# 向量、長度、角度

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##### Exercise 7
複數向量的集合記作 $\mathbb{C}^n$。
若 ${\bf x} = (x_1,\ldots,x_n)$ 為複數向量﹐
其**長度**定義為 $\|{\bf x}\| = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots |x_n|^2}$。
若 ${\bf x} = (x_1,\ldots,x_n)$ 及 ${\bf y} = (y_1,\ldots,y_n)$ 為兩複數向量﹐
其**內積**定義為 $\langle{\bf x},{\bf y}\rangle = x_1\overline{y_1} + \cdots + x_n\overline{y_n}$。

##### Exercise 7(a)
證明複數向量有以下性質：
1. $\|{\bf x}\| \geq 0$ and the equality holds if and only if ${\bf x} = {\bf 0}$.
2. $\|k{\bf x}\| = |k|\cdot\|{\bf x}\|$
3. $\|{\bf x}\| + \|{\bf y}\| \geq \|{\bf x} - {\bf y}\|$ (triangle inequality).
4. $\|{\bf x}\|^2 = \langle{\bf x},{\bf x}\rangle$.
5. $\langle{\bf x}_1 + {\bf x}_2,{\bf y}\rangle = \langle{\bf x}_1,{\bf y}\rangle + \langle{\bf x}_2,{\bf y}\rangle$.
6. $\langle k{\bf x},{\bf y}\rangle = k\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$ and $\langle {\bf x},k{\bf y}\rangle = \overline{k}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$.
7. $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle = \overline{\langle {\bf y},{\bf x}\rangle}$.
8. $|\langle {\bf x},{\bf y}\rangle| \leq \|{\bf x}\|\cdot \|{\bf y}\|$ (Cauchy--Schwarz inequality).

在通篇證明裡，我們令 $\bx = (x_1,\ldots,x_n)$、$\by = (y_1,\ldots,y_n)$。

提示：
可以先證明 $\|{\bf x}\pm{\bf y}\|^2 = \|{\bf x}\|^2 \pm \operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle+ \|{\bf y}\|^2$。
我們總是可以找到一個好的 $e^{i\theta}$
使得 $\operatorname{Re}\langle e^{i\theta}{\bf x},{\bf y}\rangle = |\langle{\bf x},{\bf y}\rangle|$。

**[由廖緯程同學提供]**
在通篇證明裡，我們令 $\bx = (x_1,\ldots,x_n)$、$\by = (y_1,\ldots,y_n)$。

我們先考慮提示裡的第一部份：
證明$\|{\bf x}\pm{\bf y}\|^2 = \|{\bf x}\|^2 \pm \operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle+ \|{\bf y}\|^2$。

先證明 $|z_1\pm z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2\pm2\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})$。
令 $z_1,z_2\in\mathbb{C}，$其中 $z_1=a_1+b_1i，z_2=a_2+b_2i，a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}$。
則

$$
\begin{aligned}
|z_1\pm z_2|^2 &= |(a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)i|^2\\
&=(a_1^2+b_1^2)+(a_2^2+b_2^2)\pm 2(a_1a_2+b_1b_2)\\
&=|z_1|^2+|z_2|^2\pm 2\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})\\
\end{aligned}
$$

再證明 $\|{\bf x}\pm{\bf y}\|^2 = \|{\bf x}\|^2 \pm \operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle+ \|{\bf y}\|^2$。
令 $\bx,\by\in\mathbb{C}^n$，我們可以假設 $\bx = (x_1,\ldots, x_n)$ 且 $\by = (y_1,\ldots, y_n)$，其中對於 $i = 1,\ldots,n$ 來說 $x_i,y_i\in\mathbb{C}$。
則

$$
\begin{aligned}
\|{\bf x}\pm {\bf y}\|^2
&=\|(x_1\pm y_1)+\cdots+(x_n\pm y_n)\|^2\\
&=\sqrt{|x_1\pm y_1|^2+\cdots+|x_n\pm y_n|^2}^2\\
&=(|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2)+(|y_1|^2+\cdots+|y_n|^2)\pm 2\operatorname{Re}(x_1{\overline y_1}+\cdots x_n{\overline y_n})\\
&=\|{\bf x}\|^2\pm 2\operatorname{Re}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle+\|{\bf y}\|^2,
\end{aligned}
$$

所以 $\|{\bf x}\pm{\bf y}\|^2 = \|{\bf x}\|^2 \pm \operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle+ \|{\bf y}\|^2$。

**[由廖緯程同學提供]**
接下來我們考慮提示的第二部份：
證明存在一個 $e^{i\theta}$
使得 $\operatorname{Re}\langle e^{i\theta}{\bf x},{\bf y}\rangle = |\langle{\bf x},{\bf y}\rangle|$。

我們首先觀察到 $\operatorname{Re}\langle e^{i\theta}{\bf x},{\bf y}\rangle=\operatorname{Re}(e^{i\theta}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle)$。
令 $z=\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=a+bi=|z|(\cos\eta+i\sin\eta)$，其中 $\cos\eta=\frac{a}{|z|}$ 而 $\sin\eta=\frac{b}{|z|}$。
則 $|\langle{\bf x},{\bf y}\rangle |$ 代表 $z$ 在複數平面上的長度，
而 $e^{i\theta}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$代表將 $z$ 在複數平面上逆時針旋轉 $\theta$ 後的複數。
而 $\operatorname{Re}(e^{i\theta}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle)$ 代表 $e^{i\theta}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$ 在實數軸上的投影長。

所以我們只要令 $\theta+\eta=2n\pi，$ 就可以得 $\operatorname{Re}\langle e^{i\theta}{\bf x},{\bf y}\rangle = |\langle{\bf x},{\bf y}\rangle|$。

**[由廖緯程同學提供]**
1. **證明** $\|{\bf x}\| \geq 0$ 且 ${\bf x} = {\bf 0}\iff \|{\bf x}\|=0$。

因為對於所有 $k = 1,\ldots, n$ 都有 $|x_k|^2\geq 0$，得 $\|{\bf x}\|=\sqrt{{|x_1|}^2+\cdots+{|x_n|}^2}\geq 0$。

並且，若 ${\bf x}=0$ 則 $\|{\bf x}\|=\sqrt{|0|^2+\cdots+|0|^2}=0$。

若 $\|\bx\| = 0，$因為對於所有 $k = 1,\ldots, n$ 都有 $|x_k|^2\geq 0，$如果有任一個 $|x_k|^2>0，$會有 $\|\bx\|>0，$ 這與假設矛盾，所以所有的 $|x_k|^2=0，$即 ${\bf x} = {\bf 0}。$

所以 $\|{\bf x}\| \geq 0$ 且 ${\bf x} = {\bf 0}\iff \|{\bf x}\|=0$。

2. **證明** $\|k{\bf x}\| = |k|\cdot\|{\bf x}\|$。

因為
$$\begin{aligned}
\|k{\bf x}\|
&=\sqrt{|kx_1|^2+\cdots+|kx_n|^2}\\
&=\sqrt{|k|^2|x_1|^2+\cdots+|k|^2|x_n|^2}\\
&=|k|\sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2}\\
&=|k|\cdot\|{\bf x}\|,
\end{aligned}
$$

所以 $\|k{\bf x}\| = |k|\cdot\|{\bf x}\|$。

3. **證明** $\|{\bf x}\| + \|{\bf y}\| \geq \|{\bf x} - {\bf y}\|$。

根據柯西-施瓦茨不等式，我們有
$$
\|{\bf x}\|\cdot\|{\bf y}\|\geq|\langle{\bf x},{\bf y}\rangle|\geq|\operatorname{Re}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle|\geq -\operatorname{Re}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle.
$$
於是 $\|{\bf x}\|\cdot\|{\bf y}\|\geq-\operatorname{Re}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$。
同乘 $2$ 後，同加 $\|{\bf x}\|^2+\|{\bf y}\|^2$
得
$$
\|{\bf x}\|^2+2\|{\bf x}\|\cdot\|{\bf y}\|+\|{\bf y}\|^2\geq|{\bf x}\|^2-2\operatorname{Re}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle+\|{\bf y}\|^2,
$$
而此不等式等價於
$$
(\|{\bf x}\| + \|{\bf y}\|)^2 \geq \|{\bf x} - {\bf y}\|^2 \geq 0
$$
以及
$$
\|{\bf x}\| + \|{\bf y}\| \geq \|{\bf x} - {\bf y}\|.
$$

4. **證明** $\|{\bf x}\|^2 = \langle{\bf x},{\bf x}\rangle$。

直接展開
$$\begin{aligned}
\| {\bf x} \|^2 &= | x_1 |^2 + \cdots + |x_n|^2\\
&= x_1 \overline{x_1} + \cdots + x_n \overline{x_n}\\
&=\langle {\bf x} , {\bf x} \rangle.
\end{aligned}
$$
所以 $\|{\bf x}\|^2 = \langle{\bf x},{\bf x}\rangle$。

5. **證明** $\langle \bx_1 + \bx_2,{\bf y}\rangle = \langle \bx_1,{\bf y}\rangle + \langle \bx_2,{\bf y}\rangle$。

令 $\bx_1 = (x_{11},\ldots, x_{1n})$ 及 $\bx_2 = (x_{21}, \ldots, x_{2n})$。

直接展開
$$\begin{aligned}\langle \bx_1 + \bx_2 , {\bf y} \rangle
&=(x_{11} + x_{21}) \overline{y_1} + \cdots + (x_{1n} + x_{2n}) \overline{y_n}\\
&=(x_{11} \overline{y_1} + \cdots + x_{1n} \overline{y_n}) + (x_{21} \overline{y_1} + \cdots + x_{2n} \overline{y_n})\\
&=\langle \bx_1, {\bf y} \rangle + \langle \bx_2 , {\bf y} \rangle.\end{aligned}
$$
所以 $\langle{\bf x}_1 + {\bf x}_2,{\bf y}\rangle = \langle{\bf x}_1,{\bf y}\rangle + \langle{\bf x}_2,{\bf y}\rangle$。

6. **證明** $\langle k{\bf x},{\bf y}\rangle = k\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$ 且 $\langle {\bf x},k{\bf y}\rangle = \overline{k}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$。

直接展開
$$\begin{aligned}\langle k {\bf x} , {\bf y} \rangle
&= k x_1 \overline{y_1} + \cdots + k x_n \overline{y_n}\\
&= k (x_1 \overline{y_1} + \cdots + x_n \overline{y_n})\\
&= k \langle {\bf x} , {\bf y} \rangle,\end{aligned}
$$
再次展開
$$\begin{aligned}\langle {\bf x} , k{\bf y} \rangle&= x_1(\overline{ky_1}) + \cdots + x_n(\overline{ky_n})\\
&= x_1\overline{k}\overline{y_1} + \cdots + x_n\overline{k}\overline{y_n}\\
&=\overline{k}(x_1\overline{y_1}+\cdots+x_n\overline{y_n})\\
&=\overline{k}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle.\end{aligned}
$$
所以 $\langle k{\bf x},{\bf y}\rangle = k\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$ 且 $\langle {\bf x},k{\bf y}\rangle = \overline{k}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$。

7. **證明** $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle = \overline{\langle {\bf y},{\bf x}\rangle}$。

直接展開
$$\begin{aligned}
\overline{\langle {\bf y} , {\bf x} \rangle}&=\overline{(y_1\overline{x_1} + \cdots + y_n \overline{x_n})}\\
&=\overline{y_1 \overline{x_1}} + \cdots + \overline{y_n \overline{x_n}}\\
&= \overline{y_1} x_1 + \cdots + \overline{y_n} x_n\\
&= \langle {\bf x} , {\bf y} \rangle.\end{aligned}
$$
所以 $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle = \overline{\langle {\bf y},{\bf x}\rangle}$。

8. **證明** $|\langle {\bf x},{\bf y}\rangle| \leq \|{\bf x}\|\cdot \|{\bf y}\|$ (柯西-施瓦茨不等式)。

令 ${\bf z} = {\bf x} - \frac{\langle {\bf x} , {\bf y} \rangle}{\langle{\bf y} , {\bf y} \rangle} {\bf y}$。
則
$$\begin{aligned}\langle {\bf z} , {\bf y} \rangle&= \langle {\bf x} - \frac{\langle {\bf x} , {\bf y} \rangle}{\langle{\bf y} , {\bf y} \rangle} {\bf y} , {\bf y} \rangle\\
&= \langle {\bf x} , {\bf y} \rangle - \frac{\langle {\bf x} , {\bf y} \rangle}{\langle{\bf y} , {\bf y} \rangle} \langle {\bf y} , {\bf y} \rangle\\
&= 0.\end{aligned}
$$
所以 ${\bf z}$ 正交於 ${\bf y}$ 且 ${\bf x} = \frac{\langle {\bf x} , {\bf y} \rangle}{\langle{\bf y} , {\bf y} \rangle} {\bf y} + {\bf z}$。
再由 ${\bf z}$ 得
$$\begin{aligned}
\|{\bf x}\|^2&= \left|\frac{\langle {\bf x} , {\bf y} \rangle}{\langle{\bf y} , {\bf y} \rangle}\right|^2 \|{\bf y}\|^2 + \|{\bf z}\|^2\\
&= \frac{|\langle {\bf x} , {\bf y} \rangle|}{\|{\bf y} \|^2}^2 + \|{\bf z}\|^2\\
&\geq \frac{|\langle {\bf x} , {\bf y} \rangle|}{\|{\bf y} \|^2}^2\\
\end{aligned}$$
所以
$$\|{\bf x}\|^2 \geq \frac{|\langle {\bf x} , {\bf y} \rangle|}{\|{\bf y} \|^2}^2.
$$
而此不等式等價於
$$|\langle {\bf x} , {\bf y} \rangle|^2 \leq (\|{\bf x}\|\cdot \|{\bf y}\|)^2
$$
以及
$$
|\langle {\bf x},{\bf y}\rangle| \leq \|{\bf x}\|\cdot \|{\bf y}\|.
$$

##### Exercise 7(b)
若 ${\bf x},{\bf y}\in\mathbb{C}^n$。
**證明**

$$\frac{\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle}{\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|} =
\frac{\|{\bf x}\|^2 + \|{\bf y}\|^2 - \|{\bf x} - {\bf y}\|^2}{2\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|}.
$$

因此我們可以把兩複數向量的**夾角**定義為 $\theta$﹐
而這個 $\theta$ 要滿足 $\cos\theta = \frac{\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle}{\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|}$。

**[由廖緯程同學提供]**
直接展開
$$
\|{\bf x} - {\bf y}\|^2 = \|{\bf x}\|^2 - 2\operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle + \|{\bf y}\|^2.
$$
移項後得到
$$
2\operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle = \|{\bf x}\|^2 + \|{\bf y}\|^2 - \|{\bf x} - {\bf y}\|^2.
$$
將兩側同除 $2\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|$ 得到
$$
\frac{\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle}{\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|} =
\frac{\|{\bf x}\|^2 + \|{\bf y}\|^2 - \|{\bf x} - {\bf y}\|^2}{2\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|}.
$$

##### Exercise 7(c)
若 ${\bf x},{\bf y}\in\mathbb{C}^n$。
求 ${\bf y}$ 在 ${\bf x}$ 上的投影。

注意 $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$ 和 $\langle {\bf y},{\bf x}\rangle$ 不一樣喔！

**[由廖緯程同學提供]**
令 ${\bf w}$ 為 ${\bf y}$ 在 ${\bf x}$ 上的投影，且 ${\bf y} = {\bf w} + {\bf h}$ ， $\langle {\bf h},{\bf x}\rangle = 0$ ， ${\bf w} = k {\bf x}$。

自然地
$$
\begin{aligned}
\langle {\bf h},{\bf x}\rangle
&= \langle {\bf y} - {\bf w},{\bf x}\rangle\\
&= \langle {\bf y},{\bf x}\rangle - k \langle {\bf x},{\bf x}\rangle\\
&=0.
\end{aligned}
$$
所以 $k = \frac{\langle {\bf y},{\bf x}\rangle}{\langle {\bf x},{\bf x}\rangle}$。

因此 ${\bf y}$ 在 ${\bf x}$ 上的投影 ${\bf w} = \frac{\langle {\bf y},{\bf x}\rangle}{\langle {\bf x},{\bf x}\rangle} {\bf x}$。

<!--
##### Exercise 7
複數向量的集合記作 $\mathbb{C}^n$。
若 ${\bf x} = (x_1,\ldots,x_n)$ 為複數向量﹐
其**長度**定義為 $\|{\bf x}\| = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots |x_n|^2}$。
若 ${\bf x} = (x_1,\ldots,x_n)$ 及 ${\bf y} = (y_1,\ldots,y_n)$ 為兩複數向量﹐
其**內積**定義為 $\langle{\bf x},{\bf y}\rangle = x_1\overline{y_1} + \cdots + x_n\overline{y_n}$。

##### Exercise 7(a)
證明複數向量有以下性質：
1. $\|{\bf x}\| \geq 0$ and the equality holds if and only if ${\bf x} = {\bf 0}$.
2. $\|k{\bf x}\| = |k|\cdot\|{\bf x}\|$
4. $\|{\bf x}\| + \|{\bf y}\| \geq \|{\bf x} - {\bf y}\|$ (triangle inequality).
5. $\|{\bf x}\|^2 = \langle{\bf x},{\bf x}\rangle$.
6. $\langle{\bf x}_1 + {\bf x}_2,{\bf y}\rangle = \langle{\bf x}_1,{\bf y}\rangle + \langle{\bf x}_2,{\bf y}\rangle$.
7. $\langle k{\bf x},{\bf y}\rangle = k\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$ and $\langle {\bf x},k{\bf y}\rangle = \overline{k}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$.
8. $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle = \overline{\langle {\bf y},{\bf x}\rangle}$.
9. $|\langle {\bf x},{\bf y}\rangle| \leq \|{\bf x}\|\cdot \|{\bf y}\|$ (Cauchy--Schwarz inequality).

提示：
可以先證明 $\|{\bf x}\pm{\bf y}\|^2 = \|{\bf x}\|^2 \pm \operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle+ \|{\bf y}\|^2$。
我們總是可以找到一個好的 $e^{i\theta}$
使得 $\operatorname{Re}\langle e^{i\theta}{\bf x},{\bf y}\rangle = |\langle{\bf x},{\bf y}\rangle|$。

:::warning
- [ ] [S01](https://sagelabtw.github.io/LA-Tea/style.html)
- [ ] 因果關係講清楚
:::

(0)
證明$\|{\bf x}\pm{\bf y}\|^2 = \|{\bf x}\|^2 \pm \operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle+ \|{\bf y}\|^2$

由定義知：
$$ \|{\bf x}\pm{\bf y}\|^2 = |x_1\pm y_1|^2+...+|x_n\pm y_n|^2$$
再將複數視為二維向量將前式展開得到：
$$\|x_1\|^2+ \|y_1\|^2\pm 2\langle x_1, y_1\rangle +...+ \| x_n\|^2+ \| y_n\|^2\pm 2\langle x_n, y_n\rangle $$

整理後可以得出
$$\|{\bf x}\|^2+ \|{\bf y}\|^2\pm 2\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}\langle {\bf x_k},{\bf y_k}\rangle $$
接著我們再處理 sigma 的部份， 我們得到：

$$2\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}\langle {\bf x_k},{\bf y_k}\rangle=2
\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}[\operatorname{Re}({\bf x_k})+\operatorname{Re}({\bf y_k})+\operatorname{Im}({\bf x_k})+\operatorname{Im}({\bf y_k})]$$
接著處理 $\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$ ：
$$\langle{\bf x},{\bf y}\rangle = x_1\overline{y_1} + \cdots + x_n\overline{y_n}=\displaystyle\sum_{k =1}^{n}[\operatorname{Re}({\bf x_k})\operatorname{Re}({\bf y_k})+\operatorname{Im}({\bf x_k})\operatorname{Im}({\bf y_k})+\operatorname{Re}({\bf x_k})\operatorname{Im}({\bf y_k})+\operatorname{Re}({\bf y_k})\operatorname{Im}({\bf x_k})]$$

由於我們只需要實數部份，整理後發現：

$$\operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle=\displaystyle\sum_{k =1}^{n}[\operatorname{Re}({\bf x_k})\operatorname{Re}({\bf y_k})+\operatorname{Im}({\bf x_k})\operatorname{Im}({\bf y_k})]$$
故
$$\|{\bf x}\pm{\bf y}\|^2 = \|{\bf x}\|^2 \pm \operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle+ \|{\bf y}\|^2$$

:::warning
- [ ] $\|\bx'\|$ 是純量怎麼會在 $\mathbb{C}^n$
- [ ] $\bx'$ 和 $\bx$ 的關係是？
- [ ] 中英雜夾
:::

1\.
When $\|{\bf x}'\|$屬於$\mathbb{C}^n$
$|{\bf x}'| \geq 0$ if and only if ${\bf x}'$=0 then $\|{\bf x}\| = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots |x_n|^2}\geq 0$ and when $\|{\bf x}\| = 0$
$\|{\bf x}\|^2 = 0$
${|x_1|^2 + \cdots |x_n|^2}= 0$
故 $\|{\bf x}\| \geq 0$ and the equality holds if and only if ${\bf x} = {\bf 0}$.

:::warning
- [ ] 純量 $k$ 不用粗體
:::

2\.
$\|{\bf kx}\|^2$=$\langle {\bf kx},{\bf kx}\rangle$=$k\overline{k}$$\langle {\bf x},{\bf x}\rangle$= $|{\bf k}|^2\|{\bf x}\|^2$ 故 $\|k{\bf x}\| = |k|\cdot\|{\bf x}\|$.

:::warning
- [ ] 這只證明 $\mathbb{C}^2$ 的向量？
- [ ] 那個"故"我看不太出為什麼
- [ ] 條件是 $\operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle\leq \|{\bf x}\|\|{\bf y}\|$ 怎麼變成 $-\operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle\leq \|{\bf x}\|\|{\bf y}\|$ 了
:::

3\.
設 ${\bf x} = (a_1+b_1i,a_2+b_2i)$ , ${\bf y} = (c_1+d_1i,c_2+d_2i)$
$\operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$ = $(a_1c_1+b_1d_1+a_2c_1+b_2d_2)$
$\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|$=$\sqrt{(|a_1+b_1i|^2 + |a_2+b_2i|^2) (|c_1+d_1i|^2 + |c_2+d_2i|^2)}$ = $\sqrt{({a_1}^2+{b_1}^2 + {a_2}^2+{b_2}^2) ({c_1}^2+{d_1}^2 + {c_2}^2+{d_2}^2)}$
故$\operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle\leq \|{\bf x}\|\|{\bf y}\|$
$(\|{\bf x}\| + \|{\bf y}\|)^2$ = $\|{\bf x}\|^2 + \|{\bf y}\|^2+2\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|$
$\|{\bf x}-{\bf y}\|^2 = \|{\bf x}\|^2 - \operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle+ \|{\bf y}\|^2$
$\|{\bf x}\|^2 - \operatorname{Re}\langle {\bf x},{\bf y}\rangle+ \|{\bf y}\|^2 \leq \|{\bf x}\|^2 + \|{\bf y}\|^2+2\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|$
所以 $\|{\bf x}\| + \|{\bf y}\| \geq \|{\bf x} - {\bf y}\|$

:::warning
- [ ] $\bx_1$ 和 $x_1$ 差在哪？
- [ ] 應該 $|x_1|^2 = x_1\overline{x_1}$ 就可以接起來了，不用用到實部虛部什麼的
:::

4\.
$\|{\bf x}\|^2 = |{\bf x_1}|^2+ |{\bf x_2}|^2+... |{\bf x_n}|^2$=$\operatorname{Re}({\bf x_1})^2$+$\operatorname{Im}({\bf x_1})^2$+... + $\operatorname{Re}({\bf x_n})^2+\operatorname{Im}({\bf x_n})^2$
$\langle {\bf x},{\bf x}\rangle =\langle{\bf x},{\bf y}\rangle = x_1\overline{x_1} + \cdots + x_n\overline{x_n}$=$\operatorname{Re}({\bf x_1})^2$+$\operatorname{Im}({\bf x_1})^2$+... + $\operatorname{Re}({\bf x_n})^2+\operatorname{Im}({\bf x_n})^2$
故 $\|{\bf x}\|^2 = \langle{\bf x},{\bf x}\rangle$.

:::warning
- [ ] 純量不要粗體
- [ ] 不要一直跳開數學模式
:::

5\.
$\langle{\bf x}_1 + {\bf x}_2,{\bf y}\rangle$=$({\bf x}_{11}+{\bf x}_{21})\overline {\bf y}_1$+...+$({\bf x}_{1n}+{\bf x}_{2n})\overline {\bf y}_n$=${\bf x}_{11}\overline {\bf y}_1$+${\bf x}_{21}\overline {\bf y}_1$+...=$\langle{\bf x}_1 ,{\bf y}\rangle$+$\langle {\bf x}_2,{\bf y}\rangle$

:::warning
- [ ] $k$ 是向量還純量？
:::

6\.
當${\bf k}\in\mathbb{R}^n$
$\langle k{\bf x},{\bf y}\rangle$=$(k\overline {\bf x}_1{\bf y}_1+...+k\overline {\bf x}_n{\bf y}_n)$=$k\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$=$(\overline {\bf x}_1k{\bf y}_1+...+\overline {\bf x}_nk{\bf y}_n)$=$\langle {\bf x},k{\bf y}\rangle$
當${\bf k}\in\mathbb{C}^n$
$\langle k{\bf x},{\bf y}\rangle$=$(\overline {\bf kx}_1{\bf y}_1+...+\overline {\bf kx}_n{\bf y}_n)$=$\overline{k} \langle {\bf x},{\bf y}\rangle$
故$\langle k{\bf x},{\bf y}\rangle = k\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$ and $\langle {\bf x},k{\bf y}\rangle = \overline{k}\langle{\bf x},{\bf y}\rangle$.

:::warning
- [ ] 內積裡的逗點用半型
- [ ] 寫成句子
:::

7\.
$\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$=$({\bf x_1}\overline {\bf y_1}+...+ {\bf x_n}\overline {\bf y_n})$=$(\overline{ {\bf y_1}\overline{\bf x_1}}+...+ \overline{{\bf y_n}\overline{\bf x_n}})$=$\overline{\langle {\bf y}，{\bf x}\rangle}$

:::warning
- [ ] 只適用於二維
- [ ] "故"前面的等式不對吧？
:::

8\.
設 ${\bf x} = (a_1+b_1i,a_2+b_2i)$ , ${\bf y} = (c_1+d_1i,c_2+d_2i)$
$\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|$=$\sqrt{(|a_1+b_1i|^2 + |a_2+b_2i|^2) (|c_1+d_1i|^2 + |c_2+d_2i|^2)}$ = $\sqrt{({a_1}^2+{b_1}^2 + {a_2}^2+{b_2}^2) ({c_1}^2+{d_1}^2 + {c_2}^2+{d_2}^2)}$=$\sqrt{({a_1}{c_1})^2+({a_1}{b_1})^2+...+({b_2}{d_2})^2}$
$\langle {\bf x},{\bf y}\rangle=({a_1}{c_1}+{b_1}{d_1}+{a_2}{c_2}+{b_2}{d_2})+({b_1}{c_1}-{a_1}{d_1}+{b_2}{c_2}-{a_2}{d_2})i$
$|\langle {\bf x},{\bf y}\rangle|$=$\sqrt{({a_1}{c_1}+{b_1}{d_1}+{a_2}{c_2}+{b_2}{d_2})^2+({b_1}{c_1}-{a_1}{d_1}+{b_2}{c_2}-{a_2}{d_2})^2}$=$\sqrt{({a_1}{c_1})^2+({b_1}{d_1})^2+({a_2}{c_2})^2+({b_2}{d_2})^2+...+({a_2}{d_2})^2}$
故 $|\langle {\bf x},{\bf y}\rangle| \leq \|{\bf x}\|\cdot \|{\bf y}\|$ .
##### Exercise 7(b)
若 ${\bf x},{\bf y}\in\mathbb{C}^n$。
證明
$$\frac{\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle}{\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|} =
\frac{\|{\bf x}\|^2 + \|{\bf y}\|^2 - \|{\bf x} - {\bf y}\|^2}{2\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|}.
$$
因此我們可以把兩複數向量的**夾角**定義為 $\theta$﹐
而這個 $\theta$ 要滿足 $\cos\theta = \frac{\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle}{\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|}$。

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- [ ] 用 `aligned`
- [ ] 有錯字
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$\frac{\|{\bf x}\|^2 + \|{\bf y}\|^2 - \|{\bf x} - {\bf y}\|^2}{2\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|}=\frac{\|{\bf x}\|^2 + \|{\bf y}\|^2 - (\|{\bf x}\|^2 +\| {\bf y}\|^2-2\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle)}{2\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|} =\frac{2\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle)}{2\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|} =\frac{\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle)}{\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|}$

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- [ ] 答案不正確，參考第 4 題
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##### Exercise 7(c)
若 ${\bf x},{\bf y}\in\mathbb{C}^n$。
求 ${\bf y}$ 在 ${\bf x}$ 上的投影。

注意 $\langle {\bf x},{\bf y}\rangle$ 和 $\langle {\bf y},{\bf x}\rangle$ 不一樣喔！
$\cos\theta = \frac{\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle}{\|{\bf x}\|\|{\bf y}\|}$
投影長:$\|{\bf y}\|\cos\theta=\frac{\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle}{\|{\bf x}\|}$
投影:$\frac{\bf x}{\|{\bf x}\|}\frac{\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle}{\|{\bf x}\|}=\frac{\operatorname{Re}\langle{\bf x}, {\bf y}\rangle}{\|{\bf x}\|^2}{\bf x}$
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