# 伴隨矩陣

This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

$\newcommand{\trans}{^\top}
\newcommand{\adj}{^{\rm adj}}
\newcommand{\cof}{^{\rm cof}}
\newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bone}{\mathbf{1}}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\nul}{\operatorname{null}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
%\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}}
\newcommand{\range}{\operatorname{range}}
\newcommand{\Col}{\operatorname{Col}}
\newcommand{\Row}{\operatorname{Row}}
\newcommand{\spec}{\operatorname{spec}}
\newcommand{\vspan}{\operatorname{span}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\idmap}{\operatorname{id}}
\newcommand{\am}{\operatorname{am}}
\newcommand{\gm}{\operatorname{gm}}
\newcommand{\mult}{\operatorname{mult}}
\newcommand{\iner}{\operatorname{iner}}$

from lingeo import random_int_list

## Main idea

Let $A$ be an $n\times n$ matrix.
The **$ij$-minor** of $A$ is $\det A(i,j)$, while
the **$ij$-cofactor** of $A$ is $(-1)^{i + j} \det A(i,j)$.
The **cofactor matrix** of $A$ is an $n\times n$ matrix $A\cof$ whose $ij$-entry is the $ij$-cofactor of $A$.

Let $\br_1,\ldots,\br_n$ be the rows of $A$.
Let $\bc_1,\ldots,\bc_n$ be the rows of $A\cof$.
Thus, the Laplace expansion can be written as
$$
\inp{\br_i}{\bc_i} = \det(A)
$$
for any $i = 1,\ldots, n$.

Suppose $i$ and $j$ are two different indices in $\{1,\ldots,n\}$.
Consider the matrix $B$ obtained from $A$ by replacing its $j$-th row with $\br_i$.
Since $B$ has repeated rows, $\det(B) = 0$.
Meanwhile, the $jk$-cofactor of $B$ is the same as the $jk$-cofactor of $A$ for any $k = 1,\ldots, n$.
This means
$$
\inp{\br_i}{\bc_j} = \det(B) = 0.
$$

In summary,
$$
\inp{\br_i}{\bc_j} =
\begin{cases}
\det(A) & \text{if }i = j, \\
0 & \text{if }i \neq j.
\end{cases}
$$

Define the **adjugate** of $A$ as $A\adj = (A\cof)\trans$.
Thus, the above summary leads to the identity
$$
AA\adj = \det(A)I = A\adj A.
$$

Therefore, when $\det(A) \neq 0$,
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}A\adj.
$$

## Side stories

- unimodular
- outer product
- adjugate when $\rank(A) = n-1$ or $\rank(A) = n-2$
- Stirling numbers

## Experiments

##### Exercise 1

執行以下程式碼。

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False

n = 3
A = matrix(n, random_int_list(n^2,3))

pretty_print(LatexExpr("A ="), A) 

if print_ans:
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            alpha = list(range(n))
            alpha.remove(i)
            beta = list(range(n))
            beta.remove(j)
            print("det A(%s,%s) ="%(i,j), A[alpha,beta].det())
    print("cofactor matrix:")
    pretty_print(A.adjugate().transpose())
    print("adjugate:")
    pretty_print(A.adjugate())

##### Exercise 1(a)

對所有 $i,j$，求出 $\det A(i,j)$。

:::warning

- [x] 是都算出來了沒錯，但是這題沒有叫你算 $\det(A)$；然後你們的答案也沒回答到 $\det A(i,j)$
- [x] $\det A(1,1)$ 是數字、$\begin{bmatrix}
-3 & 3 & 1 \\
2 & -3 & -3 \\
-1 & 3 & 1
\end{bmatrix}$ 是矩陣
:::

$Ans:$
由 `seed=0` 可得

$A = \begin{bmatrix}
-3 & 3 & 1 \\
2 & -3 & -3 \\
-1 & 3 & 1
\end{bmatrix}$，

$\det A(i,j)$ 的意思為去掉第 $i$ 列第 $j$ 行的行列式值，

故 $\det A(1,1) = \det\begin{bmatrix}
-3 & -3 \\
3 & 1 \\
\end{bmatrix}=6$，

$\det A(2,1) = \det\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
3 & 1 \\
\end{bmatrix}=0$，

$\det A(3,1) = \det\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
-3 & -3 \\
\end{bmatrix}=(-6)$，

$\det A(1,2) = \det\begin{bmatrix}
2 & -3 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}=(-1)$，

$\det A(2,2) = \det\begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}=(-2)$，

$\det A(3,2) = \det\begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
2 & -3 \\
\end{bmatrix}=7$，

$\det A(1,3) = \det\begin{bmatrix}
2 & -3 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix}=3$，

$\det A(2,3) = \det\begin{bmatrix}
-3 & 3 \\
-1 & 3\\
\end{bmatrix}=(-6)$，

$\det A(3,3) = \det\begin{bmatrix}
-3 & 3 \\
2 & -3 \\
\end{bmatrix}=3$。

##### Exercise 1(b)

求 $A$ 的餘因子矩陣 $A\cof$。

$Ans:$
首先對第一列降階：
$$
(-3)\times
\begin{bmatrix}
-3 & -3 \\3 & 1 \\
\end{bmatrix}
-3\times
\begin{bmatrix}
2 & -3 \\-1 & 1 \\
\end{bmatrix}
+1\times
\begin{bmatrix}
2 & -3 \\-1 & 3 \\
\end{bmatrix}，
$$
於是$\det A=(-3,3,1)\cdot\ (6,1,3)=(-12)$。

再來對第二列降階：
$$
(-2)\times
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\3 & 1 \\
\end{bmatrix}
+(-3)\times
\begin{bmatrix}
-3 & 1 \\-1 & 1 \\
\end{bmatrix}
-(-3)\times
\begin{bmatrix}
-3 & 3 \\-1 & 3 \\
\end{bmatrix}
$$
$\det A=(2,-3,-3)\cdot\ (0,-2,6)=(-12)$。

最後對第三列降階：
$$
(-1)\times
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\-3 & -3 \\
\end{bmatrix}
-3\times
\begin{bmatrix}
-3 & 1 \\2 & -3 \\
\end{bmatrix}
+1\times
\begin{bmatrix}
-3 & 3 \\2 & -3 \\
\end{bmatrix}，
$$
於是$\det A=(-1,3,1)\cdot\ (-6,-7,3)=(-12)$。

由上述運算可知：
$A\cof = \begin{bmatrix}
6 & 1 & 3 \\
0 & -2 & 6 \\
-6 & -7 & 3
\end{bmatrix}$。

##### Exercise 1(c)

求 $A$ 的伴隨矩陣 $A\adj$。

:::warning

- [x] 定義 --> 根據定義
:::

$Ans:$

根據定義 $A\adj = (A\cof)\trans$，
由 Exercise 1(b) 可得：
$A\adj = \begin{bmatrix}
6 & 0 & -6 \\
1 & -2 & -7 \\
3 & 6 & 3
\end{bmatrix}$。
## Exercises

##### Exercise 2

根據拉普拉斯展開，計算行列式值時只會用到加法和乘法。
所以一個整數矩陣的行列式值也會是整數、
而一個有理數矩陣的行列式值也會是有理數。
利用這個性質回答以下問題。

##### Exercise 2(a)

說明一個有理數矩陣（若可逆）的反矩陣也會是有理數矩陣。

$Ans:$

設 $A$ 為一個有理數矩陣，
已知有理數矩陣的行列式值也會是有理數，
而且求出 $A\adj$ 的過程只會用到加法、減法、乘法，
根據有理數對加法、減法、乘法具有封閉性，
可知 $A\adj$ 亦是有理數矩陣；
因
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}A\adj，
$$
再根據有理數對加法、減法、乘法有封閉性，可得到 $A^{-1}$ 也會是有理數矩陣。

##### Exercise 2(b)

找一個可逆的整數矩陣，其反矩陣不是整數矩陣。

$Ans:$

整數矩陣 $A = \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 2 \\
3 & -1 & 1 \\
-1 & 3 & 4
\end{bmatrix}$，

其反矩陣 $A^{-1}= \begin{bmatrix}
-0.7 & 0.2 & 0.3 \\
-1.3 & -0.2 & 0.7 \\
0.8 & 0.2 & -0.2
\end{bmatrix}$。

##### Exercise 2(c)

一個整數方陣如果行列式值為 $\pm 1$，
則被稱為**么模矩陣（unimodular matrix）** 。
說明么模矩陣的反矩陣一定是整數矩陣。

$Ans:$

設 $A$ 為一個么模矩陣，
因
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}A\adj，
$$
所以此題 $A^{-1}= \pm A\adj，$
而且求出 $A\adj$ 的過程只會用到加法、減法、乘法，
根據整數對加法、減法、乘法具有封閉性，
可得 $A\adj$ 亦是整數矩陣，
再根據整數對加法、減法、乘法具有封閉性，
可得反矩陣 $A^{-1}$ 也是整數矩陣。

##### Exercise 3

對以下 $n\times n$ 矩陣，
將每列寫成兩個向量相加，
其中一個向量只有常數，另一個向量只有 $x$。

如此可以將 $\det(A)$ 寫成 $2^n$ 個行列式值相加。
計算這些行列式值並計算 $\det(A)$。

##### Exercise 3(a)

$$
A = \begin{bmatrix}
1 - x & 2 \\
3 & 4 - x
\end{bmatrix}.
$$

:::warning

- [x] Don't leave a math formula there alone. Add: Therefore, $\det(...) = ...$.
- [x] $\br_1 = (1-x, 2) = (1,2) + (-x,0)$.
$\br_2 = (3, 4-x) = (3,4) + (0,-x)$. -->
We may write
$\br_1 = (1-x, 2) = (1,2) + (-x,0)$ and
$\br_2 = (3, 4-x) = (3,4) + (0,-x)$.
:::

$Ans:$
Let $\br_1,\br_2,$ be the rows of $A$.
We may write,
$\br_1 = (1-x, 2) = (1,2) + (-x,0)$ and
$\br_2 = (3, 4-x) = (3,4) + (0,-x)$.

Therefore,
$$
\begin{aligned}
\det\begin{bmatrix}
1 - x & 2 \\
3 & 4-x \\
\end{bmatrix}
& =
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 - x \\
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 \\
3 & 4 - x \\
\end{bmatrix} \\
& =
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
1 & 2\\
0 & -x \\
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 \\
0 & -x \\
\end{bmatrix} \\
& = {(-2)+(-x)+(-4x)+(x^2)} \\
& = {x^2-5x-2}.
\end{aligned}
$$

##### Exercise 3(b)

$$
A = \begin{bmatrix}
1 - x & 2 & 3 \\
4 & 5 - x & 6 \\
7 & 8 & 9 - x
\end{bmatrix}.
$$

:::warning

- [x] Same as the previous one.
:::

$Ans:$
Let $\br_1,\br_2,\br_3$ be the rows of $A$.
We may write,
$\br_1 = (1-x, 2, 3) = (1,2,3) + (-x,0,0)$ and
$\br_2 = (4, 5-x, 6) = (4,5,6) + (0,-x,0)$ and
$\br_3 = (7, 8, 9-x) = (7,8,9) + (0,0,-x)$.

Therefore,
$$
\begin{aligned}
\det\begin{bmatrix}
1 - x & 2 & 3 \\
4 & 5 - x & 6 \\
7 & 8 & 9 - x
\end{bmatrix}
&=
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 - x & 6 \\
7 & 8 & 9 - x
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 & 0 \\
4 & 5 - x & 6 \\
7 & 8 & 9 - x
\end{bmatrix} \\
& =
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 - x
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -x & 0 \\
7 & 8 & 9 - x
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 & 0 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 - x
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 & 0 \\
0 & -x & 0 \\
7 & 8 & 9 - x
\end{bmatrix} \\
& =
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
0 & 0 & -x
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -x & 0 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -x & 0 \\
0 & 0 & -x
\end{bmatrix}
+ \\
&\mathrel{\phantom{=}}
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 & 0 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 & 0 \\
4 & 5 & 6 \\
0 & 0 & -x
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 & 0 \\
0 & -x & 0 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
+
\det\begin{bmatrix}
-x & 0 & 0 \\
0 & -x & 0 \\
0 & 0 & -x
\end{bmatrix}\\
& = {(0)+(3x)+(12x)+(x^2)+(3x)+(5x^2)+(9x^2)+(-x^3)} \\
& = {-x^3+15x^2+18x}.
\end{aligned}
$$

##### Exercise 4

令 $\br_1,\br_2,\br_3$ 為 $\mathbb{R}^3$ 中的向量、
且
$$
A = \begin{bmatrix}
- & \br_1 & - \\
~ & \vdots & ~ \\
- & \br_3 & -
\end{bmatrix}.
$$
說明 $A\cof$ 的第一列即為 $\br_2$ 和 $\br_3$ 的外積。
（根據定義，$A\cof$ 的第一列和 $\br_1$ 無關。）

:::warning

- [x] No need to use boldface for numbers. $\bc_{ij}$ --> $c_{ij}$
- [x] Add text to connect all maths. e.g., Let $c_{ij}$ be the $ij$-cofactor of $A$; that is, $c_{ij} = (-1)^{i + j} \det A(i,j)$.
- [x] $\br_2$ x $\br_3$ --> $\br_2 \times \br_3$
:::

$Ans:$
Let
$$
A = \begin{bmatrix}
\br_1 \\ \br_2 \\ \br_3
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} & r_{13} \\
r_{21} & r_{22} & r_{23}\\
r_{31} & r_{32} & r_{33}
\end{bmatrix}.
$$

Let $c_{ij}$ be the $ij$-cofactor of $A$; that is,
$c_{ij} = (-1)^{i + j} \det A(i,j)$.

By calculation,
$c_{11} = r_{22}r_{33} - r_{23}r_{32}$,
$c_{12} = -(r_{21}r_{33} - r_{23}r_{31}) = r_{23}r_{31} - r_{21}r_{33}$,
$c_{13} = r_{21}r_{32} - r_{22}r_{31}$.

The cross product of $\br_2$ and $\br_3$ is $\br_2 \times \br_3$ = $(r_{22}r_{33} - r_{23}r_{32}, r_{23}r_{31} - r_{21}r_{33}, r_{21}r_{32} - r_{22}r_{31})$ = $(c_{11}, c_{12}, c_{13})$.

Hence, $(c_{11}, c_{12}, c_{13})$ which is the first row of $A\cof$ equals to the cross product of $\br_2$ and $\br_3$.

**[由林柏仰同學提供]**
依照定義，若有一向量 $\bc$ 為向量 $\ba,\bb$ 的外積，則 $\bc$ 滿足以下兩點
(1): $\bc$ 垂直於 $\ba,\bb$ 且 $\bc,\ba,\bb$ 所組成的平行六面體有向體積為正。
(2): $\bc$ 的長度等同於 $\ba,\bb$ 所張出的平行四邊形的面積。

令
$$
A\adj = \begin{bmatrix}
| & ~ & | \\
\bc_1 & \ldots & \bc_3 \\
| & ~ & |
\end{bmatrix},
A' = \begin{bmatrix}
- & \bc_1 & - \\
- & \br_2 & - \\
- & \br_3 & -
\end{bmatrix}.
$$
因 $A\cof$ 的第一列(即 $\bc_1$ )和 $\br_1$ 無關，故 ${A'}\adj$ 的第一行也是 $\bc_1$ 。
則可知
$$
\begin{cases}
\bc_1\cdot\bc_1 = \det(A'), \\
\br_2\cdot\bc_1 = \br_3\cdot\bc_1 = \bzero .
\end{cases}
$$

其中很明顯的， $\bc_1$ 垂直於 $\br_2,\br_3$ 。
且 $\det(A') = \bc_1\cdot\bc_1 = \|\bc_1\|^2 > 0$ ，即 $\det(A') > 0$ ，相當於 $\bc_1, \br_2, \br_3$ 張出的有向體積為正。
已知平行六面體的體積之計算公式為底面積乘以高。
而觀察 $\bc_1, \br_2, \br_3$ 張出的平行六面體，若以 $\br_2,\br_3$ 張出的平行四邊形為底，則 $\|\bc_1\|$ 為高。
換句話說，底面積也是 $\|\bc_1\|$ 。
故 $\bc_1 = \br_2\times \br_3$ 。

##### Exercise 5

給定 $\beta = \{\br_2,\ldots,\br_n\}$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的一群線性獨立的向量。
說明如何利用 $A\cof$ 找到一根向量 $\bv$ 使得 $\bv$ 跟 $\beta$ 中的所有向量都垂直。
（這個動作可以看成是 $\beta$ 中向量的外積。）

:::warning

- [x] 題目中只有 $\br_2,\ldots,\br_n$，並沒有 $r_{11}, \ldots, r_{nn}$。說明這些數字是什麼。
- [x] $r_1$ 又是...?
- [x] 用 `aligned` 把那些內積為零的等式排好
:::

$Ans:$
設 $A$ 為

$$
\begin{bmatrix}
\br_1 \\ \br_2 \\ \vdots \\ \br_n \\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1n} \\
r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2n} \\
\vdots & \vdots & ~ & \vdots \\
r_{n1} & r_{n2} & \cdots & r_{nn} \\
\end{bmatrix}，
$$
其中 $\br_1$ 為任意向量。

$A\adj$ 為
$$
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\
\vdots & \vdots & ~ & \vdots \\
c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\
\end{bmatrix}。
$$
已知 $$ AA\adj = \det(A)I， $$
則
$$
\begin{aligned}
r_{21}c_{11} + r_{22}c_{21} + ... +r_{2n}c_{n1} &= 0, \\
r_{31}c_{11} + r_{32}c_{21} + ... +r_{3n}c_{n1} &= 0,
\end{aligned}
$$

$$\vdots
$$

$$
\begin{aligned}
r_{n1}c_{11} + r_{n2}c_{21} + ... +r_{nn}c_{n1} &= 0.
\end{aligned}
$$

由上可知， $A\adj$ 的第一行向量垂直 $\beta$ 中所有的向量。
因此，可選擇 $(c_{11},c_{21},...,c_{n1})$ 為向量 $\bv$ 。

##### Exercise 6

令 $A$ 為一 $n\times n$ 矩陣。
當 $\rank(A) = n$ 時，我們知道 $A\adj = \det(A)A^{-1}$。

##### Exercise 6(a)

當 $\rank(A) = n - 1$ 時，
可以假設 $A$ 的左右核分別為 $\ker(A) = \vspan\{\bu\}$ 及 $\ker(A\trans) = \vspan\{\bv\}$。
說明存在某個係數 $c$ 使得 $A\adj = c\bu\bv\trans$。

**[由林柏仰同學提供]**
觀察 $\bu\bv\trans$ 可發現
$$
\bu\bv\trans = \begin{bmatrix}
| \\
\bu \\
|
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_1 & \ldots & v_n
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
| & ~ & | \\
v_1\bu & \ldots & v_n\bu \\
| & ~ & |
\end{bmatrix}.
$$

已知 $AA\adj = \det(A)I$ 。
且若 $A$ 的行向量不獨立， $\det(A) = 0$。
則此時 $AA\adj = \det(A)I = O$ ，即 $A\adj$ 的每一行皆屬於 $\ker(A)$ 。
故可將 $A\adj$ 表示成
$$
\begin{bmatrix}
| & ~ & | \\
a_1\bu & \ldots & a_n\bu \\
| & ~ & |
\end{bmatrix}.
$$
也可令 $\bu = \{u_1, ..., u_n\}, \ba = \{a_1, ..., a_n\}$ ，將 $A\adj$ 表示成
$$
\begin{bmatrix}
- & u_1\ba & - \\
~ & \vdots & ~ \\
- & u_n\ba & -
\end{bmatrix}.
$$
已知 $(A\adj A)\trans = A\trans {A\adj}\trans = O\trans = O$ ，即 $A\adj$ 的每一列都屬於 $\ker(A\trans)$ 。
換句話說， $\ba$ 和 $\bv$ 平行。
故可考慮一係數 $c$ 滿足 $cv_1 = a_1, cv_2 = a_2, ..., cv_n = a_n$ 。
則 $c$ 可使 $A\adj = c\bu\bv\trans$ 。

##### Exercise 6(b)

當 $\rank(A) \leq n - 2$ 時，
說明 $A\adj = O$。
（提示：子矩陣的秩一定要比原矩陣的秩來得小。）

**[由林柏仰同學提供]**
觀察 $A\cof$ ，依照定義 ${A\cof}$ 的 $i,j$-項為 $(-1)^{i+j}\det A(i,j)$ 。
而當 $\rank(A) \leq n - 2$ 時，因子矩陣的秩不大於原矩陣的秩，故 $\rank(A(i,j)) \leq n - 2$ 。
且因 $A(i,j)$ 為一 $(n-1)\times (n-1)$ 矩陣，故對任意的 $i,j$ ， $\det A(i,j) = 0$ 。
相當於 $A\cof = O$ 。
因 $A\adj = {A\cof}\trans$ ，故 $A\adj = O\trans = O$ 。

##### Exercise 7

定義 $(x)_k = x(x-1)\cdots(x-k+1)$ 且 $(x)_0 = 1$。
已知
$\alpha = \{1,x,\ldots, x_d\}$ 及
$\beta = \{(x)_0, (x)_1, \ldots, (x)_d\}$
皆是 $\mathcal{P}_d$ 的基底。

##### Exercise 7(a)

當 $d = 3$ 時，求出基底轉換矩陣 $[\operatorname{id}]_\beta^\alpha$。
並說明對任意的 $d$ 來說，$[\operatorname{id}]_\beta^\alpha$ 都會是整數矩陣，
且行列式值為 $1$。

:::warning

- [x] $id$ --> $\idmap$
:::

$Ans:$

當 $d = 3$ 時， $\alpha = \{1,x,x^2,x^3\}$ 且 $\beta = \{1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)\}$ 。
則
$$
[id]_\beta^\alpha = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}。
$$
觀察 $\beta$ 可以發現，對任意的 $d$ ，將 $(x)_d$ 乘開來後得到的多項式其每一項係數皆為整數，則若將此多項式用 $\alpha$ 表示出來，則每一項都會是整數。
觀察 $[id]_\beta^\alpha$ 可以發現，對任意的 $d$ 來說， $[id]_\beta^\alpha$ 都會是一對角線皆為 $1$ 的上三角矩陣，則其行列式值永遠為 $1$ 。

##### Exercise 7(b)

當 $d = 3$ 時，求出基底轉換矩陣 $[\operatorname{id}]_\alpha^\beta$。
利用上一題的結果，說明對任意的 $d$ 來說，$[\operatorname{id}]_\alpha^\beta$ 都會是整數矩陣。

**[由林柏仰同學提供]**
令 $d = 3$ ，則 $\alpha = \{1,x,x^2,x^3\}, \beta = \{1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)\}$ 。
且
$$
[\idmap]^\beta_\alpha = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
$$
由 7(a) 可知，對任意的 $d$ ， $[\idmap]_\beta^\alpha$ 都會是一行列式值為 $1$ 的整數矩陣，此符合么模矩陣的定義。
而 $[\idmap]^\alpha_\beta$ 和 $[\idmap]^\beta_\alpha$ 互為反矩陣，由 2(c) 可知，么模矩陣的反矩陣也會是整數矩陣。
故對任意的 $d$ ， $[\idmap]^\beta_\alpha$ 都會是整數矩陣。

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目前分數 = 5 ± 檢討 = 6
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