# 確率論 ###### tags: `probability-theory` 確率論の基礎。 ```graphviz digraph Unit_1 { node [shape=rectangle, style=rounded] 集合 -> 部分集合 -> 補集合 -> "ド・モルガンの法則" 部分集合 -> 和集合 -> "ド・モルガンの法則" 部分集合 -> 積集合 -> "ド・モルガンの法則" 集合 -> 集合族 [style="dashed" color="red"] 集合族 -> "(有限)加法性" -> "(有限)加法族" -> 加算加法性 -> 加算加法族 標本空間 -> 事象 -> 全事象 全事象 -> 余事象 -> 加法族 -> 確率 事象 -> 和事象 -> 加法族 事象 -> 積事象 -> 加法族 集合族 -> 標本空間 [style="dashed" color="red"] 標本空間 -> 確率 [style="dashed" color="red"] 加算加法族 -> 加法族 [style="dashed" color="blue"] ド・モルガンの法則 -> 集合族 確率 -> 確率の意味 -> 確率の公理 -> 確率の加法法則 -> 同時確率 確率 -> 確率の公理 [style="dashed" color="red"] 確率の公理 -> 確率の乗法法則 -> 同時確率 -> 周辺確率 -> 独立 同時確率 -> 条件付き確率 -> 独立 -> "従属(非独立)" -> ベイズの定理 加算加法族 -> 標本空間 [color="blue"] 加法族 -> 確率の加法法則 加法族 -> 確率の乗法法則 subgraph cluster_Set { label = "集合論"; 集合 部分集合 補集合 [shape="doubleoctagon"] 和集合 [shape="doubleoctagon"] 積集合 [shape="doubleoctagon"] ド・モルガンの法則 [shape="doubleoctagon"] 集合族 "(有限)加法性" [shape="doubleoctagon"] "(有限)加法族" 加算加法性 [shape="doubleoctagon"] 加算加法族 } subgraph cluster_Probability { label = "確率論"; 標本空間 事象 全事象 余事象 [shape="doubleoctagon"] 和事象 [shape="doubleoctagon"] 積事象 [shape="doubleoctagon"] 加法族 確率 確率の意味 確率の公理 [shape="doubleoctagon"] 確率の加法法則 [shape="doubleoctagon"] 確率の乗法法則 [shape="doubleoctagon"] 同時確率 周辺確率 [shape="doubleoctagon"] 条件付き確率 [shape="doubleoctagon"] 独立 [shape="doubleoctagon"] "従属(非独立)" [shape="doubleoctagon"] ベイズの定理 [shape="doubleoctagon"] } } ``` 確率分布の関数表現。 ```graphviz digraph Unit_2 { node [shape=rectangle, style=rounded] 集合 -> 連続集合 -> 連続な標本空間 連続集合 -> 連続な多次元標本空間 集合 -> 離散集合 -> 離散な標本空間 離散集合 -> 離散な多次元標本空間 標本空間 -> １次元ユークリッド空間への射影 -> 累積分布関数 累積分布関数 -> 連続な標本空間 -> 確率密度関数 -> 確率 累積分布関数 -> 離散な標本空間 -> 確率関数 -> 確率 累積分布関数 -> "乱数の生成(逆関数法)" 標本空間 -> 多次元ユークリッド空間への射影 -> 同時累積分布関数 同時累積分布関数 -> 連続な多次元標本空間 -> 同時確率密度関数 -> 周辺確率密度関数 周辺確率密度関数 -> 条件付確率密度関数 同時累積分布関数 -> 離散な多次元標本空間 -> 同時確率関数 -> 周辺確率関数 周辺確率関数 -> 条件付確率関数 条件付確率密度関数 -> ベイズの定理 条件付確率関数 -> ベイズの定理 確率密度関数 -> 変換した確率変数の確率密度関数 確率関数 -> 変換した確率変数の確率関数 同時確率密度関数 -> 変換した確率変数の同時確率密度関数 subgraph cluster_Univariate { １次元ユークリッド空間への射影 累積分布関数 連続な標本空間 確率密度関数 離散な標本空間 確率関数 確率 "乱数の生成(逆関数法)" 変換した確率変数の確率密度関数 変換した確率変数の確率関数 } subgraph cluster_Multivariate { 多次元ユークリッド空間への射影 連続な多次元標本空間 離散な多次元標本空間 同時累積分布関数 同時確率密度関数 周辺確率密度関数 条件付確率密度関数 同時確率関数 周辺確率関数 条件付確率関数 変換した確率変数の同時確率密度関数 ベイズの定理 } } ``` 確率分布の関数表現のご利益。 ```graphviz digraph Unit_3 { node [shape=rectangle, style=rounded] 期待値 -> 確率 期待値 -> 期待値の計算 期待値の計算 [shape="doubleoctagon"] 期待値の計算 期待値 -> 平均 -> ２乗の平均 -> 原点モーメント -> 期待値の計算 平均 -> 期待値の計算 分散 -> 期待値の計算 ２乗の平均 -> 分散 -> 中心モーメント -> 期待値の計算 原点モーメント -> モーメント 中心モーメント -> モーメント 原点モーメント -> モーメント母関数 -> 期待値の計算 モーメント母関数 -> 特性関数 モーメント母関数 -> モーメント母関数の展開 モーメント母関数の展開 [shape="doubleoctagon"] モーメント母関数 -> キュムラント母関数 -> キュムラント キュムラント母関数 -> キュムラント母関数の展開 キュムラント母関数の展開 [shape="doubleoctagon"] 特性関数 -> 特性関数の展開 特性関数の展開 [shape="doubleoctagon"] 期待値 -> 同時期待値 [style="dashed" color="blue"] 同時期待値 -> 同時期待値の計算 同時期待値の計算 [shape="doubleoctagon"] 同時期待値 -> 同時モーメント -> 周辺モーメント -> 条件付モーメント モーメント -> 同時モーメント [style="dashed" color="blue"] モーメント -> 周辺モーメント [style="dashed" color="blue"] モーメント -> 条件付モーメント [style="dashed" color="blue"] 同時モーメント -> 同時モーメント母関数 同時モーメント母関数 -> 同時モーメント母関数の展開 同時モーメント母関数の展開 [shape="doubleoctagon"] 平均 -> 平均ベクトル [style="dashed" color="blue"] 平均ベクトル -> 同時期待値の計算 分散 -> 共分散 [style="dashed" color="blue"] 共分散 -> 同時期待値の計算 分散 -> 分散共分散行列 [style="dashed" color="blue"] 分散共分散行列 -> 同時期待値の計算 同時期待値 -> 平均ベクトル -> 共分散 -> 分散共分散行列 共分散 -> 相関係数 subgraph cluster_Univariate { label = "一変量"; 期待値 モーメント 平均 ２乗の平均 分散 原点モーメント モーメント母関数 モーメント母関数の展開 中心モーメント モーメントの計算 期待値の計算 確率 subgraph cluster_Complicated { label = "選択的な話題" キュムラント母関数 キュムラント母関数の展開 キュムラント 特性関数 特性関数の展開 } } subgraph cluster_Multivariate { label = "多変量"; 同時期待値 同時モーメント 周辺モーメント 条件付モーメント 同時モーメント母関数 同時モーメント母関数の展開 平均ベクトル 共分散 分散共分散行列 相関係数 同時期待値の計算 } } ``` 確率論で証明される不等式と極限。 ```graphviz digraph Unit_4 { node [shape=rectangle, style=rounded] マルコフの不等式 -> チェビシェフの不等式 -> 大数の法則 -> 中心極限定理 コーシー・シュワルツの不等式 -> 相関係数 イェンセンの不等式 -> 変換の平均と平均の変換の大小関係 -> 平均間の大小関係 } ``` 離散確率分布。 ```graphviz digraph Unit_5 { node [shape=rectangle, style=rounded] 二項分布 -> ポアソン分布 [style="dashed" color="red"] 幾何分布 -> 指数分布 [style="dashed" color="red"] ベルヌーイ試行 -> 多項試行 -> 多項分布 有限母集団 -> 復元抽出 -> ベルヌーイ試行 -> ベルヌーイ分布 ベルヌーイ試行 -> ベルヌーイ試行の繰り返し ベルヌーイ試行の繰り返し -> 二項分布 ベルヌーイ試行の繰り返し -> 幾何分布 ベルヌーイ試行の繰り返し -> 負の二項分布 有限母集団 -> 非復元抽出 -> 超幾何分布 有限母集団 -> ポリアの壺 subgraph cluster_Multivariate { 多項試行 多項分布 } } ``` 分布ごとに。 ```graphviz digraph Unit_6B { node [shape=rectangle, style=rounded] 確率関数 -> 平均の計算 -> 分散の計算 -> モーメント母関数の計算 モーメント母関数の計算 -> モーメント母関数の展開 モーメント母関数の計算 -> 中心極限定理の確認 確率関数 -> 累積分布関数 -> 正規分布を用いた近似 中心極限定理の確認 -> 正規分布を用いた近似 平均の計算 -> 標準化 分散の計算 -> 標準化 標準化 -> 正規分布を用いた近似 平均の計算 [shape="doubleoctagon"] 分散の計算 [shape="doubleoctagon"] モーメント母関数の計算 [shape="doubleoctagon"] モーメント母関数の展開 [shape="doubleoctagon"] 中心極限定理の確認 [shape="doubleoctagon"] 正規分布を用いた近似 [shape="doubleoctagon"] } ``` 連続確率分布。 ```graphviz digraph Unit_6 { node [shape=rectangle, style=rounded] 指数分布 -> アーラン分布 指数分布 -> ワイブル分布 正規分布 -> カイ２乗分布 -> Ｆ分布 無限母集団 -> 正規試行 無限母集団 -> ガンマ試行 無限母集団 -> 指数試行 正規試行 -> 正規分布 正規試行 -> 多変量正規試行 -> 多変量正規分布 指数試行 -> 指数分布 ガンマ試行 -> ガンマ分布 正規分布 -> 対数正規分布 正規分布 -> コーシー分布 カイ２乗分布 -> ｔ分布 ガンマ分布 -> アーラン分布 アーラン分布 -> ガンマ分布 ガンマ分布 -> カイ２乗分布 カイ２乗分布 -> ガンマ分布 ガンマ分布 -> 一般化ガンマ分布 正規分布 -> 多変量正規分布 カイ２乗分布 -> ウィッシャート分布 多変量正規分布 -> ウィッシャート分布 subgraph cluster_Multivariate { 多変量正規試行 多変量正規分布 ウィッシャート分布 } } ``` 分布ごとに。 ```graphviz digraph Unit_6B { node [shape=rectangle, style=rounded] 確率密度関数 -> 平均の計算 -> 分散の計算 -> モーメント母関数の計算 -> モーメント母関数の展開 モーメント母関数の計算 -> 中心極限定理の確認 モーメント母関数の計算 -> 特性関数の計算 -> 特性関数の展開 特性関数の計算 -> 中心極限定理の確認 モーメント母関数の計算 -> キュムラント母関数の計算 -> キュムラント母関数の展開 平均の計算 [shape="doubleoctagon"] 分散の計算 [shape="doubleoctagon"] モーメント母関数の計算 [shape="doubleoctagon"] モーメント母関数の展開 [shape="doubleoctagon"] 特性関数の計算 [shape="doubleoctagon"] 特性関数の展開 [shape="doubleoctagon"] キュムラント母関数の計算 [shape="doubleoctagon"] キュムラント母関数の展開 [shape="doubleoctagon"] 中心極限定理の確認 [shape="doubleoctagon"] } ```