1 & 5 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 3 \end{array}\right]. \]
故在 \(x_1,\ldots,x_5\) 中﹐ 領導變數為 \(x_1,x_2,x_4\), 自由變數為 \(x_3,x_5\)。
Exercise 1(b)
方程式是否有解?
若有解﹐繼續前往下一題。
若無解﹐忽略以下題目。
\(Ans:\) 因為 \(R\) 沒有一列為零向量, 所以此方程式有解。
Exercise 1©
將所有自由變數設成 \(0\) 求解。
\(Ans:\) 令自由變數 \(x_3 = x_5 = 0\)。
由 \(x_4 - 3x_5 = 3\) 得知 \(x_4 = 3\)。 由 \(x_2 + 5x_3 = 3\) 得知 \(x_2 = 3\)。 由 \(x_1 + 3x_3 - 5x_5= -5\) 得知 \(x_1 = -5\)。 最後得到 \(x_1=-5,x_2=3,x_3=0,x_4=3,x_5=0\) 。
Exercise 1(d)
隨意將自由變數設成任意數字求解。
\(Ans:\) 設自由變數皆為 1, 可以得到 \(x_1=0,x_2=-2,x_3=1,x_4=6,x_5=1\)。
Exercises
Exercise 2
以下類型的問題通稱為反問題﹐可以加深對數學概念的理解。
Exercise 2(a)
找一個 \(5\times 3\) 的最簡階梯形式矩陣﹐它的軸落在 \(1,3,5\) 的位置。
水,簡單明瞭!
\(Ans:\)
令 \[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]
Exercise 2(b)
找一個 \(5\times 3\) 的矩陣﹐
它的所有項皆不是零﹐
且它的最簡階梯形式的軸落在 \(1,3,5\) 的位置
Great!
\(Ans:\)
令 \[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}. \] 則經矩陣列運算後,\(A\) 之最簡階梯形式 \(A'\) 為 \[A' = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]
Exercise 3
給定一個矩陣 \(A\)﹐
依照以下步驟求出 \({\bf b}\in\operatorname{Col}(A)\) 的等價條件。
Exercise 3(a)
執行下以程式碼。
令 \({\bf b} = (b_1,b_2,b_3,b_4)\)。
令 \(A'\) 為 \(A{\bf x} = {\bf b}\) 的增廣矩陣。
把 \({\bf b}\) 的各項當作變數處理﹐經過列運把 \(A'\) 中的 \(A\) 消成階梯形式矩陣。
如果左側有一列零向量﹐則右側對應到的項必須要是零才有解。
利用這個性質給出 \({\bf b}\in\operatorname{Col}(A)\) 的等價條件。
set_random_seed(0)
然後後面加全型句點\(Ans:\)
令
set_random_seed(0)
。經過列運把 \(A'\) 中的 \(A\) 消成階梯形式矩陣, 得到 \[ A'' = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 6b_1 + 5b_2\\ 0 & 1 & 5 & 5b_1 + b_2\\ 0 & 0 & 0 & 3b_2 + b_3\\ 0 & 0 & 0 & - 3b_1 - 3b_2 + b_4 \end{array}\right]. \] 設 \[\begin{aligned} c_1 &= 6b_1 + 5b_2, \\ c_2 &= 5b_1 + b_2, \\ c_3 &= 3b_2 + b_3, \\ c_4 &= - 3b_1 - 3b_2 + b_4, \end{aligned} \] 則有下列兩種情況:
若 \(A''\) 有解,則 \(c_3 = c_4 = 0\)。 \(A''\) 可表示為: \[A'' =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ c_3\\ c_4 \end{bmatrix}\] 展開矩陣可得: \[A'' = \begin{cases} 1x_1 + 0x_2 + 3x_3 = c_1,\\ 0x_1 + 1x_2 + 5x_3 = c_2,\\ 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = c_3,\\ 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = c_4. \end{cases}\] 令自由變數 \(x_3\) = 0 及領導變數 \(x_1 = c_1,x_2 = c_2\), 則方程式有解, 等價於 \({\bf b}\in\operatorname{Col}(A)\)。
若 \(A''\) 無解,則 \(c_3 ≠ 0\) 或 \(c_4 ≠ 0\)。 \(A''\) 可表示為: \[A'' =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ c_3\\ c_4 \end{bmatrix}\] 展開矩陣可得: \[A'' = \begin{cases} 1x_1 + 0x_2 + 3x_3 = c_1,\\ 0x_1 + 1x_2 + 5x_3 = c_2,\\ 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = c_3,\\ 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = c_4. \end{cases} \] 由於 \(c_3 ≠ 0\) 或 \(c_4 ≠ 0\), 故方程式無解, 等價於 \({\bf b}\notin\operatorname{Col}(A)\)。
Exercise 3(b)
每個線性方程式都對應到一些法向量﹐
找到一些向量 \(\{{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_k\}\)
(以這題的設定 \(k = 2\) 就足夠) 使得以下敘述等價:
這題可能題意沒有說清楚。因為是題組,這題的意思是說,依照上一題的 \(A\) 及 \(\bb\in\Col(A)\) 的條件,找到一些 \(\bu_1,\ldots,\bu_k\) 使得上述敘述等價。建議的答案大概是:
令 \(\bu_1 = (0,3,1,0)\) 及 \(\bu_2 = (-3,-3,0,1)\)。
由先前的答案我們知道 \(\bb\in\Col(A)\) 和
\[\left\{\begin{aligned} ??? & = 0, \\ ??? & = 0, \end{aligned}\right. \] 等價。
由於 \(\inp{\bu_1}{\bb} = ???\) 且 \(\inp{\bu_2}{\bb} = ???\),題目所寫的兩敘述等價。
PS 先不用動你們的答案,我之後會把它註解掉。
\(Ans:\)
令
set_random_seed(0)
。經過列運把 \(A'\) 中的 \(A\) 消成階梯形式矩陣, 得到 \[ A'' = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 6b_1 + 5b_2\\ 0 & 1 & 5 & 5b_1 + b_2\\ 0 & 0 & 0 & 3b_2 + b_3\\ 0 & 0 & 0 & - 3b_1 - 3b_2 + b_4 \end{array}\right]. \]
令 \(\bu_1 = (0,3,1,0)\) 及 \(\bu_2 = (-3,-3,0,1)\)。
由先前的答案我們知道 \(\bb\in\Col(A)\) 和
\[\left\{\begin{aligned} 3b_2 + b_3 &= 0, \\ -3b_1 - 3b_2 + b_4 &= 0, \end{aligned}\right. \] 等價。
由於 \(\inp{\bu_1}{\bb} = 3b_2 + b_3\) 且 \(\inp{\bu_2}{\bb} = -3b_1 - 3b_2 + b_4\),題目所寫的兩敘述等價。
Exercise 4(a)
執行以下程式碼。
說明 \(\operatorname{Col}(A) = \mathbb{R}^3\)。
\(Ans:\) \[\begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 & 18 & 29 \\ -4 & 13 & -8 & -77 & -109 \\ -11 & 35 & -24 & -208 & -302 \end{bmatrix}⟹ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 & 18 & 29 \\ 0 & 1 & 4 & -5 & 7 \\ 0 & 3 & 9 & -10 & 17 \end{bmatrix}⟹ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 & 18 & 29 \\ 0 & 1 & 4 & -5 & 7 \\ 0 & 0 & -3 & 5 & -4 \end{bmatrix}\] 因為此矩陣擁有三個軸,所以可得 \(\Col(A)=\mathbb{R}^3\)
Exercise 4(b)
若 \(f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2\)。
若 \(f(1) = b_1\)、
\(f(2) = b_2\)、
\(f(3) = b_3\)。
說明不論 \(b_1\)、\(b_2\)、\(b_3\) 給的是多少, \(c_0\)、\(c_1\)、\(c_2\) 都有解。
\(Ans:\)
我們首先觀察
\[\begin{aligned} f(1) = 1c_0 + 1c_1 + 1c_2 &= b_1, \\ f(2) = 1c_0 + 2c_1 + 4c_2 &= b_2, \\ f(3) = 1c_0 + 3c_1 + 9c_2 &= b_3, \\ \end{aligned} \] 而這個方程組等同於 \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}. \]
執行以下列運算: \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{bmatrix}⟹\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 7 \end{bmatrix}⟹\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 因為此矩陣為階梯型矩陣, 且每列皆不為零向量, 所以對任意 \(b_1,b_2,b_3\) 來說,\(c_0,c_1,c_2\) 都有解
Exercise 4©
若 \(f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2\)。
若 \(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\) 為三相異實數且
\(f(x_1) = b_1\)、
\(f(x_2) = b_2\)、
\(f(x_3) = b_3\)。
說明不論 \(b_1\)、\(b_2\)、\(b_3\) 給的是多少﹐\(c_0\)、\(c_1\)、\(c_2\) 都有解。
\(Ans:\)
跟前一題的方法一樣,對以下矩陣執行列運算: \[\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{bmatrix} &⟹ \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 0 & x_2-x_1 & x_2^2-x_1^2 \\ 0 & x_3-x_1 & x_3^2-x_1^2 \end{bmatrix} \\ &⟹ \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 0 & x_2-x_1 & (x_2+x_1)(x_2-x_1) \\ 0 & x_3-x_1 & (x_3+x_1)(x_3-x_1) \end{bmatrix} \\ &⟹ \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 0 & 1 & x_2+x_1 \\ 0 & 1 & x_3+x_1 \end{bmatrix} \\ &⟹ \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 0 & 1 & x_2+x_1 \\ 0 & 0 & x_3-x_2 \end{bmatrix} \\ &⟹ \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 0 & 1 & x_2+x_1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \] 因此列運算後呈階梯型,且各列不存在零向量, 所以不論 \(b_1,b_2,b_3\) 給的是多少,\(c_1,c_2,c_3\) 都有解。
非常完整,數學幾乎沒問題
排版完就很完美了
目前分數:6/5