互いに独立に時間軸上で繰り返し生じる出来事のモデル

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前提

時間軸上で繰り返し、しかしぽつぽつと生じる特定の種類の出来事を考える。英語ではeventと呼び、通常は事象と訳すが、ここでは出来事と呼ぶ。標本空間の加法族に含まれ、確率を評価できる部分集合も英語ではeventと呼び、事象と訳されているが、それとは区別して考えて欲しい。

想定する出来事の例を掲げる。

• 宇宙線の観測のために設置した観測装置を、実際に宇宙線が通過する
• ある一定の地域で、交通事故が生じる
• 飲食店に、来客がある
• インターネット検索サイトに、検索のリクエストが来る
• ジョブを必要な時間と作業量をかけてこなすサーバに、ジョブのリクエストが投じられる
• 押しボタン信号が押される
• 病気の発作が繰り返し生じる
• 咳
• 心臓発作
• 動悸

以下では、これらの出来事を念頭に、発生確率を考えたり、極限を取ったりするが、元の出来事に手を加えることはないことを、始めに記しておく。

モデル化

ここからは特定の種類の出来事を単に、事象と言い換える。

同じ長さの区間の期待頻度は一定かつ定常

任意の間隔

$\delta$の目盛で時間軸を、区切った時に、目盛と目盛の間の各区間において、事象の期待発生頻度は、次のように表現できる。

$$E\left[X_{\delta }\right]={\lambda }_{\delta }$$

ただし

${\lambda }_{\delta }$は、区間の幅

$\delta$を変えても、一定の長さの区間における発生頻度が変わらないように設定する。観測される事象に手を加えては、何をしようとしているか分からない。

$${\lambda }_{\delta }={\lambda }_0/\delta$$

こう設定すると、例えば長さが

$d$の区間の事象の発生頻度の平均は常に

$$\frac{d}{\delta }{\lambda }_0\delta =d{\lambda }_0$$

となる。

以上のモデル化は、この発生頻度の平均は、時刻

$t$に依存して変化することがないことを暗に仮定している。

独立性

事象の発生は互いに独立とする。例えば、必ず同時に複数発生する事象は、対象としない。また、単独の発生と複数の事象が混在する事象も対象としない。観測時においても、相異なる区間での事象の発生は互いに独立とする。

稀少性

任意の区間での事象の発生回数は、

$\delta \to 0$につれて次の性質を有する。

$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}[\text{区間}\text{(}(k-1)\delta ,k\delta \text{に事象が1回発生する}]& ={\lambda }_{\delta }+o\left(\delta \right)\\ \mathrm{Pr}[\text{区間}\text{(}(k-1)\delta ,k\delta \text{に事象が1回も発生しない}]& =1-{\lambda }_{\delta }+o\left(\delta \right)\\ \mathrm{Pr}[\text{区間}\text{(}(k-1)\delta ,k\delta \text{に事象が2回以上発生する}]& =o\left(\delta \right)\end{array}$$

事象が2回以上発生する確率は、

$\delta$が小さくなると

$0$となる。

ポアソン分布の導出

一定の長さの時間中の事象の発生回数

期間

$(a,b]$を

$m$等分すると、一つの区間の幅

$\delta$は

$$\delta =\frac{b-a}{m}$$
となる。この時、

$m$区間の事象の発生回数は、それぞれの区間の発生回数の和となる。

$$N_m=N_{\delta }=X_1+X_2+\cdots +X_m$$
添え字は

$m$をつけると区間数、

$\delta$をつけると区間幅を表す。

$m$と

$\delta$は一対一の関係にある。

さて、

$m$が十分に大きく、

$\delta$が十分に小さいと、

$X_j,j=1,\dots ,m$ は互いに独立に、ベルヌーイ分布に従うようになる。

$$X_j\sim Bernoulli\left(p_{\delta }\right)$$

数え方の違いでしかない

$m$や

$\delta$の変化に応じて、期間

$(a,b]$中の事象発生の総回数が変化するはずはない。そのため、このパラメータ

$p_{\delta }$は

$$E[X_1+X_2+\cdots +X_m]=m{p}_{\delta }=\text{一定}$$
という条件を満たさなければならない。これより、期間中の事象発生回数の期待値を

${\lambda }_{a,b}$と置くと、

$$p_{\delta }=\frac{{\lambda }_{a,b}}{m}$$
を満たす。

以上から

$N_m$は二項分布

$Bin(m,{\lambda }_{a,b}/m)$に従う。

期間を固定したまま

$m$を大きくし

$\delta$を小さくする

$N_m$が従う二項分布の確率関数は

$$p\left(n\right)=\frac{m!}{n!(m-n)!}{\left(\frac{{\lambda }_{a,b}}{m}\right)}^n{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^{m-n}$$
である。これを少し変形すると、

$$\begin{array}{rl}p\left(n\right)& =\frac{{{\lambda }_{a,b}}^n}{m^n}\frac{m!}{n!(m-n)!}{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^{-n}{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^m\\ & =\frac{{{\lambda }_{a,b}}^n}{n!}\frac{\prod _{k=1}^n(m-k+1)}{m^n}{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^{-n}{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^m\\ & =\frac{{{\lambda }_{a,b}}^n}{n!}\left\{\prod _{k=1}^n\frac{m-k+1}{m}\right\}{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^{-n}{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^m\\ & =\frac{{{\lambda }_{a,b}}^n}{n!}\left\{\prod _{k=1}^n(1-\frac{k+1}{m})\right\}{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^{-n}{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^m\\ & =\frac{{{\lambda }_{a,b}}^n}{n!}\left\{\prod _{k=1}^n\frac{1-(k+1)/m}{1-{\lambda }_{a,b}/m}\right\}{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^m\end{array}$$
ここで

$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-(k+1)/m}{1-{\lambda }_{a,b}/m}=1$$
および

$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^m=e^{-{\lambda }_{a,b}}$$
より、

$p\left(n\right)$の

$m\to \mathrm{\infty }$ の極限は

$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}p\left(n\right)=\frac{{{\lambda }_{a,b}}^n}{n!}{e}^{-{\lambda }_{a,b}}$$
となる。

変数

$n$の代わりに

$x$を、

$\lambda$の添字をなくすと

$$p\left(x\right)=\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }$$
となる。この確率関数を持つ確率分布を、ポアソン分布という。

指数分布の導出

一定の長さの時間中の事象の発生回数

期間

$(a,b]$を

$m$等分すると、一つの区間の幅

$\delta$は

$$\delta =\frac{b-a}{m}$$
となる。この時、

$m$区間の事象の発生回数は、それぞれの区間の発生回数の和となる。

$$N_m=N_{\delta }=X_1+X_2+\cdots +X_m$$
添え字は

$m$をつけると区間数、

$\delta$をつけると区間幅を表す。

$m$と

$\delta$は一対一の関係にある。

今、

$m$が十分に大きいとする。事象を観測する試行は、互いにベルヌーイ分布

$Bernoulli\left(p_m\right)$に従う。この確率

$p_m$も、先の議論と同様

$$p_m=\frac{{\lambda }_{a,b}}{m}$$

である。この時、最初に事象が発生した試行から、次に事象が発生する試行までの間の、発生が観測されない試行の回数を考える。それを

$X$と置くと、これは幾何分布に従う。

$$X\sim p\left(x\right)={(1-p_m)}^x{p}_m={(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^x\frac{{\lambda }_{a,b}}{m}$$

$m$を大きくし

$\delta$を小さくする

このまま

$m\to \mathrm{\infty }$を考えると、

$x\to \mathrm{\infty }$と発散してしまう。そのため

$m$を大きくしても単位が変わらないように、間隔を試行回数から間隔の長さに変更する。

$$Y=\frac{X}{m}$$
こうした

$Y$が従う確率関数を求めると

$$\begin{array}{rl}{p}_Y\left(y\right)& =p_X\left(my\right)\\ & ={(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^{my}\frac{{\lambda }_{a,b}}{m}\\ & ={\lambda }_{a,b}{\left\{{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^m\right\}}^y\frac{1}{m}\\ & ={\lambda }_{a,b}{\left\{{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^{-\frac{m}{{\lambda }_{a,b}}}\right\}}^{-{\lambda }_{a,b}y}\frac{1}{m}\end{array}$$
ここで、

$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1-\frac{{\lambda }_{a,b}}{m})}^{-\frac{m}{{\lambda }_{a,b}}}=e$$
である。また

$m\to \mathrm{\infty }$で

$y$が連続な変数となる。

$m$が有限の値では不要だが、

$m\to \mathrm{\infty }$の極限では、確率密度関数は積分に用いる被積分関数であることから

$$\int f\left(y\right)dy=\int \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_X\left(x\right)dx$$
が成り立たなければならず、

$$\int \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_X\left(x\right)dx=\int \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}p\left(y\right)\left|m\right|dy=\int \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_X\left(my\right)\left|m\right|dy$$
のように、変換

$y=x/m$のヤコビアン

$\left|m\right|$をdyにかける必要がある。以上から

$$f\left(y\right)={\lambda }_{a,b}{e}^{-{\lambda }_{a,b}y}$$
を得る。

変数

$y$の代わりに

$x$を、

$\lambda$の添字をなくすと

$$f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}$$
となる。この確率密度関数を持つ確率分布を、ポアソン分布という。