型I 錯誤與型II錯誤

臨界值法

1. 建立虛無&對立假設：\(H_{0}: \mu \leq 0.3 \text{ vs. } H_{1} > 0.3\)
2. 給定 \(H_{0}\) 為真下，建構樞紐量：\(\varphi = \dfrac{\bar{x} - \mu_{0}}{s/\sqrt{n}} \sim t(n - 1)\)
3. 建構拒絕域：\(RR = \{\varphi: |\varphi| > t_{0.01} (8) = 2.896\}\)
4. 將樣本結果代入：\(\varphi = \dfrac{0.456 - 0.3}{0.2128/\sqrt{9}} = 2.199 < t_{0.01}(8)\)
5. 下結論：無法拒絕 \(H_{0}\)，沒有證據支持 \(H_{1}\) 為真

\(p\)-值法

\(p\)-值為與樣本結果同樣極端的機率總和。給定樞紐量的抽樣分配為 \(\varphi(\cdot)\)，且檢定統計量為 \(\varphi*\)，\(p-值\)的計算為：

• 右尾檢定之\(p-值 = P(\varphi \geq \varphi^{*})\)
• 左尾檢定之\(p-值 = P(\varphi \leq \varphi^{*})\)

此例當中，抽樣分配為 \(t\) 分配，檢定統計量為 \(\varphi^{*} = 2.199\)，且為右尾檢定，因此
\[ p\text{-值} = P[t_{0.01}(8) \geq 2.199] \]
查 \(t\)-值表後可以得知此檢定的 \(p\)-值介於 \(0.025\) 與 \(0.05\) 之間。