確率分布の特徴

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確率分布の特徴としての期待値や関数値

期待値

$E[\cdot ]$ は確率変数に関する計算である。そしてその確率変数は確率分布に従っている。

• 確率分布の平均
  $\mu$は、確率分布の中心の一つの定義であり、確率変数の期待値で表す。
• 確率分布の中央値も、確率分布の中心の一つの定義であり、標本空間上の累積確率が50{%}になる点で表す。
• 確率分布の分散
  ${\sigma }^2$は、確率分布が表現する確率変数の平均付近への集中の度合いを、2乗距離
  ${(X-\mu )}^2$の期待値で表す。
• 確率分布の標準偏差
  $\sigma$は、2乗距離
  ${(X-\mu )}^2$の期待値の平方根、分散の平方根であり、確率変数の平均付近への集中の度合いを示す。
• 確率変数の歪度
  ${{\beta }_1}^{3/2}$は、確率分布の平均周りの対称性を、3乗距離
  ${(X-\mu )}^3$の期待値と標準偏差の3乗との比で表す。
• 確率変数の尖度
  ${\beta }_2$は、確率分布の平均から離れた裾の部分の確率の多さ(重さ)を、4乗距離
  ${(X-\mu )}^4$の期待値と標準偏差の4乗との比で表す。

確率変数の平均、分散、標準偏差

確率変数

$X$が確率分布

$F$に従うとする。

$$X\sim F$$

このとき、確率変数

$X$が従う確率分布

$F$の平均を略して、確率変数

$X$の平均と言う。同様に、確率変数

$X$が従う確率分布

$F$の分散と標準偏差もそれぞれ、確率変数

$X$の分散、確率変数

$X$の標準偏差と略すことがある。

名称	定義	確率変数目線	確率分布目線
平均 $\mu$	$E\left[X\right]$	確率変数の期待値	確率分布の重心
分散 ${\sigma }^2,V\left[X\right]$	$E\left[{(X-\mu )}^2\right]$	確率変数と分布の平均との 2乗距離の期待値	確率分布の平均周り への集中度
標準偏差 $\sigma ,\sqrt{V\left[X\right]}$	$\sqrt{E\left[{(X-\mu )}^2\right]}$	確率変数と分布の平均との 2乗距離の期待値	確率分布の平均周り への集中度
歪度 ${{\beta }_1}^{3/2}$	$\frac{E\left[{(X-\mu )}^3\right]}{{\sigma }^3}$	確率変数と分布の平均との 3乗距離の期待値と 標準偏差の3乗の比	確率分布の平均周り の対称度
尖度 ${\beta }_2$	$\frac{E\left[{(X-\mu )}^4\right]}{{\sigma }^4}$	確率変数と分布の平均との 4乗距離の期待値と 標準偏差の4乗の比	確率分布の平均周り の対称度

例えば確率分布について講義している時に、わざわざ確率分布の分散を、確率分布に従う確率変数と平均との２乗距離の期待値と言い直さない。逆に確率変数を扱っている時に、わざわざ確率変数が従う確率分布の分散とも言い直さない。

例えば確率変数

$X$が、平均が

$\mu$の確率分布

$F$に従う時、次の３つは同じ意味である。

• 確率分布
  $F$の平均は
  $\mu$である
• 確率変数
  $X$の期待値は
  $\mu$である
• 確率変数
  $X$の平均は
  $\mu$である

期待値が確率変数に関する演算なので、「確率分布

$F$の期待値は

$\mu$である」だけは言わない。