平均の分布の極限

tags: probability-theory

• 大きさ
  $n$の標本の平均は、
  $n$が無限大に向かうと、個々の分布の平均に近づく。(大数の法則)
• 大きさ
  $n$の標本の平均の分布は、
  $n$が無限大に向かうと、個々の分布の平均の周りの正規分布に近づく。(大数の法則)

大数の法則

大数の法則には条件がある。

• 確率分布
  $F$ が平均と分散を持つ。

この条件の下、

$X_1,X_2,\dots ,X_n,\dots$ を互いに独立に確率分布

$F$に従う確率変数の列とすると、次のことが成り立つ。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\bar{X}}_n-\mu )=0$$

$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{Pr}[({\bar{X}}_n-\mu )>ϵ]=0$$

中心極限定理

中心極限定理にも条件がある。その条件にも幾つかの種類があるが、一番単純なものを列挙しておく。

• 確率分布
  $F$ が平均と分散を持つ。
• 確率分布
  $F$ がモーメント母関数を持つ。
• 確率分布
  $F$ が特性関数を持つ。

いずれかの条件の下で、

$X_1,X_2,\dots ,X_n,\dots$ を互いに独立に確率分布

$F$に従う確率変数の列とすると、次のことが成り立つ。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{Pr}[\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\le a]=\mathrm{\Phi }\left(a\right)$$

ここで標準正規分布の累積分布関数を

$\mathrm{\Phi }\left(x\right)$と記した。

$$\mathrm{\Phi }\left(a\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^a\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{x^2}{2})dx$$