確率変数の和の分布

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二つの確率変数

2つの確率変数

X, Y

が互いに独立にそれぞれ

F_{X}

と

F_{Y}

に従っているとする。このとき

X

と

Y

の和

Z = X + Y

が従う確率分布は、それぞれの確率分布の畳み込みで得られる。

累積分布関数は次のように導かれる。

F_{Z} (z) = \sum \sum_{x + y = z} F_{X} (x) F_{Y} (y) = \sum_{u = - \infty}^{\infty} F_{X} (u) F_{Y} (z - u) = \sum_{u = - \infty}^{\infty} F_{X} (z - u) F_{Y} (u)

確率分布が確率関数を持つ場合は

p_{Z} (z) = \sum_{x + y = z} p_{X} (x) p_{Y} (y) = \sum_{u = - \infty}^{\infty} p_{X} (u) p_{Y} (z - u) = \sum_{u = - \infty}^{\infty} p_{X} (z - u) p_{Y} (u)

確率分布が確率密度関数を持つ場合は

f_{Z} (z) = \int_{x + y = z} f_{X} (x) f_{Y} (y) = \int_{u = - \infty}^{\infty} f_{X} (u) f_{Y} (z - u) d u = \int_{u = - \infty}^{\infty} f_{X} (z - u) f_{Y} (u) d u

となる。これらの計算はラプラス変換やフーリエ変換における畳み込みと同じであり、確率論でも畳み込みと呼ぶ。

モーメント母関数

互いに独立な2つの確率変数

X

,

Y

がそれぞれ確率密度関数

f_{X} (x)

と

f_{Y} (y)

を持ち、モーメント母関数

M_{X} (t)

と

M_{Y} (t)

を持つとする。この2つの確率変数の和

Z = X + Y

の確率分布

F_{Z}

は、上で導いた

f_{Z} (z)

を確率密度関数に持つ。和の分布

F_{Z}

がモーメント母関数

M_{Z} (t)

を持つ時は、それぞれのモーメント母関数の変数を共通にした時の積に等しい。

\begin{aligned} M_{Z} (t) & = E [e^{t Z}] \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{t z} f_{Z} (z) d z \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{t (u + (z - u))} f_{X} (u) f_{Y} (z - u) d z d u \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{t (x + y)} f_{X} (x) f_{Y} (y) | \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} x & \frac{\partial}{\partial y} x \\ \frac{\partial}{\partial x} (x + y) & \frac{\partial}{\partial y} (x + y) \end{array} | d x d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{t x} f_{X} (x) d x \times \int_{- \infty}^{\infty} e^{t y} f_{Y} (y) d y \\ = M_{X} (t) M_{Y} (t) \end{aligned}

途中で変数変換

x = u, y = z - u

を用いた。