# 確率分布の特徴
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## 確率分布の特徴としての期待値や関数値

期待値 $E\left[\cdot\right]$ は確率変数に関する計算である。そしてその確率変数は確率分布に従っている。

* 確率分布の平均$\mu$は、確率分布の中心の一つの定義であり、確率変数の期待値で表す。
* 確率分布の中央値も、確率分布の中心の一つの定義であり、標本空間上の累積確率が50{\%}になる点で表す。
* 確率分布の分散$\sigma^2$は、確率分布が表現する確率変数の平均付近への集中の度合いを、2乗距離$\left(X-\mu\right)^2$の期待値で表す。
* 確率分布の標準偏差$\sigma$は、2乗距離$\left(X-\mu\right)^2$の期待値の平方根、分散の平方根であり、確率変数の平均付近への集中の度合いを示す。
* 確率変数の歪度${\beta_1}^{3/2}$は、確率分布の平均周りの対称性を、3乗距離$\left(X-\mu\right)^3$の期待値と標準偏差の3乗との比で表す。
* 確率変数の尖度$\beta_2$は、確率分布の平均から離れた裾の部分の確率の多さ(重さ)を、4乗距離$\left(X-\mu\right)^4$の期待値と標準偏差の4乗との比で表す。

## 確率変数の平均、分散、標準偏差

確率変数$X$が確率分布$F$に従うとする。

$$
X \sim F
$$

このとき、確率変数$X$が従う確率分布$F$の平均を略して、確率変数$X$の平均と言う。同様に、確率変数$X$が従う確率分布$F$の分散と標準偏差もそれぞれ、確率変数$X$の分散、確率変数$X$の標準偏差と略すことがある。

|名称|定義|確率変数目線|確率分布目線|
|---|---|---|---|
|平均$\mu$|$E\left[X\right]$|確率変数の期待値|確率分布の重心|
|分散$\sigma^2, V\left[X\right]$|$E\left[\left(X-\mu\right)^2\right]$|確率変数と分布の平均との 2乗距離の期待値|確率分布の平均周り への集中度|
|標準偏差$\sigma, \sqrt{V\left[X\right]}$|$\sqrt{E\left[\left(X-\mu\right)^2\right]}$|確率変数と分布の平均との 2乗距離の期待値|確率分布の平均周り への集中度|
|歪度 ${\beta_1}^{3/2}$|$\frac{E\left[\left(X-\mu\right)^3\right]}{\sigma^3}$|確率変数と分布の平均との 3乗距離の期待値と 標準偏差の3乗の比|確率分布の平均周り の対称度|
|尖度 ${\beta_2}$|$\frac{E\left[\left(X-\mu\right)^4\right]}{\sigma^4}$|確率変数と分布の平均との 4乗距離の期待値と 標準偏差の4乗の比|確率分布の平均周り の対称度|

例えば確率分布について講義している時に、わざわざ確率分布の分散を、確率分布に従う確率変数と平均との２乗距離の期待値と言い直さない。逆に確率変数を扱っている時に、わざわざ確率変数が従う確率分布の分散とも言い直さない。

例えば確率変数$X$が、平均が$\mu$の確率分布
$F$に従う時、次の３つは同じ意味である。

* 確率分布$F$の平均は$\mu$である
* 確率変数$X$の期待値は$\mu$である
* 確率変数$X$の平均は$\mu$である

期待値が確率変数に関する演算なので、「確率分布$F$の期待値は$\mu$である」だけは言わない。