投影與鏡射

This work by Jephian Lin is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

from lingeo import random_int_list

Main idea

Matrix-matrix multiplication (by entry)

Let
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \text{ and } B = \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1\ell} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{n\ell} \\ \end{bmatrix}\] be \(m\times n\) and \(n\times \ell\) matrices, respectively.
Then the \(ij\)-entry of \(AB\) is
\[(AB)_{ij} = \sum_{k = 1}^n a_{ik}b_{k\ell}.\]

Let \(A\) be an \(m\times n\) matrix.
The transpose of \(A\) is the \(n\times m\) matrix \(A^\top\) whose \(ij\)-entry is the \(ji\)-entry of \(A\).

The \(n\times n\) identity matrix is the matrix whose diagonal entries are one and other entries are zero, usually denoted as \(I_n\).
The \(m\times n\) zero matrix is the matrix whose entries are zero, usually denoted as \(O_{m,n}\).
If \(A\) is an \(n\times n\) matrix and there is a matrix \(B\) such that \(AB = BA = I_n\),
then \(B\) is called the inverse of \(A\), denoted as \(A^{-1} = B\).
A matrix with an inverse is invertible.

Suppose \(A\) is an \(n\times k\) matrix with \(\operatorname{ker}(A) = \{{\bf 0}\}\).
Then every vector \({\bf b}\in\mathbb{R}^n\) can be written as
\[{\bf b} = {\bf w} + {\bf h}\] where \({\bf w}\in\operatorname{Col}(A)\) and \({\bf h}\in\operatorname{Col}(A)^\perp\).
Moreover,
\[\begin{aligned} {\bf w} &= A(A^\top A)^{-1}A^\top {\bf b}, \\ {\bf h} &= {\bf b} - {\bf w}. \end{aligned}\]

We say \({\bf w}\) is the projection of \({\bf b}\) onto the subspace \(\operatorname{Col}(A)\), and
\({\bf w} - {\bf h}\) the reflection of \({\bf b}\) along the subspace \(\operatorname{Col}(A)\).
Both action can be done by matrices.
That is,
\[\begin{aligned} {\bf w} &= A(A^\top A)^{-1}A^\top {\bf b}, \\ {\bf w} - {\bf h} &= 2{\bf w} - {\bf b} = (2A(A^\top A)^{-1}A^\top - I_n){\bf b}. \end{aligned} \]

Side stories

• \(\langle{\bf x},{\bf y}\rangle = {\bf y}^\top{\bf x}\)
• matrix algbra

Experiments

Exercise 1

執行下方程式碼。
依照步驟求出 \({\bf b}\) 在 \(\operatorname{Col}(A)\) 上的投影。

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False
while True:
    A = matrix(2, random_int_list(8)).transpose()
    if (A.transpose() * A).is_invertible():
        break
b = vector(random_int_list(4))
        
print("A =")
print(A)
print("b =", b)

if print_ans:
    AT = A.transpose()
    ATA = AT * A
    w = A * ATA.inverse() * AT * b
    print("The projection is %s."%w)

Exercise 1(a)

假設 \({\bb} = {\bw} + {\bh}\) 使得
\({\bf w}\in\operatorname{Col}(A)\)（也就是有某一個 \({\bv}\) 使得 \({\bf w} = A{\bv}\)）、
\({\bf h}\in\operatorname{Col}(A)^\perp = \operatorname{Row}(A^\top)^\perp = \operatorname{ker}(A^\top)\)（也就是 \(A^\top{\bf h} = {\bf 0}\)）。

將 \({\bb} = {\bw} + {\bh}\) 兩邊前乘 \(A^\top\)﹐
並用 \(A\)、\({\bb}\)、和 \({\bv}\) 表示出來。

在 \({\bf b} = {\bf w} + {\bf h}\) 兩邊前方同乘 \({A\trans}\) 得到
\(A\trans \bb = A\trans \bw + A\trans\bh\) 。
而 \({\bf w}\in\operatorname{Col}(A)\)，
換句話說必定會有一個向量 \({\bf v}\) 使得 \({\bf w} = A{\bf v}\) 。
因此 \(A\trans\bb = A\trans\bw + A\trans \bh\) 又可以寫成
\(A\trans\bb = A\trans A \bv + A\trans \bh\)。
而由於 \({\bf h}\in\operatorname{Col}(A)^\perp = \operatorname{Row}(A^\top)^\perp = \operatorname{ker}(A^\top)\)，
則 \(A\trans \bh = {\bf 0}\) 。
因此 \(A\trans \bb = A\trans A \bv + A\trans \bh\) 又可寫成 \(A\trans\bb = A\trans A \bv\)。

Exercise 1(b)

將 \(A\) 和 \({\bf b}\) 的數字代入並解方程式求出 \({\bf v}\) 。

（如果 \(A^\top A\) 可逆﹐
則可以把上一題的式子寫成 \({\bf v} = (A^\top A)^{-1} A^\top {\bf b}\) 。）

執行程式碼後得到
\[ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \\ 0 & 0 \\ -3 & -1 \end{bmatrix} \] 及 \[ \bb = (-1,-2,-3,2). \] 有了 \(A\) 便可以得出 \(A\trans\)

\[ {A\trans} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} 。 \]

而計算 \(A\trans A\) 得到 \[ {A\trans A} = \begin{bmatrix} 10 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} 。 \]

經過計算，發現 \(\det(A)\) 的值不為 \(0\)。
因此可以代入公式：若今有一矩陣 \(A\) 且 \(\det(A)\) 的值不為 \(0\)，則矩陣 \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \] 的反矩陣為 \[ A^{-1} = \frac{{\bf 1}}{{\det(A)}} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}. \]

代入公式後得到 \[ {(A\trans A) ^{-1}} = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 10 \end{bmatrix} 。\] 此時回到之前的式子，
\({A\trans \bb} = { A\trans A \bv}\) 。
因 \({ (A\trans A)^{-1}}\) 有意義，則可兩邊同乘於 \({(A\trans A)^{-1}}\) ，
得到\({(A\trans A)^{-1}A\trans \bb} = {(A\trans A)^{-1}(A\trans A) \bv}\) 。
因為任何矩陣與其反矩陣相乘皆得到 \({I_n}\) 。 因此上述式子又可寫成 \({(A\trans A)^{-1}A\trans \bb} = {\bf v}\) 。
將 \({\bb}\) 寫成矩陣的形式，得到 \[ {\bb} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} 。 \] 將 \({\bf (A\trans A)^{-1} 、 A\trans 、 b}\) 的值代入，
得到
\[ {\bf v} = \begin{bmatrix} {\bf 1} & {\bf -3} \\ {\bf -3} & {\bf 10} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\bf 0} & {\bf -1} & {\bf 0} & {\bf -3} \\ {\bf 0} & {\bf 0} & {\bf 0} & {\bf -1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\bf -1} \\ {\bf -2} \\ {\bf -3} \\ {\bf 2} \end{bmatrix} 。 \] 將算式的結果寫成向量的形式便會得到 \({\bf v} = {\bf (2,-8)} 。\)

Exercise 1©

因此我們知道
\[\begin{aligned} {\bf w} &= A{\bf v}, \\ {\bf h} &= {\bf b} - {\bf w}. \end{aligned} \]

以題目給的 \(A\) 和 \({\bf b}\) 將 \({\bf w}\) 和 \({\bf h}\) 求出來﹐
並確認 \(A^\top{\bf h} = {\bf 0}\)。

目前已知 \({\bf w = Av}\)， 將先前得到的 \({\bf v}\) 寫成矩陣的形式， 並將 \({\bf A 、 v}\) 的值代入算式中。 得到 \[ {\bf w =} \begin{bmatrix} {\bf 0} & {\bf 0} \\ {\bf -1} & {\bf 0} \\ {\bf 0} & {\bf 0} \\ {\bf -3} & {\bf -1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\bf 2} \\ {\bf -8} \end{bmatrix} {\bf =} \begin{bmatrix} {\bf 0} \\ {\bf -2} \\ {\bf 0} \\ {\bf 2} \end{bmatrix} 。 \] 若將 \({\bf w}\) 寫成向量的形式，則 \[ {\bf w = (0, -2, 0, 2)} 。 \] 目前也知道 \({\bf h = b - w}\) 。
將 \({\bf b}\) 和 \({\bf w}\) 的值代入後得 \[ {\bf h = (-1,-2,-3,2) - (0,-2,0,2) = (-1,0,-3,0)} 。 \] 驗證 \({\bf A\trans h = 0}\) 。
將 \({\bf h}\) 寫成矩陣的形式，並將 \({\bf A\trans}\) 和 \({\bf h}\) 的值代入，
得到 \[ {\bf A\trans h = } \begin{bmatrix} {\bf 0} & {\bf -1} & {\bf 0} & {\bf -3} \\ {\bf 0} & {\bf 0} & {\bf 0} & {\bf -1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\bf -1} \\ {\bf 0} \\ {\bf -3} \\ {\bf 0} \end{bmatrix} {\bf =} \begin{bmatrix} {\bf 0} \\ {\bf 0} \end{bmatrix} 。 \] 因此 \({\bf A\trans h = 0}\) 成立。

Exercises

Exercise 2

以下小題說明為何 \(A^\top A\) 可逆。

Exercise 2(a)

若 \({\bf x}\) 和 \({\bf y}\) 為 \(\mathbb{R}^n\) 中的兩向量。
驗證 \(\langle{\bf x},{\bf y}\rangle = {\bf y}^\top{\bf x}\)。
（這裡的右式把 \({\bf x}\) 和 \({\bf y}\) 都當成 \(n\times 1\) 的矩陣
而算出來的 \(1\times 1\) 的矩陣 \({\bf y}^\top{\bf x}\) 被當成一個數字。）

假設 \({\bf x}\) 與 \({\bf y}\) 都為 \(n\times 1\) 的矩陣，則 \({\by\trans}\) 會為\(1\times n\) 的矩陣。
將 \({\bf x}\) 與 \({\bf y}\) 帶入 \(\langle{\bf x},{\bf y}\rangle\)，
\(\langle{\bf x},{\bf y}\rangle\) = \(（{\bx_{1}\by_{1}+\bx_{2}\by_{2}+....+\bx_{n}\by_{n}}）\)。
將 \({\bf x}\) 與 \({\by\trans}\) 帶入 \({\bf y}^\top{\bf x}\)，
\({\bf y}^\top{\bf x}\) = \(（{\by_{1}\bx_{1} + \by_{2}\by_{2} +.... + \by_{n}\bx_{n}}）\)。
由上兩個式子的結果可以得證 \(\langle{\bf x},{\bf y}\rangle = {\bf y}^\top{\bf x}\) 。

Exercise 2(b)

若 \(A\) 和 \(B\) 分別為 \(m\times n\) 和 \(n\times \ell\) 的兩矩陣。
驗證 \((AB)^\top\) = \(B^\top A^\top\) 。

若 \(A\) 和 \(B\) 分別為 \(m\times n\) 和 \(n\times \ell\) 的兩矩陣。
則 \[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \text{ and } B = \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1\ell} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{n\ell} \\ \end{bmatrix} 。 \] 而 \[ AB = C_{m \ell} = \begin{bmatrix} c_{11} & \cdots & c_{1j} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ c_{i1} & \cdots & c_{ij} \end{bmatrix} i=1...m, j=1...\ell 。 \] 其中 \(C_{ij} = \sum\limits_{k = 1}^n a_{ik}b_{kj}\) 。
而 \(C\trans\) 為一 \(\ell\times m\) 的矩陣，且 \(C\trans\) 可表示為 \[ (AB)\trans = C\trans = \begin{bmatrix} c_{11} & \cdots & c_{i1} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ c_{1j} & \cdots & c_{ij} \end{bmatrix}, i=1...m, j=1...\ell 。 \] 且 \(C\trans\) 滿足 \(C\trans_{ij} = C_{ji} = \sum\limits_{k = 1}^n a_{jk}b_{ki}\) 。

因目前已知 \(A\) 和 \(B\) 分別為 \(m\times n\) 和 \(n\times \ell\) 的兩矩陣。
則 \(A\trans\) 和 \(B\trans\) 分別為 \(n\times m\) 和 \(\ell\times n\) 的兩矩陣，且 \(A\trans 、B\trans\) 可表示為 \[ A\trans = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \text{ and } B\trans = \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{n1} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ b_{1\ell} & \cdots & b_{n\ell} \\ \end{bmatrix} 。 \] 而 \(B\trans A\trans\) 為一 \(\ell\times m\) 的矩陣，且 \(B\trans A\trans\)可表示為 \[ B\trans A\trans = \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{n1} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ b_{1\ell} & \cdots & b_{n\ell} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_{11} & \cdots & d_{m1} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ d_{1\ell} & \cdots & d_{m \ell} \\ \end{bmatrix} = D. \] 而 \(D_{ij} = \sum\limits_{k = 1}^n a_{j k}b_{ki}\) 。
因此，矩陣 \(C\) 和矩陣 \(D\) 相等。
等價於 \((AB)\trans = B\trans A\trans\)。

Exercise 2©

驗證 \(\langle A{\bf x}, {\bf y}\rangle = {\bf y}^\top A{\bf x} = \langle {\bf x}, A^\top{\bf y}\rangle\)。

ANS:
經過以下計算可得到 \(\langle A{\bf x}, {\bf y}\rangle= (A\bf x)^\top \bf y =(\bf x^\top A^\top)\bf y=\langle {\bf x},A^\top{\bf y}\rangle\)，
以及 \(\langle {\bf x},A^\top{\bf y}\rangle=(A^\top\bf y)^\top (\bf x)= {\bf y}^\top A{\bf x}\)。
故得證。

Exercise 2(d)

證明 \(\operatorname{ker}(A) = \operatorname{ker}(A^\top A)\)。

因為 \(A^\top A\) 是一個方陣，
後面會證明一個方陣 \(M\) 可逆的等價條件就是 \(\ker(M) = \{{\bf 0}\}\)。
因此 \(\operatorname{ker}(A) = \{{\bf 0}\}\) 足以保證 \(A^\top A\) 可逆。

另一方面，
如果 \(\operatorname{ker}(A) \neq \{{\bf 0}\}\)，
表示 \(A\) 中的行向量有一些可以去掉並不會影響到行空間。
重覆這個步驟直到沒有任何多餘的行向量時
（這時行空間都還是同一個）
就保證有 \(\operatorname{ker}(A)\)。
（參考【矩陣的行向量】中的練習。）

ANS:
若 \(\bx\in\ker(A)\), 則 \(A \bx = \bzero\)，
兩邊同乘 \(A^\top\) 可得 \(A^\top A \bf x = A^\top 0=0\)。
因此 \(\bx\in\ker(A\trans A)\)。

而 \(\bx\in\ker(A^\top A)\) 表示 \(A^\top A \bx = \bzero\)，
兩邊同乘 \(\bf x^\top\) 可得 \(\bf x^\top A^\top A\bf x = (Ax)^\top Ax=0\)，
經整理後可得 \(\|{A\bf x}\|^2 = 0\)。

另一方面，令 \(\bf y=A \bf x\) 可得 \[\|\by\|^2 = \sum_{i = 1}^{n} y_i^2=0 \] 及 \(\by = A\bx = \bzero\)。
由此可知 \(\operatorname{ker}(A) = \operatorname{ker}(A^\top A)\)。

Exercise 3(a)

想像矩陣乘法就是一個動作（像是投影、或是鏡射）。
若 \(A\) 是一個投影矩陣、
\({\bf b}\) 是一個向量。
猜看看 \(A^2{\bf b}\)會是什麼？
猜看看 \(A^2\) 會是什麼？
（下方程式碼中的矩陣是一個投影矩陣。可以試試看。）

將 \(A^2{\bf b}\) 可以先拆解成 \(AA{\bf b}，\)
再透過矩陣乘法的性質，結合律得 \(A(A{\bf b})\)。
因此一共進行了兩次投影的矩陣乘法。
而不管投影幾次都會跟投影一次落在同一個向量，
因此 \(A^2{\bf b}=A{\bf b}\)，
又得 \(A^2=A\)。

### code
set_random_seed(0)
a = vector(random_int_list(3))
A = a.outer_product(a) / a.norm()**2
b = vector(random_int_list(3))

print("A =")
show(A)
print("b =", b)

Exercise 3(b)

想像矩陣乘法就是一個動作（像是投影、或是鏡射）
若 \(A\) 是一個鏡射矩陣、
\({\bf b}\) 是一個向量。
猜看看 \(A^2{\bf b}\) 會是什麼？
猜看看 \(A^2\) 會是什麼？
（下方程式碼中的矩陣是一個投影矩陣。
可以試試看。）

\(A^2{\bf b}\) 可以先拆解成成 \(AA{\bf b}\)，
再透過矩陣乘法的性質，結合律得 : \(A(A{\bf b})\)。
因此一共進行了兩次鏡射的矩陣乘法，
而鏡射兩次則會回到原本的向量。
因此 \(A^2{\bf b}={\bf b}\)，
得 \(A^2=I\)，所以 \(A^2\) 是一個單位矩陣。

### code
set_random_seed(0)
a = vector(random_int_list(3))
A = 2*a.outer_product(a) / a.norm()**2 - identity_matrix(3)
b = vector(random_int_list(3))

print("A =")
show(A)
print("b =", b)

Exercise 4

令 \(A\)、\(B\)、\(C\) 為矩陣
\({\bf x}\) 和 \({\bf y}\) 為向量、\(k\) 為純量。
驗證以下的矩陣運算等式。

Exercise 4(a)

1. \((AB)C = A(BC)\).
2. \(A(B + C) = AB + AC\).
3. \(A(kB) = k(AB)\).
4. \(A({\bf x} + {\bf y}) = A{\bf x} + A{\bf y}\).
5. \(A(k{\bf x}) = k(A{\bf x})\).

答：
1.\(((AB)C)_{ij}=[\sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}{B_{st}}]\sum\limits_{t = 1}^p{C_{tj}}=\sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}[\sum\limits_{t = 1}^p{B_{st}}{C_{tj}}]=(A(BC))_{ij}.\)
2.\((A(B + C))_{ij} = \sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}(B_{sj}+C_{sj})=\sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}B_{sj}+\sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}C_{sj}=(AB)_{ij}+(AC)_{ij}.\)
3.\((A(kB))_{ij}=\sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}(kB_{sj}）=k\sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}B_{sj}=k(AB)_{ij}.\)
\({\bf x} , {\bf y}\)向量可視為\(s\times 1\)之矩陣,
4.\((A({\bf x} + {\bf y}))_{i1} = \sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}({\bf x}_{s1}+{\bf y}_{s1})=\sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}{\bf x}_{s1}+\sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}{\bf y}_{s1}=(A{\bf x})_{i1}+(A{\bf y})_{i1}.\)
5.\((A(k{\bf x}))_{i1}=\sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}(k{\bf x}_{s1}）=k\sum\limits_{s = 1}^n{A_{is}}{\bf x}_{s1}=k(A{\bf x})_{i1}.\)

Exercise 4(b)

給一組例子使得 \(AB \neq BA\)。

答：
令 \(A\) 為 \({\ 2\times 2}\) 方陣， \(B\) 為 \({\ 2\times 3}\) 矩陣， \(AB\) 為 \({\ 2\times 3}\) 矩陣，而 \(BA\) 無法相乘。
故 \(AB \neq BA\)；
令 \(A\) , \(B\) 皆為 \({\ 2\times 2}\) 方陣， \[{\bf A }= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\text{ and } {\bf B} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}. \] \[ {\bf AB} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\text{ and } {\bf BA} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}, \] \(AB \neq BA\)，得證。

Exercise 4©

若 \(A\)、\(B\)、\(C\) 皆為可逆矩陣。
則 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。

答：
已知 \((AB)(AB)^{-1}= I_n\)。
因 \(AB\) 可逆， \[B^{-1}A^{-1} = B^{-1}A^{-1}I_n = B^{-1}A^{-1}(AB)(AB)^{-1} = (AB)^{-1}. \] 則\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)，得證。

Exercise 4(d)

定義一個方陣 \(M\) 的跡數（trace）為其對角線上的所有元素相加，記作 \(\operatorname{tr}(M)\)。
則 \(\operatorname{tr}(A +B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\)。

答：
設方陣\(A\)與\(B\)可相加。
依定義，\(\operatorname{tr}(A)= \sum\limits_{i = 1}^n{A_{ii}}\)且\(\operatorname{tr}(B)= \sum\limits_{i = 1}^n{B_{ii}}\)，
則 \[\begin{aligned} \tr(A+B) &= \sum_{i = 1}^n{({A_{ii}}+{B_{ii}})} \\ &= \sum_{i = 1}^n{A_{ii}}+\sum_{i = 1}^n{B_{ii}} \\ &= \tr(A) + \tr(B), \end{aligned} \] 得證。

Exercise 4(e)

若 \(A\) 是一個 \(2\times 2\) 的方陣。
則 \(\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)\)。
答：
設\(B\)亦為\(2\times 2\) 的方陣。\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}\text{ and } {\bf B} = \begin{bmatrix} q & w \\ e & r \\ \end{bmatrix},AB = \begin{bmatrix} aq+eb & aw+br \\ cq+de & cw+dr \\ \end{bmatrix}\]

則 \[\begin{aligned} \det(AB) &= -bcqr+adqr+bcwe-adwe \\ &=（ad-bc）\times（qr-we） \\ &=\det(A) \cdot \det(B), \end{aligned} \] 得證。

（實際上 \(n\times n\) 都對，但我們還沒學到 \(n\times n\) 方陣的行列式值怎麼算。）

補：
如 \(\det(B)=0\)，\(B\)不可逆，則 \(\operatorname{ker}(B)\) 不為 \(\{\bzero\}\)，存在非零向量 \(\bx\) 使\(B\bx=\bzero\)。 又 \(A(B\bx)=0=(AB)\bx\)，存在非零解使\((AB)\bx=\bzero\)，
故 \(\det(AB)=0=\det(A) \cdot \det(B)\)。

如 \(B\) 可逆，則 \(B\) 可表示為 \(n\) 個基本矩陣之積\(B=\prod_{i=1}^{n}E_{i}\)。
因此 \[\begin{aligned} \det(AB) = \det(A\prod_{i=1}^{n}E_{i}) &= \det(A)\det(E_1)\det(E_2)\cdots\det(E_n) \\ &= \det(A)\det(\prod_{i=1}^{n}E_{i})=\det(A) \cdot \det(B), \end{aligned} \] 得證。