# 指数分布のべき変換 (ワイブル分布)
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## 指数分布

$$
f_X\left(x;\mu\right) = \frac{1}{\mu}e^{-\frac{x}{\mu}}
$$

指数分布に従う確率変数の$m$乗根への変換を考える。

$$
Y = X^{1/m}
$$

この変換の逆変換は

$$
X = Y^{m}
$$

であり、変換のヤコビアンは

$$
\frac{d y^m}{dy} = my^{m-1}
$$

となる。

$$
\begin{align}
f_Y\left(y\right)
& = f_X\left(y^{m}\right)my^{m-1} \notag \\
& = \frac{my^{m-1}}{\mu}e^{-\frac{y^{m}}{\mu}} \notag \\
& = \frac{m}{\eta}\left(\frac{y}{\eta}\right)^{m-1}e^{-\left(\frac{y}{\eta}\right)^{m}} \notag
\end{align}
$$

ここで $\eta^m = \mu$ と置いた。

この確率密度関数を持つ確率分布をワイブル分布と呼ぶ。

## 平均

$$
\begin{align}
E\left[Y\right]
&= \int_{0}^{\infty} y \frac{m}{\eta}\left(\frac{y}{\eta}\right)^{m-1}e^{-\left(\frac{y}{\eta}\right)^{m}} dy \notag \\
&= \int_{0}^{\infty} \eta \frac{m}{\eta}\left(\frac{y}{\eta}\right)^{m}e^{-\left(\frac{y}{\eta}\right)^{m}} dy \notag \\
&= \int_{0}^{\infty} m ue^{-u} \frac{\eta}{m}u^{1/m-1} du \notag \\
&= \int_{0}^{\infty} m \frac{\eta}{m} u^{1+1/m-1}e^{-u} du \notag \\
&= \eta \int_{0}^{\infty} u^{1+1/m-1}e^{-u} du \notag \\
&= \eta \Gamma\left(1+\frac{1}{m}\right)
\end{align}
$$

$$
u = \left(\frac{y}{\eta}\right)^m
$$

$$
y = \eta u^{1/m}
$$

$$
\frac{dy}{du} = \frac{\eta}{m}u^{1/m-1}
$$

## 分散

$$
\begin{align}
E\left[Y^2\right]
&= \int_{0}^{\infty} y^2 \frac{m}{\eta}\left(\frac{y}{\eta}\right)^{m-1}e^{-\left(\frac{y}{\eta}\right)^{m}} dy \notag \\
&= \int_{0}^{\infty} \eta y \frac{m}{\eta}\left(\frac{y}{\eta}\right)^{m}e^{-\left(\frac{y}{\eta}\right)^{m}} dy \notag \\
&= \int_{0}^{\infty} m \eta u^{1/m} ue^{-u} \frac{\eta}{m}u^{1/m-1} du \notag \\
&= \int_{0}^{\infty} {\eta}^2u^{1/m} u^{1+1/m-1}e^{-u} du \notag \\
&= \eta^2 \int_{0}^{\infty} u^{1+2/m-1}e^{-u} du \notag \\
&= \eta^2 \Gamma\left(1+\frac{2}{m}\right)
\end{align}
$$

これと、先に求めた平均とから
$$
V\left[Y\right] = E\left[Y^2\right] - \left(E\left[Y\right]\right)^2 = \eta^2\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{m}\right)-\left\{\Gamma\left(1+\frac{1}{m}\right)\right\}^2\right]
$$

と求まる。

## 故障率関数 (ハザード関数)

$$
h\left(y\right) = \frac{f_Y\left(y\right)}{1-F_Y\left(y\right)} = \left(\frac{t}{\eta}\right)^{m-1}
$$

## 備考

ガンマ関数の定義は次のとおり。

$$
\Gamma\left(x\right) = \int_{0}^\infty u^{x-1}e^{-u}du
$$

部分積分を1回用いると、次の関係を導ける。
$$
\Gamma\left(x\right) = \left(x-1\right)\Gamma\left(x-1\right)
$$
$x$が整数ならば
$$
\Gamma\left(x\right) = \left(x-1\right)!
$$
である。