# 建構新的向量空間

This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

{%hackmd 5xqeIJ7VRCGBfLtfMi0_IQ %}

from lingeo import random_good_matrix
from linspace import vtop, vtom

## Main idea

Let $S_1$ and $S_2$ be two set.
The **Cartesian product** of $S_1$ and $S_2$ is
$$S_1 \times S_2 = \{ (s_1,s_2) : s_1\in S_1, s_2\in S_2 \}.
$$
If $S_1$ and $S_2$ are finite sets, then $|S_1\times S_2| = |S_1|\times |S_2|$.

Let $U$ and $V$ be two vector spaces.
The **Cartesian product** of $U$ and $V$ is the set
$$U\times V = \{ ({\bf u}, {\bf v}) : {\bf u}\in U, {\bf v}\in V \}
$$
along with the vector addition
$$({\bf u}_1, {\bf v}_1) + ({\bf u}_1, {\bf v}_1) = ({\bf u}_1 + {\bf u}_2, {\bf v}_1 + {\bf v}_2)$$
and the scalr multiplication
$$k({\bf u}, {\bf v}) = (k{\bf u}, k{\bf v}).
$$
The Cartesian product of two vector spaces is again a vector space.
For example, $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

Suppose $\beta_U$ and $\beta_V$ are bases of $U$ and $V$, respectively.
Then
$$\{ ({\bf u}, {\bf 0}_U) : {\bf u}\in \beta_U \} \cup \{ ({\bf 0}_V, {\bf v}) : {\bf v}\in \beta_V \}$$
is a basis of $U \times V$, where ${\bf 0}_U$ and ${\bf 0}_V$ are the zero vectors in $U$ and $V$, respectively.
Therefore, $\dim(U \times V) = \dim(U) + \dim(V)$ if both of $U$ and $V$ are finite-dimensional.

Let $U$ be a vector space and $V$ a subspace of $U$.
Recall that an affine subspace is of the form ${\bf u} + V$ for some vector ${\bf u}$.
Thus, the **quotient space** of $U$ by $V$ is the set of all affine subspaces
$$U / V = \{ {\bf u} + V : {\bf u} \in U\}
$$
(here each affine subspace ${\bf u} + V$ is treated as a vector)
along with the vector addition
$$({\bf u}_1 + V) + ({\bf u}_2 + V) = ({\bf u}_1 + {\bf u}_2) + V
$$
and the scalar multiplication
$$k({\bf u} + V) = (k{\bf u}) + V.
$$
For example, when $V$ is the $x,y$-plane, then the structure of $\mathbb{R}^2 / V$ is similar to $\mathbb{R}^1$, since each $z$ value decides an affine plane.

By the expanding lemma, one may obtain a basis $\beta_V$ of $V$ and expand it to a basis $\beta_U$.
Thus,
$$\{ {\bf u} + V : {\bf u} \in \beta_U \setminus \beta_V \}
$$
is a basis of $U / V$.
(Note that $/$ is the quotient while $\setminus$ is the setminus.)
Therefore, $\dim(U / V) = \dim(U) - \dim(V)$ if both $U$ and $V$ are finite-dimensional.

## Side stories
- well-defined

## Experiments

##### Exercise 1

執行以下程式碼。
考慮向量空間 $\mathbb{R}^3\times \mathcal{P}_1$。

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False
m,n,r = 3,5,choice([2,3])
A = random_good_matrix(m,n,r)
v1,v2,v3 = A[:,:3]
p1,p2,p3 = [vtop(v) for v in A[:,3:]]

print("u1 = (v1, p1) =", (v1, p1))
print("u2 = (v2, p2) =", (v2, p2))
print("u3 = (v3, p3) =", (v3, p3))


if print_ans:
    print("u1 + u2 =", (v1 + v2, p1 + p2))
    print("Linear independent?", r == 3)

##### Exercise 1(a)

計算 ${\bf u}_1 + {\bf u}_2$。

:::warning

- [x] 中文不要放到數學模式裡
- [x] 數學放到數學模式裡
:::

${\bf u}_1 = ({\bf v}_1, {\bf p}_1 ) = ((1,-4,7), -13 x-12)$
${\bf u}_2 = ( {\bf v}_2, {\bf p}_2 ) = ((-3,13,-24), 43x+39)$

${\bf u}_1 + {\bf u}_2 = ({\bf v}_1 + {\bf v}_2 , {\bf p}_1+{\bf p}_2) = ((-2 ,9 ,-17),20x + 27)$

##### Exercise 1(b)

判斷 $\{ {\bf u}_1, {\bf u}_2, {\bf u}_3 \}$ 是否線性獨立。

:::warning

- [x] $rref$ --> rref
- [x] 零向量要粗體、純量 $c$ 不用粗體
- [x] $5$ X $3$ --> $5 \times 3$
- [x] 由 $rref$ 可知：${\bf c}_1 = {\bf c}_2 = {\bf c}_3 = 0$ 此條件不成立 ， 所以$\{ {\bf u}_1, {\bf u}_2, {\bf u}_3 \}$ 不是線性獨立。 --> 由 rref 可知：$c_1 = -2$, $c_2 = -4$, $c_3 = 1$ 是一組非零解， 所以$\{ {\bf u}_1, {\bf u}_2, {\bf u}_3 \}$ 不是線性獨立。
:::

線性獨立的條件為 ${c}_1\bu_1 + {c}_2\bu_2+{ c}_3\bu_3 = {\bf 0}$ 時，\
唯一解為 ${c}_1 = {c}_2 = {c}_3 = {\bf 0}$ 。

將 $\bu_1, \bu_2, \bu_3$ 放入一個 $5 \times 3$ 矩陣 ， 將矩陣和 ${c}_1, {c}_2 , {c}_3$ 構成的 $3 \times 1$ 矩陣，可得相當於${c}_1\bu_1 + {c}_2\bu_2+{c}_3\bu_3 = 0$ 之數學結構:

$$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -3 & -10 & 0\\
-4 & 13 & 44 & 0\\
7 & -24 &-82 & 0\\
-13 & 43 & 146 & 0\\
-12 & 39 & 132 & 0\\
\end{array}\right]\times
\left[\begin{array}{c}
{c}_1 \\
{c}_2 \\
{c}_3 \\
\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}
0\\
0\\
0\\
\end{array}\right] $$

得到其 rref 為：\
$$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 2 & 0\\
0 & 1 & 4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}\right].
$$

由 rref 可知： \
${c}_1 = -2 , {c}_2 = -4 , {c}_3 = 1$ 為其中一組非零解。\
由此可知： $\{ {\bf u}_1, {\bf u}_2, {\bf u}_3 \}$ 不是線性獨立。

## Exercises

##### Exercise 2

考慮 $V = \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^2$。

##### Exercise 2(a)

求 $V$ 中的零向量。
答: $$ ((0,0,0), (0,0)) $$

##### Exercise 2(b)

令
$$\begin{aligned}
{\bf v}_1 &= ((1,1,1), (1,1)) \\
{\bf v}_2 &= ((0,1,1), (1,1)) \\
{\bf v}_3 &= ((0,0,1), (1,1)) \\
\end{aligned}
$$
$S = \{ {\bf v}_1, {\bf v}_2, {\bf v}_3 \}$。
判斷 $\operatorname{span}(S)$ 是否可以生成全空間 $V$。
:::warning

- [x] 中文不要放數學模式，下一題也是
- [x] 標點，下一題也是
:::

答: 否，因為無法組合出 $((1,1,1), (0,1))$。

##### Exercise 2(c)
判斷 $S$ 是否線性獨立。

:::warning

- [x] $\bc$ --> $c$
- [x] $R$ --> $\mathbb{R}$
- [x] 用中文敘述
:::

答: 是，對於 $c_1,c_2,c_3 \in \mathbb{R}$，關係式
$$c_1{\bf v}_1+c_2{\bf v}_2+c_3{\bf v}_3=0
$$
只有
$$c_1=0,c_2=0,c_3=0
$$
這一組解。

##### Exercise 3

考慮 $V = \mathcal{P}_2 \times \mathcal{P}_1$。
令
\begin{aligned}
p_1 &= (x+1)(x+2), \\
p_2 &= (x+1)(x^2 + x + 1) \\
\end{aligned}

##### Exercise 3(a)

令 $\operatorname{ptov}_d$ 為把 $\mathcal{P}_d$ 中的多項式寫為 $\mathbb{R}^{d+1}$ 中向量的函數。
建一個矩陣 $A$ 其行向量分別為
$\operatorname{ptov}_4(p_1),
\operatorname{ptov}_4(xp_1),
\operatorname{ptov}_4(x^2p_1),
\operatorname{ptov}_4(p_2),
\operatorname{ptov}_4(xp_2)$。
寫出 $A$。

$Ans:$
$$A = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 0 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
$$

##### Exercise 3(b)

驗證對任何 $a\in\mathcal{P}_2$ 及 $b\in\mathcal{P}_1$
$$A \begin{bmatrix}
\operatorname{ptov}_2(a) \\
\operatorname{ptov}_1(b)
\end{bmatrix} =
\operatorname{ptov}_4(ap_1 + bp_2)
$$
都成立。

:::success
我有重新排版過，不過這題寫得不錯。
:::

$Ans:$\
令 $a = c_3 + c_2 x + c_1 x^2$，
$b = c_5 + c_4x$。
會得出
$$\begin{bmatrix}
\operatorname{ptov}_2(a) \\
\operatorname{ptov}_1(b)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
c_3\\
c_2\\
c_1\\
c_5\\
c_4
\end{bmatrix}
$$
以及
$$A \begin{bmatrix}
\operatorname{ptov}_2(a) \\
\operatorname{ptov}_1(b)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2c_3 + c_5\\
3c_3 + 2c_2 + 2c_5 + c_4\\
c_3 + 3c_2 + 2c_1 + 2c_5 + 2c_4\\
c_2 + 3c_2 + c_5 + 2c_4\\
c_1 + c_4
\end{bmatrix}.
$$

另一方面，直接計算可得
$$\begin{aligned}
ap_1 &= (c_3 + c_2 x + c_1 x^2)(2 + 3 x + x^2) \\
&= c_1x^4 + (3c_1 + c_2)x^3 + (2c_1 + 3c_2 +c_3)x^2 + (2c_2 + 3c_3)x + 2c_3, \\
bp_2 &= (c_5 + c_4 x)(1 + 2 x + 2x^2 + x^3) \\
&= c_4x^4 + (2c_4 + c_5)x^3 + (2c_4 + 2c_5)x^2 + (c_4 + c_5)x + c_5.
\end{aligned}
$$

兩式相加後得出
$$\begin{aligned}
ap_1 + bp_2 &= (c_1+c_4)x^4 + (c_2 + 3c_1 + c_5 + 2c_4)x^3 + \\
&\mathrel{\phantom{=}} (c_3 + 3c_2 + 2c_1 + 2c_5 + 2c_4)x^2 + \\
&\mathrel{\phantom{=}} (3c_3 + 2c_2 +2c_5 + c_4)x + (2c_3+c_5)
\end{aligned}.
$$

因此
$$\operatorname{ptov}_4(ap_1 + bp_2) = \begin{bmatrix}
2c_3 + c_5\\
3c_3 + 2c_2 + 2c_5 + c_4\\
c_3 + 3c_2 + 2c_1 + 2c_5 + 2c_4\\
c_2 + 3c_2 + c_5 + 2c_4\\
c_1 + c_4
\end{bmatrix}
$$
與上面得出的結果相同，得證。

##### Exercise 3(c)

求出所有可以讓 $ap_1 + bp_2 = 0$ 的 $(a,b)\in V$。

:::warning

這題要求 3(a) 矩陣的 kernel 再來回答。
:::

$Ans:$
根據 3(a)，所有符合 $ap_1 + bp_2 = 0$ 的 $a = c_3 + c_2x + c_1x^2$ 以及 $b = c_5 + c_4x$ 必滿足
$$
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 0 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
c_3\\
c_2\\
c_1\\
c_5\\
c_4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}.
$$
且反之亦然。

令 $A$ 為式子中的 $5\times 5$ 矩陣，
則本題是要求出 $A$ 的零解。

可以計算 $A$ 的 rref 為
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

從 rref 中得知 $c_5$ 為自由變數，
且 $\ker(A) = \vspan((-1,-1,-1,2,1)\trans)$。
因此所有符合 $ap_1 + bp_2 = 0$ 的解為
$$\begin{aligned}
a &= t\cdot (-1 - x - x^2), \\
b &= t\cdot (2 + x).
\end{aligned}
$$

##### Exercise 4

令 $U$ 為一向量空間而 $V$ 為其一子空間。

##### Exercise 4(a)

證明以下敘述等價：
1. ${\bf u}_1 + V = {\bf u}_2 + V$.
2. ${\bf u}_1 - {\bf u}_2 \in V$.

因此另外一個定義商空間的方法是定義向量之間的關係：
$${\bf u}_1 \sim {\bf u}_2 \iff {\bf u}_1 - {\bf u}_2 \in V.
$$
可以證明這樣的關係是一個**等價關係**。
如此一來 $U / \sim$ 和 $U / V$ 的概念是一樣的。

:::success
Good
:::

***Proof***
$\implies$ ：
由於 ${\bf u}_1 \in {\bf u}_1 + V$ 且 ${\bf u}_1 + V = {\bf u}_2 + V$ ，因此 ${\bf u}_1 \in {\bf u}_2 + V$ ，
所以存在 ${\bf v} \in V$ 使得 ${\bf u}_1 = {\bf u}_2 + {\bf v}$ ，最後可以推得 ${\bf u}_1 - {\bf u}_2 = {\bf v} \in V$ 。
\
$\impliedby$ ：
設 ${\bf v} = {\bf u}_1 - {\bf u}_2$ ，則 ${\bf u}_1 = {\bf u}_2 + {\bf v}$ 、 ${\bf v} \in V$ 。
所以 ${\bf u}_1 + V = ({\bf u}_2 + {\bf v}) + V$ ，又 ${\bf v} \in V$ ， 因此 ${\bf u}_1 + V = {\bf u}_2 + V$

##### Exercise 4(b)

我們可以不管直觀上的任何意義來定義加法：
$$({\bf u}_1 + V) + ({\bf u}_2 + V) = ({\bf u}_1 + {\bf u}_2) + V.
$$
然而要小心的是
如果 ${\bf u}_1 + V$ 和 ${\bf u}'_1 + V$ 一樣、
同時 ${\bf u}_2 + V$ 和 ${\bf u}'_2 + V$ 一樣﹐
那麼加出來的 $({\bf u}_1 + {\bf u}_2) + V$ 和 $({\bf u}'_1 + {\bf u}'_2) + V$ 也會一樣嗎？
符合這樣性質的定義我們稱為是**定義完善的**（well-defined）。

證明商空間上定義的向量加法是定義完善的。
\
\
***Proof***
利用 4(a) 的性質可以做出以下推論：
由 ${\bf u}_1 + V = {\bf u}'_1 + V$ 、 ${\bf u}_2 + V = {\bf u}'_2 + V$ 可知 ${\bf u}_1 - {\bf u}'_1 \in V$ 、 ${\bf u}_2 - {\bf u}'_2 \in V$ ，
因此 $({\bf u}_1 + {\bf u}_2) - ({\bf u}'_1 + {\bf u}'_2) \in V$ 。
再用一次 4(a) 的性質：
由 $({\bf u}_1 + {\bf u}_2) - ({\bf u}'_1 + {\bf u}'_2) \in V$ 可知 $({\bf u}_1 + {\bf u}_2) + V = ({\bf u}'_1 + {\bf u}'_2) + V$。

##### Exercise 4(c)

證明商空間上的純量乘法
$$k({\bf u} + V) = (k{\bf u}) + V
$$
是定義完善的。

:::warning
這題是要問：
如果 ${\bf u} + V = {\bf u}' + V$，證明 $k({\bf u} + V) = k({\bf u}' + V)$。
:::

***Proof***
對於所有 ${\bf w} \in k({\bf u} + V)$ 存在 ${\bf v} \in V$ 使得 ${\bf w} = k{\bf u} + k{\bf v}$ ，
又因 $k{\bf v} \in V$ ，因此 ${\bf w} \in (k{\bf u}) + V$ ，
所以 $k({\bf u} + V) = (k{\bf u}) + V$ ，
同理 $k({\bf u}' + V) = (k{\bf u}') + V$ ，
意即我們只須證明 $(k{\bf u}) + V = (k{\bf u}') + V$ 。\
\
從題目中知道 ${\bf u} + V = {\bf u}' + V$ ，再由 4(a) 可以知道 ${\bf u} - {\bf u}' \in V$
因為乘法封閉性，所以 $k({\bf u} - {\bf u}') \in V$ ，也就是 $k{\bf u} - k{\bf u}' \in V$
再由 4(a) 即可推得 $(k{\bf u}) + V = (k{\bf u}') + V$ ，也就是 $k({\bf u} + V) = k({\bf u}' + V)$ 。
##### Exercise 5

證明笛卡爾積做出來的新結構是一個向量空間。
找出一組基底並證明其正確性。

***Ans:***
設 $U , V$ 為兩個空間，
則 $U , V$ 的笛卡爾積為
$$\begin{cases}
U\times V = \{ ({\bf u}, {\bf v}) : {\bf u}\in U, {\bf v}\in V \}
\\
\text{addition : } ({\bf u}_1, {\bf v}_1) + ({\bf u}_2, {\bf v}_2) = ({\bf u}_1 + {\bf u}_2, {\bf v}_1 + {\bf v}_2)
\\
\text{multiplication : }k({\bf u}, {\bf v}) = (k{\bf u}, k{\bf v})
\end{cases}.
$$
設 ${\bf u}_1, {\bf u}_2, {\bf u}_3 \in U$ ， ${\bf v}_1, {\bf v}_2, {\bf v}_3 \in V$ ， $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$ ，
證明 $U \times V$ 具以下性質 :

:::success
Good job!
辛苦了。
:::

1. **加法封閉性**
$$({\bf u}_1, {\bf v}_1) + ({\bf u}_2, {\bf v}_2) = ({\bf u}_1 + {\bf u}_2, {\bf v}_1 + {\bf v}_2)$$
由於 $({\bf u}_1 + {\bf u}_2) \in U$ 且 $({\bf v}_1 + {\bf v}_2) \in V$，
因此 $({\bf u}_1 + {\bf u}_2, {\bf v}_1 + {\bf v}_2) \in U \times V$，
所以 **$U \times V$ 具加法封閉性**。
2. **加法交換律**
因為
$$
\begin{aligned}
({\bf u}_1, {\bf v}_1) + ({\bf u}_2, {\bf v}_2) &= ({\bf u}_1 + {\bf u}_2, {\bf v}_1 + {\bf v}_2) \\
&= ({\bf u}_2 + {\bf u}_1, {\bf v}_2 + {\bf v}_1) \\
&= ({\bf u}_2, {\bf v}_2) + ({\bf u}_1, {\bf v}_1),
\end{aligned}
$$
所以 **$U \times V$ 具加法交換律**。
3. **加法結合律**
因為
$$
\begin{aligned}[]
[({\bf u}_1, {\bf v}_1) + ({\bf u}_2, {\bf v}_2)] + ({\bf u}_3, {\bf v}_3) &= ({\bf u}_1 + {\bf u}_2 + {\bf u}_3, {\bf v}_1 + {\bf v}_2 + {\bf v}_3) \\
&= ({\bf u}_1, {\bf v}_1) + [({\bf u}_2, {\bf v}_2) + ({\bf u}_3, {\bf v}_3)]
\end{aligned}
$$
所以 **$U \times V$ 具加法結合律**。
4. **存在零元素**
因為 $U , V$ 為兩個空間，
可設 $U$ 中的零元素為 ${\bf 0}_U$ ， $V$ 中的零元素為 ${\bf 0}_V$ 。
則 $({\bf 0}_U, {\bf 0}_V) + ({\bf u}_1, {\bf v}_1) = ({\bf 0}_U + {\bf u}_1, {\bf 0}_V + {\bf v}_1) = ({\bf u}_1, {\bf v}_1)$ ，
可知 $({\bf 0}_U , {\bf 0}_V)$ 為 $U \times V$ 的零元素。
因此 **$U \times V$ 存在零元素**。
5. **加法反元素**
因為 $U , V$ 為兩個空間，
所以 $U$ 中每個 ${\bf u}$ 皆有一個 ${\bf p}$ 使 ${\bf u} + {\bf p} = {\bf 0}$ 。
同理， $V$ 中每個 ${\bf v}$ 皆有一個 ${\bf q}$ 使 ${\bf v} + {\bf q} = {\bf 0}$ 。
因此 $({\bf u} , {\bf v}) + ({\bf p} , {\bf q}) = ({\bf u} + {\bf p} , {\bf v} + {\bf q}) = ({\bf 0} , {\bf 0})$ ，
因此 **$U \times V$ 具有加法反元素**。
6. **乘法封閉性**
由於 $k {\bf u} \in U$ 且 $k {\bf v} \in V$ ，
所以 $k ({\bf u} , {\bf v}) = (k {\bf u}, k {\bf v}) \in U \times V$ ，
因此 **$U \times V$ 具乘法封閉性**。
7. **純量乘法對向量加法的分配律**
因為 $k ({\bf u}_1 + {\bf u}_2) = k {\bf u}_1 + k {\bf u}_2$ 且 $k ({\bf v}_1 + {\bf v}_2) = k {\bf v}_1 + k {\bf v}_2$ ，
所以
$$
\begin{aligned}
k [({\bf u}_1 , {\bf v}_1) + ({\bf u}_2 , {\bf v}_2)] &= k ({\bf u}_1 + {\bf u}_2 , {\bf v}_1 + {\bf v}_2) \\
&= (k {\bf u}_1 + k {\bf u}_2 , k {\bf v}_1 + k {\bf v}_2) \\
&= (k {\bf u}_1 , k {\bf v}_1) + (k {\bf u}_2 , k {\bf v}_2) = k ({\bf u}_1 , {\bf v}_1) + k ({\bf u}_2 , {\bf v}_2),
\end{aligned}
$$
也就是說， $k [({\bf u}_1 , {\bf v}_1) + ({\bf u}_2 , {\bf v}_2)] = k ({\bf u}_1 , {\bf v}_1) + k ({\bf u}_2 , {\bf v}_2)$ ，
因此 **$U \times V$ 具純量乘法對向量加法的分配律**。
8. **純量乘法對純量加法的分配律**
$[k_1 + k_2] ({\bf u} , {\bf v}) = ([k_1 + k_2] {\bf u} , [k_1 + k_2] {\bf v}).$
因為 $U$ 與 $V$ 皆具純量乘法對純量加法的分配律，
所以
$$
\begin{aligned}
([k_1 + k_2] {\bf u} , [k_1 + k_2] {\bf v}) &= (k_1 {\bf u} + k_2 {\bf u} , k_1 {\bf v} + k_2 {\bf v}) \\
&= (k_1 {\bf u} , k_1 {\bf v}) + (k_1 {\bf u} , k_2 {\bf v}) \\
&= k_1 ({\bf u} , {\bf v}) + k_2 ({\bf u} , {\bf v}),
\end{aligned}
$$
也就是說， $[k_1 + k_2] ({\bf u} , {\bf v}) = k_1 ({\bf u} , {\bf v}) + k_2 ({\bf u} , {\bf v})$ ，
因此 **$U \times V$ 具純量乘法對純量加法的分配律**。
9. **乘法結合律**
$k_1 [k_2 ({\bf u} , {\bf v})] = k_1 (k_2 {\bf u} , k_2 {\bf v}) = (k_1 [k_2 {\bf u}] , k_1 [k_2 {\bf v}]).$
因為 $U$ 與 $V$ 皆具乘法結合律，
所以 $(k_1 [k_2 {\bf u}] , k_1 [k_2 {\bf v}]) = ([k_1 k_2] {\bf u} , [k_1 k_2] {\bf v}) = [k_1 k_2] ({\bf u} , {\bf v})$ ，
也就是說， $k_1 [k_2 ({\bf u} , {\bf v})] = [k_1 k_2] ({\bf u} , {\bf v})$ ，
因此 **$U \times V$ 具乘法結合律**。
10. **乘法單位元素**
因為 $1 \times ({\bf u} , {\bf v}) = (1 \times {\bf u} , 1 \times {\bf v}) = ({\bf u} , {\bf v})$ ，
因此 **$U \times V$ 具乘法單位元素**。

**找基底:**
設 $U$ 為 $\mathbb{R}^2$ ， $V$ 為 $\mathbb{R}$ 。
則 $\begin{Bmatrix}
(1,0) \\
(0,1)
\end{Bmatrix}$ 為 $U$ 的一組基底，
$\begin{Bmatrix}
1
\end{Bmatrix}$ 為 $V$ 的一組基底。
假設 $S = \begin{Bmatrix}
((1,0), 0) \\
((0,1), 0) \\
((0,0), 1)
\end{Bmatrix}$ 是 $U \times V$ 的一組基底，
證明其正確性 :
1. **$\vspan(S) = U \times V.$**
設 $c_1 , c_2 , c_3 \in \mathbb{R}$ ，
則任何 $((c_1 , c_2) , c_3) \in U \times V$ 都可寫成 $c_1 ((1,0), 0) + c_2 ((0,1), 0) + c_3((0,0), 1)$ 。
可知 **$\vspan(S) = U \times V.$**
2. **$S$ 線性獨立**
若 $c_1 ((1,0), 0) + c_2 ((0,1), 0) + c_3((0,0), 1) = ((0,0),0)$
則唯有 $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ 時成立。
可知 **$S$ 線性獨立**。
因此 $S = \begin{Bmatrix}
((1,0), 0) \\
((0,1), 0) \\
((0,0), 1)
\end{Bmatrix}$ 是 $U \times V$ 的一組基底。

##### Exercise 6

證明商空間做出來的新結構是一個向量空間。
找出一組基底並證明其正確性。

***Ans:***
設 $U$ 為兩個空間，$V$ 為 $U$ 中的子空間。
則 $U , V$ 的商空間為
$$\begin{cases}
U / V = \{ {\bf p} + V : {\bf p}\in U\}
\\
\text{addition : } ({\bf p}_1 + V) + ({\bf p}_2 + V) = ({\bf p}_1 + {\bf p}_2) + V
\\
\text{multiplication : }k({\bf p} + V) = (k{\bf p}) + V
\end{cases}.
$$
設 ${\bf p}_1, {\bf p}_2, {\bf p}_3 \in U$ ， $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$ ，
證明 $U / V$ 具以下性質 :
1. **加法封閉性**
由於 ${\bf p}_1 + {\bf p}_2 \in U$ ，
因此 $({\bf p}_1 + V) + ({\bf p}_2 + V) = [({\bf p}_1 + {\bf p}_2) + V] \in U / V$，
所以 **$U / V$ 具加法封閉性**。
2. **加法交換律**
因為
$$
\begin{aligned}
({\bf p}_1 + V) + ({\bf p}_2 + V) &= ({\bf p}_1 + {\bf p}_2) + V \\
&= ({\bf p}_2 + {\bf p}_1) + V \\
&= ({\bf p}_2 + V) + ({\bf p}_1 + V),
\end{aligned}
$$
所以 **$U / V$ 具加法交換律**。
3. **加法結合律**
因為
$$
\begin{aligned}[]
[({\bf p}_1 + V) + ({\bf p}_2 + V)] + ({\bf p}_3 + V) &= [{\bf p}_1 + {\bf p}_2 + {\bf p}_3] + V \\
&= ({\bf p}_1 + V) + [({\bf p}_2 + V) + ({\bf p}_3 + V)],
\end{aligned}
$$
所以 **$U / V$ 具加法結合律**。
4. **存在零元素**
因為 $U$ 為一個空間，
所以 $U$ 中存在 ${\bf 0}$ 。
且 $({\bf 0} + V) + ({\bf p} + V) = ({\bf 0} + {\bf p}) + V = {\bf p} + V$ ，
可知 ${\bf 0} + V$ 為 $U / V$ 中的零元素。
因此 **$U / V$ 存在零元素**。
5. **加法反元素**
因為 $U$ 為一個空間，
所以 $U$ 中每個 ${\bf p}$ 皆有一個 ${\bf q}$ 使 ${\bf p} + {\bf q} = {\bf 0}$ 。
則 $({\bf p} + V) + ({\bf q} + V) = ({\bf p} + {\bf q}) + V = {\bf 0} + V$ ，
因此 **$U / V$ 具有加法反元素**。
6. **乘法封閉性**
由於 $k {\bf p} \in U$ ，
所以 $k ({\bf p} + V) = (k {\bf p} + V) \in U / V$ ，
因此 **$U / V$ 具乘法封閉性**。
7. **純量乘法對向量加法的分配律**
因為 $k ({\bf p}_1 + {\bf p}_2) = k {\bf p}_1 + k {\bf p}_2$ ，
所以
$$
\begin{aligned}
k [({\bf p}_1 + V) + ({\bf p}_2 + V)] &= k ({\bf p}_1 + {\bf p}_2) + V \\
&= (k{\bf p}_1 + k{\bf p}_2) + V = (k{\bf p}_1 + V) + (k{\bf p}_2 + V) \\
&= k({\bf p}_1 + V) + k({\bf p}_2 + V),
\end{aligned}
$$
也就是說， $k [({\bf p}_1 + V) + ({\bf p}_2 + V)] = k({\bf p}_1 + V) + k({\bf p}_2 + V)$ ，
因此 **$U / V$ 具純量乘法對向量加法的分配律**。
8. **純量乘法對純量加法的分配律**
$[k_1 + k_2] ({\bf p} + V) = ([k_1 + k_2]{\bf p} + V).$
因為 $U$ 具純量乘法對純量加法的分配律，
所以
$$
\begin{aligned}
([k_1 + k_2]{\bf p} + V) &= (k_1{\bf p} + k_2{\bf p}) + V \\
&= (k_1{\bf p} + V) + (k_2{\bf p} + V) \\
&= k_1({\bf p} + V) + k_2({\bf p} + V),
\end{aligned}
$$
也就是說， $[k_1 + k_2] ({\bf p} + V) = k_1({\bf p} + V) + k_2({\bf p} + V)$ ，
因此 **$U / V$ 具純量乘法對純量加法的分配律**。
9. **乘法結合律**
$k_1 [k_2 ({\bf p} + V)] = k_1 (k_2 {\bf p} + V).$
因為 $U$ 具乘法結合律，
所以 $k_1 (k_2 {\bf p} + V) = [k_1 k_2] {\bf p} + V = [k_1 k_2] ({\bf p} + V)$ ，
也就是說， $k_1 [k_2 ({\bf p} + V)] = [k_1 k_2] ({\bf p} + V)$ ，
因此 **$U / V$ 具乘法結合律**。
10. **乘法單位元素**
因為 $1 \times ({\bf p} + V) = (1 \times {\bf p}) + V = ({\bf p} + V)$ ，
因此 **$U \times V$ 具乘法單位元素**。

:::warning
基底的部份要小心一點，以你給的例子來說 $U/V$ 的維度是 $1$。
特別的是 $(1,0) + V = (0,0) + V$。
:::

**找基底:**
設 $U$ 為 $\mathbb{R}^2$ ， $V$ 為 $\vspan\{(1,0)\}$ 。
則假設 $S = \{ (0,1) + V \}$ 是 $U / V$ 的一組基底，
證明其正確性 :
1. **$\vspan(S) = U / V.$**
設 $c_1 , c_2 \in \mathbb{R}$ ，
則任何 $(c_1 , c_2) + V \in U / V$ 都可寫成 $c_1 [(1,0) + V] + c_2 [(0,1) + V]$ 。
且已知 $(1,0) + V = (0,0) + V$ ，
則 $c_1 [(1,0) + V] + c_2 [(0,1) + V] = c_1 [(0,0) + V] + c_2 [(0,1) + V] = c_2 [(0,1) + V]$ ，
也就是說，任何 $(c_1 , c_2) + V \in U / V$ 都可寫成 $c_2 [(0,1) + V]$ 。
可知 **$\vspan(S) = U / V.$**
2. **$S$ 線性獨立**
若 $c_2 [(0,1) + V] = (0,0) + V$，
這表示 $c_2(0,1) \in V = \vspan(\{(1,0)\})$。
而此條件唯有 $c_2 = 0$ 時成立。
可知 **$S$ 線性獨立**。
因此 $S = \{ (0,1) + V \}$ 是 $U / V$ 的一組基底。

:::info
目前分數 6.5
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