Thanos Tsouanas
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[fmcmon]: https://fmc.imd.ufrn.br/ [fmcbook]: https://tsouanas.org/fmcbook [aulabook-2022.1]: https://hackmd.io/ropuoEHdRJWGwRTtVaJwCg?view # AulaBook 2022.2 Desenvolvido pelo projeto [Monitoría FMCn][fmcmon]. Veja mais detalhes no site do projeto: fmc.imd.ufrn.br. Veja também o [AulaBook 2022.1][aulabook-2022.1]. ## 2022-07-04 Definimos recursivamente as potências naturais dos racionais, onde $a \in \mathbb Q$ e $n \in \mathbb N$: $$ a^0 = 1 $$ $$ a^{n+1} = a a^n $$ Demonstre, para quaisquer $a \in \mathbb Q$ e $n, m \in \mathbb N$: - $a^n a^m = a^{n+m}$ - $(a^n)^m = a^{nm}$ ## 2022-07-18 Definimos o _valor absoluto_ de um real $x$: $$ |x| = x, x\geq 0$$ $$ |x| = -x, x\le 0$$ Demonstre: - $|x| \geq 0$ - $|x| = 0 \iff x = 0$ - $z<0 \wedge x<y \Rightarrow xz > yz$ ## 2022-08-25 Sejam $a$, $b$, e $c$ naturais. Encontre contraexemplos para as seguintes proposições: - Se $ab$ divide $c$, então $a$ divide $c$ ou $b$ divide $c$. - $a$ divide $b$ ou $b$ divide $a$. - Se $3$ não divide $a$, então $3$ divide $a+1$. Ainda para $a$, $b$, e $c$ naturais, demonstre: - $a$ divide $a$. - Se $a$ divide $b$ e $b$ divide $a$, então $a=b$. - $a$ divide $0$. - $1$ divide $a$. - Se $a$ divide $b$, então $a$ divide $bc$. ## 2022-08-29 Demonstre que para quaisquer conjuntos $A,B,C$, se $A \not= \emptyset$ e $A \subseteq B \setminus C$, então $B \not\subseteq C$. ## 2022-08-30 Demonstre que para todo $n$ natural maior ou igual à $1$, $3^n - 2$ é ímpar. ## 2022-09-02 Seja $f: A \to A$ e $x \in A$, demonstre que um $x$ é um fixpoint da $f$ sse para todo $n \in \mathbb{N}$, $x$ é um fixpoint da $f^n$. ## 2022-09-05 Seja $\mathcal {C}$ uma $\subseteq$-chain e seja $T=\bigcup\mathcal {C}$. Demonstre que $\mathcal {C} \cup \{T\}$ é uma chain. Definição: - Seja $\mathcal {A}$ uma família de conjuntos. Chamados $\mathcal {A}$ de $\subseteq$-chain sse para quaisquer conjuntos $A,B \in \mathcal {A}$, temos $A \subseteq B$ ou $B \subseteq A$ ## 2022-09-06 É possível expressar a ideia de que existem exatamente dois objetos com uma propriedade $P$ da seguinte forma: $(\exists x,y)[Px \wedge Py \wedge x \not= y \wedge (\forall z)[Pz \implies z=x \vee z=y]]$. Tente expressar a mesma ideia como uma conjunção e mostre que as duas formas são equivalentes. ## 2022-09-09 Demonstre que para todo natural $n$ temos $(F_{n+1},F_{n})=1$. - Definições: - $F_0 = 1$ - $F_1 = 1$ - $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_n$ - $d = (a, b) \iff d \mid a \ \And \ d \mid b \ \And \ d \in \mathbb N \ \And \ (\forall c)[c \mid a \And c \mid b \implies c \mid d]$ ## 2022-09-13 Seja $(A_n)_n$ uma sequência de conjuntos. Definimos os conjuntos - $A_* = \bigcup_{i=0}^\infty\bigcap_{j=i}^\infty A_j$ - $A^* = \bigcap_{i=0}^\infty \bigcup_{j=i}^\infty A_j$ Demonstre que $A_* \subseteq A^*$. ## 2022-09-14 Seja $S$ um conjunto e $P(S)$ seu conjunto potência. Demonstre que $P(S)$ é um grupo abeliano sob a diferença simétrica. Isto é, para quaisquer $A,B,C \in P(S)$: - Associatividade: $(A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C)$ - Identidade: existe $I \in P(S)$ tal que $A \triangle I = I \triangle A = A$ - Inverso: existe $A' \in P(S)$ tal que $A' \triangle A = A \triangle A' = I$, onde $I$ é a identidade descrita acima. - Comutatividade: $A \triangle B = B \triangle A$ ## 2022-09-16 ### Exercício Sejam $(A_n)_n$ e $(B_n)_n$ sequências de conjuntos tais que para todo $m$ par temos $A_m \subseteq B_{m/2}$. Prove que $\bigcap_{n=0}^\infty A_n \subseteq \bigcap_{n=0}^\infty B_n$. ### Exercício Definimos a relação de ordem $\leq$ nos naturais pela: - $n \leq m \iff (\exists k ∈ N)[ n + k = m ]$ Demonstre que $(\forall n,m)[n \leq Sm \iff n\leq m$ ou $n=Sm ].$ ## 2022-09-15 Demonstre o princípio da descida infinita nos naturais: Não existe sequência de naturais $a_1, a_2, a_3, \ldots$ tal que $a_i < a_{i+1}$ para todo $i \in \mathbb N$. ## 2022-09-20 Definimos a relação de ordem $\leq$ nos naturais pela: - $n \leq m \iff (\exists k ∈ N)[ n + k = m ]$ Demonstre que (?) ## 2022-09-23 Fixe um $m$ inteiro. Demonstre que para todos $a,b,c$ inteiros, temos: - (1) $a ≡ a$ (mod $m$) (reflexividade) - (2) $a ≡ b$ (mod $m$) & $b ≡ c$ (mod $m$) $\implies a ≡ c$ (mod $m$) (transitividade) - (3) $a ≡ b$ (mod $m$) $\implies b ≡ a$ (mod $m$) (simetria) ## 2022-09-27 ### Exercício 1 Seja $f: A \to B$ . A $f$ é sobrejetora sse ela é $\circ$-cancelável pela direita: - $g \circ f = h \circ f \implies g = h$ para todas as $g, h$ tais que as composições acima são definidas (ou seja, com domínio $B$). ## 2022-09-30 ### Exercício 1 Fixe um $m$ inteiro. Sejam $a,b$ inteiros tais que $a ≡_m b$. Demonstre que para todo $x$ inteiro: - $a + x ≡_m b +x$ - $ax ≡_m bx$ - $-a ≡_m -b$ ### Exercício 2 Propriedade de máximo divisor comum: demonstre que para todos $a,b$ inteiros, $(a,a+b)=(a,b).$ ## 2022-10-04 ### Exercício 1 Seja $f: A \to B$ . A $f$ é injetora sse ela é $\circ$-cancelável pela esqueda: - $f \circ g = f \circ h \implies g = h$ para todas as $g, h$ tais que as composições acima são definidas (ou seja, com codomínio $A$). ### Exercício 2 Demonstre que $=_c$ é uma relação de equivalência. Definição: $A =_c B \iff (\exists f:A \to B)[f \ bijetora].$ ## 2022-10-05 Demonstre a unicidade do mínimo múltiplo comum de dois inteiros. Isto é: se $a,b, d, d'$ são inteiros tais que $d$ e $d'$ são menor múltiplo comum de $a$ e $b$ então $d=d'$. ## 2022-10-07 Sejam $a,m$ inteiros. Demonstre que $a$ tem inverso módulo $m$ se, e somente se, $(a,m)=1$. ## 2022-10-10 ### Exercício 1 Denotamos a operação de concatenação de strings por $+\!+$. Assim é possível definir a "exponenciação" de duas maneiras: (L1) $s^0 = \epsilon$ (L2) $s^n = s^{n-1} +\!+ s$ (R1) $s_0 = \epsilon$  (R2) $s_n = s +\!+ s_{n-1}$ onde  $\epsilon$ representa o string vazio tal que $(\forall s)[\epsilon +\!+ s = s = s +\!+ \epsilon]$. Considerando que a operação $+\!+$ é associativa mas não comutativa, demonstre que para todo string $s$ e para todo $n$ natural, $s^n=s_n$. ### Exercício 2 Demonstre que para todos $a, x, y \in Nats$ temos $a^{xy} = (a^{x})^y$. ## 2022-10-11 ### Exercício 1 Seja $\to$ uma relação no conjunto $\mathbb N$ definida pela: - $a \to b \iff a + 1 = b$ Demonstre que $(\forall n \in \mathbb N)[a \to^n b \implies a + n = b]$. **Definições**: - $x(R \diamond S)y \iff (\exists w)[x \mathrel R w \mathbin\& w \mathrel S y]$ - Definimos a relação $R^n$ recursivamente pelas: - $R^0 = (=)$ - $R^{n + 1} = R \diamond R^n$ ### Exercício 2 Seja $R$ uma preordem num conjunto $A$. Demonstre que $R=R \diamond R$. ### Exercício 3 Defina no $\mathbb{Q}$ a relação $r$ ~ $s \Longleftrightarrow r-s \in \mathbb{Z}$. Demonstre então que ~ é uma relação de equivalência. ## 2022-10-14 a) Demonstre que para todos $a, b, c \in Nats$ temos $(a+b)+c = a+(b+c)$. b) Demonstre que para todos $a, b, c \in Nats$ temos $(a*b)*c = a*(b*c)$. c) Demonstre que para todos $a, x, y \in Nats$ temos $a^{(x+y)}=a^x * a^y$. ## 2022-10-19 Aula sobre Lean4. O arquivo usado nesta aula está em https://github.com/matheusanmo/lean4-fmc/blob/master/Quartafeira.lean - Os comandos `#check` e `#eval` - Definindo funções com `def` - Pattern matching usando `match ... with` - Funções que recebem e retornam funções ## 2022-10-26 Aula sobre Lean4. O arquivo usada nesta aula está em https://github.com/matheusanmo/lean4-fmc/blob/master/LambdaSimples.lean - Termos dependentes de termos: _lambda simplesmente tipado_ - O construtor de tipo `List` - As funções recursivas `len`, `map`, `filter` e seu uso no lugar de "laços de repetição". - O tipo `Type`. ## 2022-11-29 Demonstre que os automorfismo de um conjunto são um grupo sob a composição. Errata: na aula comentei que precisamos de um conjunto habitado para que seus automorfismos sejam um grupo. Não é verdade: um conjunto vazio tem único automorfismo, que é uma função vazia. Esta função serve como elemento neutro e como seu próprio inverso, configurando sim um grupo. O que não pode "formar" um grupo é um conjunto vazio: precisamos de ao menos um elemento para servir como elemento neutro. Sem elemento neutro não temos um grupo.

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