多項分布

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3種類以上の互いに素な事象が、それぞれの事象ごとに定められた確率によって生じる場合の、確率モデル。ベルヌーイ試行の互いに独立な

$n$回の繰り返しの中の、片方の事象の発生回数が二項分布に従うのと同様に、多項試行の互いに独立な

$n$回の繰り返しの中の、それぞれの発生回数の組が従う確率分布である。

多項試行

ベルヌーイ試行が2種類の互いに素な事象の観測モデルであったのに対して、多項試行は3種類以上の互いに素な事象の観測モデルである。

$$X\sim p\left(x\right)=p^x{(1-p)}^{1-x}$$

ベルヌーイ試行を次のように表現する。

$$(X_1,X_2)\sim p\left(x\right)={p_1}^{x_1}{p_2}^{x_2}$$
ただし確率はそれぞれ非負で和が

$1$

$$p_1+p_2=1,p_1,p_2\ge 0$$
また確率変数はいずれか一つが

$1$、もう一方が

$0$

$$X_1+X_2=1,X_1,X_2\in \{0,1\}$$
である。これを

$m$状態に拡張すると

$$(X_1,X_2,\dots ,X_m)\sim p(x_1,x_2,\dots ,x_m)={p_1}^{x_1}{p_2}^{x_2}\cdots {p_m}^{x_m}$$
となる。ただし確率は総和が

$1$

$$\sum _{j=1}^m{p}_j=1,p_1,\dots ,p_m\ge 0$$
であり、確率変数もいずれか一つが

$1$、残りはすべて

$0$

$$\sum _{j=1}^m{X}_j=1,X_1,\dots ,X_m\in \{0,1\}$$
である。

確率ベクトル

$$(X_1,X_2,\dots ,X_m)\sim Multinomial(p_1,p_2,\dots ,p_m;n)$$

確率関数

$$p(x_1,x_2,\dots ,x_m)=\left(\begin{array}{ccccc}& & n& & \\ x_1& x_2& \cdots & x_{m-1}& x_m\end{array}\right){p_1}^{x_1}{p_2}^{x_2}\cdots {p_{m-1}}^{x_{m-1}}{p_m}^{x_m}$$

多項係数

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccccc}& & n& & \\ x_1& x_2& \cdots & x_{m-1}& x_m\end{array}\right)& ={}_n{C}_{x_1}\times {}_{n-x_1}{C}_{x_2}\times \cdots \times {}_{n-\sum _{j=1}^{m-2}{x}_j}{C}_{x_{m-1}}\times {}_{n-\sum _{j=1}^{m-1}{x}_j}{C}_{x_m}\\ & =\frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_m!}\end{array}$$

平均ベクトル

$$E\left[(X_1,X_2,\dots ,X_m)\right]=(n{p}_1,n{p}_2,\dots ,n{p}_m)$$

分散共分散行列

$$V\left[(X_1,X_2,\dots ,X_m)\right]=\left(\begin{array}{cccc}n{p}_1(1-p_1)& -n{p}_1{p}_2& \cdots & -n{p}_1{p}_m\\ -n{p}_2{p}_1& n{p}_2(1-p_2)& \cdots & -n{p}_2{p}_m\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -n{p}_m{p}_1& -n{p}_m{p}_2& \cdots & n{p}_m(1-p_m)\end{array}\right)$$