# 確率変数の和の分布
###### tags: `probability-theory`
## 二つの確率変数

2つの確率変数$X, Y$が互いに独立にそれぞれ$F_X$と$F_Y$に従っているとする。このとき$X$と$Y$の和$Z=X+Y$が従う確率分布は、それぞれの確率分布の畳み込みで得られる。

累積分布関数は次のように導かれる。

$$
F_Z\left(z\right) = \sum\sum_{x+y=z} F_X\left(x\right)F_Y\left(y\right) = \sum_{u=-\infty}^{\infty} F_X\left(u\right)F_Y\left(z-u\right) = \sum_{u=-\infty}^{\infty} F_X\left(z-u\right)F_Y\left(u\right)
$$

確率分布が確率関数を持つ場合は

$$
p_Z\left(z\right) = \sum_{x+y=z} p_X\left(x\right)p_Y\left(y\right) = \sum_{u=-\infty}^{\infty} p_X\left(u\right)p_Y\left(z-u\right) = \sum_{u=-\infty}^{\infty} p_X\left(z-u\right)p_Y\left(u\right)
$$

確率分布が確率密度関数を持つ場合は

$$
f_Z\left(z\right) = \int_{x+y=z} f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right) = \int_{u=-\infty}^{\infty} f_X\left(u\right)f_Y\left(z-u\right)du = \int_{u=-\infty}^{\infty} f_X\left(z-u\right)f_Y\left(u\right) du
$$

となる。これらの計算はラプラス変換やフーリエ変換における畳み込みと同じであり、確率論でも畳み込みと呼ぶ。

## モーメント母関数

互いに独立な2つの確率変数$X$, $Y$がそれぞれ確率密度関数$f_X\left(x\right)$と$f_Y\left(y\right)$を持ち、モーメント母関数$M_X\left(t\right)$と$M_Y\left(t\right)$を持つとする。この2つの確率変数の和$Z=X+Y$の確率分布$F_Z$は、上で導いた$f_Z\left(z\right)$を確率密度関数に持つ。和の分布$F_Z$がモーメント母関数$M_Z\left(t\right)$を持つ時は、それぞれのモーメント母関数の変数を共通にした時の積に等しい。

$$
\begin{align}
M_Z\left(t\right)
& = E\left[e^{tZ}\right] \notag \\
& = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tz} f_Z\left(z\right) dz \notag \\
& = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{t\left(u+\left(z-u\right)\right)} f_X\left(u\right) f_Y\left(z-u\right) dz du \notag \\
& = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{t\left(x+y\right)} f_X\left(x\right) f_Y\left(y\right)
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial x}x & \frac{\partial}{\partial y}x \\
\frac{\partial}{\partial x}\left(x + y\right) & \frac{\partial}{\partial y}\left(x + y\right)
\end{array}
\right|dx dy
\notag \\
& = \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx} f_X\left(x\right) dx \times \int_{-\infty}^{\infty} e^{ty} f_Y\left(y\right) dy \notag \\
& = M_X\left(t\right)M_Y\left(t\right)
\end{align}
$$

途中で変数変換
$$
x = u, \,\, y = z-u
$$
を用いた。