# 線性代數
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###### tags: `Numerical Methods`

對於數值分析領域的研究者來說，線性代數是一個非常好的工具。它不僅可以協助我們將繁雜的數學式進行化簡（例如方程組轉換成矩陣的形式，並利用 Cramer's Rule 求解），同時也能夠利用線性代數的各種性質推廣數值分析上重要的內涵。

## `Symbolics`套件與變數設定

在安裝完套件後，我們可以先對符號進行定義，也就是將其令為**變數(variables)**。

using Symbolics
@variables a b c d e f g h i j k l m n;

不過，為什麼要進行上面的步驟呢？我們來做個實驗，如果在 kernel 上面打上 `p` 會出現什麼呢？

UndefVarError: p not defined

Stacktrace:
 [1] top-level scope
   @ :0
 [2] eval
   @ .\boot.jl:373 [inlined]
 [3] include_string(mapexpr::typeof(REPL.softscope), mod::Module, code::String, filename::String)
   @ Base .\loading.jl:1196

很明顯的，因為我們還未定義 `p` 在這個程式裡面的意義，因此 $\texttt{Julia}$ 不會知道這個 `p` 是一個變數。設定完成之後，我們可以隨意打上我們剛剛設定的那些符號，它就會顯示為數學符號（也就是 $\LaTeX$）的形式了。

a

它就會跑出

$$
a
$$

## 向量(vector)

給定兩個欄向量(column vector) $M_1$ 與 $N_1$，

a = [m₁; m₂; m₃]
b = [n₁; n₂; n₃]
a |> display
b |> display

$$
a =
\begin{bmatrix}
m_1\\m_2\\m_3
\end{bmatrix}, \qquad
b =
\begin{bmatrix}
n_1\\n_2\\n_3
\end{bmatrix}
$$

### 內積(inner product)
若將兩向量進行內積，就會得到一個純量，即

a' * b |> display

$$
a \cdot b = \begin{bmatrix}
m_1&m_2&m_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_1\\n_2\\n_3
\end{bmatrix}
= m_1n_1 + m_2n_2 + m_3n_3
$$

上述的結果也可以透過逐元的方式計算：

sum(m1 .* n1) |> display

### 正交(orthogonal)
如果說兩個向量的內積為 $0$，則我們說這兩個向量相互垂直(orthogonal)，或稱為正交的。

u = [3; 2; 1]
v = [-2; 3; 0]
u'v |> display

## 0


### 範數(norm)

而向量的範數是一個計算向量長度的方式，其計算方式為
$$
\|m\| = \sqrt{M'M}\\
$$

m1_norm = sqrt(m1' * m1)

會得到

$$
\sqrt{m{_1}^{2} + m{_2}^{2} + m{_3}^{2}}
$$

若其長度為 $1$，則我們稱該向量為標準化向量。

m1_normalized = m1 ./ m1_norm
m1_normalized_norm = sqrt(m1_normalized' * m1_normalized)

m1_normalized |> display
m1_normalized_norm |> display

會得到標準化過後的向量為

$$
\begin{bmatrix}
\frac{m{_1}}{\sqrt{m{_1}^{2} + m{_2}^{2} + m{_3}^{2}}} \\
\frac{m{_2}}{\sqrt{m{_1}^{2} + m{_2}^{2} + m{_3}^{2}}} \\
\frac{m{_3}}{\sqrt{m{_1}^{2} + m{_2}^{2} + m{_3}^{2}}} \\
\end{bmatrix}
$$

其長度為

$$
\sqrt{\frac{m{_1}^{2}}{\left( \sqrt{m{_1}^{2} + m{_2}^{2} + m{_3}^{2}} \right)^{2}} + \frac{m{_2}^{2}}{\left( \sqrt{m{_1}^{2} + m{_2}^{2} + m{_3}^{2}} \right)^{2}} + \frac{m{_3}^{2}}{\left( \sqrt{m{_1}^{2} + m{_2}^{2} + m{_3}^{2}} \right)^{2}}}
$$

經過化簡可得其長度為 $1$

simplify.(expand.(m1_normalized_norm))

$$
\sqrt{\frac{m{_1}^{2} + m{_2}^{2} + m{_3}^{2}}{\left( \sqrt{m{_1}^{2} + m{_2}^{2} + m{_3}^{2}} \right)^{2}}} = 1
$$

而在計量經濟學中，我們最常使用的性質是**標準正交(orthonormal)**：若兩個向量相互垂直且均經過標準化，則稱這兩個向量具有標準正交的性質。

### 外積(outer product)

若將兩向量進行外積，就會得到一個張量(tensor)，即

a * b' |> display

$$
a \times b' =
\begin{bmatrix}
m_1\\m_2\\m_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_1 & n_2 & n_3
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
m_{1} n_{1} & m_{1} n_{2} & m_{1} n_{3} \\
m_{2} n_{1} & m_{2} n_{2} & m_{2} n_{3} \\
m_{3} n_{1} & m_{3} n_{2} & m_{3} n_{3}
\end{bmatrix}
$$

## 矩陣(matrix)

根據維基百科的定義，數學上，一個${m\times n}$的矩陣是一個由$m$列(row)$n$行(column)元素排列成的矩形陣列，如果用英文表達，就是一個 $m$ by $n$ 的矩陣。矩陣裡的元素可以是數字、符號或數學式。[^1]我們來看看下面的例子：

## 2 x 2 的矩陣
A = [a b; c d]

## 2 x 3 的矩陣
B = [a b c
     d e f]

## 3 x 2 的矩陣
C = [a b; c d; e f]

A |> display
B |> display
C |> display

它便會顯示

$$
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
a & b & c\\
d & e & f
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
e & f
\end{bmatrix}
$$

### 矩陣的符號表示

我們會以大寫（或粗體）的字母表示矩陣，例如 $\mathbf{A}$；利用小寫的字母代表矩陣內的元素，例如 $a$。注意到，在矩陣中為了清楚定義是哪一個元素，我們會利用以下的方式進行註記。
$$
\mathbf{A}_{i,j}
$$

其中下標(subscript) $i$ 代表行，$j$ 代表列。如果我們要找到上面設定的矩陣 $\mathbf{B}$ 中第二列第三個元素，也就是 $f$，要怎麼輸入呢？

@show B[2, 3]

顯示
$$
f
$$

### 矩陣的四則運算

如果我們要將兩個矩陣進行相加，我們可寫成：

[a b
c d] + [e f
        g h]

其計算結果很直觀地可以猜想到是

$$
\begin{bmatrix}
a + e & b + f\\
c + g & d + h
\end{bmatrix}
$$

而有趣地是，在 $\texttt{Julia}$ 中，我們可以將兩個不同維度(dimension)的矩陣進行相加總，不過必須利用**逐元(element-wise)**的方式進行運算。[^2]例如

[a b
c d] .+ [e
        g]

結果會是

$$
\begin{bmatrix}
a + e & b + e \\
c + g & d + g \\
\end{bmatrix}
$$

接著我們來看一下乘積。首先定義兩個矩陣，$\mathbf{A}_1$ 與 $\mathbf{A}_2$。

A1 = [a b; c d]
A2 = [e f; g h]

如果我們要計算兩個矩陣相乘，即 $\mathbf{A}_1 \cdot \mathbf{A}_2$；或是在矩陣前方乘上一個純量(scalar)，也就是 $c \cdot \mathbf{A}_1$，我們可以這麼做：

A12 = A1 * A2 # 兩個矩陣相乘
A3 = 3 * A1 # 純量乘上矩陣

結果就是

$$
\mathbf{A}_1 \cdot \mathbf{A}_2 = \begin{bmatrix}
a e + b g & a f + b h \\
c e + d g & c f + d h \\
\end{bmatrix}\\
3 \cdot \mathbf{A}_1 = \begin{bmatrix}
3 a & 3 b \\
3 c & 3 d \\
\end{bmatrix}\\
$$

同樣地，我們也可以運用 $\texttt{Julia}$ 中逐元的性質對矩陣進行乘積。例如

A3 = A1 .* A2 # 進行逐元乘積

則 $\mathbf{A}_3$ 會等於
$$
\begin{bmatrix}
a e & b f \\
c g & d h \\
\end{bmatrix}
$$

注意到，如果我們對 $\mathbf{A}_1$ 與 $\mathbf{A}_2$ 的乘積進行交換，其結果在數學上與在 $\texttt{Julia}$ 上均是不成立的，這部分就留給讀者自行證明。

A21 = A2 * A1

會得到

$$
\mathbf{A}_2 \cdot \mathbf{A}_1 = \begin{bmatrix}
a e + c f & b e + d f \\
a g + c h & b g + d h \\
\end{bmatrix}
$$

值得一提的是，給定兩個矩陣，其中 $\mathbf{X}_1$ 為一個 $p \times q$ 的矩陣，$\mathbf{X}_2$ 則是一個 $s \times t$ 的矩陣。而只有在 $q = s$時，兩個矩陣才能進行乘積，並得到一個新的矩陣 $\mathbf{X}_3$，且為一 $p \times t$ 的矩陣。

### 行列式
行列式(determinant)，記作 $\det(\mathbf{A})$ 或 $|\mathbf{A}|$，是一個在方陣上計算得到的純量。[^3]如果要進行計算的話，首先要引入套件 `LinearAlgebra`，接著利用指令 `det()` 計算行列式。

using LinearAlgebra

A |> display
@show det(A)

結果會是
$$
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}\\
\texttt{det}(\mathbf{A}) = ad - bc
$$

如果考慮以下矩陣 $\mathbf{D}$

$$
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{bmatrix}
$$

則其行列式為

$$
\texttt{det}(\mathbf{D}) = c \left( d h - e g \right) + a \left( e i - f h \right) - b \left( d i - f g \right)
$$

其實到了高維的矩陣，可以看到行列式的計算變得複雜，因此我們可以利用 `expand.()` 的指令，將計算過程展開，了解其背後的運作、計算過程與原理。

@show expand.(det(D))

## b*f*g + a*e*i + c*d*h - b*d*i - c*e*g - a*f*h

有關乘法，我們要注意一件事：$\mathbf{AB = AC}$ 並不隱含 $\mathbf{B = C}$。

a1 = [1 2; 2 4]
b1 = [2 1; 1 3]
c1 = [4 3; 0 2]

@show a1 * b1
@show a1 * c1

## a1 * b1 = [4 7; 8 14]
## a1 * c1 = [4 7; 8 14]

另外給定 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$ 與 $\mathbf{C}$ 三個矩陣，如果 $\mathbf{A}(\mathbf{BC}) = (\mathbf{AB})\mathbf{C}$，那麼我們就稱其符合結合律。

A*(B*C) |> display
(A*B)*C |> display

輸出的結果如下：

$$
\begin{bmatrix}
a \left( a^{2} + b c + c e \right) + b \left( a d + c e + e f \right) & a \left( a b + b d + c f \right) + b \left( b d + d e + f^{2} \right) \\
c \left( a^{2} + b c + c e \right) + d \left( a d + c e + e f \right) & c \left( a b + b d + c f \right) + d \left( b d + d e + f^{2} \right) \\
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
a \left( a^{2} + b d \right) + c \left( a b + b e \right) + e \left( a c + b f \right) & b \left( a^{2} + b d \right) + d \left( a b + b e \right) + f \left( a c + b f \right) \\
a \left( a c + d^{2} \right) + c \left( b c + d e \right) + e \left( c^{2} + d f \right) & b \left( a c + d^{2} \right) + d \left( b c + d e \right) + f \left( c^{2} + d f \right) \\
\end{bmatrix}
$$
但基本上由上面的結果我們很難看出兩者到底是不是相同的，因此我們可利用 `simplify.()` 的指令，配合上面使用過的 `expand.()`，將其進行展開後化簡成最易讀的形式。

simplify.(expand.(A*(B*C))) |> display
simplify.(expand.((A*B)*C)) |> display

$$
\begin{bmatrix}
a^{3} + a b \left( c + d \right) + b e f + c e \left( a + b \right) & b \left( a^{2} + f^{2} \right) + b^{2} d + a b d + b d e + a c f \\
d^{2} a + a^{2} c + c^{2} \left( b + e \right) + c d e + d e f & c^{2} f + d^{2} \left( b + e \right) + f^{2} d + a b c + b c d \\
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
a^{3} + a b \left( c + d \right) + b e f + c e \left( a + b \right) & b \left( a^{2} + f^{2} \right) + b^{2} d + a b d + b d e + a c f \\
d^{2} a + a^{2} c + c^{2} \left( b + e \right) + c d e + d e f & c^{2} f + d^{2} \left( b + e \right) + f^{2} d + a b c + b c d \\
\end{bmatrix}
$$

### 單位矩陣(identity matrix)

單位矩陣就是一個 $n \times n$ 的方陣，其主對角線(main diagonal)上的元素均為 $1$，其餘元素為 $0$。以一個 $4 \times 4$ 的單位矩陣 $\mathbf{I}_4$ 為例，其可寫作

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
$$

注意到，如果我們將單位矩陣與其他矩陣相乘，其是具有交換律的，且結果會等於被乘矩陣，即 $\mathbf{AI = A = IA}$。

Imat = [1 0; 0 1]

A * Imat |> display
Imat * A |> display

$$
\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}
$$

### 對角矩陣(diagonal matrix)

若一個矩陣主對角線之外的元素皆為 $0$，那麼我們就稱其為對角矩陣。例如

d = [a 0 0; 0 b 0; 0 0 c]

$$
\begin{bmatrix}
a & 0 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}
$$

如果兩個對角矩陣相乘，其結果也會是一個對角矩陣。

D1 = [1 0 0; 0 2 0; 0 0 3]
D2 = [4 0 0; 0 5 0; 0 0 6]
D1D2 = D1 * D2

D1 |> display
D2 |> display
D1D2 |> display

結果會是
$$
\begin{bmatrix}
4 & 0 & 0\\
0 & 10 & 0\\
0 & 0 & 18
\end{bmatrix}
$$

### 三角矩陣(triangular matrix)
其分為上三角與下三角矩陣，前者的對角線左下方元素為 $0$，後者則是對角線右上方元素為 $0$。

UT = [a b c; 0 d e; 0 0 f]
LT = [a 0 0; b c 0; d e f]

UT |> display
LT |> display

得到上三角矩陣
$$
\begin{bmatrix}
a & b & c\\
0 & d & e\\
0 & 0 & f
\end{bmatrix}
$$
與下三角矩陣
$$
\begin{bmatrix}
a & 0 & 0\\
b & c & 0\\
d & e & f
\end{bmatrix}
$$

同樣地，我們將三角矩陣相乘的結果仍會是三角矩陣。

UT * UT |> display

$$
\begin{bmatrix}
a^{2} & a b + b d & a c + b e + c f \\
0 & d^{2} & d e + e f \\
0 & 0 & f^{2} \\
\end{bmatrix}
$$

### 轉置矩陣(transpose of matrix)

簡單來說，轉置矩陣就是將行、列進行交換。下面定義 $\mathbf{M}$ 與 $\mathbf{N}$ 兩個矩陣，並對 $\mathbf{M}$ 取轉置矩陣，在數學上我們記做 $\mathbf{M}^{\top}$ 或 $\mathbf{M}'$。

@variables m₁₁ m₁₂ m₁₃ m₂₁ m₂₂ m₂₃ m₁ m₂ m₃
 
M = [ m₁₁ m₁₂ m₁₃
      m₂₁ m₂₂ m₂₃ ]

@variables n₁₁ n₁₂ n₁₃ n₂₁ n₂₂ n₂₃ n₃₁ n₃₂ n₁ n₂ n₃

N = [ n₁₁ n₁₂
      n₂₁ n₂₂
      n₃₁ n₃₂ ]

M |> display
M' |> display

$$
\begin{bmatrix}
m{_{11}} & m{_{12}} & m{_{13}} \\
m{_{21}} & m{_{22}} & m{_{23}} \\
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
m{_{11}} & m{_{21}} \\
m{_{12}} & m{_{22}} \\
m{_{13}} & m{_{23}} \\
\end{bmatrix}
$$

而轉置矩陣有下列的性質。如果將矩陣進行轉置，再對其進行一次轉置，我們會得到原本的矩陣：

$$
(\mathbf{M}')' = \mathbf{M}
$$

如果我們將兩個矩陣相加再轉置，可以寫成兩個矩陣先進行轉置後再進行相加

$$
(\mathbf{M} + \mathbf{N})' = \mathbf{M}' + \mathbf{N}'
$$

而兩個矩陣先進行相乘再轉至，其結果為

$$
(\mathbf{MN})' = \mathbf{N}'\mathbf{M}'
$$

道理很簡單，我們令 $\mathbf{M}$ 為一個 $m \times n$ 的矩陣，$\mathbf{N}$ 為一個 $n \times m$ 的矩陣，兩者相乘的結果會是 $m \times m$ 的結果。而如果將 $\mathbf{M}$ 轉置，會得到一個 $n \times m$ 的矩陣，將$\mathbf{N}$ 進行轉置則會得到一個 $m \times n$ 的矩陣，故若為 $\mathbf{M}'\mathbf{N}'$，其結果會是一個 $n \times n$ 的矩陣；如果是 $\mathbf{N}'\mathbf{M}'$，則會是 $m \times m$ 的矩陣。

(M*N)' |> display
N'M' |> display
M'N' |> display

$$
\begin{bmatrix}
m{_{11}} n{_{11}} + m{_{12}} n{_{21}} + m{_{13}} n{_{31}} & m{_{21}} n{_{11}} + m{_{22}} n{_{21}} + m{_{23}} n{_{31}} \\
m{_{11}} n{_{12}} + m{_{12}} n{_{22}} + m{_{13}} n{_{32}} & m{_{21}} n{_{12}} + m{_{22}} n{_{22}} + m{_{23}} n{_{32}} \\
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
m{_{11}} n{_{11}} + m{_{12}} n{_{21}} + m{_{13}} n{_{31}} & m{_{21}} n{_{11}} + m{_{22}} n{_{21}} + m{_{23}} n{_{31}} \\
m{_{11}} n{_{12}} + m{_{12}} n{_{22}} + m{_{13}} n{_{32}} & m{_{21}} n{_{12}} + m{_{22}} n{_{22}} + m{_{23}} n{_{32}} \\
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
m{_{11}} n{_{11}} + m{_{21}} n{_{12}} & m{_{11}} n{_{21}} + m{_{21}} n{_{22}} & m{_{11}} n{_{31}} + m{_{21}} n{_{32}} \\
m{_{12}} n{_{11}} + m{_{22}} n{_{12}} & m{_{12}} n{_{21}} + m{_{22}} n{_{22}} & m{_{12}} n{_{31}} + m{_{22}} n{_{32}} \\
m{_{13}} n{_{11}} + m{_{23}} n{_{12}} & m{_{13}} n{_{21}} + m{_{23}} n{_{22}} & m{_{13}} n{_{31}} + m{_{23}} n{_{32}} \\
\end{bmatrix}
$$

### 對稱矩陣與反對稱矩陣

若一個矩陣之轉置矩陣仍是其自己本身，那麼其便符合對稱矩陣的性質，即 $A' = A$。

S = [a b c; b d e; c e f]
S |> display
S' |> display

$$
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
b & d & e \\
c & e & f \\
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
b & d & e \\
c & e & f \\
\end{bmatrix}
$$

而反對稱矩陣則是其轉置矩陣與自身的加法反元素相等，即
$$
\mathbf{A}' = -\mathbf{A}
$$

SS = [0 b c; -b 0 e; -c -e 0]
SS |> display
SS' |> display

$$
\begin{bmatrix}
0 & b & c \\
-b & 0 & e \\
-c & -e & 0 \\
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
0 & -b & -c \\
b & 0 & -e \\
c & e & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

注意到，如果一個矩陣的轉置矩陣乘上該矩陣，結果會是一個對稱矩陣，即
$$
\mathbf{A}'\mathbf{A}
$$

A' * A |> display
B' * B |> display

$$
\begin{bmatrix}
a^{2} + c^{2} & a b + c d \\
a b + c d & b^{2} + d^{2} \\
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix}
a^{2} + d^{2} & a b + d e & a c + d f \\
a b + d e & b^{2} + e^{2} & b c + e f \\
a c + d f & b c + e f & c^{2} + f^{2} \\
\end{bmatrix}
$$

### 反矩陣(inverse matrix)

給定一個 $n$ 階方陣 $\mathbf{A}$，若存在一 $n$ 階方陣 $\mathbf {B}$，使得 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n$，其中 $\mathbf{I}_n$ 為 $n$ 階單位矩陣，則稱 $\mathbf{A}$ 是可逆的，且 $\mathbf {B}$ 是 $\mathbf{A}$ 的逆矩陣，記作 $\mathbf {A} ^{-1}$。但並非所有矩陣都可以取反矩陣，如果其行列式等於 $0$時，便不能取反矩陣。原因是因為如果矩陣 $\mathbf{A}$ 可逆，則 $\mathbf{A}^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}$，其中 $\operatorname{adj}(A)$ 為矩陣 $\mathbf{A}$ 的伴隨矩陣(adjugate matrix)，故若行列式的值為 $0$，此等式就會無意義。根據上述性質，可得出以下小結論：若矩陣 $\mathbf{A}$ 可逆，則

$$
\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}
$$

A * inv(A)

得到

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
\frac{c \left( true + \frac{b \frac{c}{a}}{d + \frac{ - b c}{a}} \right)}{a} + \frac{ - d \frac{c}{a}}{d + \frac{ - b c}{a}} & \frac{d}{d + \frac{ - b c}{a}} + \frac{ - c \frac{b}{d + \frac{ - b c}{a}}}{a} \\
\end{bmatrix}
$$

經過化簡可以得到

simplify.(expand.(A * inv(A))) |> display
simplify.(expand.(inv(A) * A)) |> display

兩者結果均是

$$
\mathbf{I} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$

而反矩陣有以下性質：

$$
\begin{aligned}
(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}\\
(\mathbf{A}^{\top})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^{\top}
\end{aligned}
$$

simplify.(expand.(inv(A'))) |> display
simplify.(expand.(inv(A)')) |> display

輸出結果均為

$$
\begin{bmatrix}
\frac{d}{a d - b c} & \frac{ - c}{a d - b c} \\
\frac{ - b}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c} \\
\end{bmatrix}
$$

那我們要怎麼手刻反矩陣呢？根據上面的定義，
$$
\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}
$$

其實可以把反矩陣令為一個未知矩陣 $\mathbf{X}$，因此可以寫成
$$
\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{I}
$$

而利用反斜線(backslash)的運算符，我們可以計算出反矩陣，即

X = A\I

結果會是

$$
\begin{bmatrix}
\frac{1 + \frac{b \frac{c}{a}}{d + \frac{ - b c}{a}}}{a} & \frac{ - \frac{b}{d + \frac{ - b c}{a}}}{a} \\
\frac{ - \frac{c}{a}}{d + \frac{ - b c}{a}} & \frac{1}{d + \frac{ - b c}{a}} \\
\end{bmatrix}
$$

經過化簡與檢查，確定該算法可得出反矩陣：

simplify.(expand.(inv(A))) |> display
simplify.(expand.(A \ I_mat)) |> display

$$
\begin{bmatrix}
\frac{d}{a d - b c} & \frac{ - b}{a d - b c} \\
\frac{ - c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c} \\
\end{bmatrix}
$$

[^1]:參考自[維基百科──矩陣](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5)

[^2]:注意到在數學上這件事是不成立的。

[^3]:參考自[維基百科──行列式](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F)

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