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線性獨立

Creative Commons License
This work by Jephian Lin is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

\(\newcommand{\trans}{^\top} \newcommand{\adj}{^{\rm adj}} \newcommand{\cof}{^{\rm cof}} \newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle} \newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\bone}{\mathbf{1}} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\nul}{\operatorname{null}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} %\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}} \newcommand{\range}{\operatorname{range}} \newcommand{\Col}{\operatorname{Col}} \newcommand{\Row}{\operatorname{Row}} \newcommand{\spec}{\operatorname{spec}} \newcommand{\vspan}{\operatorname{span}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\idmap}{\operatorname{id}} \newcommand{\am}{\operatorname{am}} \newcommand{\gm}{\operatorname{gm}} \newcommand{\mult}{\operatorname{mult}} \newcommand{\iner}{\operatorname{iner}}\)

from lingeo import random_good_matrix, random_int_list, kernel_matrix

Main idea

Let \(S = \{{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_k\}\) be a set of finite many vectors.
We say \(S\) is linearly independent if the only coefficients \(c_1,\ldots, c_k\in\mathbb{R}\) satisfying
\[c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_k{\bf u}_k = {\bf 0} \]
is \(c_1 = \cdots = c_k = 0\).
(A infinite set of vectors is linearly independent if any finite subsut of it is linearly independent.)

The following are equivalent:

  1. \(S\) is linearly independent.
  2. For any vector \({\bf u}\in S\), \({\bf u}\notin\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})\).
  3. For any vector \({\bf u}\in S\), \(\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})\subsetneq\operatorname{span}(S)\).

Therefore, intuitively, \(S\) is linearly independent means every vector in it is important.

There are other equivalent conditions that is easier to check.
Let \(S\) be a set of vectors and \(A\) the matrix whose columns are vectors in \(S\).
The following are equivalent:

  1. \(S\) is linearly independent.
  2. The representation of any linear combination of \(S\) is unique.
    That is, if \({\bf b} = c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_k{\bf u}_k = d_1{\bf u}_1 + \cdots + d_k{\bf u}_k\), then \(c_1 = d_1\), \(\ldots\), and \(c_k = d_k\).
  3. For any \({\bf b}\in\operatorname{Col}(A)\), the solution to \(A{\bf x} = {\bf b}\) is unique.
  4. \(\operatorname{ker}(A) = \{{\bf 0}\}\).

Side stories

  • unique representation of polynomials
  • interpolation

Experiments

Exercise 1

執行下方程式碼。
矩陣 \(\left[\begin{array}{c|c} R & {\bf r} \end{array}\right]\)\(\left[\begin{array}{c|c} A & {\bf b} \end{array}\right]\) 的最簡階梯形式矩陣。
\({\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_5\)\(A\) 的各行向量。

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False
m,n,r = 3,5,2
A = random_good_matrix(m,n,r)
v = vector(random_int_list(5))
b = A * v
Ab = A.augment(b, subdivide=True)
Rr = Ab.rref()

print("[ A | b ] =")
show(Ab)
print("[ R | r ] =")
show(Rr)

if print_ans:
    c = kernel_matrix(A).transpose()[0]
    print("{} u1 + {} u2 + {} u3 + {} u4 + {} u5 = 0".format(*c))
    print("b = {} u1 + {} u2 + {} u3 + {} u4 + {} u5".format(*v))
    print("b = {} u1 + {} u2 + {} u3 + {} u4 + {} u5".format(*(v+c)))
    for i in range(5):
        if c[i] != 0:
            first = i
            break
    print("u%s = -( "%(i+1) + 
          " + ".join("%s u%s"%(c[i]/c[first], i+1) for i in range(5) if i != first) + " )")

\(Ans:\)

藉由 seed = 0得到

\[ \left[\begin{array}{c|c} A & b \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & -3 & 18 & 5 & -14 & 57 \\ 3 & -8 & 49 & 15 & -39 & 150 \\ -8 & 20 & -124 & -40 & 100 & -372 \end{array}\right]. \]

以及
\[ \left[\begin{array}{c|c} R & r \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 3 & 5 & -5 & -6 \\ 0 & 1 & -5 & 0 & 3 & -21 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]. \]

Exercise 1(a)

找一群不是全為 \(0\) 的數字 \(c_1,\ldots,c_5\)
使得 \(c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_5{\bf u}_5 = {\bf 0}\)

\(Ans:\)

有數字 \(c_1 = -3,c_2 = 5,c_3 = 1,c_4= 0,c_5 = 0\) 可以使 \(-3{\bf u}_1 + 5{\bf u}_2 + 1{\bf u}_3 + 0{\bf u}_4 + 0{\bf u}_5 = {\bf 0}\)

Exercise 1(b)

已知 \({\bf b} \in \operatorname{Col}(A)\)
找兩群相對應數字不完全一樣的數字 \(c_1,\ldots,c_5\)\(d_1,\ldots,d_5\)
使得 \(c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_5{\bf u}_5 = d_1{\bf u}_1 + \cdots + d_5{\bf u}_5\)

  • 可是 \(\bb \neq 5\bu_1\)

\(Ans:\)

\({\bf b}=c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_5{\bf u}_5 = d_1{\bf u}_1 + \cdots + d_5{\bf u}_5\) 則可以找到 \({\bf b}= -6{\bf u}_1 + -21{\bf u}_2 + 0{\bf u}_3 + 0{\bf u}_4 + 0{\bf u}_5 = -1{\bf u}_1 + -21{\bf u}_2 + 0{\bf u}_3 + -1{\bf u}_4 + 0{\bf u}_5\)

Exercise 1©

\(A\) 的其中一個行向量寫成其它行向量的線性組合。

  • 是不是應該跟 1(a) 相呼應一下

\(Ans:\)

\({\bf u}_3 = 3{\bf u}_1 + (-5){\bf u}_2 + 0{\bf u}_4 + 0{\bf u}_5.\)

Exercises

Exercise 2

執行以下程式碼。
\(S = \{ {\bf u}_1, {\bf u}_2, {\bf u}_3 \}\) 為矩陣 \(A\) 的各行向量。
\(S\) 是否線性獨立。
若是﹐將 \({\bf b}\) 寫成 \(S\) 的線性組合。
若否﹐找到一個 \(S\) 中的向量將其寫成其它向量的線性組合。

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False
ind = choice([True, False])
m,n,r = 5,3,3 if ind else 2
A = random_good_matrix(m,n,r)
print("A =")
show(A)
v = vector(random_int_list(3))
b = A * v
print("b =", b)

if print_ans:
    print("Linearly independent?", ind)
    if ind:
        print("b = " + " + ".join("%s u%s"%(v[i], i+1) for i in range(3)))
    else:
        c = kernel_matrix(A).transpose()[0]
        for i in range(3):
            if c[i] != 0:
                first = i
                break
        print("u%s = -( "%(i+1) + 
              " + ".join("%s u%s"%(c[i]/c[first], i+1) for i in range(3) if i != first) + " )")
  • 標點
  • 你們的說明只解釋了 \(\bu_3\) 不能被 \(\bu_1\)\(\bu_2\) 寫成線性組合,沒有解釋為什麼 \(\bu_1\) 不能、或是 \(\bu_2\) 不能。應該要算一下 \([A|\bb]\) 的 rref?

\(Ans:\)

藉由 seed = 0得到

\[A = \begin{bmatrix} 1 & -5 & 0 \\ -3 & 16 & 3 \\ 12 & -63 & -8 \\ -50 & 264 & 38 \\ -28 & 147 & 20 \\ \end{bmatrix}\]

\({\bf b} = (12 , -45 , 169 , -718 , -397)\)
則經過列運算可以得到 \(\left[\begin{array}{c|c} A & \bb \end{array}\right]\) 的最簡階梯式 \[\left[\begin{array}{c|c} R & \br \end{array}\right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\] ,則我們可以從最簡階梯式知道 \(\bu_1 , \bu_2 , \bu_3\) 無法互相寫成彼此的線性組合,故 \(S\) 為線性獨立。 \(\bb = -3\bu_1 - 3\bu_2 + -2\bu_3\)

Exercise 3

以下的例子說明了多項式也有類似地「表示法唯一」的性質。
(有沒有辦法把多項式寫成向量的樣子?)

Exercise 3(a)

證明一個二次多項式 \(f(x)\) 如果可以寫成 \(c_0 + c_1(x-1) + c_2(x-1)^2\) 的樣子。
\(c_0,c_1,c_2\) 的選擇唯一。

\(Ans:\)

\(f(x)\) 可以被寫為 \(c_0 + c_1(x-1) + c_2(x-1)^2\)\(d_0 + d_1(x-1) + d_2(x-1)^2\) 兩種形式,則這兩種形式的展開式分別為 \(c_2 x^2 + (c_1-2c_2)x + (c_2-c_1+c_0)\)\(d_2 x^2 + (d_1-2d_2)x + (d_2-d_1+d_0)\),又因為 \(f(x)\) 的展開式只有一種,所以可以得到 \(c_2 = d_2\)\(c_1-2c_2 = d_1-2d_2\),與 \(c_2-c_1+c_0 = d_2-d_1+d_0\),最後就可以得到 \(c_2 = d_2\)\(c_1 = d_1\)\(c_0 = d_0\),與假設有兩種形式矛盾。所以假設錯誤,\(f(x)\) 只有一種表示法,即 \(c_0,c_1,c_2\) 的選擇唯一。

Exercise 3(b)


\[\begin{aligned} f_1(x) &= \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}, \\ f_2(x) &= \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}, \\ f_3(x) &= \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}. \\ \end{aligned} \] 證明一個二次多項式 \(f(x)\) 如果可以寫成 \(c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + c_3f_3(x)\) 的樣子。
\(c_1,c_2,c_3\) 的選擇唯一。

  • 因為 \(f(x)=y\)\(x\) 所對應的 \(y\) 有唯一解, < 這句可以刪掉,一個 \(x\) 對到一個 \(y\) 是函數的基本性質。

\(Ans:\)

\(f(x)\) 可以寫成 \(c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + c_3f_3(x)\) 的形式,那麼就可以得到 \(f(1)=c_1\)\(f(2)=c_2\),以及 \(f(3)=c_3\)。故這種表示方法唯一,即 \(c_1,c_2,c_3\) 的選擇唯一。

Exercise 4

證明以下敘述等價:

  1. \(S\) is linearly independent.
  2. For any vector \({\bf u}\in S\), \({\bf u}\notin\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})\).
  3. For any vector \({\bf u}\in S\), \(\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})\subsetneq\operatorname{span}(S)\).

\(Ans:\)

\(1. \implies 2.\)
(\(S\) 為線性獨立,代表 \(S\) 裡面的任意向量 \(\bu_i\) 無法寫成其他在 \(S\) 裡面的向量的線性組合。) \(S\) 線性獨立,故 \({\bf 0} \notin S\) \({\bf u} \in S\)\({\bf u} \in \operatorname {span}(S\setminus\{{\bf u}\})\),故 \({\bf u}\) 可以寫成 \(c_1{\bf u}_1 + \ldots + c_k{\bf u}_k\),其中 \(c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R\)\({\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_k \in \vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \in \vspan(S)\),那麼 \(-\bu + c_1\bu_1 + \ldots +c_k\bu_k = \bzero\)。與 \(S\) 為線性獨立矛盾,故得證。

  • \({\bf u}\in S\), \({\bf u}\notin\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})\). > 假設對任何 \(\bu\in S\) 都有 \(\bu\notin\vspan(S\setminus\{\bu\})\)
  • \(u_1,\ldots,u_k \in \mathbb R\) <\(c_i\) 吧?

\(2. \implies 1.\)
假設對任何 \(\bu\in S\) 都有 \(\bu\notin\vspan(S\setminus\{\bu\})\)
\({\bf u}\) 無法以 \(S\setminus\{{\bf u}\}\) 中元素的線性組合而成。
\(S\) 非線性獨立,即有不全為零的 \(c_1,\ldots,c_k\),使得 \(c\bu + c_1\bu_1 + \ldots +c_k\bu_k = \bzero\),其中 \(c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R\)
則經過移項後可以得到 \(\bu = \frac{-c_1}{c}\bu_1 + \ldots + \frac{-c_k}{c}\bu_k\),也就是 \({\bf u}\in\operatorname{span}(S\setminus\{{\bf u}\})\)
此與原條件矛盾,故得證。

  • \(S\) 為線性獨立,明顯地我們有 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subseteq \vspan(S)\)。因此此題即證明「不存在 \(\bu\) 使得 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) = \vspan(S)\)」。> 明顯地我們有 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subseteq \vspan(S)\)。因此此題即證明「假設 \(S\) 為線性獨立,則不存在 \(\bu\) 使得 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) = \vspan(S)\)」。
  • 中間段的論證沒必要用一般的 \(\bv\),直接說明 \(\bu\in\vspan(S\setminus\{\bu\})\) 就好。

\(1. \implies 3.\)
(\(S\) 為線性獨立,代表 \(S\) 裡面的任意向量 \(\bu_i\) 無法寫成其他在 \(S\) 裡面的向量的線性組合。) 明顯地我們有 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subseteq \vspan(S)\)
因此此題即證明「假設 \(S\) 為線性獨立,則不存在 \(\bu\) 使得 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) = \vspan(S)\)」。
假設存在 \(\bu\) 使得 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) = \vspan(S)\)
那麼 \(\bu\) 可以寫成 \(b_1\bu_1 + \cdots + b_k\bu_k\),其中 \(b_1,\ldots,b_k \in \mathbb R\)\(\bu_1,\ldots,\bu_k\in S\setminus\{\bu\}\),也就是
\[ -\bu + b_1\bu_1 + \cdots + b_k\bu_k = \bzero, \] \(S\) 線性獨立的條件矛盾。故假設不成立。 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \neq \vspan(S)\)\(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subseteq \vspan(S)\) 合併可以得到 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subsetneq \vspan(S)\),故得證。

  • \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subsetneq \vspan(S)\)> 假設對任何 \(\bu\in S\) 都有 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subsetneq \vspan(S)\)
  • 假設 \(S\) 非線性獨立,\(S\) 中有 \(\bu,\bu_1,\ldots,\bu_k\),則 \(\bu\) 可以寫成 \(c_1\bu_1 + ... + c_k\bu_k\),其中 \(c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R\)> 假設 \(S\) 非線性獨立,\(S\) 中有 \(\bu_1,\ldots,\bu_k\) 及不會為零的 \(c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R\) 使得 \(c_1\bu_1 + ... + c_k\bu_k = \bzero\)。不失一般性,假設 \(c_1 \neq 0\),則 \(\bu_1\) 可以寫成 \(\bu_2,\ldots, \bu_k\) 的線性組合。(想一下後面要怎麼改)

\(3. \implies 1.\)

假設對於任何的 \(\bu \in S\) 都有 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subsetneq \vspan(S)\)
假設 \(S\) 非線性獨立,\(S\) 中有 \(\bu_1,\ldots,\bu_k\) 及不全為零的 \(c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R\) 使得 \(c_1\bu_1 + \ldots + c_k\bu_k = \bzero\)。不失一般性,假設 \(c_1 \neq 0\),則 \(\bu_1\) 可以寫成 \(\bu_2,\ldots, \bu_k\) 的線性組合。即 \(\bu_1 = \frac{-c_2}{c_1}\bu_2 + \cdots + \frac{-c_k}{c_1}\bu_k\)。既然任何在 \(S\) 中能被 \(\bu_1\) 表示出來的向量也能夠被其他向量創造,那麼 \(\bu_1\) 去掉後的空間跟原本的空間是一樣的,即 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) = \vspan(S)\),與 \(\vspan(S\setminus{\{\bu}\}) \subsetneq \vspan(S)\) 的條件不合,故 \(S\) 線性獨立。

Exercise 5

\(S = \{\bu_1, \ldots, \bu_k\}\) 為一群向量、
\(A\) 為以 \(S\) 中向量為行向量的矩陣。
證明以下敘述等價:

  1. \(S\) is linearly independent.
  2. The representation of any linear combination of \(S\) is unique.
    That is, if \({\bf b} = c_1{\bf u}_1 + \cdots + c_k{\bf u}_k = d_1{\bf u}_1 + \cdots + d_k{\bf u}_k\), then \(c_1 = d_1\), \(\ldots\), and \(c_k = d_k\).
  3. For any \({\bf b}\in\operatorname{Col}(A)\), the solution to \(A{\bf x} = {\bf b}\) is unique.
  4. \(\operatorname{ker}(A) = \{{\bf 0}\}\).
  • \((d_i - c_i)\bu_i = -(d_j - c_j)\bu_j.\) > ??? 你怎麼知道 \(i,j\) 以外的其它項 \(c_k = d_k\)?請改成: \[ ?? + \cdots + ?? = \bzero, \] 其中 ?? 不全為零。
  • 換以 那段 > 反之,假設任意 \(\bb \in \vspan(S)\) 都有唯一表示法。假設 \(S\) 非線性獨立,則存在 ??? 使得 \[ ?? + \cdots + ?? = \bzero = 0\bu_1 + \cdots + 0\bu_k. \] 所以 \(\bzero\in\vspan(S)\) 有兩種表示法,矛盾。(原本的說明沒有講清楚兩個表示法是怎麼找到的。)

\(1. \iff 2.\)
(\(S\) 為線性獨立,代表 \(S\) 裡面的任意向量 \({\bf u}_i\) 無法寫成其他在 \(S\) 裡面的向量的線性組合。)
現以 \(S\) 為線性獨立。若存在一向量 \(\bb \in \vspan(S)\),假設 \(\bb\) 可以寫成兩種形式 \[\bb = c_1\bu_1 + \cdots + c_k\bu_k = d_1\bu_1 + \cdots + d_k\bu_k\],其中 \(c_1, \ldots, c_k,d_1, \ldots, d_k \in \mathbb R\) 且其中至少某些項 \(c_i \neq d_i\)
則將兩式相減,得到 \[(d_1\bu_1 + \cdots + d_k\bu_k) - (c_1\bu_1 + \cdots + c_k\bu_k) = \bb -\bb = \bzero,\] \[(d_1 - c_1)\bu_1 + \cdots + (d_k - c_k)\bu_k = \bzero。0 \] 其中 \((d_i - c_i)\) 不全為零。
然而這與原本 \(S\) 為線性獨立的條件矛盾,故此假設不成立,\(\bb\) 的線性組合表示法唯一。

反之,假設任意 \(\bb \in \vspan(S)\) 都有唯一表示法。假設 \(S\) 非線性獨立,則存在 \(c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R\),其中 \(c_1,\ldots,c_k\) 不全為零,使得 \[ c_1\bu_1 + \cdots + c_k\bu_k = \bzero = 0\bu_1 + \cdots + 0\bu_k. \] 所以 \(\bzero\in\vspan(S)\) 有兩種表示法,矛盾。

  • 一樣,怎麼知道 \(c_k = d_k\)

第一段
我們設定有 \(A = \begin{bmatrix} {\bf u}_1 & \ldots & {\bf u}_k \end{bmatrix}\) 為一矩陣,則 \(\Col(A) = \vspan(S)\) \[ \ker(A) = \{(x_1,\ldots,x_k): x_1\bu_1 + \cdots + x_k\bu_k = \bzero\}. \] 假設有一向量 \(\bb \in \vspan(S)\),且 \(A\bx = \bb\) 至少有兩組解 \((c_1,\ldots,c_k)\)\((d_1,\ldots,d_k)\)
那麼
\[ \begin{aligned} \bb &= c_1\bu_1 + \ldots + c_k\bu_k \\ &= d_1\bu_1 + \ldots + d_k\bu_k, \end{aligned} \] ,其中 \((c_1, \ldots, c_k),(d_1, \ldots, d_k) \in \mathbb R\) 且其中至少某些項 \(c_i \neq d_i\)
則將兩式相減,得到 \[ ??? + \cdots + ??? = \bzero,\]
其中 ??? 不全為零。
然而這與原本 \(S\) 為線性獨立的條件矛盾,故此假設不成立,\(A\bx = \bb\) 有唯一解。

  • 第二段一樣關鍵的兩種解法沒講清楚。參考以下:

假設對任何 \(\bb\in\Col(A)\),方程式 \(A\bx = \bb\) 都有唯一解。
假設 \(S\) 非線性獨立,則存在 ??? 使得 \[ ?? + \cdots + ?? = \bzero = 0\bu_1 + \cdots + 0\bu_k. \] 所以 \(?\in\Col(A)\) 所對應的 \(A\bx = ?\) 有兩相異解,矛盾。

  • \(1\iff 4\) 的部份用同樣的框架修改。

\(1. \iff 3.\)
我們設定有 \(A = \begin{bmatrix} {\bf u}_1 & \ldots & {\bf u}_k \end{bmatrix}\) 為一矩陣,則 \(\Col(A) = \vspan(S)\) \[ \ker(A) = \{(x_1,\ldots,x_k): x_1\bu_1 + \cdots + x_k\bu_k = \bzero\}. \] 假設有一向量 \(\bb \in \vspan(S)\),且 \(A\bx = \bb\) 至少有兩組解 \((c_1,\ldots,c_k)\)\((d_1,\ldots,d_k)\)
那麼
\[ \begin{aligned} \bb &= c_1\bu_1 + \ldots + c_k\bu_k \\ &= d_1\bu_1 + \ldots + d_k\bu_k, \end{aligned} \] 其中 \((c_1, \ldots, c_k),(d_1, \ldots, d_k) \in \mathbb R\) 且其中至少某些項 \(c_i \neq d_i\)
則將兩式相減,得到 \[ (d_1 - c_1)\bu_1 + \cdots + (d_k - c_k)\bu_k = \bzero,\]
其中 \((c_i-d_i)\) 不全為零。
然而這與原本 \(S\) 為線性獨立的條件矛盾,故此假設不成立,\(A\bx = \bb\) 有唯一解。

假設對任何 \(\bb\in\Col(A)\),方程式 \(A\bx = \bb\) 都有唯一解。
假設 \(S\) 非線性獨立,則存在 \(c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R\),其中 \(c_1,\ldots,c_k\) 不全為零,使得 \[ c_1\bu_1 + \cdots + c_k\bu_k = \bzero = 0\bu_1 + \cdots + 0\bu_k。 \] 所以 \(\bzero\in\Col(A)\) 所對應的 \(A\bx = \bzero\) 有兩相異解,矛盾。故假設不成立,\(S\) 為線性獨立。

\(1. \iff 4.\)
我們設定有 \(A = \begin{bmatrix} {\bf u}_1 & \ldots & {\bf u}_k \end{bmatrix}\) 為一矩陣,則 \(\Col(A) = \vspan(S)\) \[ \ker(A) = \{(x_1,\ldots,x_k): x_1\bu_1 + \cdots + x_k\bu_k = \bzero\}. \] 那麼明顯的 \(\bzero \in \vspan(S)\),假設 \(A\bx = \bzero\) 至少有兩組解 \((c_1,\ldots,c_k)\)\((d_1,\ldots,d_k)\)
那麼
\[ \begin{aligned} \bzero &= c_1\bu_1 + \ldots + c_k\bu_k \\ &= d_1\bu_1 + \ldots + d_k\bu_k, \end{aligned} \] ,其中 \((c_1, \ldots, c_k),(d_1, \ldots, d_k) \in \mathbb R\) 且其中至少某些項 \(c_i \neq d_i\)
則將兩式相減,得到 \[ (d_1 - c_1)\bu_1 + \cdots + (d_k - c_k)\bu_k = \bzero,\]
其中 \((c_i-d_i)\) 不全為零。
然而這與原本 \(S\) 為線性獨立的條件矛盾,故此假設不成立,\(\ker(A) = {\{\bzero}\}\) 有唯一零解。

假設 \(\ker(A) = {\{\bzero}\}\) 有唯一零解。
假設 \(S\) 非線性獨立,則存在 \(c_1,\ldots,c_k \in \mathbb R\),其中 \(c_1,\ldots,c_k\) 不全為零,使得 \[ c_1\bu_1 + \cdots + c_k\bu_k = \bzero = 0\bu_1 + \cdots + 0\bu_k。 \] 所以 \(\ker(A)\) 有非零解,矛盾。故假設不成立,\(S\) 為線性獨立。

Exercise 6(a)

\(A\) 是一個 \(2\times 2\) 的矩陣且 \(\det(A) \neq 0\)
證明 \(A\) 的行向量所形成的集合是線性獨立的。

證明沒問題。
補充一下,實際上兩個方向都是對的,而且是對任何大小的矩陣都是對的,也就是:
\(A\) 為一 \(n\times n\) 矩陣。則「\(\det(A) \neq 0\)」和「\(A\) 的行向量集合是線性獨立的」等價。

  • 行列式值沒有絕對值

\(Ans:\)

\(A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix}\)\(\bu_1 = (a_1,b_1) , \bu_2 = (a_2,b_2)\),又設 \(\bu_1,\bu_2\) 非線性獨立,則 \(\bu_2\) 可以寫成 \(x\bu_1\),其中 \(x \in \mathbb R\)。進而推得 \(a_2 = xa_1 , b_2 = xb_1\)。而 \(\det(A)\) 的值為 \[a_1b_2 - a_2b_1 = a_1xb_1-xa_1b_1 = 0. \] 藉由否逆命題證得若 \(\bu_1,\bu_2\) 非線性獨立,則 \(\det(A) = 0\)。換句話說,若 \(\det(A) \neq 0\),則 \(\bu_1,\bu_2\) 線性獨立。

Exercise 6(b)

\(A\) 是一個 \(3\times 3\) 的矩陣且 \(\det(A) \neq 0\)
證明 \(A\) 的行向量所形成的集合是線性獨立的。

  • \(\bu_3\) 不見得可以寫成另兩個的線性組合喔,想一下
    \[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix} \] 可以把
    \(\bu_3\) 可以寫成 \(x\bu_1+y\bu_2\)
    換成
    則其中一個向量可以寫成其它向量的線性組合,不失一般性,我們假設 \(\bu_3\) 可以寫成 \(x\bu_1+y\bu_2\)
  • 行列式值沒有絕對值

\(Ans:\)

\[A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}, \] \(\bu_1 = (a_1,b_1,c_1) , \bu_2 = (a_2,b_2,c_2), \bu_3 = (a_2,b_2,c_3)\)
假設 \(\bu_1,\bu_2,\bu_3\) 非線性獨立,則其中一個向量可以寫成其它向量的線性組合,不失一般性,我們假設 \(\bu_3\) 可以寫成 \(x\bu_1+y\bu_2\),其中 \(x,y \in \mathbb R\)
進而推得 \(a_3 = xa_1+ya_2 , b_3 = xb_1+yb_2 , c_3 = xc_1+yc_2\)
\(\det(A)\) 的值為 \[a_1b_2c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1 - a_2b_1c_3 - a_1b_3c_2 =\] \[a_1b_2(xc_1+yc_2) + a_2(xb_1+yb_2)c_1 + (xa_1+ya_2)b_1c_2 - (xa_1+ya_2)b_2c_1 - a_2b_1(xc_1+yc_2) - a_1(xb_1+yb_2)c_2 = \] \[xa_1b_2c_1+ya_1b_2c_2+xa_2b_1c_1+ya_2b_2c_1+xa_1b_1c_2+ya_2b_1c_2-\] \[(xa_1b_2c_1+ya_1b_2c_2+xa_2b_1c_1+ya_2b_2c_1+xa_1b_1c_2+ya_2b_1c_2)=0 \] 藉由否逆命題證得若 \(\bu_1,\bu_2,\bu_3\) 非線性獨立,則 \(\det(A) = 0\)。換句話說,若 \(\det(A) \neq 0\),則 \(\bu_1,\bu_2,\bu_3\) 線性獨立。

整體來說算清楚,證明的論述還可以改進。

目前分數:6/5

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