標本空間と事象と加法族

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事象

事象とは、起こり得る事物である。事象は一つの要素からなる場合と、複数の要素からなる場合、また数えられない数の要素からなる場合がある。

• 今日の午後に降水がある
• 今日の午後の天気が晴れまたは曇り
• 今日の午後の最高気温は22度を超える
• サイコロを投げたら1が出る
• サイコロを投げたら偶数が出る
• サイコロを投げたら6以外が出る
• 次の電車はおよそ3分後に到着する

確率論は、事象が起こる確率に関する数学である。

標本空間

すべての事象が部分集合であるような集合を、標本空間という。標本空間は大文字のスクリプト体

$\mathcal{X}$、また場合によってはギリシャ文字の大文字

$\mathrm{\Omega }$で記す。

事象列

すべての事象を順不同で列挙する。

$$A_1,A_2,\dots ,A_k,\dots ,A_L$$

これを事象の列という意味で、事象列と呼ぶ。標本空間には、

$$\bigcup _{k=1}^L{A}_k=\mathcal{X}$$

が成り立つ場合と、これは成り立たず、

$$\bigcup _{k=1}^L{A}_k\subset \mathcal{X}$$

となる場合がある。

有限集合

有限個の要素からなる集合を有限集合という。標本空間

$\mathcal{X}$が有限集合の場合を考える。すべての要素に番号を付ける。

$$\mathcal{X}=\{a_1,a_2,\dots ,a_N\}$$
標本空間の部分集合の中から、一部を選んで集合族

$$\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\dots ,A_L\}$$
を作る。この集合族が

$$A_k,A_l\in \mathcal{A}\Rightarrow A_k\cup A_l\in \mathcal{A}$$
という性質を持つとき、これを加法族という。

コイン投げでは、標本空間は

$$\mathcal{X}=\{\text{表が出る},\text{裏が出る}\}$$
となる。この標本空間のすべての部分集合は

$$A_1=\mathcal{X},A_2=\mathrm{\varnothing },A_3=\left\{\text{表が出る}\right\},A_4=\left\{\text{裏が出る}\right\}$$
であり、これらを要素とする集合族

$$\mathcal{A}=\{A_1,A_2,A_3,A_4\}$$
は加法性を持つ。

例えば、天気予報を論じるために、天気を要素とする集合を

$$\mathcal{X}=\{\text{快晴},\text{晴れ},\text{曇り},\text{天気雨},\text{小雨},\text{雨},\text{大雨},\text{雷雨},\text{台風},\text{氷雨},\text{雪},\text{雹}\}$$
と定める。ただし、興味があるのは降水の有無の場合には、事象を

$$A_1=\{\text{快晴},\text{晴れ},\text{曇り}\},A_2=\{\text{天気雨},\text{小雨},\text{雨},\text{大雨},\text{雷雨},\text{台風},\text{氷雨},\text{雪},\text{雹}\}$$
のみとしても良い。これらを含む集合族

$$\{A_1,A_2,\mathrm{\varnothing },\mathcal{X}\}$$
もやはり加法性を持つ。

可算集合

可算個の要素からなる集合を可算集合という。標本空間

$\mathcal{X}$が有限集合の場合を考える。すべての要素に番号を付ける。

$$\mathcal{X}=\{a_1,a_2,\dots ,a_i,\dots \}$$
標本空間の部分集合の中から、一部を選んで集合族

$$\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\dots ,A_k,\dots \}$$
を作る。この集合族が

$$A_k,A_l\in \mathcal{A}\Rightarrow A_k\cup A_l\in \mathcal{A}$$
という性質を持つとき、これを可算加法族という。

整数集合

整数集合

$\mathcal{Z}$は可算集合である上に、順序

$\prec$と距離

$d$が定義できる。順序とは、要素間の順序関係であり、数字に自然な順序の一つは、大小関係である。

$$a\prec b\Rightarrow a<b$$

数字の間の距離もさまざまあるが、一つのよく用いられる距離は差の絶対値である。

$$d(a,b)=|b-a|$$

方向を表すために、符号付き距離が用いられることもある。

$$d(a,b)=b-a$$

たとえば正の整数の場合、

$$\mathcal{X}=\{1,2,\dots ,i,\dots \}$$
標本空間の部分集合の中から、一部を選んで集合族

$$\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\dots ,A_k,\dots \}$$
を作る。この集合族が

$$A_k,A_l\in \mathcal{A}\Rightarrow A_k\cup A_l\in \mathcal{A}$$
という性質を持つとき、これを可算加法族という。

連続集合

順序と距離が定められた集合で、任意の2点の間に別の2点が存在するような集合を、連続集合という。実数全体の集合

$\mathcal{R}$は、連続集合の一例である。連続集合の要素は、数え上げることができない。

たとえば

$\mathcal{R}$ のすべての要素に

$$a_1,a_2,\dots ,a_i,\dots$$
のように番号をつけて、それらの総和

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$$
を計算することができない。そもそもすべての要素に一意に定まる番号付けを定義できない。

そのため事象としての部分集合を、次のような範囲で定める。

$$a,b\in \mathcal{R},A=\{x;a<x\le b\}=(a,b]$$

このような範囲を表す集合を集めて、加法族を作る。

$$a,b,c,d\in \mathcal{R},A=(a,b]\in \mathcal{A},B=(c,d]\in \mathcal{A}\Rightarrow A\cup B\in \mathcal{A}$$
標本空間が連続集合の場合には、要素に番号づけができないのと同様、事象にも番号づけができない。