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Syncing
xxxxxxxxxx
AulaBook 2022.2
Desenvolvido pelo projeto Monitoría FMCn.
Veja mais detalhes no site do projeto: fmc.imd.ufrn.br.
Veja também o AulaBook 2022.1.
2022-07-04
Definimos recursivamente as potências naturais dos racionais, onde \(a \in \mathbb Q\) e \(n \in \mathbb N\):
\[ a^0 = 1 \]
\[ a^{n+1} = a a^n \]
Demonstre, para quaisquer \(a \in \mathbb Q\) e \(n, m \in \mathbb N\):
2022-07-18
Definimos o valor absoluto de um real \(x\):
\[ |x| = x, x\geq 0\]
\[ |x| = -x, x\le 0\]
Demonstre:
2022-08-25
Sejam \(a\), \(b\), e \(c\) naturais. Encontre contraexemplos para as seguintes proposições:
Ainda para \(a\), \(b\), e \(c\) naturais, demonstre:
2022-08-29
Demonstre que para quaisquer conjuntos \(A,B,C\), se \(A \not= \emptyset\) e \(A \subseteq B \setminus C\), então \(B \not\subseteq C\).
2022-08-30
Demonstre que para todo \(n\) natural maior ou igual à \(1\), \(3^n - 2\) é ímpar.
2022-09-02
Seja \(f: A \to A\) e \(x \in A\), demonstre que um \(x\) é um fixpoint da \(f\) sse para todo \(n \in \mathbb{N}\), \(x\) é um fixpoint da \(f^n\).
2022-09-05
Seja \(\mathcal {C}\) uma \(\subseteq\)-chain e seja \(T=\bigcup\mathcal {C}\). Demonstre que \(\mathcal {C} \cup \{T\}\) é uma chain.
Definição:
2022-09-06
É possível expressar a ideia de que existem exatamente dois objetos com uma propriedade \(P\) da seguinte forma: \((\exists x,y)[Px \wedge Py \wedge x \not= y \wedge (\forall z)[Pz \implies z=x \vee z=y]]\). Tente expressar a mesma ideia como uma conjunção e mostre que as duas formas são equivalentes.
2022-09-09
Demonstre que para todo natural \(n\) temos \((F_{n+1},F_{n})=1\).
2022-09-13
Seja \((A_n)_n\) uma sequência de conjuntos. Definimos os conjuntos
Demonstre que \(A_* \subseteq A^*\).
2022-09-14
Seja \(S\) um conjunto e \(P(S)\) seu conjunto potência. Demonstre que \(P(S)\) é um grupo abeliano sob a diferença simétrica. Isto é, para quaisquer \(A,B,C \in P(S)\):
2022-09-16
Exercício
Sejam \((A_n)_n\) e \((B_n)_n\) sequências de conjuntos tais que para todo \(m\) par temos \(A_m \subseteq B_{m/2}\). Prove que \(\bigcap_{n=0}^\infty A_n \subseteq \bigcap_{n=0}^\infty B_n\).
Exercício
Definimos a relação de ordem \(\leq\) nos naturais pela:
Demonstre que \((\forall n,m)[n \leq Sm \iff n\leq m\) ou \(n=Sm ].\)
2022-09-15
Demonstre o princípio da descida infinita nos naturais:
Não existe sequência de naturais \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) tal que \(a_i < a_{i+1}\) para todo \(i \in \mathbb N\).
2022-09-20
Definimos a relação de ordem \(\leq\) nos naturais pela:
Demonstre que (?)
2022-09-23
Fixe um \(m\) inteiro. Demonstre que para todos \(a,b,c\) inteiros, temos:
2022-09-27
Exercício 1
Seja \(f: A \to B\) . A \(f\) é sobrejetora sse ela é \(\circ\)-cancelável pela direita:
para todas as \(g, h\) tais que as composições acima são definidas (ou seja, com domínio \(B\)).
2022-09-30
Exercício 1
Fixe um \(m\) inteiro. Sejam \(a,b\) inteiros tais que \(a ≡_m b\). Demonstre que para todo \(x\) inteiro:
Exercício 2
Propriedade de máximo divisor comum: demonstre que para todos \(a,b\) inteiros, \((a,a+b)=(a,b).\)
2022-10-04
Exercício 1
Seja \(f: A \to B\) . A \(f\) é injetora sse ela é \(\circ\)-cancelável pela esqueda:
para todas as \(g, h\) tais que as composições acima são definidas (ou seja, com codomínio \(A\)).
Exercício 2
Demonstre que \(=_c\) é uma relação de equivalência.
Definição:
\(A =_c B \iff (\exists f:A \to B)[f \ bijetora].\)
2022-10-05
Demonstre a unicidade do mínimo múltiplo comum de dois inteiros. Isto é: se \(a,b, d, d'\) são inteiros tais que \(d\) e \(d'\) são menor múltiplo comum de \(a\) e \(b\) então \(d=d'\).
2022-10-07
Sejam \(a,m\) inteiros. Demonstre que \(a\) tem inverso módulo \(m\) se, e somente se, \((a,m)=1\).
2022-10-10
Exercício 1
Denotamos a operação de concatenação de strings por \(+\!+\). Assim é possível definir a "exponenciação" de duas maneiras:
(L1) \(s^0 = \epsilon\)
(L2) \(s^n = s^{n-1} +\!+ s\)
(R1) \(s_0 = \epsilon\)
(R2) \(s_n = s +\!+ s_{n-1}\)
onde \(\epsilon\) representa o string vazio tal que \((\forall s)[\epsilon +\!+ s = s = s +\!+ \epsilon]\).
Considerando que a operação \(+\!+\) é associativa mas não comutativa, demonstre que para todo string \(s\) e para todo \(n\) natural, \(s^n=s_n\).
Exercício 2
Demonstre que para todos \(a, x, y \in Nats\) temos \(a^{xy} = (a^{x})^y\).
2022-10-11
Exercício 1
Seja \(\to\) uma relação no conjunto \(\mathbb N\) definida pela:
Demonstre que \((\forall n \in \mathbb N)[a \to^n b \implies a + n = b]\).
Definições:
Exercício 2
Seja \(R\) uma preordem num conjunto \(A\). Demonstre que \(R=R \diamond R\).
Exercício 3
Defina no \(\mathbb{Q}\) a relação \(r\) ~ \(s \Longleftrightarrow r-s \in \mathbb{Z}\). Demonstre então que ~ é uma relação de equivalência.
2022-10-14
a) Demonstre que para todos \(a, b, c \in Nats\) temos \((a+b)+c = a+(b+c)\).
b) Demonstre que para todos \(a, b, c \in Nats\) temos \((a*b)*c = a*(b*c)\).
c) Demonstre que para todos \(a, x, y \in Nats\) temos \(a^{(x+y)}=a^x * a^y\).
2022-10-19
Aula sobre Lean4. O arquivo usado nesta aula está em https://github.com/matheusanmo/lean4-fmc/blob/master/Quartafeira.lean
#check
e#eval
def
match ... with
2022-10-26
Aula sobre Lean4. O arquivo usada nesta aula está em https://github.com/matheusanmo/lean4-fmc/blob/master/LambdaSimples.lean
List
len
,map
,filter
e seu uso no lugar de "laços de repetição".Type
.2022-11-29
Demonstre que os automorfismo de um conjunto são um grupo sob a composição.
Errata: na aula comentei que precisamos de um conjunto habitado para que seus automorfismos sejam um grupo. Não é verdade: um conjunto vazio tem único automorfismo, que é uma função vazia. Esta função serve como elemento neutro e como seu próprio inverso, configurando sim um grupo.
O que não pode "formar" um grupo é um conjunto vazio: precisamos de ao menos um elemento para servir como elemento neutro. Sem elemento neutro não temos um grupo.