# 特徵多項式係數

This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

$\newcommand{\trans}{^\top}
\newcommand{\adj}{^{\rm adj}}
\newcommand{\cof}{^{\rm cof}}
\newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
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%\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}}
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\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\idmap}{\operatorname{id}}$

from lingeo import random_int_list, random_good_matrix

## Main idea

Let $A$ be an $n\times n$ matrix.
Let $\alpha \subseteq [n]$ be a subset of indices.
We let $A[\alpha]$ be the submatrix of $A$ induced on rows and columns in $\alpha$.
Such a matrix is called a **principal submatrix** of $A$, and its determinant is called a **principal minor**.

Let $s_k = s_k(A)$ be the sum of all $k\times k$ principal minorts.
Vacuously, we define $s_0 = 1$.
Then
$$
\det(A - xI) = s_0(-x)^n + s_1(-x)^{n-1} + \cdots + s_n.
$$

In particular,
$s_1 = \tr(A)$ is the sum of all diagonal entries of $A$, and
$s_n = \det(A)$.

This identity follows from the expansion of the characteristic polynomial by the distributive law on each column.
Here is an example.

$$
\begin{aligned}
\det\begin{bmatrix}
1 - x & 2 & 3 \\
4 & 5 - x & 6 \\
7 & 8 & 9 - x
\end{bmatrix}
&=
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 & 0 \\
0 & -x & 0 \\
0 & 0 & -x
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 & 3 \\
0 & -x & 6 \\
0 & 0 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
-x & 2 & 0 \\
0 & 5 & 0 \\
0 & 8 & -x
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
4 & -x & 0 \\
7 & 0 & -x
\end{bmatrix}
+ \\
&\mathrel{\phantom{=}}
\det\begin{bmatrix}
-x & 2 & 3 \\
0 & 5 & 6 \\
0 & 8 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 \\
4 & -x & 6 \\
7 & 0 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
4 & 5 & 0 \\
7 & 8 & -x
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
$$

## Side stories

- Vieta's formulas
- Cauchy–Binet formula

## Experiments

##### Exercise 1

執行以下程式碼。

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False

n = 3
spec = random_int_list(n, 3)
D = diagonal_matrix(spec)
Q = random_good_matrix(n,n,n,2)
A = Q * D * Q.inverse()

pretty_print(LatexExpr("A ="), A)

if print_ans:
    for k in [3,2,1]:
        print("k =", k)
        kmtx = []
        kmnr = []
        for alpha in Combinations(list(range(3)), k):
            kmtx.append(A[alpha, alpha])
            kmnr.append(A[alpha, alpha].det())
        print("all k x k principal submatricies:")
        pretty_print(*kmtx)
        print("all k x k principal minors:")
        print(kmnr)
        print("sk =", sum(kmnr))
        print("---")
        
    pA = (-1)^n * A.charpoly()
    print("characteristic polyomial =", pA)
    print("spectrum is the set { " + ", ".join("%s"%val for val in spec) + " }")

當 `seed = 0` 時，得矩陣$$
A = \begin{bmatrix}
-63 & -60 & 24\\
74 & 71 & -28\\
20 & 20 & -7\\
\end{bmatrix}.
$$
##### Exercise 1(a)

列出所有的 $3\times 3$ 主子矩陣，並計算 $s_3$。

:::warning

- [x] 當 $\alpha$ = 3 時， --> 當 $|\alpha| = 3$ 時，$\alpha = \{1,2,3\}$，所以
- [x] 等號和 $\det$ 要進數學模式
:::

$Ans:$

當 $|\alpha| = 3$ 時，$\alpha = \{1,2,3\}$，所以 $s_3 = \det (A[\alpha]) = -9$。

##### Exercise 1(b)

列出所有的 $2\times 2$ 主子矩陣，並計算 $s_2$。

:::warning

- [x] 當 $\alpha$ = 2 時， --> 當 $|\alpha| = 2$ 時，$\alpha$ 可能為 ...，所以
- [x] 等號要進數學模式
- [x] $s_2$ = det $(A[\alpha])$ = $(-33)+(-39)+63 = -9$。 --> $s_2 = (-33)+(-39)+63 = -9$。
:::

$Ans:$
當 $|\alpha| = 2$ 時，$\alpha$ 可能為 $\{{1,2}\},\{{1,3}\},\{{2,3}\}$，所以

$$A[\alpha] =
\begin{bmatrix}
-63 & -60 \\
74 & 71
\end{bmatrix}、
\begin{bmatrix}
-63 & 24 \\
20 & -7
\end{bmatrix}、
\begin{bmatrix}
71 & -28 \\
20 & -7
\end{bmatrix}.
$$

得 $s_2$ = $(-33)+(-39)+63 = -9$。

##### Exercise 1(c)

列出所有的 $1\times 1$ 主子矩陣，並計算 $s_1$。

:::warning

- [x] 仿照上一題修改
:::

$Ans:$
當 $|\alpha| = 1$ 時，$\alpha$ 可能為 $\{{1}\},\{{2}\},\{{3}\}$，所以

$$A[\alpha] =
\begin{bmatrix}
-63
\end{bmatrix}、\
\begin{bmatrix}
71
\end{bmatrix}、\
\begin{bmatrix}
-7
\end{bmatrix}.
$$

得 $s_1$ = $(-63)+71+(-7) = 1$。

##### Exercise 1(d)

計算 $A$ 的特徵多項式及 $\spec(A)$。

:::warning

- [x] 綜合前面幾題，我們知道
$$
\begin{aligned}
p_A(x) &= s_0(-x)^3 + ... \\
&= (-1)x^3 + 1x^2 + 9x - 9 \\
&=(x + 3)(x - 3)(x - 1)
\end{aligned}
$$
- [x] 用文字敘述取代 $\implies$
- [x] $x = -4,-6$ 時 $p_A(x)\neq 0$
:::

$Ans:$

$$
\begin{aligned}
p_A(x) &= s_0(-x)^3 + s_1(-x)^2 + s_2(-x) + s_3\\
&= (-1)x^3 + 1x^2 + 9x - 9 \\
&=(x + 3)(x - 3)(x - 1)
\end{aligned}
$$
當 $x=-3,3,1$ 時，$p_A(x) = 0$。

因此 $\spec(A)=\{-3,3,1\}$。

## Exercises

##### Exercise 2

利用 $s_k$ 計算以下矩陣 $A$ 的特徵多項式以及 $\spec(A)$。

##### Exercise 2(a)

$$
A = \begin{bmatrix}
5 & -1 \\
-1 & 5
\end{bmatrix}.
$$

:::warning

- [x] 所以
$$
p_A(x) = x^2+10x+24 = (x+4)(x+6),
$$
因此 $\spec(A)=\{-4,-6\}$。
:::

$Ans:$

因為

$s_0=1,$

$s_1=\det(\begin{bmatrix}
5
\end{bmatrix})+\det(\begin{bmatrix}
5
\end{bmatrix})=10,$

$s_2=\det(A)=\det(\begin{bmatrix}
5 & -1 \\
-1 & 5
\end{bmatrix})=24,$

所以

$$
p_A(x) = x^2-10x+24 = (x-4)(x-6),
$$
因此 $\spec(A)=\{4,6\}$。

##### Exercise 2(b)

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-6 & 5
\end{bmatrix}.
$$

:::warning

- [x] 同上題
:::

$Ans:$

因為

$s_0=1,$

$s_1=\det(\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix})+\det(\begin{bmatrix}
5
\end{bmatrix})=5,$

$s_2=\det(A)=\det(\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-6 & 5
\end{bmatrix})=6,$

所以

$$
p_A(x) = x^2-5x+6 = (x-2)(x-3),
$$
因此 $\spec(A)=\{2,3\}$。

##### Exercise 2(c)

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-4 & 0
\end{bmatrix}.
$$

:::warning

- [x] 同上題
:::

$Ans:$

因為

$s_0=1,$

$s_1=\det(\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix})+\det(\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix})=0,$

$s_2=\det(A)=\det(\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-4 & 0
\end{bmatrix})=4,$

所以

$$
p_A(x) = x^2+4 ,
$$
因此 $\spec(A)=\{\sqrt{-4},\sqrt{-4}\}$。

##### Exercise 2(d)

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}.
$$

:::warning

- [x] 同上題
:::

$Ans:$

因為

$s_0=1,$

$s_1=\det(\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix})+\det(\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix})=0,$

$s_2=\det(A)=\det(\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix})=1,$

所以

$p_A(x)=x^2+1$

$$
p_A(x) = x^2+1 ,
$$
因此 $\spec(A)=\{\sqrt{-1},\sqrt{-1}\}$。

##### Exercise 3

利用 $s_k$ 計算以下矩陣 $A$ 的特徵多項式以及 $\spec(A)$。

##### Exercise 3(a)

$$
A = \begin{bmatrix}
4 & 0 & -1 \\
0 & 4 & -1 \\
-1 & -1 & 5
\end{bmatrix}.
$$

:::warning

- [x] If $k = 0$, then $s_0 = 1$ by definition.
- [x] Capitalize the first letter of each sentence.
- [x] When $p_A(x) = 0$, then $\spec(A)=\{3,4,6\}.$ --> Since $\spec(A)$ is the set of roots of $p_A(x) = 0$, $\spec(A)=\{3,4,6\}.$
:::

$Ans:$
If $k = 0$, then $s_0 = 1$ by definition.

If $k = 1$,
All $k\times k$ principal submatricies : $\begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 5 \end{bmatrix}.$
So, $s_1 = \det(\begin{bmatrix}
4
\end{bmatrix})
+ \det(\begin{bmatrix}
4
\end{bmatrix})
+ \det(\begin{bmatrix}
5
\end{bmatrix})
= 4 + 4 + 5 = 13.$

If $k = 2$,
All $k\times k$ principal submatricies :
$$
\begin{bmatrix}
4 & 0 \\
0 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 & -1 \\
-1 & 5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 & -1 \\
-1 & 5
\end{bmatrix}.
$$

So, $s_2 = \det \begin{bmatrix}
4 & 0 \\
0 & 4
\end{bmatrix}
+
\det \begin{bmatrix}
4 & -1 \\
-1 & 5
\end{bmatrix}
+
\det \begin{bmatrix}
4 & -1 \\
-1 & 5
\end{bmatrix}
= 16 + 19 + 19 = 54.$

If $k = 3$,
All $k\times k$ principal submatricies :
$$
\begin{bmatrix}
4 & 0 & -1 \\
0 & 4 & -1 \\
-1 & -1 & 5
\end{bmatrix}.
$$

So, $s_3 = \det(\begin{bmatrix}
4 & 0 & -1 \\
0 & 4 & -1 \\
-1 & -1 & 5
\end{bmatrix})=72.$

So, $p_A(x)=(-x)^3 + 13(-x)^2 + 54(-x) + 72 = -x^3 + 13x^2 -54x +72.$
Since $\spec(A)$ is the set of roots of $p_A(x) = 0$, $\spec(A)=\{3,4,6\}.$

##### Exercise 3(b)

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
6 & -11 & 6
\end{bmatrix}.
$$

:::warning

- [x] Same as the previous one.
:::

$Ans:$

If $k = 0$, then $s_0 = 1$ by definition.

If $k = 1$,
All $k\times k$ principal submatricies : $\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 6 \end{bmatrix}.$

So, $s_1 = \det(\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix})
+ \det(\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix})
+ \det(\begin{bmatrix}
6
\end{bmatrix})
= 0 + 0 + 6 = 6$.

If $k = 2$,
All $k\times k$ principal submatricies :
$$
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
6 & 6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-11 & 6
\end{bmatrix}.
$$
So, $s_2 = \det \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
+ \det \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
6 & 6
\end{bmatrix}
+ \det \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-11 & 6
\end{bmatrix}
= 0 + 0 + 11 = 11$.

If $k = 3$,
All $k\times k$ principal submatricies :
$$
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
6 & -11 & 6
\end{bmatrix}.
$$

So, $s_3 = \det \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
6 & -11 & 6
\end{bmatrix} = 6$.

So, $p_A(x)=(-x)^3 + 6(-x)^2 + 11(-x) + 6 = -x^3 + 6x^2 -11x +6$.
Since $\spec(A)$ is the set of roots of $p_A(x) = 0$, $\spec(A)=\{1,2,3\}.$

##### Exercise 3(c)

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$

:::warning

- [x] Same as the previous one.
- [x] When calculating $\spec(A)$, you need to include all roots (including complex numbers).
:::

$Ans:$
If $k = 0$, then $s_0 = 1$ by definition.

If $k = 1$,
All $k\times k$ principal submatricies : $\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}.$

So, $s_1 = \det(\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix})
+ \det(\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix})
+ \det(\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix})
= 0$.

If $k = 2$,
All $k\times k$ principal submatricies :
$$
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
So, $s_2 = \det \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
+ \det \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
+ \det \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
= 0 + 0 + 0 = 0$.

If $k = 3$,
All $k\times k$ principal submatricies :
$$
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
So, $s_3 = \det \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} = 1$.

So, $p_A(x)=(-x)^3 + 0(-x)^2 + 0(-x) + 1 = -x^3 +1 = (x - 1)(-x^2 - x - 1)$.
Since $\spec(A)$ is the set of roots of $p_A(x) = 0$, $\spec(A)=\{1, \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\}.$

##### Exercise 4

令 $J_n$ 為 $n\times n$ 的全 $1$ 矩陣。
對每一個 $k = 0,\ldots, n$，計算 $s_k$，
並藉此求 $J_n$ 的特徵多項式及 $\spec(J_n)$。

:::warning

- [x] $p_A(x)$ 的 $x^{n-1}$ 係數有錯
- [x] $det$ --> $\det$
- [x] $s_1$, $s_2$, $s_3$ 那幾行後面加逗點，$s_3$ 後面加句點；其它標點也補起來
- [x] 特徵多項式用 $p_A(x)$
- [x] 不要用邏輯符號 $\implies$，參考 2(a) 修改
- [x] $\spec$ 那個集合裡少了一個逗號
:::

$Ans:$

由題目可知
$$J_n= \begin{bmatrix}
1& 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & 1 & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \ddots & 1 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\
1 & \cdots & 1 & 1 & 1
\end{bmatrix}.
$$
其中

$s_0=1$，

$s_1=\det(\begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix})+ \det(\begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix})+\cdots + \det(\begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix})=n\times \det(\begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix})=n\times1=n$，

$$
\begin{aligned}
s_2 &= \det(\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix})+\det(\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix})+\cdots+\det(\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}) \\
&= C\binom{n}{2}\times\det(\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix})=C\binom{n}{2}\times0=0,
\end{aligned}
$$

$s_3=C\binom{n}{3}\times\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1& 1 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}=C\binom{n}{3}\times0=0$。

以此類推

$s_n=C\binom{n}{n}\times0=0$

所以

$$p_A(x)=x^n-nx^{n-1}=x^{n-1}(x-n)
$$

因此 $\spec(J_n)=\{n,0,0,\cdots,0\}$，其中 $0$ 有 $n-1$ 個。

##### Exercise 5

令 $J_{m,n}$ 為 $m\times n$ 的全 $1$ 矩陣，而
$$
A = \begin{bmatrix}
O_{n,n} & J_{n,m} \\
J_{m,n} & O_{m,m}
\end{bmatrix}.
$$
對每一個 $k = 0,\ldots, n$，計算 $s_k$，
並藉此求 $A$ 的特徵多項式及 $\spec(A)$。

:::warning

- [x] 計算 $s_2$ 的時候，只有在 $\alpha$ 從 $\{1,\ldots,n\}$ 和 $\{n+1,\ldots,n+m\}$ 中各取一個的時候 $\det(A[\alpha])$ 才非零，且這時候 $\det(A[\alpha]) = -1$，所以不管 $m,n$ 是不是 $1$，都是 $s_2 = -mn$。應該不用分那麼多個情況。
- [x] 最後 $0$ 的重根數要記錄上去
:::

**[由林子翔同學修正]**
$s_0 = 1$，$s_1 = 0 \times (m+n) = 0$，
$$
\begin{aligned}
s_2 &= \det \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix} \times (C\binom{m}{2} + C\binom{n}{2}) + \det \begin{bmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix} \times (C\binom{m}{1} \times C\binom{n}{1})\\
&= 0 \times (C\binom{m}{2} + C\binom{n}{2}) + (-1) \times (C\binom{m}{1} \times C\binom{n}{1}) \\&= -mn，
\end{aligned}
$$

$s_3 = 0 \times C\binom{m+n}{3}$，...，$s_{m+n} = 0 \times C\binom{m+n}{m+n} = 0$。

因此
$p_A(x) ＝ x^{m+n} + (-mn)x^{m+n-2} = x^{m+n-2} \times (x^2-mn)$

當 $x = 0,\pm\sqrt{mn}$ 時，$p_A(x)=0$。

因此 $\spec(A) = \{0, \pm\sqrt{mn}\}$，其中 $0$ 有 $n - 2$ 個。

##### Exercise 6

令 $A$ 為一 $n\times n$ 矩陣。
若特徵多項式 $p_A(x)$ 的根為 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$，則
$$
p_A(x) = (\lambda_1 - x) \cdots (\lambda_n - x).
$$
如此一來我們就有根與係數的關係
$$
\begin{aligned}
s_0 &= 1, \\
s_1 &= \lambda_1 + \cdots + \lambda_n, \\
s_2 &= \sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j, \\
\vdots & \\
s_n &= \lambda_1\cdots\lambda_n.
\end{aligned}
$$

##### Exercise 6(a)

令 $J_n$ 為 $n\times n$ 的全 $1$ 矩陣。
若已知 $\spec(J_n)$ 中有 $n-1$ 個零，
求最後一個特徵值。

（未來會發現這是求 $\spec(J_n)$，
也可以反推特徵多項式，
所以請不要用先前題目的結果來計算這題。）

:::warning

- [x] 題目可能沒有寫清楚，但這題是要你們觀察 $s_1 = \tr(A) = n = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n$。所以當 $\spec(J_n)$ 中已經有 $n-1$ 個零，最後一個特徵值一定是 $n$。
:::

$Ans:$
根據題目可知，
$$
p_{Jn}(x) = (\lambda_1 - x) \cdots (\lambda_n - x).
$$

已知 $\spec(J_n)$ 中有 $n-1$ 個零，
則
$$
\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_{n-1} = 0.
$$

因此，

$$
\begin{aligned}
p_{Jn}(x)
& =
(-x) (-x) \cdots (-x)(\lambda_n - x) \\
& =
(-x)^{n-1} (\lambda_n - x) \\
& =
\lambda_n (-x)^{n-1} + (-x)^n.
\end{aligned}
$$

已知，
$$
p_{Jn}(x) = s_0(-x)^n + s_1(-x)^{n-1} + \cdots + s_n.
$$

因此，
$$
\lambda_n = s_1 = n.
$$

最後一個特徵值一定是 $n$。

##### Exercise 6(b)

令 $J_{m,n}$ 為 $m\times n$ 的全 $1$ 矩陣，而
$$
A = \begin{bmatrix}
O_{n,n} & J_{n,m} \\
J_{m,n} & O_{m,m}
\end{bmatrix}.
$$

若已知 $\spec(A)$ 中有 $n-2$ 個零，
求最後兩個特徵值。

（未來會發現這是求 $\spec(A)$，
也可以反推特徵多項式，
所以請不要用先前題目的結果來計算這題。）

:::warning

- [x] 一樣，題目沒有講清楚，你可以用已知的 $s_1 = 0$ 和 $s_2 = -mn$ 來計算所有特徵值
:::

$Ans:$
根據題目可知，
$$
p_{Jn}(x) = (\lambda_1 - x) \cdots (\lambda_n - x).
$$

已知 $\spec(J_n)$ 中有 $n-2$ 個零，
則
$$
\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_{n-2} = 0.
$$

因此，

$$
\begin{aligned}
p_{Jn}(x)
& =
(-x) (-x) \cdots (-x)(\lambda_{n-1} - x)(\lambda_n - x) \\
& =
(-x)^{n-2} (\lambda_{n-1} - x)(\lambda_n - x) \\
& =
(-x)^{n-2} (\lambda_{n-1}\lambda_{n} - (\lambda_{n-1} + \lambda_{n})x + (-x)^2) \\
& =
\lambda_{n-1}\lambda_{n}(-x)^{n-2} + (\lambda_{n-1}+\lambda_{n})(-x)^{n-1} + (-x)^n.
\end{aligned}
$$

已知，
$$
p_{Jn}(x) = s_0(-x)^n + s_1(-x)^{n-1} + s_2(-x)^{n-2} + \cdots + s_n.
$$

因此，
$$
\begin{cases}
\lambda_{n-1} + \lambda_{n} = s_1 = 0. \\
\lambda_{n-1}\lambda_{n} = s_2 = -mn.
\end{cases}
$$

經過計算，

$$
\begin{aligned}
(- \lambda_{n})(\lambda_{n}) = -mn \\
(\lambda_{n})^2 = mn \\
\lambda_{n} = \sqrt{mn} \\
\lambda_{n-1} = -\sqrt{mn}
\end{aligned}
$$

最後二個特徵值是 $\sqrt{mn}$ 及 $-\sqrt{mn}$。

##### Exercise 7

證明若 $A$ 和 $B$ 相似
（也就是存在可逆的 $Q$ 使得 $B = Q^{-1}AQ$），
則對每一個 $k = 0,\ldots, n$ 都有 $s_k(B) = s_k(A)$。

因此我們也可以把任一線性函數 $f:V\rightarrow V$ 的 $s_k(f)$ 定義成 $s_k([f]_\beta^\beta)$，
其中 $\beta$ 可以是 $V$ 的任意基底。

$Ans:$
Note that if $A$ 和 $B$ are similar by $B = Q^{-1}AQ$,
then
$$
\begin{aligned}
\det (B - \lambda I)
& =
\det(Q^{-1}AQ - Q^{-1}(\lambda I)Q)\\
& =
\det(Q^{-1}(A - \lambda I)AQ)\\
& =
\det(Q^{-1}) \det(A - \lambda I) \det(Q)\\
& =
(\frac{1}{\det(Q)}) \det(A - \lambda I) \det(Q)\\
& =
\det(A - \lambda I).
\end{aligned}
$$

Since $\det (B - \lambda I) = \det(A - \lambda I)$,
so $s_k(B) = s_k(A)$ for $k = 0,\ldots, n$.

##### Exercise 8

令 $A$ 與 $B$ 分別為 $m\times n$ 與 $n\times m$ 矩陣，且 $m\leq n$。
若 $\alpha\subseteq [n]$ 是一些下標的集合，
定義 $A[:,\alpha]$ 是由 $A$ 中 $\alpha$ 裡的那些行所組成的 $m\times |\alpha|$ 矩陣，
而 $B[\alpha,:]$ 是由 $B$ 中 $\alpha$ 裡的那些列所組成的 $|\alpha|\times m$ 矩陣。

##### Theorem (Cauchy–Binet formula)

$$
\det(AB) = \sum_{\substack{\alpha\subseteq [n] \\ |\alpha| = m}} \det(A[:,\alpha])\det(B[\alpha,:]).
$$

##### Exercise 8(a)

令
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
\text{ and }
B = \begin{bmatrix}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{bmatrix}.
$$
對所有大小為 $2$ 的集合 $\alpha\subseteq [3]$，
求出所有的 $A[:,\alpha]$ 及 $B[\alpha,:]$，
並利用柯西比內公式計算 $AB$ 的行列式值。

:::warning

- [ ] 當$\alpha$分別取$(1,2),(2,3),(1,3)$, --> 當 $\alpha$ 分別取 $\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}$，（集全用大括號、中英數之間空格）
- [ ] 最後一個式子用 `aligned` 環境排好
:::

$Ans:$
當$\alpha$ 分別取 $\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}$,
$$A[:,\alpha]= \begin{bmatrix}
1 &2 \\4 & 5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
2 &3 \\5 & 6 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
1 &3 \\4 & 6 \end{bmatrix}$$
$$B[\alpha,:]= \begin{bmatrix}
7 &8 \\9 & 10 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
9 &10 \\11 & 12\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
7 &8 \\11 & 12 \end{bmatrix}$$
$$ \det(AB)=\det(\begin{bmatrix}
1 &2 \\4 & 5 \end{bmatrix})\times \det(\begin{bmatrix}
7 &8 \\9 & 10 \end{bmatrix})+\det(\begin{bmatrix}
2 &3 \\5& 6 \end{bmatrix})\times \det(\begin{bmatrix}
9 &10\\11 & 12 \end{bmatrix})+\det(\begin{bmatrix}
1 &3 \\4& 6 \end{bmatrix})\times \det(\begin{bmatrix}
7 &8\\11 & 12 \end{bmatrix}) = 36
$$

##### Exercise 8(b)

令
$$
M = \begin{bmatrix}
O_{n,n} & B \\
A & O_{m,m}
\end{bmatrix}.
$$
利用 506-6 求出 $p_M(x)$ 的 $(-x)^{n-m}$ 項係數。

:::warning

- [ ] 沒有回答到係數
:::

$Ans:$
$$
\begin{aligned}
p_M(x)= \det\begin{bmatrix}
-xI_n & B \\
A & -xI_m
\end{bmatrix} &=
\det (-x I_n) \cdot \det ((-x I_m) - A (-x I_n)^{-1} B) \\
&= (-x)^n \cdot \det (\frac{1}{x}AB - x I_m) \\
&= (-x)^n \cdot (x)^{-m} \cdot \det (AB - x^2 I_m)\\&=(-1)^n \cdot(x)^n \cdot (x)^{-m} \cdot \det (AB - x^2 I_m)\\&= (x)^{n-m} \cdot (-1)^n \cdot \det (AB - x^2 I_m).
\end{aligned}
$$

##### Exercise 8(c)

令
$$
M = \begin{bmatrix}
O_{n,n} & B \\
A & O_{m,m}
\end{bmatrix}.
$$
利用 $s_{2m}$ 的定義直接求出 $s_{2m}(M)$。
配合上一題證明柯西比內公式。

:::warning

- [ ] 可以放懸賞沒關係
:::

##### Exercise 9

令 $A$ 為一 $n\times n$ 矩陣。
將 $p_A(x)$ 代入 $x = 0$ 可得
$$
s_n = p_A(0) = \det(A - 0I) = \det(A).
$$
類似地，我們可以利用 506-10 計算
$$
s_{n-1} = -\frac{dp_A(x)}{dx}\Big|_{x=0} = \sum_{i = 1}^n p_{A(i)}(x)\Big|_{x=0} = \sum_{i=1}^n\det(A(i)).
$$

利用數學歸納法證明
$$
\det(A - xI) = s_0(-x)^n + S_1(-x)^{n-1} + \cdots + s_n.
$$

:::warning
$\det(A - xI) = ... = \det(A - xI) \times (-x) + s_{k+1}$ 這部份不正確，左式是 $n$ 次式，右式是 $n+1$ 次式

這題是建議在固定 $n$ 的情況下，依序對 $k = 0,1,2,\ldots,$ 證明 $s_{n-k}$ 為所有 $k\times k$ 主餘因子的和

這題可以掛懸賞沒關係
:::

$Ans:$

When $n = 1,$
LHS :
$$
\det (A - xI) = \det(A) - x.
$$
RHS :
$$
s_0(-x)^1 + S_1 = (-x) + \det(A).
$$

Since $\det (A - xI) = s_0(-x)^1 + S_1$,
so $\det(A - xI) = s_0(-x)^n + S_1(-x)^{n-1} + \cdots + s_n,$ when $n = 1$.

Suppose $\det(A - xI) = s_0(-x)^n + S_1(-x)^{n-1} + \cdots + s_n,$ when $n = k$.
so $\det(A - xI) = s_0(-x)^k + S_1(-x)^{k-1} + \cdots + s_k$.

When $n = k + 1$ , $\det(A - xI) = s_0(-x)^{k+1} + s_1(-x)^k + s_2(-x)^{k-1} + \cdots + s_{k+1} = \det(A - xI) \times (-x) + s_{k+1} = s_0(-x)^{k+1} + s_1(-x)^k + s_2(-x)^{k-1}+ \cdots+ s_{k+1}.$

So $\det(A - xI) = s_0(-x)^n + S_1(-x)^{n-1} + \cdots + s_n.$

:::info
分數 = 6.5
:::