{%hackmd 5xqeIJ7VRCGBfLtfMi0_IQ %}
# 排列展開式

This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

$\newcommand{\trans}{^\top}
\newcommand{\adj}{^{\rm adj}}
\newcommand{\cof}{^{\rm cof}}
\newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bone}{\mathbf{1}}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\nul}{\operatorname{null}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
%\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}}
\newcommand{\range}{\operatorname{range}}
\newcommand{\Col}{\operatorname{Col}}
\newcommand{\Row}{\operatorname{Row}}
\newcommand{\spec}{\operatorname{spec}}
\newcommand{\vspan}{\operatorname{span}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\idmap}{\operatorname{id}}$

from lingeo import random_int_list
from gnm import random_permutation

## Main idea

One may inductively apply the Laplace expansion to any given matrix.
For example,
$$
\begin{aligned}
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
&=
\det\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 0 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix} \\
&=
\det\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 6 \\
0 & 8 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 \\
4 & 0 & 6 \\
7 & 0 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 0 & 3 \\
4 & 5 & 0 \\
7 & 8 & 0
\end{bmatrix} \\
&=
\det\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 6 \\
0 & 8 & 0
\end{bmatrix}
+ \\
&\mathrel{\phantom{=}}
\det\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 \\
4 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 6 \\
7 & 0 & 0
\end{bmatrix}
+ \\
&\mathrel{\phantom{=}}
\det\begin{bmatrix}
0 & 0 & 3 \\
4 & 0 & 0 \\
0 & 8 & 0
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 0 & 3 \\
0 & 5 & 0 \\
7 & 0 & 0
\end{bmatrix}. \\
\end{aligned}
$$

Let $A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}$ be an $n\times n$ matrix.
Recall that $\mathfrak{S}_n$ is the set of all permutations on $[n]$.
Define the **weight** of a permutation $\sigma\in\mathfrak{S}_n$ as
$$
w_A(\sigma) = a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}.
$$
When the matrix $A$ is clear from the context, we often write $w(\sigma) = w_A(\sigma)$.

##### Permutation expansion

Let $A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}$ be an $n\times n$ matrix.
Then
$$
\det(A) = \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n} \sgn(\sigma)w(\sigma).
$$

## Side stories

- continuity of determinant

## Experiments

##### Exercise 1

執行以下程式碼。

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False

n = 5
A = matrix(n, random_int_list(n^2, 3))
sigma1 = random_permutation(n)
sigma2 = random_permutation(n)
sigma3 = random_permutation(n)

pretty_print(LatexExpr("A ="), A)
print("one-line representation of sigma1 =", sigma1.one_line)
print("one-line representation of sigma2 =", sigma2.one_line)
print("one-line representation of sigma3 =", sigma3.one_line)

if print_ans:
    print("sgn(sigma1) =", sigma1.sign())
    print("w_A(sigma1) =", sigma1.weight(A))
    print("sgn(sigma2) =", sigma2.sign())
    print("w_A(sigma2) =", sigma2.weight(A))
    print("sgn(sigma3) =", sigma3.sign())
    print("w_A(sigma3) =", sigma3.weight(A))

藉由 `seed 69` 可以得到
$M=\begin{bmatrix}
0 & 3 & 1 & 0 & 2 \\
-2 & -2 & 1 & 3 & -2 \\
-3 & 0 & -3 & 1 & 0 \\
-2 & 3 & -2 & 3 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 2 & -3 \end{bmatrix}$,

one-line representation of sigma1 =
$(3,4,1,2,5)$ .

one-line representation of sigma2 =
$(4, 1, 3, 2, 5)$ .

one-line representation of sigma3 =
$(2, 4, 3, 1, 5)$ .
##### Exercise 1(a)

求 $\sgn(\sigma_1)$ 及 $w_A(\sigma_1)$。

$Ans:$

我們把 $1$ 跟 $3$ 交換，再將 $2$ 跟 $4$ 交換後可以把 $\sigma_1$ 單行表示法 $3$ $4$ $1$ $2$ $5$ 變回 $1$ $2$ $3$ $4$ $5$。\
而根據定義我們可以知道 $\sgn(\sigma_1) = (-1)^k$，其中 $k$ 為元素交換的次數，也就是說 $k=2$，因此我們可以知道 $\sgn(\sigma_1)$ = $(-1)^2$ = $1$ .

$w_A(\sigma_1)$ = $1\times 3\times (-3)\times 3\times (-3)$ = $81$ .

##### Exercise 1(b)

求 $\sgn(\sigma_2)$ 及 $w_A(\sigma_2)$。

$Ans:$

我們把 $1$ 跟 $4$ 交換，再將 $2$ 跟 $4$ 交換後可以把 $\sigma_1$ 單行表示法 $4$ $1$ $3$ $2$ $5$ 變回 $1$ $2$ $3$ $4$ $5$。\
而根據定義我們可以知道 $\sgn(\sigma_1) = (-1)^k$，其中 $k$ 為元素交換的次數，也就是說 $k=2$，因此我們可以知道 $\sgn(\sigma_2)$ = $(-1)^2$ = $1$ .

$w_A(\sigma_2)$ = $0\times (-2)\times (-3)\times 3\times (-3)$ = $0$ .

##### Exercise 1(c)

求 $\sgn(\sigma_3)$ 及 $w_A(\sigma_3)$。

$Ans:$

我們把 $2$ 跟 $4$ 交換，再將 $1$ 跟 $4$ 交換後可以把 $\sigma_1$ 單行表示法 $2$ $4$ $3$ $1$ $5$ 變回 $1$ $2$ $3$ $4$ $5$。\
而根據定義我們可以知道 $\sgn(\sigma_1) = (-1)^k$，其中 $k$ 為元素交換的次數，也就是說 $k=2$，因此我們可以知道 $\sgn(\sigma_3)$ = $(-1)^2$ = $1$ .

$w_A(\sigma_3)$ = $3\times 3\times (-3)\times (-2)\times (-3)$ = $-162$ .

## Exercises

##### Exercise 2

令
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 4 \\
1 & 3 & 9
\end{bmatrix}.
$$
利用拉普拉斯展開，將 $\det(A)$ 寫成 $6$ 個矩陣的行列式值和，
其中每個矩陣的每行每列都至多只有一個非零項。

$Ans:$
$$
\begin{aligned}
\det\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 4 \\
1 & 3 & 9
\end{bmatrix}
&=
\det\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 4 \\
1 & 3 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 4 \\
1 & 3 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 4 \\
1 & 3 & 9
\end{bmatrix} \\
&=
\det\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 4 \\
0 & 3 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 4 \\
1 & 0 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 3 & 0
\end{bmatrix} \\
&=
\det\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 \\
0 & 3 & 0
\end{bmatrix}
+ \\
&\mathrel{\phantom{=}}
\det\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 4 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
+ \\
&\mathrel{\phantom{=}}
\det\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}. \\
\end{aligned}
$$

:::success
Nice that you adopt the usage of `\phantom`, lol.
:::

##### Exercise 3

令
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}.
$$
則可建立一個表格包含所有的排列、其正負號、以及其配合 $A$ 的權重。

| one-line repr | cycle repr | sign | weight |
|--------|--------|--------|--------|
| $12$ | $(1)(2)$ | $1$ | $2$ |
| $21$ | $(12)$ | $-1$ | $1$ |

如此可知 $\det(A) = 1\cdot 2 + (-1)\cdot 1 = 1$。

##### Exercise 3(a)

令
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 4 \\
1 & 3 & 9
\end{bmatrix}.
$$
依照同樣方法建立 $\mathfrak{S}_3$ 的表格，並求出 $\det(A)$。

**Ans:**
| one-line repr | cycle repr | sign | weight |
|--------|--------|--------|--------|
| $123$ | $(1)(2)(3)$ | $1$ | $18$ |
| $132$ | $(1)(23)$ | $-1$ | $12$ |
| $213$ | $(12)(3)$ | $-1$ | $9$ |
| $231$ | $(123)$ | $1$ | $4$ |
| $312$ | $(132)$ | $1$ | $3$ |
| $321$ | $(13)(2)$ | $-1$ | $2$ |

$\det(A) = 18-12-9+4+3-2 = 2$.

##### Exercise 3(b)

令
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 4 & 8 \\
1 & 3 & 9 & 27 \\
1 & 4 & 16 & 64
\end{bmatrix}.
$$
依照同樣方法建立 $\mathfrak{S}_4$ 的表格，並求出 $\det(A)$。

**Ans:**
| one-line repr | cycle repr | sign | weight |
|--------|--------|--------|--------|
| $1234$ | $(1)(2)(3)(4)$ | $1$ | $1152$ |
| $1243$ | $(1)(2)(34)$ | $-1$ | $864$ |
| $1324$ | $(1)(23)(4)$ | $-1$ | $768$ |
| $1342$ | $(1)(234)$ | $1$ | $432$ |
| $1423$ | $(1)(243)$ | $1$ | $384$ |
| $1432$ | $(1)(24)(3)$ | $-1$ | $288$ |
| $2134$ | $(12)(3)(4)$ | $-1$ | $576$ |
| $2143$ | $(12)(34)$ | $1$ | $432$ |
| $2314$ | $(123)(4)$ | $1$ | $256$ |
| $2341$ | $(1234)$ | $-1$ | $108$ |
| $2413$ | $(1243)$ | $-1$ | $128$ |
| $2431$ | $(124)(3)$ | $1$ | $72$ |
| $3124$ | $(132)(4)$ | $1$ | $192$ |
| $3142$ | $(1342)$ | $-1$ | $108$ |
| $3214$ | $(13)(2)(4)$ | $-1$ | $128$ |
| $3241$ | $(134)(2)$ | $1$ | $54$ |
| $3412$ | $(13)(24)$ | $1$ | $32$ |
| $3421$ | $(1324)$ | $-1$ | $24$ |
| $4123$ | $(1432)$ | $-1$ | $48$ |
| $4132$ | $(142)(3)$ | $1$ | $36$ |
| $4213$ | $(143)(2)$ | $1$ | $32$ |
| $4231$ | $(14)(2)(3)$ | $-1$ | $18$ |
| $4312$ | $(1423)$ | $-1$ | $16$ |
| $4321$ | $(14)(23)$ | $1$ | $12$ |

$$
\begin{aligned}
\det(A) =
&1152-864-768+432+384-288\\
&-576+432+256-108-128+72\\
&[phone]+54+32-24\\
&-48+36+32-18-16+12\\
&=12.
\end{aligned}
$$

:::success
Good job. 辛苦了：）
:::

##### Exercise 4

令 $A$ 為一 $n\times n$ 矩陣。

##### Exercise 4(a)

已知 $n = 2$ 時 $\det(A)$ 為 $2$ 項相加減、
$n = 3$ 時 $\det(A)$ 為 $6$ 項相加減。
求對於一般的 $n$來說，
$\det(A)$ 的排列展開式有幾項相加減？

**Ans:**
因為每個 Permutation 對應到一項，而 Permutation 有 $n(n-1) \cdots 2 \cdot 1 = n!$ 項，所以一個 $n \times n$ 的矩陣應該有 $n!$ 項.

##### Exercise 4(b)

在這些項中，
有幾項是要加的（$\sgn(\sigma) = 1$）、
有幾項是要減的（$\sgn(\sigma) = -1$）？

**Ans:**
定義 Odd Permutation 為某個 Permutation $\sigma^-$ 使得 $\sgn(\sigma^-) = -1$.
定義 Even Permutation 為某個 Permutation $\sigma^+$ 使得 $\sgn(\sigma^+) = 1$.
那麼只要說明 Odd Permutation 與 Even Permutation 之間有一個 Bijection 的函數 $f$，就可以知道他們數量一樣多.
只要定義 $f$ 為，把 Permutation 的 One-Line Notation 的前兩項交換.
也就是
$$
f : (x_1 \space x_2 \space x_3 \space \cdots) \mapsto (x_2 \space x_1 \space x_3 \space \cdots).
$$
而且 $f$ 是 Bijection 的，所以 Odd Permutation 與 Even Permutation 數量一樣且相加為 $n!$，所以他們分別有 $n! / 2$ 項.

:::success
You guys are awesome.
:::

##### Exercise 4(c)

在這些項中，有幾項有用到 $A$ 的 $1,1$-項？

**Ans:**
第一項確定為 $1,1$-項，那麼第二項可以有 $n-1$ 項可以選，選完後第三項有 $n-2$ 項可以選.
所以固定第一項後會有 $(n-1)!$ 種可能，也就是用到 $1,1$-項共有 $(n-1)!$ 項.

##### Exercise 5

利用排列展開式說明 $\det(A)$ 是一個以 $A$ 中各元素為變數的整係數多項式。
（因此如果 $A$ 是整數矩陣，則 $\det(A)$ 也是整數；
而如果 $A$ 是有理數，則 $\det(A)$ 也是有理數。
令一方面，這也表示 $\det(A)$ 對 $A$ 中的元素來說是連續的。）

**Ans:**
排列展開式
$$
\det(A) = \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n} \sgn(\sigma)w(\sigma).
$$
其中 $\sgn$ 只會有 $\pm 1$，$w$ 是 $A$ 中元素相乘，若將 $A$ 中的元素看成變數，$A$ 的排列展開式可以看成一個 $n!$ 項 $n \times n$ 元 $n \times n$ 次的整係數多項式，而且係數只會有 $\pm 1$.

##### Exercise 6

對以下 $n\times n$ 矩陣 $A$，
列出所有 $w_A(\sigma) \neq 0$ 的排列及其正號，
並藉此求出 $\det(A)$。

（這個方法在 $A$ 是稀疏矩陣的時候特別有效率。）

##### Exercise 6(a)

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}.
$$
$Ans:$
當 $\sigma_1=(2143)$ 時，$\sgn(\sigma_1)=(-1)^2=1$，$w_A(\sigma_1)=1$，因此
$$
\det(A) = \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n} \sgn(\sigma)w(\sigma)=1.
$$
##### Exercise 6(b)

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}.
$$
$Ans:$
$\sigma_1=(2143)$，$\sgn(\sigma_1)=(-1)^2=1$，$w_A(\sigma_1)=1$
$\sigma_2=(2341)$，$\sgn(\sigma_2)=(-1)^3=-1$，$w_A(\sigma_2)=1$
$\sigma_3=(4123)$，$\sgn(\sigma_3)=(-1)^3=-1$，$w_A(\sigma_3)=1$
$\sigma_4=(4321)$，$\sgn(\sigma_4)=(-1)^2=1$，$w_A(\sigma_4)=1$
$$
\det(A) = \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n} \sgn(\sigma)w(\sigma)=1+(-1)+(-1)+1=0.
$$

##### Exercise 6(c)

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}.
$$
$Ans:$
在 $A$ 矩陣中無法找到 $w_A(\sigma) \neq 0$，
故 $\det(A)=0$。

##### Exercise 7

令

$$
A_n = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & \ddots & ~ & 0 \\
0 & 1 & \ddots & \ddots & ~ & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & ~ & 1 & 0 \\
0 & ~ & \ddots & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

為一 $n\times n$ 矩陣，利用排列展開式的方法來求 $\det(A_n)$。
提示：$n$ 是奇數和偶數的狀況不一樣。

:::warning

- [x] 如果是 $n$ 是偶數的話還有 $\sigma = (12)(23) ...$ 以及 $\sigma = (23)(34) ...$，所以 $n$ 是偶數的話答案有錯
- [x] 中英數之間間隔
- [x] $sgn$ --> $\sgn$
- [x] $\sigma_1$ =$(2 \space 3 \space 4 \space 5 \cdots \space n \space 1)$ --> $\sigma_1 = (2 \space 3 \space 4 \space 5 \cdots \space n \space 1)$ <-- 把等號放進數學模式裡，然後 $\sigma_2$ 也是
- [x] 僅
$\sigma_1$ =$(2 \space 3 \space 4 \space 5 \cdots \space n \space 1)$ 與 $\sigma_2$ =$(n \space 1 \space 2 \space 3 \space 4 \cdots \space {n-2} \space {n-1})$ --> 僅
$\sigma_1$ =$(2 \space 3 \space 4 \space 5 \cdots \space n \space 1)$ 與 $\sigma_2$ =$(n \space 1 \space 2 \space 3 \space 4 \cdots \space {n-2} \space {n-1})$。而當 $n$ 是偶數時還有 $\sigma_3 = (1\space2)(3\space4)\cdots$ 以及 $\sigma_4 = (1\space n)(2\space3)(4\space5)\cdots$。
- [x] 因此
$$
\det(A) =\sgn(\sigma_1)w_A(\sigma_1)+\sgn(\sigma_2)w_A(\sigma_2)
=(-1)^{n-1} \space (1) + (-1)^{n-1} \space (1)
$$
<-- 這部份拿掉，顯然 $n$ 是偶數的時候這個式子不對
- [x] 而其結果會受 $n$ 為奇數或偶數而不同。 --> 因此 $\det(A)$ 會受 $n$ 為奇數或偶數而不同。
- [x] 把長的數學式排好，像這樣
$$
\begin{aligned}
\det(A) &= \sgn(\sigma_1)w_A(\sigma_1)+\sgn(\sigma_2)w_A(\sigma_2) \\
&=(-1)^{even} (1) + (-1)^{even} (1) = 2.
\end{aligned}
$$
- [x] 當 $n$ 為偶數時，考慮A為一個 $6\times 6$ 之矩陣 ... $\sigma_4$ ... <-- 這部份拿掉，已經移到前面了
:::

**Ans:**
因為 $A$ 為稀疏矩陣，因此，我們由排列展開式對 $n\times n$ 矩陣 $A$
觀察其排列及其 $\sgn$ 值之規律，由於其排列後項排列會對前項排列約束，
因此相鄰排列之項數差值必須小於 $2$ ，且符合此條件的排列僅
$\sigma_1 =(2 \space 3 \space 4 \space 5 \cdots \space n \space 1)$ 與 $\sigma_2 =(n \space 1 \space 2 \space 3 \space 4 \cdots \space {n-2} \space {n-1})$。
而當 $n$ 是偶數時還有 $\sigma_3 = (1\space2)(3\space4)\cdots$ 以及 $\sigma_4 = (1\space n)(2\space3)(4\space5)\cdots$。 \
因此 $\det(A_n)$ 會受 $n$ 為奇數或偶數而不同。

當 $n$ 為奇數時，
$$
\begin{aligned}
\det(A)&=
\sgn(\sigma_1)w_A(\sigma_1)+\sgn(\sigma_2)w_A(\sigma_2) \\
&=(-1)^{even} \space (1) + (-1)^{even} \space (1) = \space 2.
\end{aligned}
$$

當 $n$ 為偶數時，考量當 $n/2$ 為奇數或偶數時 $\sgn(\sigma_3)$ 與 $\sgn(\sigma_4)$ 之值。
當 $n/2$ 為奇數時， \
$$
\begin{aligned}
\det(A)&=
\sgn(\sigma_1)w_A(\sigma_1)+\sgn(\sigma_2)w_A(\sigma_2)+\sgn(\sigma_3)w_A(\sigma_3)+\sgn(\sigma_4)w_A(\sigma_4) \\
&=(-1)^{odd} \space (1) + (-1)^{odd} \space (1) + (-1)^{odd} \space (1)+ (-1)^{odd} \space (1)= \space 4.\\
\end{aligned}
$$
當 $n/2$ 為偶數時，
$$
\begin{aligned}
\det(A)&=
\sgn(\sigma_1)w_A(\sigma_1)+\sgn(\sigma_2)w_A(\sigma_2)+\sgn(\sigma_3)w_A(\sigma_3)+\sgn(\sigma_4)w_A(\sigma_4) \\
&=(-1)^{odd} \space (1) + (-1)^{odd} \space (1) + (-1)^{even} \space (1)+ (-1)^{even} \space (1)= \space 0.\\
\end{aligned}
$$

:::info
目前分數 = 6.5 &pm; 檢討 = 7
:::