Este documento faz parte da [Proposta 2022 de Thanos][main].

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[TOC]

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# IEA: Introdução a Estruturas Algébricas

(Equivalente ao módulo **FMC2c** da proposta *FMCnx*.)

## Ementa detalhada

1. **Grupos (6h)**

1. Permutações: notação de cíclos e verificação das leis de grupo para os Sₙ. De Sₙ para grupos: definições alternativas de grupo baseadas em assinaturas diferentes; notação, exemplos e não-exemplos, incluindo casos numéricos (em particular da aritmética modular), famílias de conjuntos, espaços de funções e relações, strings. Definições de grupo abeliano, monóide, semigrupo, magma.
1. Definição de teoria e de modelo, e as primeiras conseqüências (teoremas) das leis (axiomas) dos grupos: unicidade de identidade e dos inversos, leis de cancelamento e de resolução de equações, inverso da identidade, de inversos, e de produtos, e sua expressão com diagramas comutativos. Independencia de axiomas: como demonstrar a não-demonstrabilidade. Critérios para verificar se uma estrutura é um grupo. Como definir um grupo: tabelas de Cayley.
1. Construções: o produto direto de grupos, grupo livre.
1. Potências (com expoentes de naturais até inteiros) e ordem de membro de grupo incluindo demonstrações das suas propriedades (por indução e usando o lema da divisão de Euclides).

1. **Subgrupos e o grupo quociente (6h)**

5. Subgrupos: definição, exemplos, nao-exemplos, critérios; "subgrupo de" como relação de ordem; propriedade de interseção de subgrupos; relações de equivalência determinadas por subgrupos. Subgrupo gerado por subconjunto: como definir tanto top-down quanto bottom-up e demonstração por indução da sua equivalência. Exemplos fora da teoria dos grupos, incluindo conjuntos convexos e o fecho convexo.
1. Congruência (modulo subgrupo) e coclasses. Verificação que se trata de relação de equivalencia e partição. Subgrupos normais: definições alternativas e verificação da sua equivalencia. O grupo quociente.
1. O teorema de Lagrange e o indice dum subgrupo num grupo. Aplicações em teoria dos números incluindo obter o teorema de Euler (e logo o pequeno Fermat também) como corolário de Lagrange.

1. **Homomorfismos e isomorfismos (6h)**

8. Simetrias, os grupos simetricos, e os diagramas Hasse dos reticulados dos seus subgrupos. Homomorfismos e preservação da estrutura algebrica. Critérios de homomorfismos para grupos. Monomorfismos, epimorfismos, isomorfismos, endomorfismos, e automorfismos. O grupo Aut(G).
1. Núcleo, imagem, e o primeiro teorema de isomorfismos de Noether para grupos.
1. Um esboço do teorema de representação para grupos (teorema de Cayley).

1. **Outras estruturas (6h)**

9. Outras estruturas, seus primeiros teoremas e as definições de homomorfismo: semigrupo, monoide, anel, anel booleano. O monoide livre e o fecho de Kleene (Kleene star). Corpos, corpos ordenados completos e o enunciado da sua unicidade a menos de isomorfismo (os números reais). Espaços Vetoriais.
1. Reticulados como álgebras. Construções e mapeamentos (monotonos, order-embeddings, e ordem-isomorfismos). O reticulado de subgrupos e de subgrupos normais. Homomorfismos e subreticulados.
1. Reticulados booleanos. Enunciado do teorema de representação de Stone.
1. Algebras de termos.

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5. **Categorias (6h)**

13. Definição de categoria e exemplos, incluindo categorias associadas à programação e à lógica, e categorias a partir de preordens e posets. Dualidade e a definição de categoria oposta. Mono, epi, split mono, split epi, e iso.
1. Definições (como especificações) por propriedades universais e diagramas comutativos: objetos terminais e inicias, produtos e coprodutos. Suas unicidades a menos de isomorfismo. Subobjetos, objetos quocientes, objeto livre, e suas propriedades universais. Verificação da sua existencia nas categorias encontradas.

## Objetivos de aprendizagem

1. Compreensão do papel da álgebra no estudo de estruturas de interesse computacional.
1. Prática das técnicas de demonstração matemática e do uso do raciocínio equacional.
1. Apreciar a conexão entre axiomas e seus modelos, e o conceito de independência lógica.
1. Familiarização com a linguagem básica e as idéias elementares da Teoria das Categorias, incluindo o uso de diagramas comutativos para expressar proposições (leis e teoremas), especificações e definições.

## Bibliografia

* Aluffi (2009): *Algebra, Chapter 0* (Cap: II)
* Herstein (1975): *Topics in Algebra, 2nd ed.*
* Birkhoff & Mac Lane (1977): *A Survey of Modern Algebra, 4th ed.*
* Mac Lane & Birkhoff (1999): *Algebra, 3rd ed.*
* Davey & Priestley (2002): *Introduction to Lattices and Order, 2nd ed.*
* Barr & Wells (1998): [*Category Theory for Computing Science, 2nd ed., 2020 reprint*][ctcs3]

### Auxiliar

* Goldblatt (1979): *Topoi*
* Crole (1993): *Categories for Types* (Cap: 1,2,3)

## Pointers

* Álgebra Universal
* Teoria das Categorias
* Estruturas algébricas usadas por linguagens de programação
* Conceitos categóricos usados por linguagens de programação
* Expressões regulares e linguagens formais
* Algebra abstrata
* Teoria dos Grupos
* Teoria dos Aneis
* Teoria dos Reticulados
* Teoria de Galois
* Teoria dos Modelos

[ctcs3]: http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22.pdf