# Cours de physique statistique - séance de questions - 1er avril 2020


## Question 1 (Dalin Boriçi) : quelle est la validité de...

$$
\sum_{\vec k} \longrightarrow \frac{V}{(2\pi)^d}\int d^d\vec{k}
$$

ondes planes $e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}$ (électrons en MQ, ou n'importe autre type d'onde)
avec volume fini (conditions aux limites $\Rightarrow$ quantification des modes, comme pour une corde vibrante)
$$
k_x = n_x\frac{2\pi}{L_x}
\mbox{ avec } n_x \in\mathbb{Z}
$$

$$
``\sum_{k_x} ``\ f(k_x)
= \sum_{n_x\in\mathbb{Z}}f\!\left(n_x\frac{2\pi}{L_x}\right)
\longrightarrow
\int d n_x \, f\!\left(n_x\frac{2\pi}{L_x}\right)
\equiv \frac{L_x}{2\pi}\int d k_x \, f(k_x)
$$
si $f$ varie lentement à l'échelle $\sim1/L_x$

## Question 2 (Dalin Boriçi): sur la relation de dispersion des ondes de déformation dans les solides

la relation de dispersion des ondes de déformations est *non linéaire*. En général il y a plusieurs branches (branches "acoustique", "optique").

ex: chaîne de ressorts (masses reliées par des ressorts)
$$
\omega(k) = 2\omega_0 \left|\sin(ka/2)\right|
\mbox{ avec } k \in[-\pi/a,\pi/a]
$$
mais elle est $\sim$ linéaire si $k\to0$: $\omega(k)\simeq\omega_0a|k|$ (ondes acoustiques)

De manière très générale, on a $\omega(\vec k)\simeq c_s||\vec k||$ pour $\vec k\to0$

Rappelons aussi qu'il y a plusieurs "polarisations":
* 1 mode de compression (déplacement des atomes dans le sens de la propagation de l'onde)
* 2 modes de cisaillement (déplacement des atomes perpendiculairement au sens de porpagation)

## Question 3 (David Pérez): sur la partie radiale de l'énergie de la molécule

rq: même pb que dans le cours de MQ sur l'atome H
$$
\left(
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}r
+V_\ell(r)
\right)\chi(r) = E\chi(r)
$$
où
$$
V_\ell(r) = -\frac{e^2}{r} + \frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2m r^2}
$$

Exercice : approx. harmonique si $\ell\gg1$, développer $V_\ell(r)$ au voisinage de son minimum $r_*$.

si $r\sim r_\star$ :
$$
\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r_\star} \frac{d^2}{dr^2} r_\star + V_\ell(r_*)+ \frac{1}{2} m \omega^2(r-r_\star)^2
\right)\chi(r)
\simeq E\chi(r)
$$
c'est l'oscillateur harmonique 1D...

### sur ce point, je conseille de faire l'exercice p. 239 de mon livre de MQ (CT, Mécanique quantique, 2nde éd., Dunod, 2015):



## Question 4 (David Pérez): validité du découplage rotation/vibration

(i) approximation $r\sim r_\star$, fait disparaître la variable radiale de l'hamiltonien de rotation.
(ii) $\to$ d.l. de $V_\mathrm{eff}(r)$
(iii) l'origine : découplage entres les échelles (de temps ou d'énergie)
(iv) si j'écris $\hbar\omega\gg\hbar^2/I=\hbar^2/(mr_*^2)$ $\Leftrightarrow$ $r_*\gg\sqrt{\hbar/(m\omega)}$ qui est la largeur typique de la fonction d'onde radiale

J'ai fait le lien *a posteriori* entre le point (i) et le (iv)

## Question 5 (Margaux Vrech): les fcts hyperboliques

$\cosh$ et $\sinh$ : exponentielle symétrisée ou antisymétrisée
$$
\cosh x =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} +\cdots
$$
$$
\sinh x =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} +\cdots
$$
$\tanh x=\sinh x/\cosh x$

L'identité utilisée pour exprimer l'énergie d'un mode de vibration
\begin{eqnarray}
\coth x &=& \frac{\cosh x}{\sinh x}
= \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}
= \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}
= \frac{e^{2x}-1+2}{e^{2x}-1}
\\
&=& 1 + \frac{2}{e^{2x}-1}
\end{eqnarray}

**Les fcts hyperboliques apparaissent souvent $\Rightarrow$ connnaître leurs propriétés**

Pour $C_V$ d'un mode
$$
\left(
\frac{x}{\sinh x}
\right)^2
\simeq \left(
\frac{x}{e^{x}/2}
\right)^2
=4x^2e^{-2x}
\mbox{ pour } x\gg1
$$
sinon $\to1$ si $x\to0$.

## Question 6 (Victor Struillou): sur ``l'énergie du vide''

ensemble d'oscillateurs harmoniques.
L'énergie fondamentale est
$$
E_0 = \sum_i \frac{\hbar\omega_i}{2}
$$

En cours:
* Les vibrations des solides : le nombre de modes est fini ($\omega\in[0,\omega_\mathrm{max}]$) $\Rightarrow$ la somme a un nb fini de termes.
* champ em : il n'y a pas de fréquence max (pas dans la théorie électromagnétique). Nb *infini* de modes
$$
\omega_{\vec k} = ||\vec k||c
\in\mathbb{R}^+
$$

Energie fondamentale du champ em (quantifié)
$$
E_0 = \sum_{\vec k} \frac{\hbar\omega_{\vec k}}{2}
=\int_0^\infty d\omega\, \rho(\omega)\, \frac{\hbar\omega}{2}
\sim V\int_0^\infty d\omega\,\omega^3 =\infty
$$
puisque $\rho(\omega)\propto V\,\omega^2$.

C'est une divergence dîte "ultraviolette".

Je résume :
si on quantifie le champ em, alors l'énergie fondamentale est infinie.

* Est-ce un pb ? pas vraiment (c'est une cste)
* Est-ce un artefact indésirable ? Non, l'effet Casimir en est une manifestation

$\Rightarrow$ les physiciens ont appris à "apprivoiser" ces divergences...

## Question 7 (Sylvain Rey): approx. de MB

pour $N$ particules indépendantes:
$$
Z_N \approx \frac{1}{N!} z^N
$$
où $z$ est la fct de partition pour une particule.

C'est au postulat de symétrisation de la MQ (pb des particules **identiques**)

### Rappel sur le postulat de sym. de la MQ

ex: pb à 2 particules *identiques* dans un puits harmoniques.
états quantiques: $|n\rangle_1\otimes|m\rangle_2$ (particule 1 dans l'état $|n\rangle_1$ et ...)

Postulat de sym. $\Rightarrow$ les états physiques sont soit tous invariants (2 bosons) soit tous antisym. (2 fermions)
* bosons :
$$
|n,m\rangle = \frac{1}{\sqrt2}
\left(|n\rangle_1\otimes|m\rangle_2+|m\rangle_1\otimes|n\rangle_2\right)
\mbox{ si } n\neq m
$$
et
$$
|n,n\rangle = |n\rangle_1\otimes|n\rangle_2
$$
avec cette notation : $|n,m\rangle=|m,n\rangle$
* fermions :
$$
|n,m\rangle = \frac{1}{\sqrt2}
\left(|n\rangle_1\otimes|m\rangle_2-|m\rangle_1\otimes|n\rangle_2\right)
\mbox{ si } n\neq m
$$
($n=m$ interdit : principe de Pauli)

Page de PUB: cf. chap. 11 de (CT, *Mécanique quantique*, 2nde éd., Dunod, 2015)

### Fonction de partition:

$$
Z_\mathrm{2\:bosons}
= \sum_{|n,m\rangle} e^{-\beta E_{n,m}}
$$
(somme sur les **états quantiques**)

Somme sur les *nombres quantiques* :
$$
Z_\mathrm{2\:bosons}
= \sum_{n\geq m} e^{-\beta E_{n,m}}
$$
pour ne pas compter deux fois le même état quant.
$$
\sum_{n\geq m} \approx \frac1{2!}
\sum_n\sum_m
$$
c'est une approximation car
$$
\sum_{n\geq m} = \sum_{n=m=0}^\infty
+\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=n+1}^\infty
= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty + \frac12 \sum_{n=m=0}^\infty
$$
i.e. si $E_{n,m}=\varepsilon_n+\varepsilon_m$ (deux particules dans un puits harmonique)
$$
Z_\mathrm{2\:bosons}
= \underbrace{ \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty e^{-\beta(\varepsilon_n+\varepsilon_m)} }_{\mathrm{approx.\ Max-Boltz}} + \underbrace{\frac12 \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta(\varepsilon_n+\varepsilon_n)} }_{\mathrm{correction\ quant.}}
$$
soit
$$
Z_\mathrm{2\:bosons} = \underbrace{ \frac1{2}z_\beta^2 }_{\mathrm{MB}}+\frac12 z_{2\beta}
$$
où
$z_\beta=\sum_{n=0}^\infty e^{-\beta\varepsilon_n}$ est la fonction de partition à un atome.

### Exercice : faire la même chose pour deux fermions

comparer les corrections quantiques...

## Question 8 (David Pérez) : interprétation de la notion d'énergie libre

Dans le cadre de la théorie des machines thermiques:
reformulation du 2nd principe de la thermo
$$
\Delta S \geq \frac{Q}{T}
$$
(pour une seule source de chaleur à température $T$).

$F=E-TS$ et $\Delta E=W+Q$.

$\Delta F =W+Q - T\Delta S\leq W$

$W$ : travail reçu, $W_\mathrm{fourni}=-W$.
$$W_\mathrm{fourni} \leq -\Delta F$$
l'énergie libre donne une borne sup au travail fourni par une machine thermique.

## Question 9 (Nathan *Y*) : interprétation de la longueur thermique

si on discute la validité de l'approx de MB.
$$
Z_N \sim e^{N} \left(\frac{V}{N\lambda_T^3}\right)^N
=e^{N} \left(\frac{1}{n\lambda_T^3}\right)^N
\gg1
$$
si
$$
n\lambda_T^3 \lesssim 1
\hspace{0.5cm}\Leftrightarrow\hspace{0.5cm}
\lambda_T \lesssim n^{-1/3}
$$

* si les atomes sont distants de $n^{-1/3}\gtrsim \lambda_T$ $\Rightarrow$ MB (approx semiclass) est valable
* si les atomes sont plus proches que $\lambda_T$, MB n'est plus valable, les effets du postulat de sym. de la MQ sont importants.

# Cours de physique statistique - séance de questions du 8 avril 2020

## Question 10 (Clément Boulay) : variance de l'énergie

rappel : les cumulants du nombre de particules
$$
\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial\mu}\ln \Xi = \overline{N}^g
$$
$$
\left(\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial\mu}\right)^2\ln \Xi = \mathrm{Var}_g(N)
$$

Energie:
$$
\overline{E}^g =
\left(-\frac{\partial}{\partial\beta}+\frac{\mu}{\beta}\frac{\partial}{\partial\mu}\right)
\ln \Xi
$$
l'opérateur différentiel fait "descendre" $E_\ell$ dans la somme
$\Xi=\sum_\ell e^{-\beta(E_\ell-\mu N_\ell)}$.
Sur le même principe que la dérivation de l'expression de $\mathrm{Var}_g(N)$, on obtient
$$
\mathrm{Var}_g(E)
=\left(-\frac{\partial}{\partial\beta}+\frac{\mu}{\beta}\frac{\partial}{\partial\mu}\right)^2
\ln \Xi
$$

## Question 11 (Nathan Roubinowitz) : Equilibre pour la thermodynamique du rayonnement

ATTENTION: le cours (de cette année) porte sur l'étude des systèmes *à l'équilibre macroscopique*

* Les différents ensembles (les différentes distributions) microcanonique, canonique, etc décrivent les probabilités d'occupation des microétats lorsque le système est à l'équilibre
* Pour les relâchements de contraintes: on a décrit l'état initial, l'état final, mais pas ce qui se passe entre les deux (i.e. pas la dynamique hors équilibre) $\Rightarrow$ il faudrait une "physique statistique hors de l'équilibre" ($\to$ M2)

Subtilité avec le rayonnement (pour avoir un équilibre) :
en général, **il faut des interactions** (cela assure qu'il y a des échanges d'énergie) **pour atteindre un équilibre**.

La subtilité : les photons sont sans interaction.
Le pb du corps noir est plutôt celui de la matière à l'équilibre thermodynamique avec la lumière.

**Conseil, pour aller plus loin:**
Si ce point vous intéresse, je conseille de se pencher sur l'exercice 7.3 (cf. sujets de TD, http://lptms.u-psud.fr/christophe_texier/enseignements/enseignement-en-licence/l3-physique-statistique/). Je l'avais écrit en m'inspirant du célèbre article d'Einstein sur l'émission spontanée. Il décrit simplement l'équilibre lumière/matière et montre que la loi de Planck est compatible avec l'ensemble canonique pour la matière à condition que l'émission soit légèrement plus probable que l'absorption.

## Question 12 (Nathan Roubinowitz) : sur le champ em et les choix de jauge

* champ em $\to$ champ de nature vectorielle : $A^\mu=(A^0,\vec A)$
* Invariance de jauge : différents configurations du champ caractérisent la même configuration physique

champs électrique et magnétique sont invariants sous la transformation
$$
A^\mu\to A^\mu+ \partial^\mu\chi
$$
$\Rightarrow$ il y a une certaine liberté

J'ai choisi la jauge :
$$A^0=0
\mbox{ et }
\mathrm{div} \vec A =0$$
(Jauge de Coulomb ou de radiation ?)

* Le potentiel vecteur $\vec A$ : trois composantes mais seulement deux indépendantes
à chaque $\vec k$ $\to$ deux états de polarisation (linéaire ou circulaire)

le photon : particule de masse nulle et de spin $S=1$ ($\leftrightarrow$ nature vectorielle du champ em).
masse nulle : il ne peut se trouver que dans deux états de spin : $|1,1\rangle$ ou $|1,-1\rangle$ $\leftrightarrow$ deux états d'hélicité

Retenir : il y a un lien entre
* invariance de jauge
* masse nulle du photon
* existence de deux états de polarisation/hélicité (et non trois)

## Question 13 (Thibault Fredon) : sur l'énergie moyenne de l'oscillateur harmonique

$\to$ cf. question 5

Pourquoi ai-je parlé de quantification des champs :
* vibration des solides
* champ em

dans les deux cas l'énergie est celle d'oscillateurs harmoniques.
C'est le même schéma lorsqu'on quantifie un champ libre en théorie quantique des champs (on décompose le champ sur les modes propres puis on quantifie les modes propres, i.e. des oscillateurs harmoniques). Vous verrez cela plus tard.

## Question 14 (Thibault Fredon) : statistiques quantiques

Distributions de Bose-Einstein et Fermi-Dirac ?
Vous avez déjà les outils pour comprendre cela:
* la bonne reformulation en MQ: caractériser les états quantiques de particules indépendantes en termes de "facteurs d'occupation"
* il faut l'ensemble grand canonique

Le fond du problème : lié au traitement rigoureux des effets du postulat de sym de la MQ (des "corrélations quantiques")

$\to$ déplacé en M1

$\to$ cf. annexe du résumé de cours

Néanmoins : on a vu apparaître la "distribution de Bose-Einstein" :
sur les oscillateurs harmoniques. Pourquoi ?
Si l'on interprète les excitations des oscillateurs comme des "particules" (phonons ou photons), alors le nb moyen de ces particules est donné par la "distribution de Bose-Einstein"

# Cours de physique statistique - séance de questions du 22 avril 2020

## Question 15 (David Pérez) : origine des ondes dans les solides

Exercice à faire:
étudier la chaîne de ressorts
$$
H = \sum_{i}\left( \frac{p_i^2}{2m} + \frac12m\omega_0^2(x_i-x_{i-1})^2\right)
$$

2 stratégies:

1) (esprit du cours de méca classique) écrire les eqs. du mvt $\Rightarrow$ eqs. couplées
* On cherche les modes propres, i.e. solution de la forme $x_n(t)=\tilde{x}_n\,e^{-i\omega t}$ (tous les atomes vibrant à la même fréquence)
* donne un système d'éqs. linéaires couplées pour les $\tilde{x}_n$
* on découple ces éqs. en cherchant des solutions de type onde plane dans l'espace $\tilde{x}_n\propto e^{ikn}$
Résultat: on trouve la relation de dispersion
$$
\omega(k) = 2\omega_0\,|\sin(k/2)|
$$
avec $k\in[-\pi,\pi]$ (la zone de Brillouin)
Cela veut dire:
les solutions telles que tous les atomes vibrent à la même fréquences, sont de la forme
$$
x_n(t) = c\, e^{ikn - i\omega(k)t}
$$
cette solution décrit un *mode collectif* où tous les atomes sont en phase.
J'ai identifié les modes propres.

$x_n(t)$ : déplacement de l'atome $n$, en $X=na$, si $a$ est la distance inter-atomique.

* Rq: $k\in[-\pi,\pi]$ : les ondes ont un vecteur d'onde max, ou une longueur d'onde minimale : $\lambda_\mathrm{min}=2\pi a/k_\mathrm{max}=2a$

2) 2ème formulation (celle que j'ai adoptée)
$\to$ rester au niveau de l'hamiltonien (forme quadratique $\to$ diagonalisable)
Si on recombine les coordonnées
$$
x_n = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k q_k \,e^{ikn}
$$
nb $N$ d'atomes fini $\to$ vecteur d'onde quantifié, $k=2\pi m/N$ avec $m\in\mathbb{Z}$ (c.a.l. périodiques)
On peut vérifier (Parseval-Plancherel "discret") que
$$
E_p = \sum_{i}\frac12m\omega_0^2(x_i-x_{i-1})^2
=\sum_k \frac12m\,\omega(k)^2\,|q_k|^2
$$
(les fréquences trouvées au dessus)
$E_p$ a donc la forme de l'énergie potentiel d'oscillateurs harmoniques découplés.

Autre manière de voir les choses:
$$
E_p= \frac12m\omega_0^2
\begin{pmatrix} \cdots & x_n & \cdots\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
& \ddots & \ddots & & & & \\
\cdots &0 & -1 & 2 & -1 & 0& \cdots\\
& & & \ddots & \ddots & & \\
& & & & & & \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \vdots \\ x_n \\ \vdots\end{pmatrix}
$$
Les v.p. de la matrice sont les $\frac12m\omega(k)^2$.
En effet, les v.p. de la matrice sont obtenues en écrivant :
$$
\omega_0^2\,(-
\tilde x_{n+1} + 2 \tilde x_n - x_{n-1}
)= \omega^2 \tilde x_n
$$
on trouve bien $\omega^2=2(1-\cos k)=4\sin^2(k/2)$ en posant $\tilde x_n\propto e^{ik}$

En cours:
je n'ai pas cherché à déterminer en détail les fréquences propres $\omega(k)$, qui dépendent des détails microscopiques (notamment de la structure cristalline en 3D), mais j'ai utilisé des arguments généraux pour décrire la manière dont ces fréquences sont distribuées (et le comportement linéaire générique $\omega(k)\propto|k|$ pour $k\to0$)

## Question 16 (Thibault Fredon) : Heisenberg $\to$ Ising

L'esprit du modèle d'Ising:
construire modèle "jouet" pour comprendre la compétition entre interaction favorisant l'alignement des moments (phase ordonnée), et entropie responsable de la phase désordonnée.

Il peut être justifié dans des conditions très particulières, mais l'essentiel est surtout de comprendre qu'il peut y avoir coopération entre spins pour s'aligner, sous une température critique finie.

## Question 17 (Thibault Fredon) : Quelle est la relation entre la transition Para/Ferro et la transition Liq/Gaz ?

A. mapping d'Ising sur le pb du gaz sur réseau (exo 9.5 du TD).
Modèle du gaz sur réseau:
* des atomes dans des cases
* en présence d'une interaction répulsive (1 atome par case), sur chaque case, il y a une variable binaire : $n_i=0$ atome ou $n_i=1$ atome, comme dans Ising

Le lien entre les deux modèles: $n_i=(\sigma_i+1)/2$

Paramètre d'ordre (qui permet de distinguer les phases)
* Ising : aimantation moyennne par site $m=\overline{\sigma_i}$
* Gaz sur réseau: densité moyenne $n=\overline{n_i}$

## Question 18 (Blandine Forsans) : Sur l'approximation de champ moyen

> Pourquoi le modèle du champ moyen est-il particulièrement adapté aux composés avec des interactions longue portée ?

Rq sur la validité de l'approx de champ moyen. J'ai obtenu la forme
$$
H_\mathrm{cm} =
\mathrm{cste} - \overline{B}^{(loc)} \sum_i\sigma_i
$$
où $\overline{B}^{(loc)}=Jqm+B$ est le "champ local moyen".

Rappelons la définition du champ local:
$$
B_i^{(loc)} = -\frac{\partial H_\mathrm{Ising}}{\partial \sigma_i}
= B+ J\sum_{j\in\mathrm{voisin}(i)}\sigma_j
$$

En remplaçant le champ local par sa moyenne: je suppose que la dynamique du spin en $i$ est plus sensible à la moyenne du champ, plus qu'à ses fluctuations.
* La moyenne $\propto q$
* Les fluctuations $\propto \sqrt{q}$

Cela suggère que plus un spins a de voisins, mieux est justifiée l'approximation de champ moyen.

Cela nous conduit à la question:
* est-ce vrai asymptotiquement (pour un nombre $q\to\infty$ de voisin) ?
* existe-t-il un $q$ critique au delà duquel cette approx est justifiée ?
Réponse:
concernant les propriétés *universelles* (exposants critiques,...), il existe une dimension critique supérieure ($d_\mathrm{sup}=4$ pour la classe d'universalité d'Ising) au dessus de laquelle l'approximation du champ moyen donne les résultats (universels) exacts.

## Question 19 (David Pérez) : jauge

il me semble que $V=0$ et $\mathrm{div}\vec A=0$ est la "jauge de radiation"
$\Rightarrow$ il n'y a plus de liberté

## Question 20 (David Pérez) : densité d'états/de modes et forme du volume

L'hypothèse de forme cubique du volume est-elle importante ?

NON: on peut montrer que le terme de Weyl de la densité de modes (ou en MQ, de la densité d'états), i.e. le terme dominant proportionnel au volume du système, est indépendant de la forme du domaine.

## Question 21 (David Pérez) : argument heuristique pour $C_V^{solide}\sim T^3$

Reprenons l'argument:
* un mode gelé ($\omega\gtrsim kT/\hbar$) : ne participe pas
* un mode excité ($\omega\lesssim kT/\hbar$) : a une énergie $\simeq kT$

$$
E_\mathrm{excitation}
\simeq (\mbox{nb de modes excités})\times kT
\sim kT\int_0^{kT/\hbar} d\omega\,\underbrace{\rho(\omega)}_{\propto \omega^2}
\sim T\times T^3 = T^4
$$

Autrement dit, j'ai remplacé
$$
\hbar\omega\, \overline{n}_\omega
\simeq
\begin{cases}
0 & \mbox{ si } \omega\gtrsim kT/\hbar
\\
kT & \mbox{ si } \omega\lesssim kT/\hbar
\end{cases}
$$

# Questions supplémentaires

## Question 22 (Léonie Ringuedé): entropie du modèle d'Ising à l'approximation de champ moyen

Rappel:
* équation auto-cohérente donnant $m_*$:
$$
m_* = \tanh(\beta(T_cm_*+B))
$$
* l'énergie libre (attention, erreur de facteur 2 dans le cours, comme l'a fait remarqué Léonie):
$$
f(T,B) = \frac{T_c}{2}m_*^2 +\frac{T}{2}\,\ln\left( \frac{1-m_*^2}{4}\right)
$$
* l'énergie moyenne (toujours par spin):
$$
\overline{\varepsilon}
= -\frac{T_c}{2}\, m_*^2 - B\,m_*
$$

L'entropie est donc:
\begin{align}
s=\frac{\overline{\varepsilon}-f}{T}
= -\frac{T_cm_*+B}{T}m_* -\frac{1}{2}\,\ln\left( \frac{1-m_*^2}{4}\right)
\end{align}
Pour trouver une belle expression, on utilise l'équation autocohérente sous la forme $\frac{T_cm_*+B}{T}=\mathrm{argth}(m_*)$ et
$$
\mathrm{argth}(m_*) = \frac12\ln\left(\frac{1+m_*}{1-m_*}\right)
$$
Finalement on obtient la jolie expression
\begin{equation}
\boxed{
s(T,B)
= - \frac{1-m_*}{2}\,\ln\left(\frac{1-m_*}{2}\right)
-\frac{1+m_*}{2}\,\ln\left(\frac{1+m_*}{2}\right)
}
\end{equation}

i.e. précisément l'expression de l'entropie obtenue pour un spin $1/2$ isolé en champ magnétique (exos du TD4 et du TD5).

## Question 23 (David Pérez): une estimation de la densité de modes de vibration dans un solide

Je reformule la question de David:
> j'estime $\rho(\omega)\sim 1/\delta\omega$ avec $\delta\omega\sim\omega_\mathrm{max}/(3N)$ (largeur de bande divisée par le nombre de modes).
Si j'écris $\delta k\sim\delta\omega/c_s$, cet ordre de grandeur n'est pas compatible avec $\delta k\sim1/L$.

Réponse:
David a oublié l'effet de la dimensionalité.
Une estimation très grossière des écarts entre modes, en fréquence et en vecteur d'onde est
$$
3N \sim \frac{\omega_\mathrm{max}}{\delta\omega} \sim \left(\frac{k_\mathrm{max}}{\delta k}\right)^3
$$
avec
$\omega_\mathrm{max}\sim k_\mathrm{max}c_s$ et $\delta k\sim1/L$ (cette denière équation vient de la quantification dans une boîte de taille $L$).
En particulier, cela donne
$$k_\mathrm{max}\sim n^{1/3}$$
où $n$ est la densité d'atomes.

Vous pourrez le vérifier sur l'aluminium.
* En cours, j'ai montré la courbe de densité de modes, qui donne
$\omega_\mathrm{max}\simeq6\times10^{13}\:\mathrm{s}^{-1}$.
* la vitesse du son est $c_s\simeq6300\:\mathrm{m/s}$
* $k_\mathrm{max}\sim \omega_\mathrm{max}/c_s\sim10^{10}\:\mathrm{m}^{-1}$ est bien compatible avec la densité atomique dans l'aluminium
* Masse volumique $2.7\:\mathrm{g/cm}^{3}$, soit $n\simeq60\:\mathrm{nm}^{-3}$.

## Question 24 (David Pérez): qu'est-ce qui justifie de se placer dans l'ensemble canonique pour la thermodynamique du rayonnement ?

1) je me suis placé dans l'**ensemble canonique** car j'ai pris le point de vue que je connais l'Hamiltonien de l'électromagnétisme.
$$
H_\mathrm{em} =\int_V d^3\vec{r}\,
\left[
\frac{\varepsilon_0}{2} \,\vec{\mathcal{E}}\,^2
+
\frac{1}{2\mu_0} \,\vec{\mathcal{B}}\,^2
\right]
$$
J'ai montré qu'elle s'exprime comme une énergie d'oscillateurs harmoniques:
Donc je peux bien calculer la fonction de partition canonique, c'est tellement facile!
$$
Z_\mathrm{em} = \sum_{\mathrm{config.\ champ\ em}}
e^{-\beta H_\mathrm{em}}
=\prod_{\mathrm{modes}} z_\mathrm{mode}
\hspace{0.25cm}\mbox{où }
z_\mathrm{mode} = \frac1{2\sinh(\beta\hbar\omega_\mathrm{mode}/2)}
$$
En outre, je suis bien content car
* je déduis $\mu=0$.
* cela garde la trace de l'énergie du "vide"
$$
E_0 = \sum_{\mathrm{modes}} \frac{\hbar\omega_\mathrm{mode}}{2}
$$
dont l'existence conduit à l'effet Casimir.

2) Alternative (le traitement fait dans la plupart des livres) :
* prendre le point de vue des photons, des particules soumises au postulat de symétrisation de la MQ.
* Utiliser les résultats sur l'**ensemble grand canonique** pour les particules identiques sans interaction en imposant $\mu=0$.
* cf. cours de M1, l'année prochaine.

## Question 25 (David Pérez): sur $f_\mathrm{cm}$

> Q: "la dérivée partielle intervient pour la "vraie" énergie libre, c'est à dire celle qui ne dépend que de T et B. En l’occurrence, il s'agit d'une pseudo énergie libre qui dépend de T, B et m. Si j'écris que m dépend de T et B: m(T,B), j'ai alors: f(m,T,B)=f(m(T,B),T,B)=f(T,B). C'est là que je prend la dérivée partielle par rapport à B, mais cette dérivée implique la dérivée de m par rapport à B... "

Rép: non, c'est la différence entre une \underline{dérivée totale} et une \underline{dérivée partielle}.

Soyons précis (mais c'est un peu lourd comme notation...) : l'hamiltonien dépend des variables dynamiques (les spins) et de paramètres, le champ et le paramètre $m$
$$
H_\mathrm{cm}(\{\sigma_i\};B,m) = \sum_{i=1}^N H^{(i)}
\hspace{0.5cm}\mbox{où}\hspace{0.5cm}
H^{(i)} = \frac{Jq}{2}m^2 -
\underbrace{(B+Jqm)}_{\overline{B}^{\mathrm{(loc)}}} \sigma_i
$$
L'énergie libre "champ moyen" sera donc fonction $f_\mathrm{cm}(T,B;m)$.

Parce qu'il y a un terme $-B\sum_i\sigma_i$ dans l'hamiltonien (le "vrai", $H_\mathrm{Ising}$ ou celui approché, $H_\mathrm{cm}$), on a la propriété très générale
$$
m= \overline{\sigma_i} = -\frac{\partial f(T,B)}{\partial B}
$$
Dérivée partielle = dérivée seulement par rapport au deuxième argument.

Application
$$
m = -\frac{\partial f_\mathrm{cm}(T,B;m)}{\partial B}
$$
qui est l'équation auto-cohérente qui donne une solution $m=m_*(T,B)$.

David, attention à ne pas confondre la dérivée partielle avec la dérivée totale
$$
\frac{d f_\mathrm{cm}(T,B;m_*(T,B))}{d B}
= \frac{\partial f_\mathrm{cm}}{\partial B} + \frac{\partial f_\mathrm{cm}}{\partial m}\,\frac{\partial m_*}{\partial B}
$$

## Question 26 (David Pérez): concavité de l'entropie

> Je n'ai jamais compris pourquoi le fait que l'entropie soit une fonction concave implique que l'équilibre atteint dans un relâchement de contrainte est stable. Je n'ai de notion de stabilité qu'en mécanique où on dit qu'un équilibre est stable si une perturbation de cette équilibre implique dans le pire des cas une oscillation périodique du système autour de sa position d'équilibre. Mais qu'en est-il pour un relâchement de contraintes où le temps n'intervient pas?

Nous étudions la physique statistique des systèmes à l'équilibre. On n'a pas étudié de dynamique. Dans les problèmes de relâchement(s) de contrainte(s), on a discuté l'état initial et l'état final, sans décrire la dynamique, mais le système a bien dû évoluer entre les deux (comme en thermo). C'est d'ailleurs comme cela qu'on a pu parler d'irreversibilité.

Pour revenir à ta question précise: il y a plusieurs raisons:
1) Dans l'étude du contact thermique, on a vu que la distribution de la variable interne était exp(entropie réduite). L'entropie réduite étant la somme de deux entropies, l'existence d'un équilibre, i.e. d'un point où la probabilité est max, repose sur $\partial^2S^*/\partial E^2<0$, ou que $C_V>0$
2) Un argument de thermodynamique (donc qui s'applique aussi): imaginons que l'entropie ne soit pas concave mais ait une partie convexe:
Comme on a vu que le postulat fondamental est équivalent à un "principe d'entropie maximale", le système pourrait trouve un "chemin" pour augmenter son entropie: exemple sur la figure (où le paramètre peut être la densité, le volume,...). Un point caractérisant un état thermodynamique du système, celui-ci pourrait se mettre dans un état qui serait un "mélange de A et B", et suivre la ligne droite. Le système est alors "diphasique". C'est exactement ce qui se passe pour les transitions de phases (cette discussion est standard, mais plutôt sur l'énergie libre, par exemple dans le chapitre 10 de notre livre)
3) Remarque : cette discussion repose sur l'extensivité (l'additivité de l'entropie). Pour les systèmes avec interaction à longue portée, la discussion ne s'applique pas (les $C_V$ négatives ne sont pas interdites par exemples).