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Syncing
xxxxxxxxxx
基底
This work by Jephian Lin is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
\(\newcommand{\trans}{^\top} \newcommand{\adj}{^{\rm adj}} \newcommand{\cof}{^{\rm cof}} \newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle} \newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\bone}{\mathbf{1}} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\nul}{\operatorname{null}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} %\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}} \newcommand{\range}{\operatorname{range}} \newcommand{\Col}{\operatorname{Col}} \newcommand{\Row}{\operatorname{Row}} \newcommand{\spec}{\operatorname{spec}} \newcommand{\vspan}{\operatorname{span}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\idmap}{\operatorname{id}} \newcommand{\am}{\operatorname{am}} \newcommand{\gm}{\operatorname{gm}} \newcommand{\mult}{\operatorname{mult}} \newcommand{\iner}{\operatorname{iner}}\)
Main idea
Let \(V\) be a subspace in \(\mathbb{R}^n\) and \(S\) a set of vectors.
The set \(S\) is a spanning set of \(V\) if \(V = \operatorname{span}(S)\).
The set \(S\) is a basis of \(V\) if
In other words, \(S\) is a basis of \(V\) if every vector in \(V\) can be written as a linear combination of \(S\) and the representation is unique.
Let \(\mathcal{E}_n = \{ {\bf e}_1, \ldots, {\bf e}_n \}\) be the columns of \(I_n\).
Then \(\beta\) is a basis of \(\mathbb{R}^n\).
We call \(\mathcal{E}_n\) as the standard basis of \(\mathbb{R}^n\).
Let \(S\) and \(T\) be two sets of vectors in \(\mathbb{R}^n\).
If \(T\subseteq\operatorname{span}(S)\), then \(\operatorname{span}(T)\subseteq\operatorname{span}(S)\).
Suppose the sets \(S\) and \(T\) are finite.
Let \(A_S\) and \(A_T\) be the matrices whose columns are vectors in \(S\) and in \(T\), respectively.
Let \(\left[\begin{array}{c|c} R_S & R_T \end{array}\right]\) be the reduced echelon form of \(\left[\begin{array}{c|c} A_S & A_T \end{array}\right]\).
Then the following are equivalent:
Let \(A\) be an \(m\times n\) matrix.
Then the set of columns of \(A\) is a basis of \(\operatorname{Col}(A)\) if \(\operatorname{ker}(A) = \{{\bf 0}\}\).
In particular, if \(m = n\) and \(A\) is invertible, then the set of columns of \(A\) is a basis of \(\mathbb{R}^n\).
Side stories
Experiments
Exercise 1
執行下方程式碼。
令 \(S\) 和 \(T\) 為 \(A_S\) 和 \(A_T\) 的各行向量。
已知 \(\left[\begin{array}{c|c} A_S & A_T \end{array}\right]\) 的最簡階梯形式矩陣為 \(\left[\begin{array}{c|c} R_S & R_T \end{array}\right]\)﹐
而 \(\left[\begin{array}{c|c} A_T & A_S \end{array}\right]\) 的最簡階梯形式矩陣為 \(\left[\begin{array}{c|c} Q_T & Q_S \end{array}\right]\)。
藉由
seed = 0
得到\(\left[\begin{array}{c|c} A_S & A_T \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|ccc} 42 & -71 & 244 & 49 & 72 & 8 \\ -159 & 270 & 919 & -191 & -279 & -35 \\ 610 & -1035 & -3529 & 729 & 1066 & 131 \\ -2590 & 4396 & 14978 & -3102 & -4534 & -562 \\ 6356 & -10789 & -36753 & 7617 & 11132 &1383 \end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{c|c} R_S & R_T \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 43 & 67 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 11 & 18 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{c|c} Q_T & Q_S \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 18 & -31 & -108 \\ 0 & 1 & 0 & -11 & 19 & 66 \\ 0 & 0 & 1 & -6 & 10 & 37 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\)
Exercise 1(a)
問 \(\operatorname{span}(S)\subseteq\operatorname{span}(T)\)?
漂亮的解法!
\(Ans:\)
\(\left[\begin{array}{c|c} A_T & A_S \end{array}\right]\) 的最簡階梯形式為
\[ \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 18 & -31 & -108\\ 0 & 1 & 0 & -11 & 19 & 66\\ 0 & 0 & 1 & -6 & 10 & 37\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right], \]
所以
\[ A_T \begin{bmatrix} 18 & -31 & -108\\ -11 & 19 & 66\\ -6 & 10 & 37\\ \end{bmatrix}=A_S, \]
可以看出每個 \(S\) 中的向量都在 \(\operatorname{Col}(A_T)\) 中,即 \(S \subseteq \operatorname{Col}(A_T) = \vspan(T)\)。
因為 \(S \subseteq \vspan(T)\) 得證 \(\vspan(S) \subseteq \vspan(T)\)。
Exercise 1(b)
問 \(\operatorname{span}(T)\subseteq\operatorname{span}(S)\)?
\(Ans\):
同上題
\[ A_S \begin{bmatrix} 43 & 67 & 6\\ 11 & 18 & 0\\ 4 & 6 & 1\\ \end{bmatrix}=A_T, \]
可以看出每個 \(T\) 中的向量都在 \(\operatorname{Col}(A_S)\) 中,即 \(T \subseteq \operatorname{Col}(A_S) = \vspan(S)\)。
因為 \(T \subseteq \vspan(S)\) 得證 \(\vspan(T) \subseteq \vspan(S)\)。
所以其實 \(\vspan(S) = \vspan(T)\)。
Exercises
Exercise 2(a)
執行以下程式碼。
其中 \(R\) 是 \(A\) 的最簡階梯形式矩陣。
說明 \(A\) 的行向量所成的集合
是 \(A\) 的行空間的基底。
\(Ans\):
令
set_random_seed(0)
,則
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ -5 & -14 & -30\\ -15 & -42 & -89\\ 28 & 79 & 162\\ -13 & -37 & -73 \end{bmatrix}, R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \]
根據 \(A\) 的 RREF,\(\ker(A) = \{ {\bf 0} \}\),所以 \(A\) 的所有行向量線性獨立。
同時 \(\Col(A)\) 為 \(A\) 的所有行向量所生成,
故 \(A\) 的所有行向量所成集合為行空間的基底。
Exercise 2(b)
執行以下程式碼。
其中 \(R\) 是 \(A\) 的最簡階梯形式矩陣。
說明 \(A\) 的行向量所成的集合
是 \(\mathbb{R}^4\) 的基底。
由最簡階梯形式可以發現不存在自由變數,所以 \(\ker(A) = \{\bzero\}\) 且 \(A\) 的行向量獨立。另一方面,由於 \(R\) 有 \(4\) 個軸,所以對任何 \(\bb\in\mathbb{R}^4\) 來說 \(A\bx = \bb\) 都有解,也就是任何 \(\bb\in\mathbb{R}^4\) 都落在 \(\Col(A)\) 中,因此 \(A\) 的行向量集形成 \(\mathbb{R}^4\) 的一組基底。
\(Ans\):
令
set_random_seed(0)
,則
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & -5\\ -3 & -8 & -20 & 15\\ 15 & 41 & 96 & -72\\ 43 & 118 & 272 & -208 \end{bmatrix}, R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]
由最簡階梯形式可以發現不存在自由變數,所以 \(\ker(A) = \{\bzero\}\) 且 \(A\) 的行向量獨立。
另一方面,由於 \(R\) 有 \(4\) 個軸,所以對任何 \(\bb\in\mathbb{R}^4\) 來說 \(A\bx = \bb\) 都有解,
也就是任何 \(\bb\in\mathbb{R}^4\) 都落在 \(\Col(A)\) 中,因此 \(A\) 的行向量集形成 \(\mathbb{R}^4\) 的一組基底。
Exercise 2©
令
\[\beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}\]
且
\[V = \{ {\bf x}\in\mathbb{R}^3 : \langle {\bf 1},{\bf x}\rangle = 0 \}. \]
其中 \({\bf 1}\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 中的全 \(1\) 向量。
證明 \(\beta\) 是 \(V\) 的一組基底。
清楚明瞭~
\(Ans\):
由定義知道
\[ \vspan(\beta) = \left\{ \begin{bmatrix} c_1\\ -c_1 + c_2\\ -c_2 \end{bmatrix}:c_1,c_2 \in \mathbb{R} \right\}, \]
對於所有 \(\vspan(\beta)\) 中的元素 \({\bf b}\),都有 \(\langle {\bf 1} , {\bf b} \rangle = c_1 - c_1 + c_2 - c_2 = 0\),
所以 \(\vspan(\beta) \subseteq V\)。
而 \(V\) 也可以寫成 \(V = \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0 \}\),對於所有 \(V\) 中的元素 \((x_1,x_2,x_3)\),
都可以寫成 \((x_1,-x_1-x_3 ,-(-x_3))\) ,所以 \(V \subseteq \vspan(\beta)\)。
所以 \(V = \vspan(\beta)\)。
解 \(\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right]\),只有零解,所以 \(\beta\) 內所有元素線性獨立,
所以 \(\beta\) 是 \(V\) 的一組基底。
Exercise 3
以下的例子說明了多項式也有類似地基底的性質:
每一個多項式都可以被某些多項式組合出來、
而且「表示法唯一」。
Exercise 3(a)
證明每一個二次多項式 \(f(x)\) 都可以寫成 \(c_0 + c_1(x-1) + c_2(x-1)^2\) 的樣子﹐
而且 \(c_0,c_1,c_2\) 的選擇唯一。
水啦~
\(Ans\):
將題目的多項式展開: \((c_0 - c_1 + c_2) + (c_1x - 2c_2) + c_2x^2\)
可發現 \(c_2\) 決定了二項式 \(x^2\)的係數,\(c_1\) 決定 \(x\) 的係數,\(c_3\) 則是決定常數項的係數。
因此只要 \(c_1\) 、 \(c_2\) 、 \(c_3\) 彼此可運算,則可用來表示所有二次多項式。
我們可以把問題看成,\(S = \left\{ \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\1\\-1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\-2\\1 \end{bmatrix} \right\}\) 是不是 \(\mathbb{R}^3\) 的一組基底,
令 \(A\) 為一矩陣其行向量為 \(S\) 的所有元素。 因為 \(\ker(A) = \{ {\bf 0} \}\) 所以 \(S\) 中元素為線性獨立且 \(S\) 有三個元素,
所以,\(S\) 內的所有元素是 \(\mathbb{R}^3\) 的一組基底,並且每一個二次多項式 \(f(x)\) 都可以寫成 \(c_0 + c_1(x-1) + c_2(x-1)^2\)。
Exercise 3(b)
令
\[\begin{aligned} f_1(x) &= \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}, \\ f_2(x) &= \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}, \\ f_3(x) &= \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}. \\ \end{aligned} \]
證明每一個二次多項式 \(f(x)\) 都可以寫成 \(c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + c_3f_3(x)\) 的樣子﹐
而且 \(c_1,c_2,c_3\) 的選擇唯一。
\(Ans\):
我們可從題目發現
當 \(x=1,f_1(x) = 1,f_2(x) = 0,f_3(x) = 0,\)
\(x=2,f_1(x) = 0,f_2(x) = 1,f_3(x) = 0,\)
\(x=3,f_1(x) = 0,f_2(x) = 0,f_3(x) = 1,\)
因此多項式 \(f(x) = c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + c_3f_3(x)\)
\(f(1) = c_1,f(2) = c_2,f(3) = c_3\)
當兩二次式有三個相同的解時,兩者必定為同一多項式。
因此指定 \(c_1,c_2,c_3\),即可表示所有二次方程式。
Exercise 4
執行以下程式碼。
其中 \(B\) 為 \(A\) 的反矩陣。
令 \(S = \{{\bf u}_1,{\bf u}_2,{\bf u}_3\}\) 為 \(A\) 的各行向量。
因為 \(A\) 可逆﹐所以 \(S\) 為 \(\mathbb{R}^3\) 的一組基底。
也就是說﹐每一個 \(\mathbb{R}^3\) 中的向量都可以用 \(S\) 中的向量組合出來﹐而且組合方法唯一。
令
set_random_seed(0)
得\(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ -5 & -14 & -30\\ -15 & -42 & -89 \end{bmatrix},B = \begin{bmatrix} -14 & 57 & -20\\ 5 & -14 & 5\\ 0 & -3 & 1 \end{bmatrix}\)。
Exercise 4(a)
令 \({\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3\) 分別為 \(I_3\) 的三個行向量。
對每一個 \(i = 1,2,3\)﹐求出 \({\bf e}_i\) 寫成 \(S\) 的線性組合的表示法。
\(Ans\):
因為 \(B\) 是 \(A\) 的反矩陣,所以
\[ \begin{aligned} AB&=A\begin{bmatrix} | & | & |\\ {\bf b}_1 & {\bf b}_2 & {\bf b}_3\\ | & | & |\\ \end{bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix} | & | & |\\ {\bf e}_1 & {\bf e}_2 & {\bf e}_3\\ | & | & |\\ \end{bmatrix}\\\\ &=I,\\ \end{aligned} \]
所以 \(A {\bf b}_i = {\bf e}_i\),
\[ \begin{cases} {\bf e}_1 = -14{\bf u}_1 + 5{\bf u}_2,\\ {\bf e}_2 = 57{\bf u}_1 - 14{\bf u}_2 - 3{\bf u}_3,\\ {\bf e}_3 = -20{\bf u}_1 + 5{\bf u}_2 + {\bf u}_3. \end{cases} \]
Exercise 4(b)
令 \({\bf b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
求出 \({\bf b}\) 寫成 \(S\) 的線性組合的表示法。
Good.
我原本想的答案是 \(B\bone = (23,-4,-2)\),不過意思一樣。
\(Ans\):
\[ \begin{aligned} {\bf b} &= {\bf e}_1 + {\bf e}_2 + {\bf e}_3\\ &= 23{\bf u}_1 - 4{\bf u}_2 - 2{\bf u}_3。 \end{aligned} \]
很多答案想法都很好!
只有一些要改的
目前分數 6.5/5