小型矩陣的行列式值

# 小型矩陣的行列式值 ![Creative Commons License](https://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88x31.png) This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). $\newcommand{\trans}{^\top} \newcommand{\adj}{^{\rm adj}} \newcommand{\cof}{^{\rm cof}} \newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle} \newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\bone}{\mathbf{1}} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\nul}{\operatorname{null}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} %\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}} \newcommand{\range}{\operatorname{range}} \newcommand{\Col}{\operatorname{Col}} \newcommand{\Row}{\operatorname{Row}} \newcommand{\spec}{\operatorname{spec}} \newcommand{\vspan}{\operatorname{span}}$ ```python from lingeo import random_good_matrix ``` ## Main idea In this section we explore some basic properties of the determinant of a $2\times 2$ or a $3\times 3$ matrix. Let $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$ be a $2\times 2$ matrix. Then its **determinant** is defined as $$ \det(A) = ad - bc. $$ When $$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $$ is a $3\times 3$ matrix, the **determinant** is $$ \begin{aligned} \det(A) &= aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg \\ &= a(ei - fh) - b(di -fg) + c(dh - eg). \end{aligned} $$ Let $n = 2,3$ and $A$ an $n\times n$ matrix. Then the determinant functions have the following basic properties. (See Section 108 for the notations of row operations.) - $\det(I_n) = 1$. - If $B$ is obtained from $A$ by performing the row operation $\rho_i\leftrightarrow\rho_j$, then $\det(B) = -\det(A)$. - If $B$ is obtained from $A$ by performing the row operation $\rho_i:\times k$, then $\det(B) = k\det(A)$. - If $B$ is obtained from $A$ by performing the row operation $\rho_i:+k\rho_j$, then $\det(B) = \det(A)$. When $A$ is a $2\times 2$ matrix, one may construct a _parallelogram_ spanned by its row vectors. It is known that $\det(A)$ is the _signed area_ of this parallelogram. When $A$ is a $3\times 3$ matrix, one may construct a _parallelepiped_ spanned by its row vectors. It is known that $\det(A)$ is the _signed volume_ of this parallelepiped. The same statement holds when the row vectors are replaced with the column vectors. As a consequence, $\det(A) \neq 0$ if and only if $A$ is invertible. For any sqaure matrices $A$ and $B$ of the same size, the determinant function also has the following properties. - $\det(A) = \det(A\trans)$. - $\det(AB) = \det(A)\det(B)$. ## Side stories - characteristic polynomial ## Experiments ##### Exercise 1 執行以下程式碼。 ```python ### code set_random_seed(0) print_ans = False n = 2 k1 = 2 k2 = 3 A1 = random_good_matrix(n,n,n) * choice([-2,-1,1,2]) A2 = copy(A1) A2.swap_rows(0,1) A3 = copy(A2) A3.rescale_row(1,k1) A4 = copy(A3) A4.add_multiple_of_row(1,0,k2) print("A1") pretty_print(A1) print("A2") pretty_print(A2) print("A3") pretty_print(A3) print("A4") pretty_print(A4) if print_ans: print("det(A1) =", A1.det()) print("A2 is obtained from A1 by swapping rows, so ") print("det(A2) = - det(A1) =", A2.det()) print("A3 is obtained from A2 by rescaling a row, so ") print("det(A3) = %s * det(A2) ="%k1, A3.det()) print("A4 is obtained from A3 by adding a multiple of a row to the other, so ") print("det(A4) = det(A3) =", A4.det()) ``` ##### Exercise 1(a) 用定義計算 $\det(A_1)$。 **[由黃崇維同學提供]** 由 `seed=0` 可得， $$ A_1 = \begin{bmatrix} -2 & -6 \\ -10 & -32 \end{bmatrix}， $$ 所以，由定義計算 $\det(A_1)=( -2 )\times( -32 )-( -6 )\times( -10 )=4.$ **[由廖和寬同學提供]** 當 `seed=1` 時， $A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 8 \\ -6 & -22 \\ \end{bmatrix}。$ 依照定義 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$的行列式值為$\det(A) = ad \times bc$。因此 $\det(A_1) = 2 \times (-22) - 8 \times (-6) = 4$。 **[由林柏仰同學提供]** 以 `seed=4` 執行程式後得到矩陣 $$ A_1 = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -4 \\ \end{bmatrix}. $$ 將 $A_1$ 進行列運算後得到 $$ A_1 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}. $$ 依照行列式值的定義，此時行列式值不變。而此時再將 $A_1$ 的兩列各乘以 $-1$ 可得到單位矩陣。且依據行列式值的定義， $A_1$ 的行列式值為經過當前列運算後得到的矩陣的行列式值的 $1$ 倍。而單位矩陣的行列式值為 $1$ ，故 $\det(A_1) = 1$。 **[由汪駿佑同學提供]** 以 `seed=10` 得知 $$ A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}. $$ 利用二階方陣的行列式值公式可以得到 $$ \det(A_1)=2 \times 2- 4 \times 0 = 4. $$ ##### Exercise 1(b) 用定義計算 $\det(A_2)$。已知 $A_2$ 可以由 $A_1$ 經過列運算得出，利用 $\det(A_1)$ 再次計算 $\det(A_2)$ 來驗證答案。 **[由黃崇維同學提供]** 由 `seed=0` 可得， $$ A_2 = \begin{bmatrix} -10 & -32 \\ -2 & -6 \end{bmatrix}， $$ 所以，由定義計算 $\det(A_2)=( -10 )\times( -6 )-( -32 )\times( -2 )=-4.$ 驗證: $$ A_1 = \begin{bmatrix} -2 & -6 \\ -10 & -32 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_1 \leftrightarrow \rho_2} A_2 = \begin{bmatrix} -10 & -32 \\ -2 & -6 \\ \end{bmatrix}。 $$ $$ \det(A_2)= -\det(A_1) = -(4) = -4 . $$ 因為兩列互換會使原來的行列式值乘上負號，且 $A_2$ 是由 $A_1$ 經過兩列互換所形成的，所以可以得到 $\det(A_2)= -\det(A_1)$ ，跟定義計算的一樣。 **[由廖和寬同學提供]** 當 `seed=1` 時 $$ A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 8 \\ -6 & -22 \\ \end{bmatrix}， A_2 = \begin{bmatrix} -6 & -22 \\ 2 & 8 \\ \end{bmatrix}。 $$ 由定義計算得知， $$ \det(A_2) = (-6) \times 8 - (-22) \times 2 = -4 。\\ $$ 在二階行列式中，當 $B$ 為 $A$ 上下列互換時， $B$ 行列式值為 $A$ 行列式值加上負號。 $$ A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} c & d\\ a & b\\ \end{bmatrix}。 $$ $$ \\A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_1 \leftrightarrow \rho_2} B = \begin{bmatrix} c & d\\ a & b\\ \end{bmatrix}。\\ \det(B) = -\det(A)。 $$ 驗證：已知 $A_2$ 是 $A_1$ 上下列互換， $$ A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 8 \\ -6 & -22 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_1 \leftrightarrow \rho_2} A_2 = \begin{bmatrix} -6 & -22 \\ 2 & 8 \\ \end{bmatrix}。 $$ 因此 $\det(A_2) = -\det(A_1) = -4$。 **[由林柏仰同學提供]** 以 `seed=4` 執行程式後得到 $$ A_2 = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}. $$ 觀察 $A_2$ 可發現 $A_2$ 為 $A_1$ 兩列對調後的矩陣，而依行列式值的定義， $\det(A_2) = -\det(A_1)$ 。故 $\det(A_2) = -1$ 。 **[由汪駿佑同學提供]** 以 `seed=10` 得知 $$ A_2 = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}. $$ 利用二階方陣的行列式值公式可以得到 $$ \det(A_2)= 4 \times 0 - 2 \times 2 = -4. $$ 另外，因為 $A_2$ 其實就是 $A_1$ 做列運算 $\rho_1 \leftrightarrow \rho_2$ 而得來，所以我們可以根據行列式值的定義得到 $$ \det(A_2)=-\det(A_1)=-4. $$ ##### Exercise 1(c) 用定義計算 $\det(A_3)$。已知 $A_3$ 可以由 $A_2$ 經過列運算得出，利用 $\det(A_2)$ 再次計算 $\det(A_3)$ 來驗證答案。 **[由黃崇維同學提供]** 由 `seed=0` 可得， $$ A_3 = \begin{bmatrix} -10 & -32 \\ -4 & -12 \end{bmatrix}， $$ 所以，由定義計算 $\det(A_3)=( -10 )\times( -12 )-( -32 )\times( -4 )=-8.$ 驗證 $$ A_2 = \begin{bmatrix} -10 & -32 \\ -2 & -6 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_2 \rightarrow 2\rho_2} A_3 = \begin{bmatrix} -10 & -32 \\ -4 & -12 \\ \end{bmatrix}。 $$ $$ \det(A_3)= 2 \det(A_2) = 2 (-4) =-8. $$ 因為其中一列乘上 $k$ 倍會使原來的行列式值乘上 $k$ ，且 $A_3$ 是由 $A_2$ 的第二列乘上 $2$ 倍所形成的，所以可以得到 $\det(A_3)= 2\det(A_2)$ ，跟定義計算的一樣。 **[由廖和寬同學提供]** 當 `seed=1` 時 $$ A_3 = \begin{bmatrix} -6 & -22 \\ 4 & 16 \\ \end{bmatrix}。 $$ 由定義計算得知， $$ \det(A_3) = (-6) \times 16 - (-22) \times 4 = -8 。\\ $$ 在二階行列式中，當 $B$ 的下列為 $A$ 的下列的 $k$ 倍時， $B$ 行列式值為 $A$ 行列式值的 $k$ 倍。 $$ A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}， B = \begin{bmatrix} a & b\\ kc & kd\\ \end{bmatrix}。 $$ $$ \\A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_2 ： \times k} B = \begin{bmatrix} a & b\\ kc & kd\\ \end{bmatrix}。\\ \det(B) = k \det(A)。 $$ 驗證：已知 $A_3$ 的 $\rho_2$ 是 $A_2$ 的 $\rho_2$ 的2倍， $$ A_2 = \begin{bmatrix} -6 & -22 \\ 2 & 8 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_2 ： \times 2} A_3 = \begin{bmatrix} -6 & -22 \\ 4 & 16 \\ \end{bmatrix}。 $$ 因此 $\det(A_3) = 2 \det(A_2) = -8$。 **[由林柏仰同學提供]** 以 `seed=4` 執行程式後得到 $$ A_3 = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 2 \\ \end{bmatrix}. $$ 觀察 $A_3$ 可發現 $A_3$ 相當於 $A_2$ 的第二列乘以 $2$ 後得到的矩陣。而依行列式值的定義， $\det(A_3) = 2\det(A_2)$ 。故 $\det(A_3) = -2$ 。 **[由汪駿佑同學提供]** 以 `seed=10` 得知 $$ A_3 = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 0 \\ \end{bmatrix}. $$ 利用二階方陣的行列式值公式可以得到 $$ \det(A_3)= 4 \times 0 - 4 \times 2 = -8. $$ 另外，因為 $A_3$ 其實就是 $A_2$ 做列運算 $\rho_2: \times 2$ 而得來，所以我們可以根據行列式值的定義得到 $$ \det(A_3)=2\det(A_2)=-8. $$ ##### Exercise 1(d) 用定義計算 $\det(A_4)$。已知 $A_4$ 可以由 $A_3$ 經過列運算得出，利用 $\det(A_3)$ 再次計算 $\det(A_4)$ 來驗證答案。 **[由黃崇維同學提供]** 由 `seed=0` 可得， $$ A_4 = \begin{bmatrix} -10 & -32 \\ -34 & -108 \end{bmatrix}， $$ 所以，由定義計算 $\det(A_4)=( -10 )\times( -108 )-( -32 )\times( -34 )= -8.$ 驗證 $$ A_3 = \begin{bmatrix} -10 & -32 \\ -4 & -12 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_2 \rightarrow +3\rho_1} A_4 = \begin{bmatrix} -10 & -32 \\ -34 & -108 \\ \end{bmatrix}。 $$ $$ \det(A_4)= -8 = \det(A_3). $$ 因為其中一列乘上 $k$ 倍加到另一列，原來的行列式值不會改變，且 $A_4$ 是由 $A_3$ 的第一列乘上 $3$ 倍加到第二列去所形成的，所以可以得到 $\det(A_4)= \det(A_3)$ ，跟定義計算的一樣。 **[由廖和寬同學提供]** 當 `seed=1` 時 $$ A_4 = \begin{bmatrix} -6 & -22 \\ -14 & -50 \\ \end{bmatrix}。 $$ 由定義計算得知， $$ \det(A_4) = (-6) \times (-50) - (-22) \times (-14) = -8 。\\ $$ 在二階行列式中，當 $B$ 的下列為 $A$ 的下列加上 $k$ 倍的上列時， $B$ 行列式值與 $A$ 行列式值相同。 $$ A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix}， B = \begin{bmatrix} a & b\\ ka+c & kb+d\\ \end{bmatrix}。 $$ $$ \\A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix} \xrightarrow{\rho_2 ： +k \rho_1} B = \begin{bmatrix} a & b \\ ka+c & kb+d \\ \end{bmatrix}。\\ \det(B) = \det(A)。 $$ 驗證：已知 $A_4$ 的 $\rho_2$ 是 $A_3$ 的 $\rho_2 + 3 \rho_1$， $$ A_3 = \begin{bmatrix} -6 & -22 \\ 4 & 16 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{ \rho_2 ： +3 \rho_1} A_4 = \begin{bmatrix} -6 & -22 \\ -14 & -50 \\ \end{bmatrix}。 $$ 因此 $\det(A_4) = \det(A_3) = -8$。 **[由林柏仰同學提供]** 以 `seed=4` 執行程式後得到 $$ A_4 = \begin{bmatrix} -10 & -32 \\ 7 & -10 \\ \end{bmatrix}. $$ 觀察 $A_4$ 可發現 $A_4$ 相當於 $A_3$ 的第一列乘以 $3$ 後加到第二列上所得出的矩陣。而依行列式值的定義， $\det(A_4) = \det(A_3)$ 。故 $\det(A_4) = -2$ 。 **[由汪駿佑同學提供]** 以 `seed=10` 得知 $$ A_4 = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 16 & 6 \\ \end{bmatrix}. $$ 利用二階方陣的行列式值公式可以得到 $$ \det(A_4)= 4 \times 6 - 16 \times 2 = -8. $$ 另外，因為 $A_4$ 其實就是 $A_3$ 做列運算 $\rho_2: +3 \rho_1$ 而得來，所以我們可以根據行列式值的定義得到 $$ \det(A_4)=det(A_3)=-8. $$ ## Exercises ##### Exercise 2 以下練習驗證行列式值和矩陣是否可逆的關係。 ##### Exercise 2(a) 寫出一個行列式值為 $0$ 且矩陣中每項皆不為 $0$ 的 $3\times 3$ 矩陣。用列運算判斷其是否可逆。 :::success Good ::: **ANS** 設一 $3\times 3$ 矩陣 $Z$ 為 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\\ 2 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix}$ ，算出其行列式值為 $1 \times2 \times2 + 2 \times 1 \times 2 + 3 \times3 \times2 - 3 \times2 \times2-1 \times2 \times1-2 \times3 \times2 = 0$ 。將其矩陣 $Z$ 做列運算，得到最後矩陣為 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，因為列運算過後非單位矩陣，所以其為不可逆矩陣。 ##### Exercise 2(b) 寫出一個行列式值不為 $0$ 且矩陣中每項皆不為 $0$ 的 $3\times 3$ 矩陣。用列運算判斷其是否可逆。 :::warning - [x] 乘負數要括號 ::: **ANS** 設一 $3\times 3$ 矩陣 $S$ 為 $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -3\\ 2 & 9 & -5\\ -3 & -11 & 11 \end{bmatrix}$ ，算出其行列式值為 $1 \times9 \times11 + 4 \times ( -5 ) \times ( -3 ) + ( -3 ) \times2 \times( -11 ) - ( -3 ) \times9 \times( -3 ) - ( -5 ) \times( -11 ) \times1 - 11 \times4 \times2 = 1$ 。將其矩陣 $S$ 做列運算，得到最後矩陣為 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ ，因為列運算過後為單位矩陣，所以其為可逆矩陣。 ##### Exercise 2(c) 令 $$ A_x = \begin{bmatrix} 2 - x & 3 \\ 3 & 2 - x \end{bmatrix}. $$ 找出所有會讓 $A_x$ 奇異（不可逆）的 $x$。對每個這樣的 $x$，求出一個非零向量 $\bv_x$ 使得 $A_x\bv_x = \bzero$。 :::warning - [x] 有兩個 $V_x$ 應該是 $\bv_x$ ::: **ANS** 要找出讓 $A_x$ 不可逆的 $x$ ，也就是要找到可以讓 $A_x$ 的行列式值為 $0$ 的所有解，所以我們要解出 $(2-x\times2-x) - 3\times3 = 0$，我們找到此算式的解有 $5$ 以及 $-1$ ，將解帶入 $A_x$ 可得到矩陣$\begin{bmatrix} -3 & 3 \\ 3 & -3 \end{bmatrix}$ 以及 $\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$ ，當 $x$ 為 $5$ 時，我們可以找到 $\bv_x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 使得 $A_x\bv_x = \bzero$。而當 $x$ 為 $-1$ 時，我們可以找到 $\bv_x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ 使得 $A_x\bv_x = \bzero$。 ##### Exercise 2(d) 令 $$ A_x = \begin{bmatrix} 0 - x & 1 & 1 \\ 1 & 0 - x & 0 \\ 1 & 0 & 0 - x \\ \end{bmatrix}. $$ 找出所有會讓 $A_x$ 奇異（不可逆）的 $x$。對每個這樣的 $x$，求出一個非零向量 $\bv_x$ 使得 $A_x\bv_x = \bzero$。 **[由黃崇維、林毅信同學提供]** 要找出讓 $A_x$ 不可逆的 $x$ ，也就是要找到可以讓 $A_x$ 的行列式值為 $0$ 的所有解。由於 $\det(A_x)=(-x)^3 + 2x$ ，所以要解 $(-x)^3 + 2x = 0$ 的解，得 $x = \sqrt{2}$ 、 $-\sqrt{2}$ 和 $0$。將 $x = \sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$ 代入 $A_x$ ，分別得到矩陣 $$ A_{\sqrt{2}} = \begin{bmatrix} -\sqrt{2} & 1 & 1 \\ 1 & -\sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & -\sqrt{2} \end{bmatrix},\quad A_{0} = A,\quad A_{-\sqrt{2}} = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 1 & 1 \\ 1 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix}. $$ 當 $x = \sqrt{2}$ 時，我們可以找到 $\bv_x = \begin{bmatrix} \sqrt{2}\\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，使得 $A_x\bv_x = \bzero$。當 $x = 0$ 時，我們可以找到 $\bv_x = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ ，使得 $A_x\bv_x = \bzero$。當 $x = -\sqrt{2}$ 時，我們可以找到 $\bv_x = \begin{bmatrix} \sqrt{2}\\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$ ，使得 $A_x\bv_x = \bzero$。 **[由汪駿佑同學提供]** 根據三階行列式值的公式解得到 $$ \det (A_x) = (-x)^3 + 2x, $$ 並且由於 $A_x$ 奇異，故 $\det (A_x) = 0$。即 $$ (-x)^3 + 2x = 0. $$ 解得 $x = \sqrt{2} , -\sqrt{2} , 0$。當 $x = \sqrt 2$ 時，求得 $$ \begin{bmatrix} -\sqrt{2} & 1 & 1 \\ 1 & -\sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & -\sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{2} \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 0. $$ 當 $x = -\sqrt 2$ 時，求得 $$ \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 1 & 1 \\ 1 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sqrt{2} \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 0. $$ 當 $x = 0$ 時，求得 $$ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = 0. $$ 即 $x$ 分別為 $\sqrt{2} , -\sqrt{2} , 0$ 時，得到 $$ \bv_\sqrt{2} = \begin{bmatrix} -\sqrt{2} \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \bv_{-\sqrt{2}} = \begin{bmatrix} \sqrt{2} \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \bv_0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, $$ 使得 $A_x\bv_x = \bzero$。 ##### Exercise 3 令 $n = 2,3$、且 $A$ 為一 $n\times n$ 的矩陣。利用定義證明以下性質： **[由汪駿佑同學提供]** $Ans:$ 令 $A$ 為 $2\times 2$ 的矩陣，且 $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2. $$ 那麼，利用行列式值公式可以得到 $$ \det(A) = \det(I_2) = 1\times 1-0\times 0=1. $$ 當 $A$ 為 $3\times 3$ 的矩陣，且 $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I_3. $$ 那麼，利用行列式值公式可以得到 $$ \det(A) = \det(I_3) = 1\times 1\times 1+0\times 0\times 0+0\times 0\times 0-0\times 1\times 0-0\times 0\times 1-1\times 0\times 0 = 1. $$ 得到當 $n = 2,3$ 時，$\det (I_n) = 1$。 - If $B$ is obtained from $A$ by performing the row operation $\rho_i\leftrightarrow\rho_j$, then $\det(B) = -\det(A)$. $Ans:$ 令 $A$ 為 $2\times 2$ 的矩陣，且 $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}. $$ 所以 $\det(A) = ad - bc$。另令 $B$ 為 $A$ 經過列運算 $\rho_1\leftrightarrow\rho_2$ 得來的矩陣，即 $$ B = \begin{bmatrix} c & d \\ a & b \end{bmatrix}. $$ 故我們可以得到 $$ \det(B) = cb - da = - ( ad - bc ) = -\det(A). $$ 令 $A$ 為 $3\times 3$ 的矩陣，且 $$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}. $$ 可以得到 $$ \begin{aligned} \det(A) &= aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg \\ &= a(ei - fh) - b(di -fg) + c(dh - eg). \end{aligned} $$ -- 另令 $B_1$ 為 $A$ 經過列運算 $\rho_1\leftrightarrow\rho_2$ 得來的矩陣，$B_3$ 為 $A$ 經過列運算 $\rho_2\leftrightarrow\rho_3$ 得來的矩陣，$B_3$ 為 $A$ 經過列運算 $\rho_1\leftrightarrow\rho_3$ 得來的矩陣，則 $$ B_1 = \begin{bmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{bmatrix}， B_2 = \begin{bmatrix} a & b & c \\ g & h & i\\ d & e & f \end{bmatrix}， B_3 = \begin{bmatrix} g & h & i \\ d & e & f\\ a & b & c \end{bmatrix} $$ 得到 $$ \begin{aligned} \det(B_1) &= bdi + ceg + afh - bfg - cdh - aei \\ &= -[a(ei - fh) - b(di -fg) + c(dh - eg)] = -\det(A), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \det(B_2) &= afh + bdi + ceg - cdh - aei - bfg \\ &= -[a(ei - fh) - b(di -fg) + c(dh - eg)] = -det(A), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \det(B_3) &= ceg + afh + bdi - aei - bfg - cdh \\ &= -[a(ei - fh) - b(di -fg) + c(dh - eg)] = -det(A). \end{aligned} $$ 得到當 $n = 2,3$，兩列交換時，行列式值加負號。 -- - If $B$ is obtained from $A$ by performing the row operation $\rho_i:\times k$, then $\det(B) = k\det(A)$. $Ans:$ 令 $A$ 為 $2\times 2$ 的矩陣，且 $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}. $$ 所以 $\det(A) = ad - bc.$ -- 另令 $B$ 為 $A$ 經過列運算 $\rho_1:\times k$ 得來的矩陣，即 $$ B = \begin{bmatrix} ak & bk \\ c & d \end{bmatrix}. $$ 故我們可以得到 $$ \det(B) = akd - bkc = k(ad - bc) = k\det(A). $$ 令 $A$ 為 $3\times 3$ 的矩陣，且 $$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}. $$ 所以 $$ \begin{aligned} \det(A) &= aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg \\ &= a(ei - fh) - b(di -fg) + c(dh - eg). \end{aligned} $$ 另令 $B$ 為 $A$ 經過列運算 $\rho_1:\times k$ 得來的矩陣，即 $$B = \begin{bmatrix} ak & bk & ck \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}. $$ 故我們可以得到 $$ \begin{aligned} \det(A) &= akei - akfh - bkdi + bkfg + ckdh - ckeg \\ &= k[a(ei - fh) - b(di -fg) + c(dh - eg)] = k\det(A). \end{aligned} $$ 同理我們可以用上述方式改以另兩列乘 $k$ 倍後，一樣得到 $\det(B) = k\det(A)$。得到當 $n = 2,3$，一列乘 $k$ 倍時，行列式值乘 $k$ 倍。 - If $B$ is obtained from $A$ by performing the row operation $\rho_i:+k\rho_j\times$, then $\det(B) = \det(A)$. $Ans:$ 令 $A$ 為 $2\times 2$ 的矩陣，且 $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}. $$ 所以 $\det(A) = ad - bc.$ 另令 $B$ 為 $A$ 經過列運算 $\rho_1:+k\rho_2\times$ 得來的矩陣，即 $$ B = \begin{bmatrix} a+ck & b+dk \\ c & d \end{bmatrix}. $$ 所以 $$ \det(B) = d(a + ck) - c(b + dk) = ad + cdk - bc - cdk = ad - bc = \det(A). $$ 令 $A$ 為 $3\times 3$ 的矩陣，且 $$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}. $$ 所以 $$\begin{aligned} \det(A) &= aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg \\ &= a(ei - fh) - b(di -fg) + c(dh - eg). \end{aligned} $$ 另令 $B$ 為 $A$ 經過列運算 $\rho_1:+k\rho_2\times$ 得來的矩陣， $$B = \begin{bmatrix} a + dk & b + ek & c + fk \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}. $$ 所以 -- $$ \begin{aligned} \det(B) &= ei(a + dk) + fg(b + ek) + dh(c + fk) - fh(a + dk) - di(b + ek) - eg(c + fk) \\ &= aei + deik + bfg + efgk + cdh + dfhk - afh - dfhk - bdi - deik - ceg - efgk \\ &= aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg \\ &= a(ei - fh) - b(di -fg) + c(dh - eg) = \det(A). \end{aligned} $$ -- 同理我們可以用上述方式改加到另一列，或者以另兩列中一列乘 $k$ 倍後加到剩餘兩列中一列，一樣得到 $\det(B) = \det(A)$。得到當 $n = 2,3$，一列乘 $k$ 倍加到另一列時，行列式值不變。 ##### Exercise 4 令 $n = 2,3$、且 $A$ 為一 $n\times n$ 的矩陣。利用定義證明以下性質： - $\det(A) = \det(A\trans)$. - $\det(AB) = \det(A)\det(B)$. **[由汪駿佑同學提供]** 當 $n=2$ 時， $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}. $$ 所以 $\det(A) = ad - bc$。而 $$ A\trans = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}. $$ 所以 $\det(A\trans) = ad - bc = \det(A)$。令 $$ B = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}. $$ 則 $$ \det(B) = eh - fg, $$ 與 $$ AB = \begin{bmatrix} ae+fg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{bmatrix}. $$ 並且 $$ \begin{aligned} \det(AB) &= (ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dg) \\ &= aecf+aedh+bgcf+bgdh-afce-afdg-bhce-bhdg \\ &= aedh+bgcf-afdg-bhce \\ &= adeh-adfg-bceh+bcfg \\ &= (ad-bc)(eh-fg) = \det(A)\det(B). \end{aligned} $$ 而令 $n=3$ 時， $$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}. $$ 所以 $$\det(A)=aei+dhc+gbf-ceg-fha-ibd.$$ 而 $$ A\trans = \begin{bmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{bmatrix}, $$ 得到 $$\det(A\trans)= aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb = \det(A). $$ 故我們得到 $\det(A) = \det(A\trans)$。令 $$ B = \begin{bmatrix} j & k & l \\ m & n & o \\ p & q & r \end{bmatrix}. $$ 則 $$ \det(B) = jnr + kop + lmq - lnp - joq - kmr, $$ 與 $$ AB = \begin{bmatrix} aj+bm+cp & ak+bn+cq & al+bo+cr \\ dj+em+fp & dk+en+fq & dl+eo+fr \\ gj+hm+ip & gk+hn+iq & gl+ho+ir \end{bmatrix}. $$ 利用剛剛在 $n=2$ 時的運算可以得到 $\det(AB)=\det(A)\det (B)。$  :::info 遲交（前一天五點前未寄信）目前分數 = 4 &pm; 檢討 = 4 :::

Syntax	Example	Reference
# Header	Header	基本排版
- Unordered List	Unordered List
1. Ordered List	Ordered List
- [ ] Todo List	Todo List
> Blockquote	Blockquote
Bold font	Bold font
Italics font	Italics font
~~Strikethrough~~	~~Strikethrough~~
19^th^	19^th
H~2~O	H₂O
++Inserted text++	Inserted text
==Marked text==	Marked text
[link text](https:// "title")	Link
![image alt](https:// "title")	Image
`Code`	`Code`	在筆記中貼入程式碼
```javascript var i = 0; ```	`var i = 0;`
:smile:		Emoji list
{%youtube youtube_id %}	Externals
$L^aT_eX$	L^aT_eX
:::info This is a alert area. :::	This is a alert area.