指数分布のべき変換 (ワイブル分布)

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指数分布

$$f_X(x;\mu )=\frac{1}{\mu }{e}^{-\frac{x}{\mu }}$$

指数分布に従う確率変数の

$m$乗根への変換を考える。

$$Y=X^{1/m}$$

この変換の逆変換は

$$X=Y^m$$

であり、変換のヤコビアンは

$$\frac{d{y}^m}{dy}=m{y}^{m-1}$$

となる。

$$\begin{array}{rl}{f}_Y\left(y\right)& =f_X\left(y^m\right)m{y}^{m-1}\\ & =\frac{m{y}^{m-1}}{\mu }{e}^{-\frac{y^m}{\mu }}\\ & =\frac{m}{\eta }{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^{m-1}{e}^{-{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^m}\end{array}$$

ここで

${\eta }^m=\mu$ と置いた。

この確率密度関数を持つ確率分布をワイブル分布と呼ぶ。

平均

$$\begin{array}{rl}E\left[Y\right]& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}y\frac{m}{\eta }{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^{m-1}{e}^{-{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^m}dy\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\eta \frac{m}{\eta }{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^m{e}^{-{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^m}dy\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}mu{e}^{-u}\frac{\eta }{m}{u}^{1/m-1}du\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}m\frac{\eta }{m}{u}^{1+1/m-1}{e}^{-u}du\\ & =\eta {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{1+1/m-1}{e}^{-u}du\\ & =\eta \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{m})\end{array}$$

$$u={\left(\frac{y}{\eta }\right)}^m$$

$$y=\eta u^{1/m}$$

$$\frac{dy}{du}=\frac{\eta }{m}{u}^{1/m-1}$$

分散

$$\begin{array}{rl}E\left[Y^2\right]& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^2\frac{m}{\eta }{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^{m-1}{e}^{-{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^m}dy\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\eta y\frac{m}{\eta }{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^m{e}^{-{\left(\frac{y}{\eta }\right)}^m}dy\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}m\eta u^{1/m}u{e}^{-u}\frac{\eta }{m}{u}^{1/m-1}du\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\eta }^2{u}^{1/m}{u}^{1+1/m-1}{e}^{-u}du\\ & ={\eta }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{1+2/m-1}{e}^{-u}du\\ & ={\eta }^2\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{m})\end{array}$$

これと、先に求めた平均とから

$$V\left[Y\right]=E\left[Y^2\right]-{\left(E\left[Y\right]\right)}^2={\eta }^2[\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{m})-{\left\{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{m})\right\}}^2]$$

と求まる。

故障率関数 (ハザード関数)

$$h\left(y\right)=\frac{f_Y\left(y\right)}{1-F_Y\left(y\right)}={\left(\frac{t}{\eta }\right)}^{m-1}$$

備考

ガンマ関数の定義は次のとおり。

$$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{x-1}{e}^{-u}du$$

部分積分を1回用いると、次の関係を導ける。

$$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)=(x-1)\mathrm{\Gamma }(x-1)$$

$x$が整数ならば

$$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)=(x-1)!$$
である。