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Sage: 矩陣、線性方程組

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This work by Jephian Lin is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

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建構矩陣

  1. matrix( list of lists )：把 list of lists 中的每個 list 當作矩陣的列。
  2. matrix(r, list)：把 list 切成 r 個列。
  3. identity_matrix(n)：單位矩陣。
  4. zero_matrix(n) or zero_matrix(m,n)：全零矩陣。

利用 print（純文字）或 show（格式化文字）來顯示矩陣。

A = matrix([[1,2,3], 
            [4,5,6]])
print(A)

A = matrix(2, [1,2,3,4,5,6])
show(A)

A = identity_matrix(3)
# A = zero_matrix(3)
# A = zero_matrix(3,4)
show(A)

從矩陣中選取各項或子矩陣

若 A 是一個矩陣。

  1. A[i,j]：選取第 ij 項。
  2. A[list1, list2]：選取列在 中行在 中的子矩陣。

也可以混合使用﹐如 A[i, list] 或 A[list, j]。

A = matrix(2, [1,2,3,4,5,6])
show(A)
print(A[0,1])
show(A[[0,1],[1,2]])

選取子矩陣中 list 的可以用 a:b 的格式取代。

  1. a:b：從 a 到 b（不包含 b）。
  2. a:：從 a 到底。
  3. :b：從頭到 b（不包含 b）。
  4. :：全部。
A = matrix(2, [1,2,3,4,5,6])
show(A[:,1:])

可以把選出來的子矩陣設定成給定的矩陣。

A = zero_matrix(2,3)
show(A)
A[0,0] = 100
show(A)
A[:,1:] = identity_matrix(2)
show(A)

求解

若 為一矩陣﹐可以用

  1. A.right_kernel() 或
  2. A.right_kernel().basis_matrix()

來找到零解的基底。

A = matrix(2, [1]*6)
show(A)
print(A.right_kernel())
show(A.right_kernel().basis_matrix())

可以用 vector([list]) 來設定向量。
若 A 是矩陣而 b 是向量﹐
則 A \ b 會給出一組解。
（也可以用 A.solve_right(b)。）

A = matrix(2, [1]*6)
b = vector([1,1])
show(A)
print(b)
print(A \ b)
print(A.solve_right(b))

最簡階梯形式矩陣、增廣矩陣

若 A 為一矩陣﹐則 A.rref() 會回傳其最簡階梯形式矩陣。

A = matrix(3, list(range(12)))
show(A)
show(A.rref())

若 A 為一矩陣而 b 為一向量﹐則 A.augment(b) 會回傳相對應的增廣矩陣。

A = matrix(3, list(range(12)))
b = vector([1,5,9])
Ab = A.augment(b)
show(Ab)
Ab = A.augment(b, subdivide=True)
show(Ab)

可以用以下函數對矩陣（或增廣矩陣）A 執行列運算。

  1. A.swap_rows(i,j) .
  2. A.rescale(i, k) .
  3. A.add_multiple_of_row(i, j, k) .

注意這些函數會直接修改矩陣本身而不會回傳任何矩陣。

A = matrix(3, list(range(12)))
show(A)
print(A.swap_rows(0,1))
show(A)

反矩陣

若 A 和 B 都是矩陣﹐則 A.augment(B) 也可以建立其相對應的增廣矩陣。
藉此可以計算反矩陣。

A = matrix([[1,1,1], 
            [1,2,4], 
            [1,3,9]])
I3 = identity_matrix(3)
AI = A.augment(I3, subdivide=True)
show(AI)
IB = AI.rref()
show(IB)
B = IB[:,3:]
show(A * B)

若 A 是方陣﹐

  1. A.is_invertible() 可以判斷其是否可逆﹐
  2. A.inverse() 會求出它的逆矩陣。
A = matrix([[1,1,1], 
            [1,2,4], 
            [1,3,9]])
print(A.is_invertible())
show(A.inverse())

四大基礎子空間的標準基底

lingeo 是為這份教材所寫的函式庫。
其內容包含在 lingeo.py 裡。
可以用

from lingeo import random_good_matrix

來匯入須要的函數。

from lingeo import random_good_matrix
from lingeo import row_space_matrix, column_space_matrix, kernel_matrix, left_kernel_matrix

若 A 為一矩陣﹐則

  1. row_space_matrix(A) 的列是由 \(\beta_R\) 組成、
  2. kernel_matrix(A) 的行是由 \(\beta_K\) 組成、
  3. column_space_matrix(A) 的行是由 \(\beta_C\) 組成、
  4. left_kernel_matrix(A) 的列是由 \(\beta_L\) 組成。
m,n,r = 3,5,2
A = random_good_matrix(m,n,r)
show(A)

print("row space matrix:")
show(row_space_matrix(A))

print("kernel matrix:")
show(kernel_matrix(A))

m,n,r = 3,5,2
A = random_good_matrix(m,n,r)
show(A)

print("column space matrix:")
show(column_space_matrix(A))

print("left kernel matrix:")
show(left_kernel_matrix(A))
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