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# 淺談 - 三角形面積公式
>作者：啊綸
>[time=20200308]

這篇想要討論的是從小開始會接觸到的幾何圖形：三角形。它的面積公式我們也會陸續在不同階段的數學課學習到，因此想藉由這篇文章做個整理，希望讓讀者可以理解這個橫跨國小到高中的美妙幾何形狀。

## 一切的開始，矩形的一半
底 $\times$ 高 $\div 2$，這是我們最早得知的三角形面積公式，只要給定三角形其中一邊為底，找出相對應的高，就能夠計算面積。

<p><img src="https://i.imgur.com/ldIIUwW.jpg" width="50%"></p>

如圖，底為 $d$ ，高為 $h$，面積則為
\begin{equation}
\triangle = \dfrac{1}{2}dh
\end{equation}

## 運用三角函數
如果我們要算的三角形，高不太方便直接測量得知時，就可以運用三角函數來幫助我們把想要的高求出來。

令三角形某兩邊分別為 $a, b$，兩邊夾角為 $\theta$，如圖

<p><img src="https://i.imgur.com/FTPDDUM.jpg" width="50%"></p>

我們假設底邊為 $a$，畫出對應的高，令為 $h$，需要知道 $h$ 的值才能使用前面的面積公式。

透過三角函數，可以求得 $h =b \sin{\theta}$
因此將原始的三角形面積公式改寫成：

\begin{equation}
\triangle = \dfrac{1}{2} ab \sin{\theta}
\end{equation}

## 外接圓
若有一個圓，使三角形的三個頂點都在該圓上，那麼我們稱這個圓是此三角形的外接圓，而這個圓的圓心稱為此三角形的外心。

令三角形$\triangle ABC$的邊長分別為 $a,b,c$，其外接圓 $O$ 的半徑為 $R$，如圖。（$AB = c, BC = a, CA = b, OA = OB = OC = R$）

<img src="https://i.imgur.com/B001hcW.png" width="65%">

為了方便我們將 $\triangle ABC$的三個內角度數分別記為 $\angle A, \angle B, \angle C$，根據三角函數版本的面積公式，我們知道：$\triangle ABC = \dfrac{1}{2} ab \sin{\angle C}$

這時需要知道 $\sin{\angle C}$的值，不過我們可以利用其他已知資訊來替換掉它。

>回顧一下正弦定理：
>對任意三角形 $\triangle ABC$ ，$a,b,c$ 分別為 $\angle A , \angle B , \angle C$ 的對邊，$R$ 為$\triangle ABC$ 的外接圓半徑，則：
>\begin{equation}
>\dfrac{a}{\sin{\angle A}} = \dfrac{b}{\sin{\angle B}} = \dfrac{c}{\sin{\angle C}} = 2R
>\end{equation}

應用正弦定理，我們得到 $\sin{\angle C} = \dfrac{c}{2R}$
代入前面的面積公式可得到
$\triangle ABC = \dfrac{1}{2} ab \dfrac{c}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$

所以三角形面積為：
\begin{equation}
\triangle ABC = \dfrac{abc}{4R}
\end{equation}

## 內切圓
講到三角形外接圓也順便提一下內切圓。
若有一個圓在三角形的內部，且三角形的三條邊都各自與該圓相切，則此圓稱為三角形的內切圓，而圓心稱為三角形的內心。

設有一三角形$\triangle ABC$，$\angle A, \angle B, \angle C$ 的對邊分別為 $a,b,c$，其內切圓 $I$ 的半徑為 $r$ ，如圖。

<img src="https://i.imgur.com/Gsl6GTs.png" width="70%">

連接 $\overline{IA}, \overline{IB}, \overline{IC}$，將$\triangle ABC$ 分成三個小三角形，則 $\triangle ABC$ 的面積就是這三個三角形面積的總和。

<img src="https://i.imgur.com/BUOGYbj.png" width="70%">

利用圓心到切點的連線會和該切線垂直的性質，我們分別作 $\overline{ID}, \overline{IE}, \overline{IF}$ 垂直 $\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$，觀察發現 $\overline{ID}, \overline{IE}, \overline{IF}$ 都是內切圓半徑。

得到 $\overline{ID} = \overline{IE} = \overline{IF} = r$

若以 $\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$ 分別為小三角形的底，對應的高即為 $\overline{ID}, \overline{IE}, \overline{IF}$

分別計算小三角形的面積再加起來：
$\triangle ABC = \triangle IBC + \triangle ICA + \triangle IAB = \dfrac{ra}{2} + \dfrac{rb}{2} + \dfrac{rc}{2} = \dfrac{r(a+b+c)}{2}$

所以得到三角形面積為：
\begin{equation}
\triangle ABC = \dfrac{r(a+b+c)}{2}
\end{equation}

## 向量版本
我們也可以將向量的概念帶進來，題目就會變成，若有兩個向量 $\vec a\ ,\vec b$ ，則其張開所形成的三角形面積為何？（如圖所示）

<p><img src="https://i.imgur.com/eC9EjJk.jpg" width="50%"></p>

令 $a = |\vec a|, b = |\vec b|$
根據前面我們得到的三角函數版本的面積公式，可以改寫成：
$\triangle = \dfrac{1}{2} |\vec a||\vec b| \sin{\theta}$

因為 $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ 且 $0 < \theta < \pi$
我們得到
\begin{equation}
\begin{split}
\triangle &= \dfrac{1}{2} |\vec a||\vec b| \sqrt{1-\cos^2{\theta}}\\
&= \dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec a|^2 |\vec b|^2 - |\vec a|^2 |\vec b|^2 \cos^2{\theta}}
\end{split}
\end{equation}

因為 $\vec a \cdot \vec b= |\vec a||\vec b| \cos{\theta}$

所以得到：
\begin{equation}
\triangle = \dfrac{1}{2} \sqrt{|\vec a|^2 |\vec b|^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2}
\end{equation}

## 行列式的引入
### 平面向量
由向量版本可以更進一步的得到與行列式的連結，我們將平面向量的分量定好，令 $\vec a = (a_1, a_2), \vec b = (b_1, b_2)$
代入向量版本的面積公式，展開計算：
\begin{equation}
\begin{split}
\triangle &= \dfrac{1}{2} \sqrt{(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2}\\
&= \dfrac{1}{2} \sqrt{a_1^2b_1^2 + a_2^2b_1^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_2^2 - a_1^2b_1^2 - 2a_1b_1a_2b_2 - a_2^2b_2^2}\\
&= \dfrac{1}{2} \sqrt{a_2^2b_1^2 - 2a_1b_1a_2b_2 + a_1^2b_2^2}\\
&= \dfrac{1}{2} \sqrt{(a_1b_2 - a_2b_1)^2}\\
&= \dfrac{1}{2} |a_1b_2 - a_2b_1|\\
&= \dfrac{1}{2} | \left|\begin{array}{cc}
a_1& a_2\\
b_1& b_2
\end{array}\right| |
\end{split}
\end{equation}

所以向量所展開的三角形面積可以用行列式來表示。
### 已知三點坐標
設平面上三角形三頂點的坐標分別為 $A(a_1, a_2), B(b_1, b_2), C(c_1, c_2)$，我們可以先以 $C$ 點為定點，$\vec{a} = CA$向量，$\vec{b} = CB$向量，則 $\vec{a} = (a_1 - c_1, a_2 - c_2)$
$\vec{b} = (b_1 - c_1, b_2 - c_2)$

根據前面的行列式版本的公式可知，$\triangle = \dfrac{1}{2} | \left|\begin{array}{cc}
a_1 - c_1& a_2 - c_2\\
b_1 - c_1& b_2 - c_2
\end{array}\right| |$

觀察發現，
$\left|\begin{array}{cc}
a_1 - c_1 & a_2 - c_2\\
b_1 - c_1 & b_2 - c_2
\end{array}\right|
= \left|\begin{array}{cc}
a_1 - c_1 & a_2 - c_2 & 0\\
b_1 - c_1 & b_2 - c_2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right|$

我們接著運用一些<font color="red">行列式的性質</font>：
1. 將一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）中，行列式值不變

利用這項性質可以整理上面行列式：
\begin{equation}
\begin{split}
\left|\begin{array}{cc}
a_1 - c_1 & a_2 - c_2 & 0\\
b_1 - c_1 & b_2 - c_2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right|
&=
\left|\begin{array}{cc}
a_1 - c_1 & a_2 - c_2 & 0\\
b_1 - c_1 & b_2 - c_2 & 0\\
c_1 & c_2 & 1
\end{array}\right|\\
&=
\left|\begin{array}{cc}
a_1 & a_2 & 1\\
b_1 & b_2 & 1\\
c_1 & c_2 & 1
\end{array}\right|
\end{split}
\end{equation}

因此若已知平面上三角形的三頂點坐標，其面積等於
\begin{equation}
\triangle =
\left|\begin{array}{cc}
a_1 & a_2 & 1\\
b_1 & b_2 & 1\\
c_1 & c_2 & 1
\end{array}\right|
\end{equation}

## 海龍公式
若三角形三邊長分別為 $a, b, c$
令$s=\dfrac{a+b+c}{2}$，也就是三角形周長的一半
則三角形面積為
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
（證明日後待補）

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>在此感謝國中同學的圖片協助與大學朋友的課程脈絡提供[color=red]