# 平均の分布の極限
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* 大きさ$n$の標本の平均は、$n$が無限大に向かうと、個々の分布の平均に近づく。(大数の法則)
* 大きさ$n$の標本の平均の分布は、$n$が無限大に向かうと、個々の分布の平均の周りの正規分布に近づく。(大数の法則)

## 大数の法則

大数の法則には条件がある。

* 確率分布 $F$ が平均と分散を持つ。

この条件の下、$X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ を互いに独立に確率分布$F$に従う確率変数の列とすると、次のことが成り立つ。

$$
\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\overline{X}_n-\mu\right) = 0
$$

$$
\forall \epsilon > 0, \lim_{n\rightarrow\infty} \mathrm{Pr}\left[ \left(\overline{X}_n-\mu\right) >\epsilon \right] = 0
$$

## 中心極限定理

中心極限定理にも条件がある。その条件にも幾つかの種類があるが、一番単純なものを列挙しておく。

* 確率分布 $F$ が平均と分散を持つ。
* 確率分布 $F$ がモーメント母関数を持つ。
* 確率分布 $F$ が特性関数を持つ。

いずれかの条件の下で、$X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ を互いに独立に確率分布$F$に従う確率変数の列とすると、次のことが成り立つ。

$$
\lim_{n\rightarrow\infty} \mathrm{Pr}\left[\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq a\right] = \Phi\left(a\right)
$$

ここで標準正規分布の累積分布関数を$\Phi\left(x\right)$と記した。

$$
\Phi\left(a\right) = \int_{-\infty}^a \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)dx
$$