國立中山大學應用數學系【 南部高中數學科學研究人才培育計畫 】

動機

會參與這個計畫純粹是因為別人的推薦，除此之外還有著對數學的好奇心，好奇數學在大學會是長怎樣的，餐與過後也讓我體會到了不少。

收穫

對我而言最大的收穫與動機有著很大的重疊，讓我真正理解數學。

不過在之前，其實這部分高一學校的數學老師也幫了我不少，上了高中的數學課，我才終於了解數學中的證明與推論。儘管國中時我很常煩著不同的老師問說："為甚麼 1+1 = 2 " 雖然這是個看似很理所當然的結論，但當我上網查詢以後，我才知道這有著複雜的證明，或是說" 越是簡單的事實，越難證明 " ，也因此我會以此煩著許多國中老師。

高中數學課中第一個也少數十分複雜的證明是 " 算術基本定理 " ，證明為甚麼每個大於1的自然數，要麼本身就是質數，要麼可以寫為2個或以上的質數的積，而且這些質因子按大小排列之後，寫法僅有一種方式。國中時就只是我們說質數的因數一定是自己還有1，但卻沒有說明原因。高中老師證明過後，我只在當下理解了，但後來我卻又忘了。然而，我卻十分享受那理解瞬間的快感。到現在我也只記得的是用矛盾正法，還有p, q互質，所以p/q是有理數，但到最後卻證明成p, q不互質，而產生矛盾，還有十分無法理解的唯一性、存在性以及良續性原則。這項證明在這門課程的"初等數論"也有提到並證明，但我到現在還是忘記整個證明的過程了，但我還記的其中的美妙。

這門課程中，我最喜歡的單元是 " 基礎數學 " 這個單元，其中最讓我著迷的一個證明是 " 自然數集合、整數集合以及有以樹集合的大小事一樣大的，而無理數以及實數集合都比他們大 "，這完全是個反直覺的證明，一定會認為說 " 自然數明明就沒有負數的部分，為甚麼跟整數集合一樣大，有理數集合的部分更難以想像了，明明可以在兩個整數中找到許多有理數啊？ " 然而，這卻可以使用函數的one on one and onto 性質證明。若一個函數是一對一並滿射，或是說是映成函數，那麼定義域與值域是一樣大的。以自然數與整數為例，

​​​​存在f(x)={2x,if x>=0,
​​​​         2x+1,if x<0},x為整數

這個函數很明顯是映成函數，但卻可以巧妙的把整數的人和一個數送至自然數集合中，故得證。

這個證盟即使已經一年過去了，我還是記憶猶新，還享受著那份快感。順帶一提，這個單元也是我最認真或是開始認真上課的一個單元，而且單元測驗還拿到了96的高分，錯的4分是因為多寫一個符號導致邏輯全錯。

這堂課另外一個收穫便是 " 讓我理解數學不是只有算術，還有許多精彩的邏輯推理 " 這對於一個算術非常糟糕或是數字敏感度極低的我而言，是個非常大的動力使我可以繼續練習數學中的算術，也是國小、國中以及高中數學很重要的核心。這也讓我對數學到有著希望，期待滿滿證明題的考卷。

課程大綱

這裡我將記錄我印象深刻的課程內容

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初級班

邏輯與集合

1. 一大堆奇怪的證明方法，一共6種

   直接證、反證法、矛盾整法、窮舉法還有二個，最讓我印象深刻的是 反證法與矛盾證法的差異。考卷上有一題是要6種方法證明同一個證明，但我的反正與矛盾證法跟奔一樣，所以就錯了。但我到現在還分不太出來。

2. 文氏圖是個不嚴謹的證明方法

   雖然當時只有說結果沒有證明，但到後面我便理解到文氏圖只能證明到有理數集合的範圍，而無法證明到實數集合的範圍，因此不嚴謹。

離散數學

1. 它好困難，尤其解遞迴的部分

   這部分我真的不會，但之後CS好像會用到不少，十分之怕。
   感覺在解一些題目的時候需要還蠻不錯得數感，所以就放過它了。

2. 老師在說甚麼???

基礎數學

1. 她好有趣，有著許多有趣且會推翻直覺的證明
2. 無限大的區別
3. 自然數、整數以及有理數的基數一樣大
4. 實數的基數比有理數大
5. 花體N好難寫

初等數論

1. 國小國中看不起的輾轉相除法其實超級厲害

   第一個演算法
   解模運算

2. 模運算、模方程有點神奇

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中級班

統計

1. 教授講得很好，但運算好難
2. 以為學校教過就無敵了，其實根本跟沒學過一樣

C++

1. 講得很粗淺，可能已經學過的關係

   本來還在期待指標的，結果期待落空

函數論

方程式論

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高級班

微積分

1. 有趣神奇的東西

   我覺得微積分主要是難在一些邏輯證明的地方，算術的部分比較少
   樂在其中

2. 缺憾：沒有聽到微積分基本定理

不等式

1. 滿滿的不等式還有好多好多的習題

   雖然這裡算術很少，但是數感要求十分高
   好多的競賽題
   到現在都還不會

Sage Math

1. 老師是用Linux，而且是Arch

   結果我就這樣入坑了Arch
   打算之後有時間在Surface Pro7上搞Linux

2. 老詩人超級好
3. Sage Math好厲害，尤其矩陣運算
4. 很多數學程式化的基礎

解析幾何

結論

我真的十分感謝我自己有餐架這個課程，若是沒有參加的話，我實在無法理解數學是甚麼，我只能知道算術是甚麼。

除了感謝教授的教導，也很感謝助教們細心地回答我們的多問題。

更感謝這個計畫開啟我的數學大門

動機再強烈 數學興趣 主動性
數學的根源 想知道甚麼
"參與"

收穫 ->

根據引導 思考
對照答案的方向 (初步檢核)

1. 小標題 而不是分段
2. 標示重點句
3. 句子不流暢 重複

大綱 -> 兩方向 { 不足 與 收穫 進展 }

1. 不喜歡的可以考慮不寫
2. 不足 發現自己的不足 要如鶴解決
3. 真的學到的東西 開發的東西
4. 可以不用按照順序
5. 可以不用條列式
6. 太瑣碎

結論
不足與成長 融合 動機
期待大學的收穫

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