# 算幾不等式

###### tags: 高一數學、最大最小值、算幾不等式

### 基礎定義

實數 $a,b>0$，則 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ 恆成立，等號成立於 $a=b$ 時。

### 題目分析

此類題型應用於求「極值」
* 給定 $a+b$ 為定值，可以求 $ab$ 最大值
* 給定 $ab$ 為定值，可以求 $a+b$ 最小值

掌握原則：「給相加則求相乘最大值」、「給相乘則求相加最小值」。

### 基礎例題（解答見最後）

1. $a,b>0$ 且 $a+b=10$，求 $ab$ 之最大值
2. $a,b>0$ 且 $3a+4b=10$，求 $ab$ 之最大值
3. $a,b>0$ 且 $a^2+b^2=10$，求 $ab$ 之最大值
4. $a,b>0$ 且 $9a^2+16b^2=10$，求 $ab$ 之最大值
5. $a,b>0$ 且 $ab=10$，求 $a+b$ 之最小值
6. $a,b>0$ 且 $ab=10$，求 $3a+4b$ 之最小值
7. $a,b>0$ 且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=10$，求 $ab$ 之最小值
8. $a,b>0$ 且 $ab=10$，求 $a+b$與$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 之最小值

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### 特殊例題（解答見最後）

1. $a,b>0$ 且 $9a^2+16b^2=10$，求$(3a-4b)^2$之最小值
2. $x>0$，求$x+\frac{1}{x}$之最小值
3. $x>-1$，求$x+\frac{1}{x+1}$之最小值
4. $x$在第一象限，求$cosx+\frac{1}{cosx}$之最小值
6. $a,b>0$ 且 $2a+5b=10$，求$log(ab)$之最大值
7. $a,b>1$ 且 $ab=15$，求$loga \times logb$之最大值
8. $ab=12$，且令$f(x)=2^x$，求$f(a)f(b)$之最小值

這種題目通常結合不同函數自身的性質（互為倒數、乘法公式、指數、對數、三角函數等），注意看最後要求的東西是相加還是相乘，是求最大值還是最小值，再回推算幾不等式的形態。

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### 危險題型（題目出得太乾淨，誤導觀念）

（來自翰將複習講義108課綱，P.22例題8的詳解）

#### 例題1 $a,b>0$ 且 $ab=16$，求$a+b+ \sqrt{a^2+b^2}$之最小值

> $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}=4$，故$a+b \ge 8$，最小值$8$發生於$(a,b)=(4,4)$
$\frac{a^2+b^2}{2} \ge \sqrt{a^2b^2}=16$，故$a^2+b^2 \ge 32$，最小值$32$發生於$(a,b)=(4,4)$
故總體最小值$Min=8+32=40$，發生在$(a,b)=(4,4)$

這個例題具有誤導性，讓我們以為$f(a,b)+g(a,b)$的極值可以分開算再合併在一起。我們看看例題2

#### 例題2 $a,b>0$ 且 $ab=16$，求$3a+4b+ \sqrt{a^2+b^2}$之最小值

> $\frac{3a+4b}{2} \ge \sqrt{12ab}=6\sqrt{3}$，故$3a+4b \ge 12\sqrt{3}$，最小值$12\sqrt{3}$發生於$(a,b)=(4\sqrt{3},3\sqrt{3})$
$\frac{a^2+b^2}{2} \ge \sqrt{a^2b^2}=16$，故$a^2+b^2 \ge 32$，最小值$32$發生於$(a,b)=(4,4)$
故總體最小值$Min=12\sqrt{3}+32$，發生在$(a,b)=(4,4)$與$(4\sqrt{3},3\sqrt{3})$

兩項發生最小值的數對$(a,b)$不同，是不合理的。因為當$f(a,b)$有最小值時，帶入$g(a,b)$可能不是最小值。反之亦然。

所以$Max[f(x)+g(x)]=Max[f(x)]+Max[g(x)]$的關係式根本不存在。除非發生最大值時的$x$相同。希望同學不要倍這個題目誤導。

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### 歷屆試題

#### 107學測選填C

> $\Delta PAB=\frac{1}{2}r\sqrt{25-r^2}=\frac{1}{2}\sqrt{r^2(25-r^2)}$之最大值：問相乘之最大值，找是否有相加 $\rightarrow r^2＋(25-r^2)=25$為定值
算幾不等式：$\frac{r^2＋(25-r^2)}{2}=\frac{25}{2} \ge \sqrt{r^2(25-r^2)}$ $\rightarrow \frac{25}{4} \ge \frac{1}{2} \sqrt{r^2(25-r^2)}$

歷屆試題的算幾不等式一定會結合應用題，可能是幾何或情境。注意題目是否求「最大值 / 最小值」，以及尋找「可變動的變數」，找到「變動變數」是否相加或相乘為定值。掌握原則：「給相加則求相乘最大值」、「給相乘則求相加最小值」。

此外，有時候最大最小值的運算，需要思考最大最小值的四則運算與函數運算。請參考「[極值專題文章](https://hackmd.io/@aaronliu3140222/SJHqKIq6q)（建立中）」

### 超出範圍之補充

#### 補充（一）均值不等式子：$HM-AM-GM-QM$ $Ineq$

$HM$：調和平均值 $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
$AM$：算數平均值 $\frac{a+b}{2}$
$GM$：幾何平均值 $\sqrt{ab}$
$QM$：平方平均值 $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
定理：對於$a,b>0$來說，$HM \ge AM \ge GM \ge QM$恆成立，等號成立於 $a=b$ 時。

#### 補出（二）高維度算幾不等式

二維：$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$
三維：$\frac{a+b+c}{3} \ge {(abc)}^{\frac{1}{3}}$
N維：$\frac{1}{2}\ge {(abc)}^{\frac{1}{3}}$

### 例題之解答

解答格式為「最大值$Y^*$發生在$(a^*,b^*)$時」

1. $25,(5,5)$
2. $\frac{25}{12},( \frac{5}{3}, \frac{5}{4})$
3. $5,(\sqrt{5},\sqrt{5})$
4. $\frac{5}{12},( \frac{\sqrt{10}}{3}, \frac{\sqrt{10}}{4})$
5. $2 \sqrt{10},(\sqrt{10},\sqrt{10})$
6. $4 \sqrt{30},(\frac{2}{3} \sqrt{30},\frac{1}{2} \sqrt{30})$
7. $\frac{1}{25},(\frac{1}{5},\frac{1}{5})$
8. $2 \sqrt{10},(\sqrt{10},\sqrt{10})$ 與 $\frac{\sqrt{10}}{5},(\sqrt{10},\sqrt{10})$

### 特殊例題之解答

1. $0,( \frac{\sqrt{10}}{3}, \frac{\sqrt{10}}{4})$
2. $2,x=1$
3. $1,x=0$
4. $2,cosx=1$ $or$ $x=0$
5. $log(2.5), (2.5,1)$
6. $\frac{log(15)}{2}^2,(\sqrt{15},\sqrt{15})$
7. $2^{4 \sqrt{3}}, (2\sqrt{3},2\sqrt{3})$