線性獨立 - HackMD

# 線性獨立 ![Creative Commons License](https://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88x31.png) This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). {%hackmd 5xqeIJ7VRCGBfLtfMi0_IQ %} ```python from lingeo import random_good_matrix, random_int_list, kernel_matrix ``` ## Main idea Let $S = \{{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_k\}$ be a set of finite many vectors. We say $S$ is **linearly independent** if the only coefficients $c_1,\ldots, c_k\in\mathbb{R}$ satisfying $$c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_k{\bf u}_k = {\bf 0} $$ is $c_1 = \cdots = c_k = 0$. (A infinite set of vectors is linearly independent if any finite subsut of it is linearly independent.) The following are equivalent: 1. $S$ is linearly independent. 2. For any vector ${\bf u}\in S$, ${\bf u}\notin\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})$. 3. For any vector ${\bf u}\in S$, $\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})\subsetneq\operatorname{span}(S)$. Therefore, intuitively, $S$ is linearly independent means every vector in it is important. There are other equivalent conditions that is easier to check. Let $S$ be a set of vectors and $A$ the matrix whose columns are vectors in $S$. The following are equivalent: 1. $S$ is linearly independent. 2. The representation of any linear combination of $S$ is unique. That is, if ${\bf b} = c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_k{\bf u}_k = d_1{\bf u}_1 + \cdots + d_k{\bf u}_k$, then $c_1 = d_1$, $\ldots$, and $c_k = d_k$. 3. For any ${\bf b}\in\operatorname{Col}(A)$, the solution to $A{\bf x} = {\bf b}$ is unique. 4. $\operatorname{ker}(A) = \{{\bf 0}\}$. ## Side stories - unique representation of polynomials - interpolation ## Experiments ##### Exercise 1 執行下方程式碼。矩陣 $\left[\begin{array}{c|c} R & {\bf r} \end{array}\right]$ 是 $\left[\begin{array}{c|c} A & {\bf b} \end{array}\right]$ 的最簡階梯形式矩陣。令 ${\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_5$ 為 $A$ 的各行向量。 ```python ### code set_random_seed(0) print_ans = False m,n,r = 3,5,2 A = random_good_matrix(m,n,r) v = vector(random_int_list(5)) b = A * v Ab = A.augment(b, subdivide=True) Rr = Ab.rref() print("[ A | b ] =") show(Ab) print("[ R | r ] =") show(Rr) if print_ans: c = kernel_matrix(A).transpose()[0] print("{} u1 + {} u2 + {} u3 + {} u4 + {} u5 = 0".format(*c)) print("b = {} u1 + {} u2 + {} u3 + {} u4 + {} u5".format(*v)) print("b = {} u1 + {} u2 + {} u3 + {} u4 + {} u5".format(*(v+c))) for i in range(5): if c[i] != 0: first = i break print("u%s = -( "%(i+1) + " + ".join("%s u%s"%(c[i]/c[first], i+1) for i in range(5) if i != first) + " )") ``` $Ans:$ 藉由 `seed = 0`得到 $$ \left[\begin{array}{c|c} A & b \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & -3 & 18 & 5 & -14 & 57 \\ 3 & -8 & 49 & 15 & -39 & 150 \\ -8 & 20 & -124 & -40 & 100 & -372 \end{array}\right]. $$ 以及 $$ \left[\begin{array}{c|c} R & r \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 3 & 5 & -5 & -6 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & 3 & -21 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]. $$ ##### Exercise 1(a) 找一群不是全為 $0$ 的數字 $c_1,\ldots,c_5$﹐ 使得 $c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_5{\bf u}_5 = {\bf 0}$。 $Ans:$ 有數字 $c_1 = -3,c_2 = 5,c_3 = 1,c_4= 0,c_5 = 0$ 可以使 $-3{\bf u}_1 + 5{\bf u}_2 + 1{\bf u}_3 + 0{\bf u}_4 + 0{\bf u}_5 = {\bf 0}$。 ##### Exercise 1(b) 已知 ${\bf b} \in \operatorname{Col}(A)$。找兩群相對應數字不完全一樣的數字 $c_1,\ldots,c_5$ 和 $d_1,\ldots,d_5$﹐ 使得 $c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_5{\bf u}_5 = d_1{\bf u}_1 + \cdots + d_5{\bf u}_5$。 :::warning - [x] 可是 $\bb \neq 5\bu_1$ ::: $Ans:$ 設 ${\bf b}=c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_5{\bf u}_5 = d_1{\bf u}_1 + \cdots + d_5{\bf u}_5$ 則可以找到 ${\bf b}= -6{\bf u}_1 + -21{\bf u}_2 + 0{\bf u}_3 + 0{\bf u}_4 + 0{\bf u}_5 = -1{\bf u}_1 + -21{\bf u}_2 + 0{\bf u}_3 + -1{\bf u}_4 + 0{\bf u}_5$ ##### Exercise 1(c) 將 $A$ 的其中一個行向量寫成其它行向量的線性組合。 :::warning - [x] 是不是應該跟 1(a) 相呼應一下 ::: $Ans:$ ${\bf u}_3 = 3{\bf u}_1 + (-5){\bf u}_2 + 0{\bf u}_4 + 0{\bf u}_5.$ ## Exercises ##### Exercise 2 執行以下程式碼。令 $S = \{ {\bf u}_1, {\bf u}_2, {\bf u}_3 \}$ 為矩陣 $A$ 的各行向量。問 $S$ 是否線性獨立。若是﹐將 ${\bf b}$ 寫成 $S$ 的線性組合。若否﹐找到一個 $S$ 中的向量將其寫成其它向量的線性組合。 ```python ### code set_random_seed(0) print_ans = False ind = choice([True, False]) m,n,r = 5,3,3 if ind else 2 A = random_good_matrix(m,n,r) print("A =") show(A) v = vector(random_int_list(3)) b = A * v print("b =", b) if print_ans: print("Linearly independent?", ind) if ind: print("b = " + " + ".join("%s u%s"%(v[i], i+1) for i in range(3))) else: c = kernel_matrix(A).transpose()[0] for i in range(3): if c[i] != 0: first = i break print("u%s = -( "%(i+1) + " + ".join("%s u%s"%(c[i]/c[first], i+1) for i in range(3) if i != first) + " )") ``` :::warning - [x] 標點 - [x] 你們的說明只解釋了 $\bu_3$ 不能被 $\bu_1$ 和 $\bu_2$ 寫成線性組合，沒有解釋為什麼 $\bu_1$ 不能、或是 $\bu_2$ 不能。應該要算一下 $[A|\bb]$ 的 rref？ ::: $Ans:$ 藉由 `seed = 0`得到 $$A = \begin{bmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -3 & 16 & 3 \\ 12 & -63 & -8 \\ -50 & 264 & 38 \\ -28 & 147 & 20 \\ \end{bmatrix}$$ 與 ${\bf b} = (12 , -45 , 169 , -718 , -397)$，則經過列運算可以得到 $\left[\begin{array}{c|c} A & \bb \end{array}\right]$ 的最簡階梯式 $$\left[\begin{array}{c|c} R & \br \end{array}\right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$ ，則我們可以從最簡階梯式知道 $\bu_1 , \bu_2 , \bu_3$ 無法互相寫成彼此的線性組合，故 $S$ 為線性獨立。而 $\bb = -3\bu_1 - 3\bu_2 + -2\bu_3$。  ##### Exercise 3 以下的例子說明了多項式也有類似地「表示法唯一」的性質。（有沒有辦法把多項式寫成向量的樣子？） ##### Exercise 3(a) 證明一個二次多項式 $f(x)$ 如果可以寫成 $c_0 + c_1(x-1) + c_2(x-1)^2$ 的樣子。則 $c_0,c_1,c_2$ 的選擇唯一。 $Ans:$ 設 $f(x)$ 可以被寫為 $c_0 + c_1(x-1) + c_2(x-1)^2$ 與 $d_0 + d_1(x-1) + d_2(x-1)^2$ 兩種形式，則這兩種形式的展開式分別為 $c_2 x^2 + (c_1-2c_2)x + (c_2-c_1+c_0)$ 與 $d_2 x^2 + (d_1-2d_2)x + (d_2-d_1+d_0)$，又因為 $f(x)$ 的展開式只有一種，所以可以得到 $c_2 = d_2$，$c_1-2c_2 = d_1-2d_2$，與 $c_2-c_1+c_0 = d_2-d_1+d_0$，最後就可以得到 $c_2 = d_2$，$c_1 = d_1$，$c_0 = d_0$，與假設有兩種形式矛盾。所以假設錯誤，$f(x)$ 只有一種表示法，即 $c_0,c_1,c_2$ 的選擇唯一。 ##### Exercise 3(b) 令 $$\begin{aligned} f_1(x) &= \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}, \\ f_2(x) &= \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}, \\ f_3(x) &= \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}. \\ \end{aligned} $$ 證明一個二次多項式 $f(x)$ 如果可以寫成 $c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + c_3f_3(x)$ 的樣子。則 $c_1,c_2,c_3$ 的選擇唯一。 :::warning - [x] 因為 $f(x)=y$ 中 $x$ 所對應的 $y$ 有唯一解， <-- 這句可以刪掉，一個 $x$ 對到一個 $y$ 是函數的基本性質。 ::: $Ans:$ 因 $f(x)$ 可以寫成 $c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + c_3f_3(x)$ 的形式，那麼就可以得到 $f(1)=c_1$，$f(2)=c_2$，以及 $f(3)=c_3$。故這種表示方法唯一，即 $c_1,c_2,c_3$ 的選擇唯一。 ##### Exercise 4 證明以下敘述等價： 1. $S$ is linearly independent. 2. For any vector ${\bf u}\in S$, ${\bf u}\notin\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})$. 3. For any vector ${\bf u}\in S$, $\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})\subsetneq\operatorname{span}(S)$. $Ans:$  $1. \implies 2.$ ($S$ 為線性獨立，代表 $S$ 裡面的任意向量 $\bu_i$ 無法寫成其他在 $S$ 裡面的向量的線性組合。) 因 $S$ 線性獨立，故 ${\bf 0} \notin S$。設 ${\bf u} \in S$ 且 ${\bf u} \in \operatorname {span}(S\setminus\{{\bf u}\})$，故 ${\bf u}$ 可以寫成 $c_1{\bf u}_1 + \ldots + c_k{\bf u}_k$，其中 $c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R$ 且 ${\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_k \in \vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \in \vspan(S)$，那麼 $-\bu + c_1\bu_1 + \ldots +c_k\bu_k = \bzero$。與 $S$ 為線性獨立矛盾，故得證。 :::warning - [x] ${\bf u}\in S$, ${\bf u}\notin\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})$. --> 假設對任何 $\bu\in S$ 都有 $\bu\notin\vspan(S\setminus\{\bu\})$。 - [x] $u_1,\ldots,u_k \in \mathbb R$ <-- 是 $c_i$ 吧？ ::: $2. \implies 1.$ 假設對任何 $\bu\in S$ 都有 $\bu\notin\vspan(S\setminus\{\bu\})$，即 ${\bf u}$ 無法以 $S\setminus\{{\bf u}\}$ 中元素的線性組合而成。設 $S$ 非線性獨立，即有不全為零的 $c_1,\ldots,c_k$，使得 $c\bu + c_1\bu_1 + \ldots +c_k\bu_k = \bzero$，其中 $c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R$。則經過移項後可以得到 $\bu = \frac{-c_1}{c}\bu_1 + \ldots + \frac{-c_k}{c}\bu_k$，也就是 ${\bf u}\in\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})$。此與原條件矛盾，故得證。 :::warning - [x] $S$ 為線性獨立，明顯地我們有 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subseteq \vspan(S)$。因此此題即證明「不存在 $\bu$ 使得 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) = \vspan(S)$」。--> 明顯地我們有 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subseteq \vspan(S)$。因此此題即證明「假設 $S$ 為線性獨立，則不存在 $\bu$ 使得 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) = \vspan(S)$」。 - [ ] 中間段的論證沒必要用一般的 $\bv$，直接說明 $\bu\in\vspan(S\setminus\{\bu\})$ 就好。 ::: $1. \implies 3.$ ($S$ 為線性獨立，代表 $S$ 裡面的任意向量 $\bu_i$ 無法寫成其他在 $S$ 裡面的向量的線性組合。) 明顯地我們有 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subseteq \vspan(S)$。因此此題即證明「假設 $S$ 為線性獨立，則不存在 $\bu$ 使得 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) = \vspan(S)$」。假設存在 $\bu$ 使得 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) = \vspan(S)$。那麼 $\bu$ 可以寫成 $b_1\bu_1 + \cdots + b_k\bu_k$，其中 $b_1,\ldots,b_k \in \mathbb R$ 且 $\bu_1,\ldots,\bu_k\in S\setminus\{\bu\}$，也就是 $$ -\bu + b_1\bu_1 + \cdots + b_k\bu_k = \bzero, $$ 與 $S$ 線性獨立的條件矛盾。故假設不成立。將 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \neq \vspan(S)$ 與 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subseteq \vspan(S)$ 合併可以得到 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subsetneq \vspan(S)$，故得證。  :::warning - [x] 有 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subsetneq \vspan(S)$。 --> 假設對任何 $\bu\in S$ 都有 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subsetneq \vspan(S)$。 - [x] 假設 $S$ 非線性獨立，$S$ 中有 $\bu,\bu_1,\ldots,\bu_k$，則 $\bu$ 可以寫成 $c_1\bu_1 + ... + c_k\bu_k$，其中 $c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R$。--> 假設 $S$ 非線性獨立，$S$ 中有 $\bu_1,\ldots,\bu_k$ 及不會為零的 $c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R$ 使得 $c_1\bu_1 + ... + c_k\bu_k = \bzero$。不失一般性，假設 $c_1 \neq 0$，則 $\bu_1$ 可以寫成 $\bu_2,\ldots, \bu_k$ 的線性組合。（想一下後面要怎麼改） ::: $3. \implies 1.$  假設對於任何的 $\bu \in S$ 都有 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subsetneq \vspan(S)$。假設 $S$ 非線性獨立，$S$ 中有 $\bu_1,\ldots,\bu_k$ 及不全為零的 $c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R$ 使得 $c_1\bu_1 + \ldots + c_k\bu_k = \bzero$。不失一般性，假設 $c_1 \neq 0$，則 $\bu_1$ 可以寫成 $\bu_2,\ldots, \bu_k$ 的線性組合。即 $\bu_1 = \frac{-c_2}{c_1}\bu_2 + \cdots + \frac{-c_k}{c_1}\bu_k$。既然任何在 $S$ 中能被 $\bu_1$ 表示出來的向量也能夠被其他向量創造，那麼 $\bu_1$ 去掉後的空間跟原本的空間是一樣的，即 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) = \vspan(S)$，與 $\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subsetneq \vspan(S)$ 的條件不合，故 $S$ 線性獨立。 ##### Exercise 5 令 $S = \{\bu_1, \ldots, \bu_k\}$ 為一群向量、而 $A$ 為以 $S$ 中向量為行向量的矩陣。證明以下敘述等價： 1. $S$ is linearly independent. 2. The representation of any linear combination of $S$ is unique. That is, if ${\bf b} = c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_k{\bf u}_k = d_1{\bf u}_1 + \cdots + d_k{\bf u}_k$, then $c_1 = d_1$, $\ldots$, and $c_k = d_k$. 3. For any ${\bf b}\in\operatorname{Col}(A)$, the solution to $A{\bf x} = {\bf b}$ is unique. 4. $\operatorname{ker}(A) = \{{\bf 0}\}$.  :::warning - [x] $(d_i - c_i)\bu_i = -(d_j - c_j)\bu_j.$ --> ??? 你怎麼知道 $i,j$ 以外的其它項 $c_k = d_k$？請改成： $$ ?? + \cdots + ?? = \bzero, $$ 其中 ?? 不全為零。 - [x] 換以... 那段 --> 反之，假設任意 $\bb \in \vspan(S)$ 都有唯一表示法。假設 $S$ 非線性獨立，則存在 ??? 使得 $$ ?? + \cdots + ?? = \bzero = 0\bu_1 + \cdots + 0\bu_k. $$ 所以 $\bzero\in\vspan(S)$ 有兩種表示法，矛盾。（原本的說明沒有講清楚兩個表示法是怎麼找到的。） ::: $1. \iff 2.$ ($S$ 為線性獨立，代表 $S$ 裡面的任意向量 ${\bf u}_i$ 無法寫成其他在 $S$ 裡面的向量的線性組合。) 現以 $S$ 為線性獨立。若存在一向量 $\bb \in \vspan(S)$，假設 $\bb$ 可以寫成兩種形式 $$\bb = c_1\bu_1 + \cdots + c_k\bu_k = d_1\bu_1 + \cdots + d_k\bu_k$$，其中 $c_1, \ldots, c_k,d_1, \ldots, d_k \in \mathbb R$ 且其中至少某些項 $c_i \neq d_i$。則將兩式相減，得到 $$(d_1\bu_1 + \cdots + d_k\bu_k) - (c_1\bu_1 + \cdots + c_k\bu_k) = \bb -\bb = \bzero，$$ 即 $$(d_1 - c_1)\bu_1 + \cdots + (d_k - c_k)\bu_k = \bzero。0 $$ 其中 $(d_i - c_i)$ 不全為零。然而這與原本 $S$ 為線性獨立的條件矛盾，故此假設不成立，$\bb$ 的線性組合表示法唯一。反之，假設任意 $\bb \in \vspan(S)$ 都有唯一表示法。假設 $S$ 非線性獨立，則存在 $c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R$，其中 $c_1,\ldots,c_k$ 不全為零，使得 $$ c_1\bu_1 + \cdots + c_k\bu_k = \bzero = 0\bu_1 + \cdots + 0\bu_k. $$ 所以 $\bzero\in\vspan(S)$ 有兩種表示法，矛盾。 :::warning - [x] 一樣，怎麼知道 $c_k = d_k$ 第一段我們設定有 $A = \begin{bmatrix} {\bf u}_1 & \ldots & {\bf u}_k \end{bmatrix}$ 為一矩陣，則 $\Col(A) = \vspan(S)$ 且 $$ \ker(A) = \{(x_1,\ldots,x_k): x_1\bu_1 + \cdots + x_k\bu_k = \bzero\}. $$ 假設有一向量 $\bb \in \vspan(S)$，且 $A\bx = \bb$ 至少有兩組解 $(c_1,\ldots,c_k)$ 與 $(d_1,\ldots,d_k)$。那麼 $$ \begin{aligned} \bb &= c_1\bu_1 + \ldots + c_k\bu_k \\ &= d_1\bu_1 + \ldots + d_k\bu_k, \end{aligned} $$ ，其中 $(c_1, \ldots, c_k),(d_1, \ldots, d_k) \in \mathbb R$ 且其中至少某些項 $c_i \neq d_i$。則將兩式相減，得到 $$ ??? + \cdots + ??? = \bzero,$$ 其中 ??? 不全為零。然而這與原本 $S$ 為線性獨立的條件矛盾，故此假設不成立，$A\bx = \bb$ 有唯一解。 - [x] 第二段一樣關鍵的兩種解法沒講清楚。參考以下：假設對任何 $\bb\in\Col(A)$，方程式 $A\bx = \bb$ 都有唯一解。假設 $S$ 非線性獨立，則存在 ??? 使得 $$ ?? + \cdots + ?? = \bzero = 0\bu_1 + \cdots + 0\bu_k. $$ 所以 $?\in\Col(A)$ 所對應的 $A\bx = ?$ 有兩相異解，矛盾。 - [x] $1\iff 4$ 的部份用同樣的框架修改。 ::: $1. \iff 3.$ 我們設定有 $A = \begin{bmatrix} {\bf u}_1 & \ldots & {\bf u}_k \end{bmatrix}$ 為一矩陣，則 $\Col(A) = \vspan(S)$ 且 $$ \ker(A) = \{(x_1,\ldots,x_k): x_1\bu_1 + \cdots + x_k\bu_k = \bzero\}. $$ 假設有一向量 $\bb \in \vspan(S)$，且 $A\bx = \bb$ 至少有兩組解 $(c_1,\ldots,c_k)$ 與 $(d_1,\ldots,d_k)$。那麼 $$ \begin{aligned} \bb &= c_1\bu_1 + \ldots + c_k\bu_k \\ &= d_1\bu_1 + \ldots + d_k\bu_k, \end{aligned} $$ 其中 $(c_1, \ldots, c_k),(d_1, \ldots, d_k) \in \mathbb R$ 且其中至少某些項 $c_i \neq d_i$。則將兩式相減，得到 $$ (d_1 - c_1)\bu_1 + \cdots + (d_k - c_k)\bu_k = \bzero,$$ 其中 $(c_i-d_i)$ 不全為零。然而這與原本 $S$ 為線性獨立的條件矛盾，故此假設不成立，$A\bx = \bb$ 有唯一解。假設對任何 $\bb\in\Col(A)$，方程式 $A\bx = \bb$ 都有唯一解。假設 $S$ 非線性獨立，則存在 $c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R$，其中 $c_1,\ldots,c_k$ 不全為零，使得 $$ c_1\bu_1 + \cdots + c_k\bu_k = \bzero = 0\bu_1 + \cdots + 0\bu_k。 $$ 所以 $\bzero\in\Col(A)$ 所對應的 $A\bx = \bzero$ 有兩相異解，矛盾。故假設不成立，$S$ 為線性獨立。 $1. \iff 4.$ 我們設定有 $A = \begin{bmatrix} {\bf u}_1 & \ldots & {\bf u}_k \end{bmatrix}$ 為一矩陣，則 $\Col(A) = \vspan(S)$ 且 $$ \ker(A) = \{(x_1,\ldots,x_k): x_1\bu_1 + \cdots + x_k\bu_k = \bzero\}. $$ 那麼明顯的 $\bzero \in \vspan(S)$，假設 $A\bx = \bzero$ 至少有兩組解 $(c_1,\ldots,c_k)$ 與 $(d_1,\ldots,d_k)$。那麼 $$ \begin{aligned} \bzero &= c_1\bu_1 + \ldots + c_k\bu_k \\ &= d_1\bu_1 + \ldots + d_k\bu_k, \end{aligned} $$ ，其中 $(c_1, \ldots, c_k),(d_1, \ldots, d_k) \in \mathbb R$ 且其中至少某些項 $c_i \neq d_i$。則將兩式相減，得到 $$ (d_1 - c_1)\bu_1 + \cdots + (d_k - c_k)\bu_k = \bzero,$$ 其中 $(c_i-d_i)$ 不全為零。然而這與原本 $S$ 為線性獨立的條件矛盾，故此假設不成立，$\ker(A) = {\{\bzero}\}$ 有唯一零解。假設 $\ker(A) = {\{\bzero}\}$ 有唯一零解。假設 $S$ 非線性獨立，則存在 $c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R$，其中 $c_1,\ldots,c_k$ 不全為零，使得 $$ c_1\bu_1 + \cdots + c_k\bu_k = \bzero = 0\bu_1 + \cdots + 0\bu_k。 $$ 所以 $\ker(A)$ 有非零解，矛盾。故假設不成立，$S$ 為線性獨立。 ##### Exercise 6(a) 若 $A$ 是一個 $2\times 2$ 的矩陣且 $\det(A) \neq 0$。證明 $A$ 的行向量所形成的集合是線性獨立的。 :::info 證明沒問題。補充一下，實際上兩個方向都是對的，而且是對任何大小的矩陣都是對的，也就是：令 $A$ 為一 $n\times n$ 矩陣。則「$\det(A) \neq 0$」和「$A$ 的行向量集合是線性獨立的」等價。 ::: :::warning - [x] 行列式值沒有絕對值 ::: $Ans:$ 設 $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix}$，$\bu_1 = (a_1,b_1) , \bu_2 = (a_2,b_2)$，又設 $\bu_1,\bu_2$ 非線性獨立，則 $\bu_2$ 可以寫成 $x\bu_1$，其中 $x \in \mathbb R$。進而推得 $a_2 = xa_1 , b_2 = xb_1$。而 $\det(A)$ 的值為 $$a_1b_2 - a_2b_1 = a_1xb_1-xa_1b_1 = 0. $$ 藉由否逆命題證得若 $\bu_1,\bu_2$ 非線性獨立，則 $\det(A) = 0$。換句話說，若 $\det(A) \neq 0$，則 $\bu_1,\bu_2$ 線性獨立。 ##### Exercise 6(b) 若 $A$ 是一個 $3\times 3$ 的矩陣且 $\det(A) \neq 0$。證明 $A$ 的行向量所形成的集合是線性獨立的。 :::warning - [x] $\bu_3$ 不見得可以寫成另兩個的線性組合喔，想一下 $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix} $$ 可以把則 $\bu_3$ 可以寫成 $x\bu_1+y\bu_2$ 換成則其中一個向量可以寫成其它向量的線性組合，不失一般性，我們假設 $\bu_3$ 可以寫成 $x\bu_1+y\bu_2$ - [x] 行列式值沒有絕對值 ::: $Ans:$ 設 $$A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}, $$ $\bu_1 = (a_1,b_1,c_1) , \bu_2 = (a_2,b_2,c_2), \bu_3 = (a_2,b_2,c_3)$。假設 $\bu_1,\bu_2,\bu_3$ 非線性獨立，則其中一個向量可以寫成其它向量的線性組合，不失一般性，我們假設 $\bu_3$ 可以寫成 $x\bu_1+y\bu_2$，其中 $x,y \in \mathbb R$。進而推得 $a_3 = xa_1+ya_2 , b_3 = xb_1+yb_2 , c_3 = xc_1+yc_2$。而 $\det(A)$ 的值為 $$a_1b_2c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1 - a_2b_1c_3 - a_1b_3c_2 =$$ $$a_1b_2(xc_1+yc_2) + a_2(xb_1+yb_2)c_1 + (xa_1+ya_2)b_1c_2 - (xa_1+ya_2)b_2c_1 - a_2b_1(xc_1+yc_2) - a_1(xb_1+yb_2)c_2 = $$ $$xa_1b_2c_1+ya_1b_2c_2+xa_2b_1c_1+ya_2b_2c_1+xa_1b_1c_2+ya_2b_1c_2-$$ $$(xa_1b_2c_1+ya_1b_2c_2+xa_2b_1c_1+ya_2b_2c_1+xa_1b_1c_2+ya_2b_1c_2)=0 $$ 藉由否逆命題證得若 $\bu_1,\bu_2,\bu_3$ 非線性獨立，則 $\det(A) = 0$。換句話說，若 $\det(A) \neq 0$，則 $\bu_1,\bu_2,\bu_3$ 線性獨立。 :::info 整體來說算清楚，證明的論述還可以改進。目前分數：6/5 :::

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