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2024-10-04 (LA)
A relação de ( | )
1 | a
( | ).reflexividade
( | ).transitividade
Lucas Manoel changed 7 months agoView mode Like 1 Bookmark
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2024-03-18 (IG)
Sub-coisas.
Definição de subgrupo
$\Theta. (\forall m: \text{Int})[m\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}]$
2024-03-19 (DM)
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2023-03-27 (IG)
Demonstre que para quaisquer $a, b$ e $c$, Se $a|b + c$ e $a|b$ então $a|c$.
Demonstre que para qualquer $p$, se $2|p^2$ então $2|p$.
2023-03-28 (IL)
Enquanto isso, no mundo do reais...
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Referência principal: fmcbook.
2023-08-17 (IM)
Vamos brincar de indução. Demonstre as seguintes:
"A soma de Gauss" vale. Isto é, para todo natural $n$, $\sum\limits_{i=1}^{n}i = \dfrac{n(n+1)}{2}$;
Todo inteiro maior ou igual à 8 pode ser escrito da forma 3x + 5y.
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Veja também o AulaBook 2022.1.
2022-07-04
Definimos recursivamente as potências naturais dos racionais, onde $a \in \mathbb Q$ e $n \in \mathbb N$:
$$ a^0 = 1 $$
$$ a^{n+1} = a a^n $$
Demonstre, para quaisquer $a \in \mathbb Q$ e $n, m \in \mathbb N$:
IDMa: Elementos da teoria dos números inteiros
Axiomas sobre os inteiros (domínio de integridade bem ordenado). Demonstrações de teoremas pelos axiomas sobre as operações e a ordem. A relação de divisibilidade e a verificação de suas propriedades. Infinidade de primos: a demonstração construtiva de Euclides. Lema de divisão. Sistemas posicionais para numerais: demonstração da sua corretude. mdc,mmc&demonstrações das suas propriedades. Algoritmo estendido de Euclides: corretude&terminação. Demonstração do teorema Fundamental de Aritmética. Congruência módulo um inteiro e demonstrações das suas propriedades. Aritmética modular e propriedades do Z/mZ. Teoremas de Fermat e de Euler. Conjecturas&aplicações. OBJ: Uso do conteúdo concreto para introduzir o pensamento matemático e o processo de definir conceitos, enunciar e demonstrar teoremas. Familiarizar com a linguagem matemática: aprender ler e escrever (usar e interpretar corretamente a linguagem matemática, sua nomenclatura e notação). Apreciar a diferença entre intensão e extensão (de igualdades e equivalências). Uso de (meta)variáveis: ocorrência ligada/livre; alpha-renomeamento; substituição de variável por termos. Introduzir o lado computacional de uma demonstração, como sequência de comandos que alteram o estado de Dados/Alvos. Entender dois lados de matemática: intuitivo e formal. Propriedades da igualdade e seu uso no raciocínio equacional. Uso e escrita de cálculos dentro de uma demonstração. Apreciar a demonstração como justificativa da veracidade de proposições matemáticas e de «leis» de lógica. Como introduzir/eliminar cada conectivo/quantificador lógico no texto de uma demonstração. Apreciar a lógica construtiva e os usos da clássica. Desenvolver definições e teorias matemáticas a partir de noções primitivas e axiomas. Familiarizar com definições e demonstrações que envolvem conjuntos, funções, e relações. Primeiro contato com estruturas matemáticas e as propriedades das suas operações. Como e por que os sistemas posicionais de numerais funcionam.
IRI: Introdução à Recursão e Indução
Os naturais e o tipo Nat; seus construtores (zero, succ) e sua teoria: implementação recursiva das suas principais operações, e verificação indutiva das suas principais propriedades. O tipo dos boolianos, Bool. Ordens sobre os naturais: especificação e verificação de suas propriedades. Outras funções e relações, e suas propriedades. Indução como princípio e técnica de demonstração em matemática. A unicidade dos naturais (a menos de isomorfismo). tipos de dados de listas: implementação recursiva e verificação indutiva de suas principais propriedades. Outros tipos de dados recursivos: árvores; expressões aritméticas; fórmulas; termos do cálculo lambda. Numerais binários, definição de semântica e seu uso para verificação de corretude. OBJ: Estudamos como definir tipos de dados, funções, e relações recursivamente, e como demonstrar propriedades sobre tais coleções de dados por indução. Prática com o uso da linguagem matemática e das principais técnicas de demonstração e refutação. Prática com a escrita de definições por recursão e demonstrações por indução. Recursão e indução estrutural sobre tipos de dados recursivos. Apreciação de coleções potencialmente infinitas do ponto de vista implementacional, recursivo, e verificação matemática de suas propriedades de interesse. Casamento de padrões e seu uso em definições, demonstrações, e cálculos. Recursão mútua, indução aninhada. Ganhar familiaridade com inferência de tipos e evitar erros de tipagem. Notação e nomenclatura matemática e computacional. Apreciar a diferença e a conexão entre sintaxe e semântica.