# 標本空間と事象と加法族
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## 事象

事象とは、起こり得る事物である。事象は一つの要素からなる場合と、複数の要素からなる場合、また数えられない数の要素からなる場合がある。

* 今日の午後に降水がある
* 今日の午後の天気が晴れまたは曇り
* 今日の午後の最高気温は22度を超える
* サイコロを投げたら1が出る
* サイコロを投げたら偶数が出る
* サイコロを投げたら6以外が出る
* 次の電車はおよそ3分後に到着する

確率論は、事象が起こる確率に関する数学である。

## 標本空間

すべての事象が部分集合であるような集合を、標本空間という。標本空間は大文字のスクリプト体$\mathcal{X}$、また場合によってはギリシャ文字の大文字$\Omega$で記す。

## 事象列

すべての事象を順不同で列挙する。

$$
A_1, A_2, \ldots, A_k, \ldots, A_L
$$

これを事象の列という意味で、事象列と呼ぶ。標本空間には、

$$
\bigcup_{k=1}^L A_k = \mathcal{X}
$$

が成り立つ場合と、これは成り立たず、

$$
\bigcup_{k=1}^L A_k \subset \mathcal{X}
$$

となる場合がある。

## 有限集合

有限個の要素からなる集合を有限集合という。標本空間$\mathcal{X}$が有限集合の場合を考える。すべての要素に番号を付ける。
$$
\mathcal{X} = \left\{a_1, a_2, \ldots, a_N\right\}
$$
標本空間の部分集合の中から、一部を選んで集合族
$$
\mathcal{A} = \left\{A_1, A_2, \ldots, A_L\right\}
$$
を作る。この集合族が
$$
A_k, A_l \in \mathcal{A} \Rightarrow A_k \cup A_l \in \mathcal{A}
$$
という性質を持つとき、これを加法族という。

コイン投げでは、標本空間は
$$
\mathcal{X} = \left\{\mbox{表が出る}, \mbox{裏が出る}\right\}
$$
となる。この標本空間のすべての部分集合は
$$
A_1 = \mathcal{X}, A_2 = \emptyset, A_3 = \left\{\mbox{表が出る}\right\}, A_4 = \left\{\mbox{裏が出る}\right\}
$$
であり、これらを要素とする集合族
$$
\mathcal{A} = \left\{A_1, A_2, A_3, A_4\right\}
$$
は加法性を持つ。

例えば、天気予報を論じるために、天気を要素とする集合を
$$
\mathcal{X} = \left\{\mbox{快晴}, \mbox{晴れ}, \mbox{曇り}, \mbox{天気雨}, \mbox{小雨}, \mbox{雨}, \mbox{大雨}, \mbox{雷雨}, \mbox{台風}, \mbox{氷雨}, \mbox{雪}, \mbox{雹}\right\}
$$
と定める。ただし、興味があるのは降水の有無の場合には、事象を
$$
A_1 = \left\{\mbox{快晴}, \mbox{晴れ}, \mbox{曇り}\right\}, A_2 = \left\{\mbox{天気雨}, \mbox{小雨}, \mbox{雨}, \mbox{大雨}, \mbox{雷雨}, \mbox{台風}, \mbox{氷雨}, \mbox{雪}, \mbox{雹}\right\}
$$
のみとしても良い。これらを含む集合族
$$
\left\{A_1, A_2, \emptyset, \mathcal{X}\right\}
$$
もやはり加法性を持つ。

## 可算集合

可算個の要素からなる集合を可算集合という。標本空間$\mathcal{X}$が有限集合の場合を考える。すべての要素に番号を付ける。
$$
\mathcal{X} = \left\{a_1, a_2, \ldots, a_i, \ldots\right\}
$$
標本空間の部分集合の中から、一部を選んで集合族
$$
\mathcal{A} = \left\{A_1, A_2, \ldots, A_k, \ldots\right\}
$$
を作る。この集合族が
$$
A_k, A_l \in \mathcal{A} \Rightarrow A_k \cup A_l \in \mathcal{A}
$$
という性質を持つとき、これを可算加法族という。

## 整数集合

整数集合$\mathcal{Z}$は可算集合である上に、順序$\prec$と距離$d$が定義できる。順序とは、要素間の順序関係であり、数字に自然な順序の一つは、大小関係である。

$$
a\prec b \Rightarrow a<b
$$

数字の間の距離もさまざまあるが、一つのよく用いられる距離は差の絶対値である。

$$
d\left(a,b\right) = \left|b-a\right|
$$

方向を表すために、符号付き距離が用いられることもある。

$$
d\left(a,b\right) = b-a
$$

たとえば正の整数の場合、
$$
\mathcal{X} = \left\{1, 2, \ldots, i, \ldots\right\}
$$
標本空間の部分集合の中から、一部を選んで集合族
$$
\mathcal{A} = \left\{A_1, A_2, \ldots, A_k, \ldots\right\}
$$
を作る。この集合族が
$$
A_k, A_l \in \mathcal{A} \Rightarrow A_k \cup A_l \in \mathcal{A}
$$
という性質を持つとき、これを可算加法族という。

## 連続集合

順序と距離が定められた集合で、任意の2点の間に別の2点が存在するような集合を、連続集合という。実数全体の集合$\mathcal{R}$は、連続集合の一例である。連続集合の要素は、数え上げることができない。

たとえば $\mathcal{R}$ のすべての要素に
$$
a_1, a_2, \ldots, a_i, \ldots
$$
のように番号をつけて、それらの総和
$$
\sum_{i=1}^{\infty} a_i
$$
を計算することができない。そもそもすべての要素に一意に定まる番号付けを定義できない。

そのため事象としての部分集合を、次のような範囲で定める。

$$
a, b\in \mathcal{R}, A = \left\{x; a<x\leq b\right\} = \left(a, b\right]
$$

このような範囲を表す集合を集めて、加法族を作る。
$$
a, b, c, d \in \mathcal{R}, A = \left(a, b\right] \in \mathcal{A}, B = \left(c, d\right] \in \mathcal{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{A}
$$
標本空間が連続集合の場合には、要素に番号づけができないのと同様、事象にも番号づけができない。