# 向量空間中的矩陣表示法

This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

{%hackmd 5xqeIJ7VRCGBfLtfMi0_IQ %}

from lingeo import random_int_list, random_good_matrix
from linspace import vtop

## Main idea

Let $f : V \rightarrow U$ be a linear function,
$\alpha = \{ {\bf v}_1, \ldots, {\bf v}_n \}$ be a basis of $V$, and
$\beta$ a basis of $U$.
Then the matrix
$$[f]_\alpha^\beta = \begin{bmatrix}
| & ~ & | \\
[f({\bf v}_1)]_\beta & \cdots & [f({\bf v}_n)]_\beta \\
| & ~ & | \\
\end{bmatrix}
$$
has the property that $[f({\bf b})]_\beta = [f]_\alpha^\beta [{\bf b}]_\alpha$.
Therefore, we call $[f]_\alpha^\beta$ the **matrix representation** of $f$ with respect to $\alpha$ and $\beta$.

The equality can be visualized by the following diagram.
$$\begin{array}{ccc}
{\bf b} & \xrightarrow{f} & f({\bf b}) \\
\downarrow & ~ & \downarrow \\
[{\bf b}]_\alpha & \xrightarrow{[f]_\alpha^\beta\cdot\square} & [f({\bf b})]_\beta \\
\end{array}
$$

Let $A = [f]_\alpha^\beta$.
Lots of (if not all) information about $f$ can be found from the the matrix representation.
- $\operatorname{range}(f) = \{{\bf u}\in U: [{\bf u}]_\beta\in\operatorname{range}(A)\}$
- $\operatorname{ker}(f) = \{{\bf v}\in V: [{\bf v}]_\beta\in\operatorname{ker}(A)\}$
- $\operatorname{rank}(f) = \operatorname{rank}(A)$
- $\operatorname{null}(f) = \operatorname{null}(A)$

##### Dimension theorem (general)

Let $f$ be a linear function from $V$ to $U$.
Then $\operatorname{rank}(f) + \operatorname{null}(f) = \dim(V)$.

## Side stories
- derivative
- transpose

## Experiments

##### Exercise 1

執行以下程式碼。
已知 $f$ 為 $\mathcal{P}^2$ 到 $\mathcal{P}^1$ 的線性函數﹐
而 $\alpha$ 和 $\beta$ 分別為 $\mathcal{P}^2$ 和 $\mathcal{P}^1$ 的一組基底。

**[程式碼有更新]**

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False
m,n = 2,3
alpha = random_good_matrix(n,n,n, bound=3)
beta = random_good_matrix(m,m,m, bound=3)
A = matrix(m, random_int_list(m*n))
v = vector(random_int_list(n, 3))
b = alpha * v

print("alpha contains %s polynomials:"%n)
for j in range(n):
    print("v%s ="%(j+1), vtop(alpha.column(j)))

print("beta contains %s polynomials:"%m)
for i in range(m):
    print("u%s ="%(i+1), vtop(beta.column(i)))

for j in range(n):
    print( "f(v%s) = "%(j+1) + " + ".join("%s u%s"%(A[i,j],i+1) for i in range(m)) )
    
print("b =", vtop(b))

if print_ans:
    print("[b]_alpha =", v)
    print("[f(b)]_beta =", A*v)
    print("f(b) =", vtop(beta * A * v))
    print("[f]_alpha^beta =")
    show(A)

##### Exercise 1(a)

求 $[{\bf b}]_\alpha$、$[f({\bf b})]_\beta$ 、及 $f({\bf b})$。

:::warning
- [x] 用 `aligned` 排好，像是
$$\begin{aligned}
\bv_1 &= (1,-3,0), \\
\bv_2 &= (3,-8,-1),\\
\bv_3 &= (1,-1,-1)
\end{aligned}
$$
- [x] 後面的 $f(\bb)$ 也是可以用 `aligned` 將等號對齊
- [x] 最後面不要只要數學式，句子要完整
:::

$Ans:$
藉由 `seed = 0`得到
$\alpha = \{{\bf v}_1, \ {\bf v}_2\,
\ {\bf v}_3\}$ 為 $V$ 的一組基底，
\
$\beta = \{{\bf u}_1, \ {\bf u}_2\}$ 為 $U$ 的一組基底。

$$\begin{aligned}
\bv_1 &= (1,-3,0), \\
\bv_2 &= (3,-8,-1),\\
\bv_3 &= (1,-1,-1).
\end{aligned}
$$

$$\begin{aligned}
\bu_1 &=(1,2),\\
\bu_2 &=(1,3).
\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
f({\bf v}_1)&=4{\bf u}_1+2{\bf u}_2=(6,14),\\
f({\bf v}_2)&=-4{\bf u}_1+4{\bf u}_2=(0,4),\\
f({\bf v}_3)&=-3{\bf u}_1+-4{\bf u}_2=(-7,-18),
\end{aligned}$$

$${\bf b}=(6,-19,-1).$$
將 ${\bf b}$ 由 ${\bf v}_1$、${\bf v}_2$、${\bf v}_3$ 表示
\
經過計算後得
$${\bf b}=-1{\bf v}_1+3{\bf v}_2-2{\bf v}_3.$$
而由 ${\bf \alpha}$ 表示為
$$[{\bf b}]_\alpha=
\begin{bmatrix}
-1\\
3\\
-2\end{bmatrix}.
$$
接著計算 $f({\bf b})$
\
因為 $f$ 為 $\mathcal{P}^2$ 到 $\mathcal{P}^1$ 的線性函數
\
所以
$$\begin{aligned}f({\bf b})
&=f(-1{\bf v}_1+3{\bf v}_2-2{\bf v}_3)
\\&=-1f({\bf v}_1)+3f({\bf v}_2)-2f({\bf v}_3)
\\&=-10{\bf u}_1+18{\bf u}_2\\&=(8,34).\end{aligned}$$

因此
$$[f({\bf b})]_\beta=\begin{bmatrix}
-10\\
18\end{bmatrix},
$$
$$f({\bf b})=\begin{bmatrix}
8\\
34\end{bmatrix}.
$$

##### Exercise 1(b)

:::warning

- [x] 中英數之間空格
:::

求 $[f]_\alpha^\beta$。

$Ans:$
\
由定義可知
$$[f]_\alpha^\beta=\begin{bmatrix}
| & | & |\\
[f({\bf v}_1)]_\beta & [f({\bf v}_2)]_\beta & [f({\bf v}_3)]_\beta\\
| & | & | \\
\end{bmatrix}$$
將 ${\bf v}_1$、${\bf v}_2$、${\bf v}_3$ 代入上式得
$$[f]_\alpha^\beta=\begin{bmatrix}
4&-4&-3\\
2&4&-4\end{bmatrix}.
$$

## Exercises

##### Exercise 2

令 $f : V \rightarrow \mathbb{R}^m$ 為一線性函數、
$\alpha = \{{\bf v}_1, \ldots, {\bf v}_n\}$ 為 $V$ 的一組基底、
$\beta = \{{\bf u}_1, \ldots, {\bf u}_m\}$ 為 $U$ 的一組基底。

##### Exercise 2(a)

令 $V = \mathcal{P}^3$、$U = \mathcal{P}^2$ 且
$f(p) = p'$ 為 $p$ 的微分。
令 $\alpha$、$\beta$ 分別為 $V$ 和 $U$ 的標準基底。
求 $[f]_\alpha^\beta$、$\operatorname{rank}(f)$、及 $\operatorname{null}(f)$。

:::warning

- [x] 這題的大型矩陣裡最後面多了一個空行
- [x] 不要只有數學式，說明寫清楚
- [x] 標點
:::

$Ans:$
\
因為 $\alpha$、$\beta$ 分別為 $V$ 和 $U$ 的標準基底。
\
所以令
$$
\alpha=\{1,x,x^2,x^3\}，
\\
\beta=\{1,x,x^2\}。
$$
由定義可知
$$
[f]_\alpha^\beta=\begin{bmatrix}
| & | & | & |\\
[f(1)]_\beta & [f(x)]_\beta & [f(x^2)]_\beta & [f(x^3)]_\beta\\
| & | & | & |\\
\end{bmatrix}
\\
=\begin{bmatrix}
| & | & | & |\\
[0]_\beta & [1]_\beta & [f(2x)]_\beta & [3x^2]_\beta\\
| & | & | & |\\
\end{bmatrix}
\\
=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
\end{bmatrix}.
$$
令 $A = [f]_\alpha^\beta$.
\
因為 $\operatorname{rank}(f) + \operatorname{null}(f) = \dim(V) = 4$，
\
而 $\operatorname{rank}(f) = \operatorname{rank}(A)=3$，
\
所以 $\operatorname{null}(f) = \operatorname{null}(A)=1$。

##### Exercise 2(b)

令 $V = \mathcal{P}^3$、$U = \mathcal{P}^3$ 且
$f(p) = p'$ 為 $p$ 的微分。
令 $\alpha$、$\beta$ 分別為 $V$ 和 $U$ 的標準基底。
求 $[f]_\alpha^\beta$、$\operatorname{rank}(f)$、及 $\operatorname{null}(f)$。

:::warning

- [x] 跟上一題問題一樣
:::

$Ans:$
\
因為 $\alpha$、$\beta$ 分別為 $V$ 和 $U$ 的標準基底。
\
所以令
$$
\alpha=\{1,x,x^2,x^3\}，
\\
\beta=\{1,x,x^2,x^3\}。
$$
由定義可知
$$
\\
[f]_\alpha^\beta=\begin{bmatrix}
| & | & | & |\\
[f(1)]_\beta & [f(x)]_\beta & [f(x^2)]_\beta & [f(x^3)]_\beta\\
| & | & | & |\\
\end{bmatrix}
\\
=\begin{bmatrix}
| & | & | & |\\
[0]_\beta & [1]_\beta & [f(2x)]_\beta & [3x^2]_\beta\\
| & | & | & |\\
\end{bmatrix}
\\
=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}.
$$
令 $A = [f]_\alpha^\beta$，
\
因為 $\operatorname{rank}(f) + \operatorname{null}(f) = \dim(V)=4$，
\
而 $\operatorname{rank}(f) = \operatorname{rank}(A)=3$，
\
所以 $\operatorname{null}(f) = \operatorname{null}(A)=1$。

##### Exercise 2(c)

令 $V = \mathcal{P}^3$、$U = \mathcal{P}^4$ 且
$f(p) = (1-x)\cdot p$。
令 $\alpha$、$\beta$ 分別為 $V$ 和 $U$ 的標準基底。
求 $[f]_\alpha^\beta$、$\operatorname{rank}(f)$、及 $\operatorname{null}(f)$。

:::warning

- [x] 跟上一題問題一樣
:::

$Ans:$
\
因為 $\alpha$、$\beta$ 分別為 $V$ 和 $U$ 的標準基底。
\
所以令
$$
\alpha=\{1,x,x^2,x^3\}，
\\
\beta=\{1,x,x^2,x^3,x^4\}。
$$
由定義可知
$$
[f]_\alpha^\beta=\begin{bmatrix}
| & | & | & |\\
[f(1)]_\beta & [f(x)]_\beta & [f(x^2)]_\beta & [f(x^3)]_\beta\\
| & | & | & |\\
\end{bmatrix}
\\
=\begin{bmatrix}
| & | & | & |\\
[1-x]_\beta & [x-x^2]_\beta & [x^2-x^3]_\beta & [x^3-x^4]_\beta\\
| & | & | & |\\
\end{bmatrix}
\\
=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1\\
\end{bmatrix}
$$
令 $A = [f]_\alpha^\beta$，
\
因為 $\operatorname{rank}(f) + \operatorname{null}(f) = \dim(V)=4$，
\
而 $\operatorname{rank}(f) = \operatorname{rank}(A)=4$，
\
所以 $\operatorname{null}(f) = \operatorname{null}(A)=0$。

##### Exercise 2(d)

令 $V = U = \mathcal{M}_{2,2}$ 且
$f(A) = A^\top$ 為 $A$ 的轉置。
令 $\alpha = \beta$ 為 $\mathcal{M}_{2,2}$ 的標準基底。
求 $[f]_\alpha^\beta$、$\operatorname{rank}(f)$、及 $\operatorname{null}(f)$。

:::warning

- [x] 跟上一題問題一樣
- [x] 基底選錯了，感覺你在回答 $\mathcal{M}_{2,1}$？
:::

$Ans:$
\
因為 $\alpha$、$\beta$ 為 $\mathcal{M}_{2,2}$ 的標準基底。
\
所以令
$$
\alpha=\beta=\left\{
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\right\}.
$$
由定義可知
$$
[f]_\alpha^\beta=\begin{bmatrix}
| & |&|&|\\
[f(\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix})]_\beta & [f(\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix})]_\beta&[f(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix})]_\beta &[f(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix})]_\beta \\
| & |&|&|\\
\end{bmatrix}
\\
=\begin{bmatrix}
| & | &|&| \\
[\begin{bmatrix}1 & 0\\0&0\\\end{bmatrix}]_\beta & [\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix}]_\beta &[\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}]_\beta &[\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}]_\beta\\
| & | &|&| \\
\end{bmatrix}
\\
=\begin{bmatrix}
1 & 0&0&0\\
0 & 0&1&0\\
0 & 1&0&0\\
0 & 0&0&1\\
\end{bmatrix}.
$$
令 $A = [f]_\alpha^\beta$.
\
因為 $\operatorname{rank}(f) + \operatorname{null}(f) = \dim(V)=4$，
\
而 $\operatorname{rank}(f) = \operatorname{rank}(A)=4$，
\
所以 $\operatorname{null}(f) = \operatorname{null}(A)=0$。

##### Exercise 2(e)

令
$$M = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4 \\
\end{bmatrix}.
$$
令 $V = U = \mathcal{M}_{2,2}$ 且
$f(A) = MA$。
令 $\alpha = \beta$ 為 $\mathcal{M}_{2,2}$ 的標準基底。
求 $[f]_\alpha^\beta$、$\operatorname{rank}(f)$、及 $\operatorname{null}(f)$。

:::warning

- [x] 跟上一題問題一樣
- [x] 基底選錯了，感覺你在回答 $\mathcal{M}_{2,1}$？
:::

$Ans:$
\
因為 $\alpha$、$\beta$ 為 $\mathcal{M}_{2,2}$ 的標準基底。
\
所以令
$$
\alpha=\beta=\left\{
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\right\}.
$$
由定義可知
$$
[f]_\alpha^\beta=\begin{bmatrix}
| & |&|&|\\
[f(\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix})]_\beta & [f(\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix})]_\beta&[f(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix})]_\beta &[f(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix})]_\beta \\
| & |&|&|\\
\end{bmatrix}
\\
=\begin{bmatrix}
| & |&|&|\\
[\begin{bmatrix}1&0\\2&0\\\end{bmatrix}]_\beta & [\begin{bmatrix}0&1\\0&2\\\end{bmatrix}]_\beta&[\begin{bmatrix}2&0\\4&0\\\end{bmatrix}]_\beta &[\begin{bmatrix}0&2\\0&4\\\end{bmatrix}]_\beta \\
| & |&|&|\\
\end{bmatrix}
\\
=\begin{bmatrix}
1 & 0&2&0\\
0 & 1&0&2\\
2 & 0&4&0\\
0 & 2&0&4\\
\end{bmatrix}.
$$
令 $A = [f]_\alpha^\beta$.
\
因為 $\operatorname{rank}(f) + \operatorname{null}(f) = \dim(V)=4$，
\
而 $\operatorname{rank}(f) = \operatorname{rank}(A)=2$，
\
所以 $\operatorname{null}(f) = \operatorname{null}(A)=2$。

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目前分數 6.5
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