二項分布

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紹介

成功回数

$p$のベルヌーイ試行を、予め定めた回数

$n$だけ、互いに独立に繰り返すときに、成功回数が従う確率分布が二項分布である。

標本空間

$$\mathcal{X}=\{0,1,2,\dots ,n\}$$

確率関数

$$p\left(x\right)={}_n{C}_x{p}^x{(1-p)}^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}$$

平均

$$\begin{array}{rl}E\left[X\right]& =\sum _{x=0}^{n}x\frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}\\ & =\sum _{x=1}^{n}x\frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}x=0\text{を除外しないと、次の行に進めない}\\ & =\sum _{x=1}^n\frac{n!}{(x-1)!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}x\text{を通分}\\ & =\sum _{y=0}^{n-1}\frac{n!}{y!(n-(y+1))!}{p}^{y+1}{(1-p)}^{n-(y+1)}x\text{を}y=x-1\text{に変換}\\ & =\sum _{y=0}^{n-1}np\frac{(n-1)!}{y!((n-1)-y)!}{p}^y{(1-p)}^{(n-1)-y}n-1\text{回の試行の二項分布に変形}\\ & =np\sum _{y=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{y!((n-1)-y)!}{p}^y{(1-p)}^{(n-1)-y}\text{総和が全確率}\\ & =np\times 1\\ & =np\end{array}$$

分散

確率関数の分母に階乗があり、

$E\left[X^2\right]$よりも、

$E\left[X(X-1)\right]$の方が計算しやすいため

$$V\left[X\right]=E\left[X^2\right]-{\left\{E\left[X\right]\right\}}^2$$
ではなく、少し変形した

$$V\left[X\right]=E\left[X(X-1)\right]+E\left[X\right]-{\left\{E\left[X\right]\right\}}^2$$
を用いて計算する。

$$\begin{array}{rl}E\left[X(X-1)\right]& =\sum _{x=0}^{n}x(x-1)\frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}\\ & =\sum _{x=2}^{n}x(x-1)\frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}x=0,1\text{を除外しないと次に進めない}\\ & =\sum _{x=2}^n\frac{n!}{(x-2)!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}x(x-1)\text{を通分}\\ & =\sum _{y=0}^{n-2}\frac{n!}{y!(n-(y+2))!}{p}^{y+2}{(1-p)}^{n-(y+2)}x\text{を}y=x-2\text{に変換}\\ & =\sum _{y=0}^{n-2}n(n-1)p^2\frac{(n-2)!}{y!((n-2)-y)!}{p}^y{(1-p)}^{(n-2)-y}n-2\text{回の試行の二項分布に変形}\\ & =n(n-1)p^2\sum _{y=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{y!((n-1)-y)!}{p}^y{(1-p)}^{(n-1)-y}\text{総和が全確率}\\ & =n(n-1)p^2\end{array}$$

一つ前の式に代入して

$$V\left[X\right]=n(n-1)p^2+np-n^2{p}^2=np-n{p}^2=np(1-p)$$

を得る。

モーメント母関数

$$\begin{array}{rl}M\left(t\right)& =E\left[e^{tX}\right]\\ & =\sum _{x=0}^n{e}^{tx}\frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}{e}^{tx}\text{は}{\left(e^t\right)}^x\text{と思い出す}\\ & =\sum _{x=0}^n\frac{n!}{x!(n-x)!}{\left(p{e}^t\right)}^x{(1-p)}^{n-x}\text{二項定理を思い出す}\\ & =\sum _{x=0}^n{}_n{C}_x{\left(p{e}^t\right)}^x{(1-p)}^{n-x}\\ & ={(1-p+p{e}^t)}^n\end{array}$$

ベルヌーイ試行のモーメント母関数を思い出すと、二項分布のモーメント母関数が、ベルヌーイ試行のモーメント母関数の

$n$乗に等しいことが確認できる。

確率関数の形状

確率関数の形状を調べるために、差分

$$p(x+1)-p\left(x\right)$$
を調べる。

$$\begin{array}{rl}p(x+1)-p\left(x\right)& =\frac{n!}{(x+1)!(n-x-1)!}{p}^{x+1}{(1-p)}^{n-x-1}-\frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}\\ & =\frac{n!}{x!(n-x-1)}{p}^x{(1-p)}^{n-x-1}\{\frac{p}{x+1}-\frac{1-p}{n-x}\}\end{array}$$

この差の符号の変化が高々1回となることは、

$$y=\frac{p}{x+1}-\frac{1-p}{n-x}$$

が、

$y=0$と交わる点が1箇所のみであることと、その点の片側で常に符号がひとつであることを示せばいい。実際に、中括弧の中身が非負の範囲を調べると

$$\begin{array}{rl}\frac{p}{x+1}-\frac{1-p}{n-x}& \ge 0\\ \frac{1-p}{n-x}& \le \frac{p}{x+1}\\ (x+1)(1-p)& \le (n-x)p\\ x(1-p)+(1-p)& \le np-xp\\ x+(1-p)& \le np\\ x& \le np-(1-p)\end{array}$$

となる。

$y=0$との交点は

$x=np-(1-p)$であり、その点より下では差は正となる。そして、この不等式の右辺が整数でなければ等号が成立せず、

$x+1$が頂点となる。右辺が整数ならば等号が成立して、

$x$および

$x+1$が頂点となる。ただし等号が成立するのは、

$p=1/2$のときのみ。

最頻値

確率関数が最も大きな点を最頻値という。二項分布の最頻値は

$$x>np+p-1$$
を満たす最小の

$x$である。ただし

$p=0.5$のときのみ、

$$x=np+p-1$$
と

$$x=np+p$$
の2点が最頻値となる。